第一编 第七单元 第31讲 尺规作图（PPT课件）-【中考导学案】2025年中考数学讲义（甘肃专用）

第31讲　尺规作图 第七单元　图形的变换 2025中考 甘肃 数学  2 3 2 3 2 1 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 目 录 2 依标扣本·掌握必备知识 考点综述 01 3 能用尺规作图：作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线；过直线外一点作这条直线的平行线 课标要求 1 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 基本作图 图形 作法 作一个角等于已知角 (已知: ∠AOB) (1)以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D； (2)画一条射线O1A1，以点O1为圆心，OC长为半径画弧，交O1A1于点C1； (3)以点C1为圆心，CD长为半径画弧，与第(2)步中所画的弧相交于点D1； (4)过点D1作射线O1B1，则∠A1O1B1就是所求作的角 ∠A1O1B1＝∠AOB的理论依据是三边分别相等的两个三角形全等(SSS). 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 基本作图 图形 作法 作一个角的平分线 (已知: ∠AOB) (1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点D，交OB于点E； (2)分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C； (3)画射线OC，则射线OC就是∠AOB的平分线   不能叙述为连接OC，因为角平分线OC是射线，而不是线段. 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 基本作图 图形 作法 作一条线段的垂直平分线(已知:线段AB) (1)分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C，D两点； 　 　　 (2)作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线 小于AB找不到交点! 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 基本作图 图形 作法 过一点作已知直线的垂线 点在直线上 (1)以点C为圆心，任意长为半径画弧，交AB于D，E两点； (2)分别以点D，E为圆心，大于DE长为半径向直线AB同侧作弧，交点为F；　　　 (3)作直线CF，则直线CF就是所求作的垂线 射线CF是平角∠ACB的平分线. 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 基本作图 图形 作法 过一点作已知直线的垂线 点在直线外 (1)任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁； (2)以点C为圆心，CK长为半径画弧，交AB于点D和点E； (3)分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧相交于点F； (4)作直线CF，则直线CF就是所求作的垂线 如果点K和点C在AB的同旁，那么第(2)步中画的弧和直线可能没有交点. 直线CF是线段DE的垂直平分线. 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 基本作图 图形 作法 过直线外一点作这条直线的平行线(已知:直线l，点P) 【课标新增】 (1)过点P作直线m与直线l交于点O； (2)在直线m上取一点A(OA<OP)，以点O为圆心，OA长为半径画弧，与直线l交于点B； (3)以点P为圆心，OA长为半径画弧，交直线m于点C，以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D； (4)作直线PD，直线PD即为所求作的平行线 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 能用尺规作图:已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形；过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边形；*过圆外一点作圆的切线 课标要求 2 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 尺规作图 图示 尺规作图 图示 已知三边作三角形 已知两边及其夹角作三角形 已知两角及其夹边作三角形 已知底边及底边上的高线作等腰三角形 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 尺规作图 图示 尺规作图 图示 已知一直角边和斜边作直角三角形 过不在同一直线上的三点作圆 作三角形的外接圆 作三角形的内切圆 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 尺规作图 图示 尺规作图 图示 作圆的内接正方形和内接正六边形 *过圆外一点作圆的切线 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 聚焦中考·培育核心素养 考点综述 02 15 (2024·北京) 下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法. 命题点 1 基本尺规作图(课标要求1) 例 1 (1)如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D； (2)作射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；以点C'为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D'； (3)过点D'作射线O'B'，则∠A'O'B'＝∠AOB. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 上述方法通过判定△C'O'D'≌△COD得到∠A'O'B'＝∠AOB，其中判 定△C'O'D'≌△COD的依据是(　　) A.三边分别相等的两个三角形全等 B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 A 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 ☞变式 (2024·深圳)在如图所示的三个图形中，根据尺规作图的痕迹， 能判断射线AD平分∠BAC的是(　　) A.①② B.①③ C.②③ D.只有① B 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 (2024·赤峰) 如图，在△ABC中，D是AB中点. (1)求作：AC的垂直平分线l(要求：尺规作图， 不写作法，保留作图痕迹)； (2)若l交AC于点E，连接DE并延长至点F，使 EF＝2DE，连接BE，CF.补全图形，并证明四 边形BCFE是平行四边形. 例 2 (1)解：如图所示，直线l即为所求. (2)证明：由作图可知AE＝EC. ∵AD＝DB，∴DE∥BC，BC＝2DE. ∵EF＝2DE，∴EF＝BC. 又∵EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 19 ☞变式 尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线.如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：　 则正确的配对是(　　) A.①－Ⅳ，②－Ⅱ，③－Ⅰ，④－Ⅲ B.①－Ⅳ，②－Ⅲ，③－Ⅱ，④－Ⅰ C.①－Ⅱ，②－Ⅳ，③－Ⅲ，④－Ⅰ D.①－Ⅳ，②－Ⅰ，③－Ⅱ，④－Ⅲ D 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 (2024·福建改编) 如图，已知直线l1∥l2.在l1，l2所在的平面内求作直线l，使得l∥l1∥l2，且l与l1间的距离恰好等于l与l2间的距离.(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 例 3 解：如图，直线l即为所求作的直线. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 尺规作图：如图，已知：线段a，b(a＜b)， 求作：等腰三角形ABC，使底边BC上的高为a，腰长为b.(提示：尺规作图要保留作图痕迹，且要用2B铅笔，不用写作法) 例 4 命题点 2 尺规作三角形(课标要求2) 解：如图，△ABC即为所求. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 ☞变式1 已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△DEC，点A的对应点为点D. (1)求作△DEC；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 解：如图，△CDE即为所求. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 (2)连接AE，若AB＝2，AC＝3，求AE的长. 解：连接AD. 由旋转的性质得∠ACD＝60°，AC＝CD， ∠CDE＝∠BAC＝60°，DE＝AB＝2，CD＝AC＝3. ∴△ACD为等边三角形. ∴∠ADC＝60°，AD＝CD＝3. ∴A，D，E三点共线. ∴AE＝AD－DE＝3－2＝1. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 ☞变式2 (1)已知线段m，n，求作Rt△ABC，使得∠C＝90°，CA＝m，CB＝n；(请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) 解：如图，Rt△ABC即为所求. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 (2)求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.(请借助上一小题所作图形，在完善的基础上，写出已知、求证与证明) 解：已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， CE是AB边上的中线，求证：CE＝AB. 证明：延长CE到D，使得DE＝CE，连接BD，DA. ∵CE是AB边上的中线，∴BE＝AE. ∴四边形ACBD是平行四边形. 又∵∠ACB＝90°，∴四边形ACBD是矩形. ∴AB＝CD，∴CE＝CD＝AB. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 如图1，已知正六边形ABCDEF，要求在正六边形ABCDEF的内部作一个矩形A1B1C1D1，且矩形A1B1C1D1的顶点在正六边形ABCDEF的边上(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹). 例 5 命题点 3 尺规作圆和正多边形(课标要求2) 阅读下列材料，解决问题. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 小明利用尺规作图只作了部分，如图2所示. (1)请你根据小明的作图思路，补画出矩形A1B1C1D1； (2)在(1)的基础上，连接AC，若AC＝4，则线段A1D1的长 为_________，依据是_____________________；  解：(1)如图2，矩形A1B1C1D1即为所求. 2 三角形中位线定理 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 (3)如图3，已知正五边形A2B2C2D2E2，在其内部作一个矩形MND2C2，使得点M，N分别在边A2B2，A2E2上(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹). 解：如图3，矩形MND2C2即为所求. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 ☞变式 下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程： 已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°. 求作：Rt△ABC的外接圆. 作法：如图2. (1)分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作 弧，两弧相交于P，Q两点； (2)作直线PQ，交AB于点O； (3)以点O为圆心，OA为半径作☉O. ☉O即为所求作的圆. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 下列不属于该尺规作图依据的是(　　) A.两点确定一条直线 B.直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半 C.与线段两个端点距离相等的点在这条 线段的垂直平分线上 D.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 D 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 课堂反馈·落实学业要求 考点综述 03 32 1.(2024·河北) 观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC 的(　　) A.角平分线 B.高线 C.中位线 D.中线 B 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 2.过直线l外一点P作直线l的垂线PQ.下列尺规作图错误的是(　　) C A B C D 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 3.如图，已知∠ABC＝50°，点D在BA上，以点B为圆心，BD长为半径 画弧，交BC于点E，连接DE，则∠BDE的度数是_________度.  65 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC.以A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点.分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，在∠BAC内两弧相交于点P.作射线AP交BC于点F，过点F作 FG⊥AB，垂足为G.若AB＝8 cm，则△BFG的周长等于_______ cm.  8 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 5.(2024·广西) 如图，在△ABC中，∠A＝45°，AC＞BC. (1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，分别交AB，AC于点D，E；(要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母) (2)在(1)所作的图中，连接BE，若AB＝8，求BE的长. 解：(1)如图，直线l即为所求. (2)∵DE垂直平分线段AB，∴EB＝EA. ∴∠EBA＝∠A＝45°.∴∠BEA＝90°. ∵BD＝DA，∴DE＝DB＝DA＝AB＝4. ∴BE＝BD＝4. 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 6.(2024·重庆B) 在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论.根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： (1)如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点. 用尺规过点O作AC的垂线，分别交AB，CD于点E， F，连接AF，CE.(不写作法，保留作图痕迹) 解：作图如图所示. 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 (2)已知：矩形ABCD，点E，F分别在AB，CD上，EF经过对角线AC的中点O，且EF⊥AC.求证：四边形AECF是菱形. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD. ∴①___________________，∠OCF＝∠OAE.  ∵点O是AC的中点，∴②_____________.  ∴△CFO≌△AEO(AAS). ∴③_____________.  ∠OFC＝∠OEA OC＝OA OF＝OE 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 又∵OA＝OC， ∴四边形AECF是平行四边形. 又∵EF⊥AC， ∴四边形AECF是菱形. 进一步思考，如果四边形ABCD是平行四边形呢?请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④____________________.  四边形AECF是菱形 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 7.(2024·达州) 如图，线段AC，BD相交于点O，且AB∥CD，AE⊥BD于点E. (1)尺规作图：过点C作BD的垂线，垂足为点F，连接AF，CE；(不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母) 解：如图，CF，AF，CE即为所求. 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 (2)若AB＝CD，请判断四边形AECF的形状，并说明理由.(若前问未完成，可画草图完成此问) 解：四边形AECF为平行四边形. 理由：∵AB∥CD，∴∠B＝∠D. ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°. 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴AE＝CF. 又AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形. 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 请完成《练测本》P60~61素养综合练测31 本讲内容结束 $$