第一编 第三单元 第15讲 二次函数的实际应用（PPT课件）-【中考导学案】2025年中考数学讲义（甘肃专用）

第15讲　二次函数的实际应用 第三单元　函数 2025中考 甘肃 数学  2 3 2 3 2 1 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 目 录 2 依标扣本·掌握必备知识 考点综述 01 3 会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题 课标要求 常见类型 解题步骤 抛物线 型问题 (1)根据实际问题的条件建立适当的平面直角坐标系； (2)指出已知点的坐标(长度转化为坐标)； 　 (3)设出适当的表达式； (4)用待定系数法求出表达式； (5)根据条件解决相应问题 便于求表达式. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 常见类型 解题步骤 销售利 润问题 理清变量之间的关系，找出问题中的数量关系，列出函数关系式，确定自变量的取值范围，根据要求求函数的最值或建立方程求解 图形面 积问题 利用几何知识用变量x表示出图形的面积y，确定自变量的取值范围，根据要求求函数的最值或建立方程求解 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 【提分点拔】 1.求高度，此时一般是求二次函数图象顶点的纵坐标，或根据自变量的取值范围，利用函数增减性求二次函数的最值. 2.求水平距离，此时一般是令函数值为某一定值，解出所得一元二次方程的两个实数根，求两根之差的绝对值. 3.求最值时，不能忽视自变量的取值范围和生活实际.当自变量必须满足是整数，抛物线顶点的横坐标是分数时，顶点的纵坐标不是所求的最值；当自变量都在对称轴的同一侧取值时，抛物线顶点的纵坐标不是所求的最值. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 聚焦中考·培育核心素养 考点综述 02 7 ▶类型1　抛物线型问题 (2024·天津) 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单 位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2 (0≤t≤6).有下列结论： ①小球从抛出到落地需要6 s； ②小球运动中的高度可以是30 m； ③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度. 其中正确结论的个数是(　　) A.0　　　 B.1　　　　C.2　　　　 D.3 命题点 二次函数的实际应用(课标要求) 例 1 C 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 ☞变式 (2024·武汉) 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖.火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行.某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程.如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2＋x和直线y＝ －x＋b.其中，当火箭运行的水平距离为9 km时，自动引发火箭的第二级. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 (1)若火箭第二级引发点的高度为3.6 km， ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低 1.35 km，求这两个位置之间的距离. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 解：①∵抛物线y＝ax2＋x经过点(9，3.6)， ∴81a＋9＝3.6.解得a＝－. ∵直线y＝－x＋b经过点(9，3.6)， ∴3.6＝－×9＋b，解得b＝8.1. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 ②由①，得y＝－x2＋x＝－(0≤x≤9).∴火箭运行的最高点是 km.∴－1.35＝2.4(km).∴2.4＝－x2＋x，整理，得x2－15x＋36＝0. 解得x1＝12＞9(不合题意，舍去)，x2＝3. 由①，得y＝－x＋8.1. ∴2.4＝－x＋8.1.解得x＝11.4. ∴11.4－3＝8.4(km). 答：这两个位置之间的距离为8.4 km. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 (2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过 15 km. 解：当x＝9时，y＝ax2＋x＝81a＋9. ∴火箭第二级引发点的坐标为(9，81a＋9). 设火箭落地点与发射点的水平距离为15 km. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 ∴直线y＝－x＋b经过点(9，81a＋9)，(15，0). ∴解得 ∴－＜a＜0时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15 km. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 ▶类型2　销售利润问题 (2024·内江) 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5 000元购进的猪肉粽盒数与3 000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒. (1)求猪肉粽、豆沙粽每盒的进价； 例 2 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 解：设猪肉粽每盒的进价为a元，则豆沙粽每盒的进价为(a－20)元.根据题意，得 .解得a＝50. 经检验，a＝50是方程的解，且符合题意. 此时a－20＝30. 答：猪肉粽、豆沙粽每盒的进价分别为50元、30元. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 (2)设猪肉粽每盒售价x元(52≤x≤70)，y表示该商家销售猪肉粽的利润(单位：元) ，求y关于x的函数表达式，并求出y的最大值. 解：由题意知，当x＝52时，每天售出180盒. 当猪肉粽每盒售价x元(52≤x≤70)时，每天可售[180－10(x－52)]盒. ∴y＝(x－50)[180－10(x－52)]＝(x－50)·(－10x＋700)＝－10x2＋1 200x－35 000＝－10(x－60)2＋1 000. ∵－10＜0，52≤x≤70， ∴当x＝60时，y取最大值，最大值为1 000元. ∴y关于x的函数表达式为y＝－10x2＋1 200x－35 000(52≤x≤70)，y的最大值为1 000元.　 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 ☞变式 (2024·新疆)某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4 t至3.5 t之间时，销售额y1(万元) 与销售量x(t)的函数解析式为y1＝5x；成本y2(万元) 与销售量x(t)的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点. (1)求出成本y2关于销售量x的函数解 析式； 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 解：由题意知，顶点为，∴可设抛物线为y2＝a. 又抛物线过(2，4)，∴4＝a. 解得a＝1.∴y2＝. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 (2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少? 解：由题意知，当销售量x＝时，成本 最低为. 又销售量在0.4 t至3.5 t之间时，销售额 y1(万元) 与销售量x(t)的函数解析式为 y1＝5x，∴当x＝时，销售额为y1＝5x ＝5×＝2.5.∴此时利润为2.5－＝0.75(万元) . 答：当成本最低时，销售产品所获利润是0.75万元. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 (3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润?最大利润是多少?(注：利润＝销售额－成本) 解：由题意知，利润＝y1－y2＝5x－ ＝－x2＋6x－2＝ －(x－3)2＋7. ∵－1＜0， ∴当x＝3时，利润取最大值，最大值为7. 答：当销售量是3 t时，可获得最大利润，最大利润是7万元. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 ▶类型3　图形面积问题 (2024·湖北) 如图，某校劳动实践基地用总长为80 m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42 m，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗.设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：m2). 例 3 (1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式 (不要求写x的取值范围)； 解：∵2x＋y＝80，∴y＝－2x＋80. ∴S＝xy＝x(－2x＋80)＝－2x2＋80x. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 (2)矩形实验田的面积S能达到750 m2吗?如果能，求出x的值；如果不能，请说明理由； 解：∵y≤42，∴－2x＋80≤42.解得x≥19. 又y＝－2x＋80＞0，∴x＜40.∴19≤x＜40. 当S＝750时，－2x2＋80x＝750. 解得x1＝25，x2＝15(舍去). ∴当x＝25时，矩形实验田的面积S能达到750 m2. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 (3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大?最大面积是多少? 解：∵S＝－2x2＋80x＝－2(x－20)2＋800， ∴当x＝20时，S最大，最大值为800 m2. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 ☞变式 如图，用一段长为26 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏(墙足够长)，平行于墙的一面开一扇宽度为2 m的门(用其他材料)，则这个 围栏的最大面积为_________m2.  98 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 课堂反馈·落实学业要求 考点综述 03 26 1.(2024·甘肃) 如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6的图象，点B(6，2.68)在图象上.若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车 截面看作长CD＝4 m，高DE＝1.8 m的矩形，则可判定货车_________完全停到车棚内(填“能”或“不能”).  能 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 2.(2024·自贡) 九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地上两段围墙AB⊥CD于点O(如图)，其中AB上的EO段围墙空缺.同学们测得AE＝6.6 m，OE＝1.4 m，OB＝6 m，OC＝5 m，OD＝3 m，班长买来可切断的围栏16 m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形 菜地，则该菜地最大面积是_________m2.  46.4 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 3.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，有下列结论： ①设每件涨价x元，则实际卖出(300－10x)件； ②在降价的情况下，降价5元，即定价55元时，利润最大，最大利润是6 250元； ③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知， 定价57.5元时利润最大. 其中正确结论的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 B 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 4.某学校为美化校园环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙(墙足够长)的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块(如图)，花园里种满牡丹和芍药.学校已定购篱笆120 m. (1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积； 解：设垂直于墙的边长为x m，围成的矩形面积为S m2，则平行于墙的边长为(120－3x)m.根据题意，得 S＝x(120－3x)＝－3(x－20)2＋1 200. ∵－3＜0，∴当x＝20时，S取最大值1 200. ∴120－3x＝120－3×20＝60. ∴垂直于墙的边长为20 m，平行于墙的边长为60 m，花园面积最大为1 200 m2. 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 (2)在花园面积最大的条件下，A，B两块地内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹. 解：设购买牡丹m株，则购买芍药1 200×2－m＝(2 400－m)株. ∵学校计划购买费用不超过5万元， ∴25m＋15(2 400－m)≤50 000. 解得m≤1 400. ∴最多可以购买1 400株牡丹. 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 5.(2024·烟台) 每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”.康宁公司新研发了一批便携式轮椅，计划在该月销售.根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元.设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元. (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大?最大利润为多少元? 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 解： y ＝(200－x) ＝－0.4x2＋20x＋12 000 ＝－0.4(x2－50x＋625)＋12 250 ＝－0.4(x－25)2＋12 250. ∵200－x≥180，∴x≤20. ∴当x＝20时，利润最大，最大利润为－0.4×(20－25)2＋12 250＝12 240(元) . ∴y与x的函数关系式为y＝－0.4x2＋20x＋12 000(0＜x≤20)；每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12 240元. 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12 160元，请问这天售出了多少辆轮椅? 解：12 160＝－0.4(x－25)2＋12 250. 解得x1＝40(不合题意，舍去)，x2＝10. ∴60＋4×＝64(辆). 答：这天售出了64辆轮椅. 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 6.一次足球训练中，小明从球门正前方8 m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6 m时，球达到最高点，此时球离地面3 m.已知球门高OB为2.44 m，现以O为原点建立如图所示平面直角坐标系. (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素)； 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 解：∵8－6＝2，∴抛物线的顶点坐标为(2，3). 设抛物线为y＝a(x－2)2＋3， 把点A(8，0)代入，得36a＋3＝0.解得a＝－. ∴抛物线的函数表达式为y＝－(x－2)2＋3. 当x＝0时，y＝－×4＋3＝＞2.44， ∴球不能射进球门. 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25 m处? 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 解：设小明带球向正后方移动t m，则移动后的抛物线为y＝－(x－2－t)2＋3， 把点(0，2.25)代入，得2.25＝－(0－2－t)2＋3. 解得t＝－5(舍去)或t＝1. ∴当时他应该带球向正后方移动1 m射门， 才能让足球经过点O正上方2.25 m处. 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 请完成《练测本》P28~29素养综合练测15 本讲内容结束 $$