第一编 第二单元 第9讲 方程(组)与不等式(组)的实际应用（PPT课件）-【中考导学案】2025年中考数学讲义（甘肃专用）

第9讲　方程(组)与不等式(组)的实际应用 第二单元 方程(组)与不等式(组) 2025中考 甘肃 数学  2 3 2 3 2 1 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 目 录 2 依标扣本·掌握必备知识 考点综述 01 3 能针对具体问题列出方程;能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性 课标要求 1 一次方程(组)的实际应用 步骤：(1)审题；(2)设未知数(直接设，间接设)；(3)找等量关系(一般几个未知数就有几个等量关系)；(4)列方程(组)；(5)解方程(组)；(6)检验；(7)答 类型 利润问题：利润＝售价－进价＝进价×利润率，售价＝标价×折扣 利息问题：利息＝本金×利率×期数 工程问题：工作量＝工作效率×① __________ 工作时间 行程 问题 相遇：甲路程②________乙路程＝总路程  追及：快车路程③________慢车路程＝两地间距离  ＋ － 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 4 【温馨提示】列一元二次方程解应用题时，一般会产生两个解，必须检验，把不合题意的解舍去. 一元二次方程的实际应用 步骤 常见类型 变化率问题 传播问题 面积问题 利润问题(“每每型”) 握手(单循环赛)与送礼物问题 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 5 步骤： 实际 问题 列一元二 次方程 解一元二 次方程 一元二次 方程的根 实际问 题的解 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 6 设原来的量为a，变化后的量为b.　 当连续两次增长，平均每次增长率为x时，则有a(1＋x)2＝b； 当连续两次下降，平均每次下降率为x时，则有a(1－x)2＝b 易错 一月份产量为a件，平均每月增长率为x，第一季度产量为b件，则有a＋a(1＋x)＋a(1＋x)2＝b. 变化率问题 在求解时一般使用直接开平方法 传播问题：与变化率问题类似，若开始数量为a，每轮感染的数量为x，经2轮传染后的数量为b，则有a＋ax＋(a＋ax)x＝b，即a(1＋x)2＝b 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 (1)平移问题 ①如图1，设空白部分的宽均为x，则S阴影＝④ ______________ 面积问题 (a－2x)(b－2x) 图1 图2 ②如图2，设空白部分的宽均为x，则S阴影＝⑤_________________ (a－x)(b－x)  (2)围栏靠墙问题： 这里注意：BC≤a(或AD≤a) 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 8 (1)常用公式：利润＝售价－成本，总利润＝每件利润×销售量 (2)“每每型”问题中，如单价每涨a元，少卖b件.若单 价涨价y元，则少卖的数量为⑥___________件  利润问题 (“每每型”) ×b 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 9 (1)若x人中每两人之间握手一次(x队每两队之间比赛一场)，握手总次数为m(总比赛场数为m)，则⑦______ ＝ m  (2)若全班有x人，每人向其他人送一份礼物，共送m份礼物，则x(x－1)＝m 握手(单循环赛)与送礼物问题 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 10 一般步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)找等量关系；(4)列方程； (5)解方程；(6)检验；(7)答 分式方程的实际应用 常见类型 易错 求出方程的根后忘记检验. 【提分点拨】检验：如果列出分式方程，则需要检验是否是分式方程的解.所有方程(组)或不等式的解需要检验是否符合实际意义，如人数是自然数，边长不能为负，增长率不能为负，下降率不能超过1，等等. [双检验：(1)检验是否是分式方程的解；(2)检验是否符合题意] 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 11 工程问题：总工作量为1，工作效率＝ 行程问题：时间＝＝速度 销售(盈利)问题：＝数量，＝单价，折扣＝，标价＝ 常见类型 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 12 能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题 课标要求 2 一元一次不等式(组) 的实际应用 一般步骤：审题→设一个未知数→找出题中的数量关系，列出不等式→解不等式→检验不等式的解集是否合理，是否符合实际情况. 常见关键词 大于，多于，超过，高于 小于，少于，不足，低于 至少，不低于，不小于，不少于 至多，不高于，不大于，不超过 符号 ＞ ＜ ⑧ ______ ⑨ ______ ≥ ≤ 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 13 聚焦中考·培育核心素养 考点综述 02 14 ▶类型一　销售问题 又是一年端阳至，绿杨带雨垂垂重，五色新丝缠角粽.今年端午节前，某校开展“学党史、感党恩、悟思想”活动，打算购买蛋黄、豆沙两种口味的粽子送给镇上养老院的老人品尝. (1)若一个蛋黄粽子比一个豆沙粽子贵4元，用36元购买蛋黄粽子的个数与用24元购买豆沙粽子的个数相同，求蛋黄、豆沙两种口味粽子的单价； 命题点 方程(组)与不等式(组)的实际应用(课标要求1，2) 例 1 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 解：设豆沙粽子的单价为x元，则蛋黄粽子的单价为(x＋4)元. 由题意，得.解得x＝8. 经检验，x＝8是原分式方程的解，且符合题意.∴8＋4＝12(元) . 答：蛋黄、豆沙粽子的单价分别是12元、8元. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 (2)若购买20个蛋黄粽子和10个豆沙粽子一共需要400元；购买30个蛋黄粽子和16个豆沙粽子一共需要610元.求蛋黄、豆沙两种口味粽子的单价； 解：设蛋黄、豆沙粽子的单价分别是m元、n元. 由题意，得解得 答：蛋黄、豆沙粽子的单价分别是15元、10元. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 (3)在(1)的条件下，商场促销，所有粽子一律八折出售，若打算购买蛋黄、豆沙两种粽子共50个，经预算，购买资金不超过400元，请问最多购买蛋黄粽子多少个? 解：设购买蛋黄粽子y个，则购买豆沙粽子(50－y)个.　 由题意，得0.8[12y＋8(50－y)]≤400. 解得y≤25.　 答：最多购买蛋黄粽子25个. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 ☞变式 (2024·重庆A)为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代. (1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策.根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴.这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴.该企业甲、乙两类生产线各有多少条? 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 解：设该企业甲、乙两类生产线分别有x条、y条. 根据题意，得 解得 答：该企业甲、乙两类生产线分别有10条、20条. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 (2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备? 解：设购买更新1条乙类生产线的设备需投入m万元，则购买更新1条甲类生产线的设备需投入(m＋5)万元.根据题意，得 .解得m＝45. 经检验，m＝45是所列方程的解，且符合题意. ∴10(m＋5)＋20m－70＝10×(45＋5)＋20×45－70＝1 330. 答：还需投入1 330万元资金更新生产线的设备. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 ▶类型二　行程问题 (2024·新疆)某校九年级学生去距学校20 km的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，5 min后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达.已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为x km/h，根 据题意可列方程(　　) A.＝5 B.＝5 C. D. 例 2 D 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 ☞变式 (2024·宜宾) 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之?”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马?则快马追上慢 马的天数是(　　) A.5天 B.10天 C.15天 D.20天 D 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 ▶类型三　工程问题 (2024·陕西) 星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4 h；若爸爸单独完成，需2 h.当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务.小峰和爸爸这次一共打扫了3 h，求这次小峰打扫了多长时间. 例 3 解：设这次小峰打扫了x h，则爸爸打扫了(3－x) h.根据题意，得 ＝1.解得x＝2. 答：这次小峰打扫了2 h. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 ☞变式 (2024·重庆B) 某工程队承接了老旧小区改造工程中1 000 m2的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用A，B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半.据测算需要A，B两种外墙漆各300 kg，购买外墙漆总费用为15 000元，已知A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格高2元. (1)A，B两种外墙漆每千克的价格各是多少元?　 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 解：设A种外墙漆每千克的价格是x元，B种外墙漆每千克的价格是y元.根据题意，得 解得 答：A种外墙漆每千克的价格是26元，B种外墙漆每千克的价格是24元. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 (2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5 h.问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米? 解：设甲每小时粉刷外墙的面积是m m2，则乙每小时粉刷外墙的面积是m m2.根据题意，得 ＝5.解得m＝25. 经检验，m＝25是所列方程的解，且符合题意. 答：甲每小时粉刷外墙的面积是25 m2. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 ▶类型四　图形问题 (2024·通辽) 如图，小程的爸爸用一段10 m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5 m)的矩形鸭舍，其面积为15 m2，在鸭舍侧面中间 位置留一个1 m宽的门(由其他材料制成)，则BC长为(　　) 例 4 A.5 m或6 m B.2.5 m或3 m C.5 m D.3 m C 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 ☞变式 如图，在长为50 m、宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪.要使草坪的面积为1 260 m2，道路的宽应为多少? 解：设道路的宽应为x m.根据题意，得 (50－2x)(38－2x)＝1 260. 解得x1＝4，x2＝40(不合题意，舍去). 答：道路的宽应为4 m. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 ▶类型五　利润问题 上党腊驴肉是山西长治的传统名吃，其肉质肥而不腻、瘦而不柴、香味四溢、回味无穷.某特产专卖店购进一批袋装上党腊驴肉，进价为40元/袋，经市场调查发现，当销售单价为60元时，每天可售出300袋；销售单价每降低1元，每天可多售出20袋.若销售单价降低x元，该 专卖店每天销售这种腊驴肉可获得利润5 000元，则可列方程为(　　) A.(60－40＋x)(300＋20x)＝5 000 B.(60－40＋x)(300－20x)＝5 000 C.(60－40－x)(300－20x)＝5 000 D.(60－40－x)(300＋20x)＝5 000 例 5 D 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 ☞变式 (湘教九上P53习题T2改编) 某店只销售某种进价为40元/kg的特产山药.已知该店按60元/kg出售时，平均每天可售出100 kg，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10 kg.若该店销售这种特产山药计划平均每天获利2 240元. (1)每千克该特产山药应降价多少元? 解：设每千克该特产山药应降价x元.根据题意，得(60－x－40)(100＋10x)＝2 240.　 解得x1＝4，x2＝6. 答：每千克该特产山药应降价4元或6元. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 (2)为尽可能让利于顾客，则该店应按原售价的几折出售? 解：由(1)知每千克山药可降价4元或6元. 因为要尽可能让利于顾客，所以每千克山药应降价6元，此时售价为60－6＝54(元) ， ＝0.9. 答：该店应按原售价的九折出售. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 课堂反馈·落实学业要求 考点综述 03 33 1.(2024·甘孜州) 我国古代数学名著《九章算术》记载了一道题，大意是：几个人合买一件物品，每人出8元，剩余3元；每人出7元，还差4 元.设有x人，该物品价值y元，根据题意，可列出的方程组是(　　) A. B. C. D. A 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 2.(2024·宜宾) 某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4 kg荔枝，每个小箱装3 kg荔枝.该果农现采摘有32 kg荔枝，根 据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为(　　) A.8箱 B.9箱 C.10箱 D.11箱 C 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 3.(2024·临夏州) 端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售.细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求每袋粽子的原价是多少元.设每袋粽子的原价是x元，所得 方程正确的是(　　) A.＝10 B.＝10 C.＝10 D.＝10 C 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 4.毕业前夕，班主任王老师让每位同学为班级的其他同学发送祝福短 信，全班一共发送870条，这个班级的学生总人数是(　　) A.40 B.30 C.29 D.39 B 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 5.(2024·盐城) 中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳 索、竿子各有多长?该问题中的竿子长为_________尺.  15 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 6.(2024·重庆B) 重庆在低空经济领域实现了新的突破.今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次.设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为 x，根据题意，可列方程为__________________.  200(1＋x)2＝401 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 7.(2024·湖南) 某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富.已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元. (1)求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价； 解：设脐橙树苗的单价为x元，黄金贡柚树苗的单价为y元. 由题意，得解得 答：脐橙树苗的单价为50元，黄金贡柚树苗的单价为30元. 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 (2)该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1 000棵，总费用不超过 38 000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵? 解：设可以购买脐橙树苗m棵，则购买黄金贡柚树苗(1 000－m)棵. 由题意，得50m＋30(1 000－m)≤38 000. 解得m≤400. 答：最多可以购买脐橙树苗400棵. 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 请完成《练测本》P16~17素养综合练测9 本讲内容结束 $$