第一编 第二单元 第6讲 一元二次方程及其解法（PPT课件）-【中考导学案】2025年中考数学讲义（甘肃专用）

第6讲　一元二次方程及其解法 第二单元 方程(组)与不等式(组) 2025中考 甘肃 数学  1 2 3 2 3 2 1 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 目 录 2 依标扣本·掌握必备知识 考点综述 01 3 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程 课标要求 1 一元二次方程及其解法 一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是①______的整式方程  一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 2 解法   适用情况 方程的根 直接开 平方法 x2＝m(m≥0) x1＝，x2＝－ (x＋n)2＝p(p≥0) x1＝－n， x2＝－－n 配方法 ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ≥0)→(x＋n)2＝p(p≥0) 公式法 ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0) x＝ 因式分解法 ax2＋bx＋c＝a(x－m)(x－n)＝0(a≠0) x1＝m，x2＝n 课标要求1 首页 目录 课标要求2 课标要求3 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 4 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等 课标要求 2 一元二次方程根的判别式 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 根的情况 Δ＞0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根 Δ＝0⇔一元二次方程有两个相等的实数根 Δ＜0⇔一元二次方程没有实数根 不能说只有一个根 易错 (1)ax2＋bx＋c＝0关于x的一元二次方程根的情况，注意a≠0； 　　 (2)ax2＋bx＋c＝0关于x的方程注意分类讨论，方程有实数根 ⇔ ①a＝0； ②a≠0，且Δ≥0. 如关于x的方程ax2＋5x－2＝0有实数根，则a②__________.  ≥－ 课标要求1 首页 目录 课标要求2 课标要求3 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 5 关系：x1，x2为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，则x1＋x2＝③_____， x1x2＝④______  课标要求 3 了解一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方 程的根与系 数的关系 运用 易错 [注意：Δ≥0是前提条件] － 课标要求1 首页 目录 课标要求2 课标要求3 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 6 平方型：＝(x1＋x2)2－2x1x2，(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2 括号型：(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1 分式型： 绝对值型：|x1－x2|＝ 因式分解型：x2＋x1＝x1x2(x1＋x2) 运用 课标要求1 首页 目录 课标要求2 课标要求3 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 题目中涉及根与系数的关系，一定要考虑Δ≥0，如ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中， 两根x1，x2同为正数，则Δ≥0，x1＋x2＞0，x1x2＞0； 两根x1，x2都大于1，则Δ≥0，(x1－1)＋(x2－1)＞0，(x1－1)(x2－1)＞0. 易错 课标要求1 首页 目录 课标要求2 课标要求3 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 8 聚焦中考·培育核心素养 考点综述 02 9 (2024·凉山州) 若关于x的一元二次方程(a＋2)x2＋x＋a2－4＝0 的一个根是x＝0，则a的值为(　　) A.2 B.－2 C.2或－2 D. ☞变式 (2024·南充)已知m是方程x2＋4x－1＝0的一个根，则(m＋5) (m－1)的值为_________.　  命题点 1 一元二次方程的有关概念(课标要求1) 例 1 A －4 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 已知方程的根，求与未知数有关的代数式的值： (1)已知一根，直接代入原方程，得到一个关于未知数(参数)的方程，解方程求出未知数的值. (2)已知两根，要么把两个根直接代入原方程，列出关于未知系数的方程组，解方程组求出未知系数，要么利用根与系数的关系求解.　 提 分 拨 点 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 11 用配方法解一元二次方程3x2＋6x－1＝0时，将它化为(x＋a)2 ＝b的形式，则a＋b的值为(　　) A. B. C.2 D. 例 2 命题点 2 一元二次方程的解法(课标要求1) B 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 ☞变式1 用公式法解一元二次方程，得x＝，则该一 元二次方程可以是__________________.  ☞变式2 (2024·赤峰) 等腰三角形的两边长分别是方程x2－10x＋21＝0 的两个根，则这个三角形的周长为(　　) A.17或13 B.13或21 C.17 D.13 5x2＋3x－2＝0 C 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 ☞变式3 关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝－3，x2＝2(a，m，b均 为常数，a≠0)，则关于x的方程a(x＋m＋2)2＋b＝0的解是(　　) A.x1＝－3，x2＝2 B.x1＝－5，x2＝0 C.x1＝－1，x2＝－4 D.无法求解 B 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 (2024·兰州) 关于x的一元二次方程9x2－6x ＋ c＝0有两个相等的实数根，则c ＝(　　) A. －9 B.4 C. －1 D.1 例 3 命题点 3 一元二次方程根的判别式(课标要求2) D 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 ☞变式 (2024·广安) 若关于x的一元二次方程(m＋1)x2－2x＋1＝0有两 个不相等的实数根，则m的取值范围是(　　) A.m＜0且m≠－1 B.m≥0 C.m≤0且m≠－1 D.m＜0 A 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 　　运用一元二次方程根的判别式时，一定要注意二次项系数a≠0. 提 分 拨 点 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 17 (2024·烟台) 若一元二次方程2x2－4x－1＝0的两根为m，n，则 3m2－4m＋n2的值为_________.  ☞变式 (2024·泸州) 已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－5＝0的两个实 数根，则(x1－x2)2＋3x1x2的值是___________.  例 4 命题点 4 一元二次方程的根与系数的关系(课标要求3) 6 14 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 新定义：关于x的一元二次方程a1(x－m)2＋k＝0与a2(x－m)2＋k＝0称为“同族二次方程”，如2 024(x－3)2＋4＝0与3(x－3)2＋4＝0是“同族二次方程”.现有关于x的一元二次方程2(x－1)2＋1＝0与(a＋2)x2＋(b－4)x＋8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax2＋bx＋2 025能取 的最小值是(　　) A.2 024 B.2 025 C.2 019 D.2 020 例 5 命题点 5 配方法的应用(课标要求1) D 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 ☞变式 阅读理解：我们已经学习了《乘法公式》和《二次根式》，可以发现：当a≥0，b≥0时，有()2＝a－2＋b≥0，得a＋ b≥2，当且仅当a＝b时等号成立，即a＋b有最小值是2.请利用 这个结论解答问题：当x＞0时，2x＋1＋的最小值为(　　) A. B.2 C.2 D.3 D 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 课堂反馈·落实学业要求 考点综述 03 21 1.(2024·泰安) 关于x的一元二次方程2x2－3x＋k＝0有实数根，则实数k 的取值范围是(　　) A.k＜ B.k≤ C.k≥ D.k＜－ B 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 2.若一元二次方程ax2－b＝0(ab＞0)的两个根分别是m＋1与2m－4，则 ＝_________.  4 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 3.已知m为方程x2＋3x－2 022＝0的根，那么m3＋2m2－2 025m＋2 022 的值为(　　) A.－2 022 B.0 C.2 022 D.4 044 B 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 4.一元二次方程x2－4x－7＝0，其中较大的一个根为x1，下列最接近x1 的范围是(　　) A.5＜x1＜6 B.5＜x1＜5.5 C.5.3＜x1＜5.4 D.5.7＜x1＜6 C 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 5.(2024·绥化) 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2和 －5.则原来的方程可以是(　　) A.x2＋6x＋5＝0 B.x2－7x＋10＝0 C.x2－5x＋2＝0 D.x2－6x－10＝0 B 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 6.已知方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝1，x2＝－3，则方程(2x＋3)2＋2(2x ＋3)－3＝0的解是(　　) A.－1或3 B.1或3 C.－1或－3 D.1或－3 C 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 7.(2024·青海) (1)解一元二次方程：x2－4x＋3＝0； (2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方程的根，求第三边的长. 解：(1)因式分解，得(x－1)(x－3)＝0. ∴x－1＝0或x－3＝0. 解得x1＝1，x2＝3. (2)当3是直角三角形的斜边长时，第三边长为＝2；当1和3是直角三角形的两直角边长时，第三边长为. ∴第三边的长为2或. 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 请完成《练测本》P11~12素养综合练测6 本讲内容结束 $$