精品解析：2025年广东省（大湾区联考）初中学业水平质量监测卷九年级（一）数学试卷

2025年广东省初中学业水平质量监测卷九年级（一） 数学 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、座位号和考号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考号填涂区”相应位置填涂自己的考号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列有理数中，比小的数是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数比较大小，熟练掌握有理数大小比较法则是解题的关键． 根据有理数大小比较法则：正数大于0，0大于负数，两全负数，绝对值大的反而小，求解即可． 【详解】解：∵， ∴比小的数是， 故选：D． 2. 下列图形是化学仪器的示意图，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据沿着某一条直线折叠，图形的两个部分能够完全重合的图形叫轴对称图形逐项判断即可． 【详解】解：A、不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故此选项符合题意；． C、不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》累计票房（含预售）超亿元，登顶全球动画电影票房榜．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. 0.12319×10³ D. 12.319×10 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：， 故选：A． 4. 将抛物线向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数的图象的平移法则：上加下减，即可得到答案，熟练掌握二次函数的图象的平移法则是解此题的关键． 【详解】解：将抛物线向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为， 故选：A． 5. 下列各式中，从左到右变形正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数，去括号，同类项的合并，积的乘方等知识点，解题的关键是熟练掌握各运算法则． 利用相反数，去括号，合并同类项，积的乘方法则逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ，该选项错误，故不符合题意； B. 不是同类项，无法相加，该选项错误，故不符合题意； C. 不是同类项，无法相减，该选项错误，故不符合题意； D. 为积的乘方运算，该选项正确，故符合题意； 故选：D． 6. 若一个角的余角是，则这个角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查余角，解题关键是熟练掌握互为余角的定义． 根据两个角的和是，那么这两个角是互为余角，列出算式进行计算即可． 【详解】解：∵一个角的余角度数是， ∴这个角的度数为：， 故选：B． 7. 在一个扇形统计图中，已知某部分所对的圆心角为，则该部分占总体的百分比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，直接用该扇形的圆心角度数除以360度再乘以百分之一百即可得到答案． 【详解】解：， ∴该部分占总体的百分比是， 故选：C． 8. 如图，将两张对边平行的纸片随意交叉叠放在一起，转动其中一张，使重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定方法和其性质是解答本题的关键．根据题意易证四边形是平行四边形，再逐项判断即可． 【详解】解：根据题意可知，， ∴四边形是平行四边形． ∴，， ∴A、B、D正确，不符合题意； ∴不一定等于，与两张纸片的宽度有关，故C符合题意； 故选：C． 9. 唐代李皋发明的“桨轮船”，靠人力踩动桨轮轴，使桨叶拨水推动船体前进，是近代明轮航行模式的先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，桨轮船的轮子半径为，则轮子的浸水深度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是掌握垂径定理的应用． 利用垂径定理，勾股定理求出即可由求解． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∴ ∴ 故选：A． 10. 一次函数的图象如图所示，则点在（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查一次函数图象与系数的关系，判定点所在的象限，弄清一次函数图象与系数的关系是解本题的关键． 根据一次函数图象的位置确定出k与b的正负，即可作出判断． 【详解】解：∵一次函数的图象经过二、三、四象限， ∴，， ∴， ∴点在第四象限内 故选：D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行化简． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据反比例函数的图象位于第一、三象限，得出，解出不等式，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限 ∴ ∴ 故答案为： 13. 如图，当随机闭合电路开关中的两个时，灯泡发光的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．根据随机闭合开关中的两个，有 3 种方法，其中有 2 种能够让灯泡发光，即可求解． 【详解】解：因为随机闭合开关中的两个，有3种方法，分别是，，， 其中有2种，和能够让灯泡发光， 所以（灯泡发光）． 故答案为：． 14. 现规定一种新运算：，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义的运算以及解一元一次方程，利用题中的新定义得到关于x的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴ 解得，， 故答案为：． 15. 如图，在中，，D是线段的中点，，，若分别以点A，B为圆心，1.5的长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查直角三角形性质，勾股定理，扇形面积．熟练掌握将不规则的图形面积转化成规则图形面积和差是解题的关键．先根据扇形面积公式求出，再根据直角三角形的性质求得，由勾股定理求得，即可求得，然后利用求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∵D是线段的中点， ， ∴， 由勾股定理，得， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，根据负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值，绝对值的意义等计算即可． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝ 17. 如图，在中，是钝角． （1）实践与操作：用尺规作图法，作的垂直平分线交于点D，作的垂直平分线交于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与计算：在（1）的条件下，连接，，若，求的大小． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查尺规基本作图-作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．熟练掌握尺规基本作图-作线段的垂直平分线和线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）分别以点A、C为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线交于D，同法作的垂直平分线交于点E即可； （2）垂直平分线的性质可得，，则，同理，再由三角形内角和定理求得，即可由求解． 【小问1详解】 解：如图1，垂直平分线及交点D，E即为所求． 【小问2详解】 解：由垂直平分线的性质可得，， ∴， 同理，， 在中，， ∴． 18. 【阅读理解】已知，若F的值和x的取值无关，则，．所以当时，和x的取值无关． 【知识应用】已知，． （1）用含m，n，x的式子表示； （2）若的值和x的取值无关，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）运用合并同类项法则进行计算即可； （2）判断，，求出的值，再代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵，且的值和的取值无关， ∴，． ∴，． ∴． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 神舟十九号航天员乘组于2024年12月17日完成首次出舱活动，用时，刷新了中国航天员单次出舱活动时长纪录．某中学开展“航空航天知识竞赛”活动，九年级有甲、乙两组各10名学生参加比赛（比赛成绩均为整数，满分为10分）．甲组学生的比赛成绩：3，6，6，6，6，6，6，9，9，10．乙组学生的比赛成绩条形统计图如图所示．甲、乙两组学生的比赛成绩统计表如表所示． 组别 平均数 众数 中位数 方差 甲 6 乙 －－ 7 （1）补全条形统计图，统计表中 ， ； （2）求乙组学生比赛成绩的平均数； （3）根据以上数据，你认为甲、乙两组学生在比赛活动中，哪组学生的比赛成绩更好？请说明理由． 【答案】（1）见详解，6，7 （2） （3）乙组学生的比赛成绩更好，理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图，平均数，众数，中位数，方差的概念等知识点，解题的关键是熟练掌握以上概念． （1）利用总数减去已知量求出所求量补全条形图即可，利用众数和中位数的概念求解即可； （2）利用算术平均数的公式或加权平均数的公式求解即可； （3）利用平均数和方差进行对比甲乙两组的成绩，然后描述即可． 【小问1详解】 解：7分的人数为：， 补全条形统计图如图2所示， 乙组学生的比赛成绩条形统计图 甲组数据中6出现的次数最多， ， 乙组数据排序后第5位和第6位数据分别为7、7， ∴乙组的中位数为：， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：； 所以，乙组学生比赛成绩的平均数为； 【小问3详解】 解：乙组学生的比赛成绩更好．理由如下： ∵，且甲组学生比赛成绩的方差为乙组学生比赛成绩的方差， ∴乙组学生的比赛成绩较为稳定， ∴乙组学生的比赛成绩更好． 20. 笔、墨、纸、砚是我国特有的书法绘画工具，其被称为“文房四宝”，这一名称起源于南北朝时期．某中学开设书法社团，为学生购买A，B两种型号的“文房四宝”若干套．已知A型号的单价比B型号的单价少20元，且用800元购进A型号的数量与用1000元购进B型号的数量相同． （1）求两种型号“文房四宝”的单价； （2）若该书法社团准备用不超过1200元的资金购买两种型号的“文房四宝”，其中购进A型号的数量比B型号的3倍少5套，则最多购买B型号“文房四宝”多少套？ 【答案】（1）B型号“文房四宝”的单价为100元，A型号“文房四宝”的单价为80元 （2）最多购买B型号“文房四宝”4套 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程及一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意； （1）设B型号“文房四宝”单价为元，则A型号“文房四宝”的单价为元，由题意可得，进而求解即可； （2）设购买B型号“文房四宝”套，则购买A型号“文房四宝”套，由题意可得，然后问题可求解 【小问1详解】 解：设B型号“文房四宝”的单价为元，则A型号“文房四宝”的单价为元． 依题意得， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ∴（元）． 答：B型号“文房四宝”的单价为100元，A型号“文房四宝”的单价为80元． 【小问2详解】 解：设购买B型号“文房四宝”套，则购买A型号“文房四宝”套．依题意得： ， 解得． ∵取正整数， ∴的最大值为4， 答：最多购买B型号“文房四宝”4套． 21. 【动手操作】在数学课上，老师让同学们开展“正方形的折叠”的相关研究．如图，四边形为正方形纸片，为上一动点，将该纸片沿所在的直线折叠，使点落在正方形内部的点处，将该纸片再沿着过点的直线折叠，使和刚好重合，折痕交于点． （1）【观察思考】在点移动的过程中，同学们发现，，三点共线且的大小不变．请证明，，三点共线，并求出的大小； （2）【拓展探究】如图，继续将该纸片沿过点的直线折叠，使点落在线段的点处，折痕交于点，求证：． 【答案】（1）见解析， （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，平行线分线段成比例定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由折叠可知，，则有，从而可得，，三点共线，再由角度和差即可求出的大小； （）由正方形性质得，又折叠可知，，，证明，则，然后代入求证即可． 【小问1详解】 解：由折叠可知，，， ∴， ∴，，三点共线， 由题意可知，，， ∵， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 证明：∵四边形为正方形， ∴， 由折叠可知，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图1，以的边为直径作交于点，连接，其中 （1）求证：与相切； （2）如图2，连接交于点，若求的长； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作于点，连接交于点，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，直径定理，解直角三角形，勾股定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并准确作出辅助线． （1）利用直径定理得出，利用给出三角函数比可得，进而可得相切； （2）根据三角函数比得出，假设半径为，表示出相关线段，根据求出的值即可得出答案； （3）过点作交于点，根据三角函数比得出，，根据平行的性质得出，，根据相似比得出，求得，进而可求的长度． 【小问1详解】 证明：为的直径， ， ， 在中，， ， ， ， 与相切； 【小问2详解】 解：在中，， ， ， ， ， ， 设， 在中，， ， ∴， ∴，， ∴在Rt△中，； 【小问3详解】 解： 如图3，过点作交于点． ∵， ∴为的中点， ∴， 在Rt△中，， ∴， 又∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 如图1，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中且 （1）求该抛物线的函数解析式； （2）P为直线上方抛物线上一点，连接交BC于点D，连接AC，PC，求的最大值； （3）如图2，直线EF为抛物线的对称轴，交直线于点E，交抛物线于点F，N为射线EF上一点，M为对称轴右侧抛物线上一点，是否存在与相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）先求出点B、C的坐标，再用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）过点P作交于点Q．证明，得出．设点C到直线的距离为h，则．再用待定系数法求得直线的解析式为．设，则．所以．然后求得，代入得出，最后利用二次函数的最值求解即可； （3）分三种情况：①当时，即；②当时，即；③当时，过点M作于，则分别 求解即可． 【小问1详解】 解：∵且， ∴． ∴，． 将，代入，得 ，解得． ∴该抛物线的函数解析式为． 【小问2详解】 解：如图4，过点P作交于点Q． ∵， ∴． ∴． 设点C到直线的距离为h， ∴． 设直线的解析式为， 将，代入，得 ，解得． ∴直线的解析式为． 设，则． ∴． 令，解得，． ∴． ∴， ∴． ∴当时，有最大值，最大值为． 【小问3详解】 解：∵抛物线的函数解析式为， ∴抛物线的对称轴为， 把代入，得， ∴． ∵与相似，为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形． 设， ①如图5，当时，， 令，解得，（舍去）． ∴； ②如图6，当时，， ∴，． ∴，解得（舍去），． ∴； ③如图7，当时，过点M作于， ∴， ∵为等腰直角三角形． ∴， 由②可得． 综上所述，或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象和性质，二次函数的最值，三角形相似的判定性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握构造二次函数求最值、三角形相似的判定性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年广东省初中学业水平质量监测卷九年级（一） 数学 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、座位号和考号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考号填涂区”相应位置填涂自己的考号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列有理数中，比小的数是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 2. 下列图形是化学仪器的示意图，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》累计票房（含预售）超亿元，登顶全球动画电影票房榜．数据用科学记数法表示为（ ） A B. C. 0.12319×10³ D. 12.319×10 4. 将抛物线向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 5. 下列各式中，从左到右变形正确的是（ ） A B. C. D. 6. 若一个角的余角是，则这个角的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 在一个扇形统计图中，已知某部分所对的圆心角为，则该部分占总体的百分比是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将两张对边平行的纸片随意交叉叠放在一起，转动其中一张，使重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 唐代李皋发明的“桨轮船”，靠人力踩动桨轮轴，使桨叶拨水推动船体前进，是近代明轮航行模式的先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，桨轮船的轮子半径为，则轮子的浸水深度为（ ） A. B. C. D. 10. 一次函数的图象如图所示，则点在（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：______． 12. 已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是__________． 13. 如图，当随机闭合电路开关中的两个时，灯泡发光的概率为_____． 14. 现规定一种新运算：，若，则_____． 15. 如图，在中，，D是线段的中点，，，若分别以点A，B为圆心，1.5的长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积为_____． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 如图，在中，是钝角． （1）实践与操作：用尺规作图法，作垂直平分线交于点D，作的垂直平分线交于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与计算：在（1）的条件下，连接，，若，求的大小． 18. 【阅读理解】已知，若F的值和x的取值无关，则，．所以当时，和x的取值无关． 【知识应用】已知，． （1）用含m，n，x的式子表示； （2）若的值和x的取值无关，求的值． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 神舟十九号航天员乘组于2024年12月17日完成首次出舱活动，用时，刷新了中国航天员单次出舱活动时长纪录．某中学开展“航空航天知识竞赛”活动，九年级有甲、乙两组各10名学生参加比赛（比赛成绩均为整数，满分为10分）．甲组学生比赛成绩：3，6，6，6，6，6，6，9，9，10．乙组学生的比赛成绩条形统计图如图所示．甲、乙两组学生的比赛成绩统计表如表所示． 组别 平均数 众数 中位数 方差 甲 6 乙 －－ 7 （1）补全条形统计图，统计表中 ， ； （2）求乙组学生比赛成绩的平均数； （3）根据以上数据，你认为甲、乙两组学生在比赛活动中，哪组学生的比赛成绩更好？请说明理由． 20. 笔、墨、纸、砚是我国特有的书法绘画工具，其被称为“文房四宝”，这一名称起源于南北朝时期．某中学开设书法社团，为学生购买A，B两种型号的“文房四宝”若干套．已知A型号的单价比B型号的单价少20元，且用800元购进A型号的数量与用1000元购进B型号的数量相同． （1）求两种型号“文房四宝”的单价； （2）若该书法社团准备用不超过1200元的资金购买两种型号的“文房四宝”，其中购进A型号的数量比B型号的3倍少5套，则最多购买B型号“文房四宝”多少套？ 21. 【动手操作】在数学课上，老师让同学们开展“正方形的折叠”的相关研究．如图，四边形为正方形纸片，为上一动点，将该纸片沿所在的直线折叠，使点落在正方形内部的点处，将该纸片再沿着过点的直线折叠，使和刚好重合，折痕交于点． （1）【观察思考】在点移动的过程中，同学们发现，，三点共线且的大小不变．请证明，，三点共线，并求出的大小； （2）【拓展探究】如图，继续将该纸片沿过点的直线折叠，使点落在线段的点处，折痕交于点，求证：． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图1，以的边为直径作交于点，连接，其中 （1）求证：与相切； （2）如图2，连接交于点，若求的长； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作于点，连接交于点，求的长． 23. 如图1，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中且 （1）求该抛物线的函数解析式； （2）P为直线上方抛物线上一点，连接交BC于点D，连接AC，PC，求的最大值； （3）如图2，直线EF为抛物线的对称轴，交直线于点E，交抛物线于点F，N为射线EF上一点，M为对称轴右侧抛物线上一点，是否存在与相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$