第一编 第一单元 第2讲 代数式、整式及因式分解（PPT课件）-【中考导学案】2025年中考数学讲义（甘肃专用）

第2讲 代数式、整式及因式分解 第一单元 数与式 2025中考 甘肃 数学  1 2 3 2 3 2 1 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 目 录 2 依标扣本·掌握必备知识 考点综述 01 3 能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；会把具体数代入代数式进行计算；理解整式的概念 课标要求 1 代数式及求值 代数式与整式 整式的相关概念 课标要求1 首页 目录 课标要求2 课标要求3 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 4 代数式：用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子 代数式及求值 代数式求值 (1)直接代入：把已知字母的值代入代数式，并计算求值 (2)整体代入(可消元降次)：当单个字母的值不能或不易求出时，可把已知条件作为一个整体，代入所求代数式中，用这种方法时要先对已知条件或所求代数式进行变形，如找倍数关系、因式分解、移项等 课标要求1 首页 目录 课标要求2 课标要求3 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 5 定义：数与①________的积叫单项式  注意 单独一个数或一个②______也是单项式，如－a，0都是单项式.  次数：单项式中所有字母的指数的和叫单项式的次数 整式的相关概念 单项式 字母 字母 定义：几个单项式的和叫多项式　 项：多项式中每个单项式叫多项式的项，不含字母的项叫常数项 次数：多项式中次数最高项的次数叫这个多项式的次数，如a＋ 2ab2＋ 25是③________次  多项式 对于单独的一个非零的数，规定它的次数为0. 3 整式：单项式和多项式统称为整式　 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项.几个常数项也是同类项 [“两个无关”：与系数无关，与字母的顺序无关] 课标要求1 首页 目录 课标要求2 课标要求3 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 6 掌握合并同类项和去括号的法则；能进行简单的整式加减运算，能进行简单的整式乘法运算；理解乘法公式，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理 课标要求 2 整式的运算 加减 幂的运算 乘法 除法 公式 课标要求1 首页 目录 课标要求2 课标要求3 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 加减：实质是合并同类项，即把同类项的系数相加减，所得结果为新的系数，字母和字母指数不变. 去(添)括号：a＋(b＋c)＝a＋b＋c，a－(b＋c)＝a－b－c　 [口诀：“－”都变，“＋”不变] 幂的运算 同底数幂的乘法：am·an＝④_______，底数不变，指数⑤_______ 同底数幂的除法：am÷an＝⑥________，底数不变，指数⑦_______ 幂的乘方：(am)n＝⑧________，底数不变，指数⑨_______ 积的乘方：(3ab)n＝⑩________，括号内每一个因式分别乘方，切记不要忘记给系数乘方  am＋n 相加 am－n 相减 amn 相乘 3nanbn 课标要求1 首页 目录 课标要求2 课标要求3 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 8 单×单：把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式的字母连同它的指数作为积的一个因式 单×多：等于单项式与多项式的每一项相乘，再把积相加 多×多：(a＋b)(m＋n)＝⑪_________________ 乘法 am＋an＋bm＋bn 单÷单：把系数与同底数幂分别相除作为商的因式；对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式 多÷单：(am＋bm)÷m＝⑫_______ 除法 a＋b 课标要求1 首页 目录 课标要求2 课标要求3 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 9 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝⑬________　  　　 　　　 (如图1) 完全平方公式：(a±b)2＝⑭_____________　  　　　 　　　 (如图2、图3) 图形表示： 公式 a2－b2 [口诀：两数和、两数差，同方异方来作差] a2±2ab＋b2 [口诀：首平方，尾平方，2倍乘积放中央，符号看前方，同号得正，异号得负] 课标要求1 首页 目录 课标要求2 课标要求3 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 10 能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解 课标要求 3 因式分解 方法 【易错提醒】 定义：把一个多项式化成几个⑮__________的形式，这种变形叫因式分解，与整式乘法互为逆运算  口诀：一提(公因式)，二数(数项数)，三用(用公式)，四分组 整式的积 课标要求1 首页 目录 课标要求2 课标要求3 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 11 方法 提公因式法 公因式 的确定 系数：取各项系数的最大公因数 字母：取各项相同字母的最低次幂 ma＋mb＋mc＝⑯___________ [注意：若多项式第一项的符号是“－”，则公因式的符号一般为负] 公式法 平方差公式：a2－b2＝⑰ ___________ 完全平方公式：a2±2ab＋b2＝⑱__________　　  可能含有多项式 十字相乘法：x2＋(a＋b)x＋ab＝⑲____________ (如图)  分组分解法：四项可以二、二分组，也可以三、一分组　 m(a＋b＋c) (a＋b)(a－b) (a±b)2 (x＋a)(x＋b) 课标要求1 首页 目录 课标要求2 课标要求3 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 12 【易错提醒】因式分解常见的错误： (1)分解不彻底，如分解因式x4－1＝(x2＋1)(x2－1)，其中⑳________还可以继续分解因式.  (2)结果为部分整式的积，如分解因式x2－2＝x2－1－1＝(x＋1)(x－1)－1. (3)结果不是整式的积，如分解因式x2－1＝x，其中x－是分式. (4)分解后漏掉±1的项，如分解因式xy－x2y＋y＝y(x－x2). x2－1 课标要求1 首页 目录 课标要求2 课标要求3 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 13 聚焦中考·培育核心素养 考点综述 02 14 (2024·广安) 下列对代数式－3x的意义表述正确的是(　　) A.－3与x的和 B.－3与x的差 C.－3与x的积 D.－3与x的商 ☞变式 某校计划给每个年级配发n套劳动工具，则3个年级共需配发 _________套劳动工具.  命题点 1 代数式(课标要求1) 例 1 C 3n 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 (2024·湖南) 下列计算正确的是(　　) A.3a2－2a2＝1 B.a3÷a2＝a(a≠0) C.a2·a3＝a6 D.(2a)3＝6a3 ☞变式 (2024·德阳) 若一个多项式加上y2＋3xy－4，结果是3xy＋2y2－ 5，则这个多项式为_________.  例 2 命题点 2 整式的运算(课标要求2) B y2－1 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 (2024·陕西) 先化简，再求值：(x＋y)2＋x(x－2y)，其中x＝1，y＝－2. 解：原式＝x2＋2xy＋y2＋x2－2xy ＝2x2＋y2. 当x＝1，y＝－2时， 原式＝2×12＋(－2)2＝6. 例 3 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 ☞变式 （2024•甘肃）先化简，再求值: [(2a＋b)2 －(2a＋b)(2a－b)]÷2b，其中a＝2，b＝－1． 解：原式＝[4a2＋4ab＋b2－(4a2－b2)]÷2b ＝（4a2＋4ab＋b2－4a2＋b2)÷2b ＝（4ab＋2b2)÷2b ＝2a＋b. 当a＝2，b＝－1时，原式＝2×2－1＝3． 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 　　进行整式的运算时，注意运算顺序与运算法则，并灵活运用乘法公式进行运算. 提 分 拨 点 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 19 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是(　　) A.(a＋3)2＝a2＋6a＋9 B.a2－4a＋4＝a(a－4)＋4 C.5ax2－5ay2＝5a(x＋y)(x－y) D.a2－2a－8＝(a－2)(a＋4) 例 4 命题点 3 因式分解及其应用(课标要求3) C 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 (2024·甘肃) 因式分解：2x2－8＝__________________.　  ☞变式1 (2024·威海) 因式分解：(x＋2)(x＋4)＋1＝_________.  ☞变式2 (2024·广西) 如果a＋b＝3，ab＝1，那么a3b＋2a2b2＋ab3的值 为(　　) A.0 B.1 C.4 D.9 例 5 2(x＋2)(x－2) (x＋3)2 D 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 　　利用因式分解法进行运算与化简时，先把要求的代数式进行因式分解，再根据已知条件运算与化简. 提 分 拨 点 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 22 课堂反馈·落实学业要求 考点综述 03 23 1. (2024·兰州)计算：2a(a－1)－2a2＝(　　) A.a B.－a C.2a D.－2a D 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 8 2.(2024·雅安) 下列运算正确的是(　　) A.a＋3b＝4ab B.(a2)3＝a5 C.a3·a2＝a6 D.a5÷a＝a4 D 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 8 3. (2024·临夏州)下列各式运算结果为a5的是(　　) A. a2＋a3 B. a2·a3 C. a10÷a2 D. (a2)3 B 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 8 4.若a2＋3a－4＝0，则2a2＋6a－3＝(　　) A.5 B.1 C.－1 D.0 A 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 8 5.若圆柱的底面半径和高均为a，则它的体积是_________.(用含a的代数式表示)  πa3 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 8 6.已知单项式2a4b－2m＋7与3a2mbn＋2是同类项，则m＋n＝_________.  3 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 8 7.(1)(2024·绥化) 分解因式：2mx2－8my2＝__________________.  (2)(2024·扬州) 分解因式：2x2－4x＋2＝_________.  2m(x＋2y)(x－2y) 2(x－1)2 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 8 8.(2024·济宁) 先化简，再求值：x(y－4x)＋(2x＋y)(2x－y)，其中x＝，y＝2. 解：原式＝xy－4x2＋4x2－y2 ＝xy－y2. 当x＝，y＝2时， 原式＝×2－22＝1－4＝－3. 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 8 请完成《练测本》P3~4素养综合练测2 本讲内容结束 $$