8.1～8.2 成对数据的统计相关性及一元线性回归方程模型（七个重难点突破）-2024-2025年高二下学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版）

8.1~8.2 成对数据的统计相关性及一元线性回归方程模型 一、相关关系的辨析及判断 五、线性回归分析 二、相关系数的理解及计算 六、非线性回归分析 三、样本中心点的应用 七、回归方程与概率的结合 四、残差分析与决定系数 知识点1相关关系 1.变量的相关关系 相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度 正相关与负相关 如果从整体上看， 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，则称这两个变量正相关； 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关 线性相关 如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关 非线性相关 如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关 2.样本相关系数 ①样本相关系数r的计算公式：. ②样本相关系数r的性质： 当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关 |r|越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；|r|越接近于0，表明两个变量的线性相关性越弱. 通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系 重难点一、相关关系的辨析及判断 【例1】下列说法中正确的是（    ） A．中的，是具有相关关系的两个变量 B．正四面体的体积与其棱长具有相关关系 C．电脑的销售量与电脑的价格之间是一种确定性的关系 D．某地区感染流感人数与外来流感患者人数是具有相关关系的两个变量 【答案】D 【详解】对于，，是函数关系，属于确定性关系，不是相关关系，故不正确； 对于，体积与棱长的关系是确定的，属于确定性关系，不是相关关系，故不正确； 对于，电脑的销售量除了受电脑价格的影响之外，还受电脑品牌，电脑性能，同行竞争等多种因素的影响，不是确定关系，故不正确； 对于，某地区感染流感人数与外来流感患者人数是具有相关关系的两个变量，故正确. 故选：. 【例2】对变量，有观测数据，得散点图；对变量，有观测数据，得散点图2．由这两个散点图可以判断（   ） A．变量与正相关，与正相关 B．变量与正相关，与负相关 C．变量与负相关，与正相关 D．变量与负相关，与负相关 【答案】B 【详解】由变量，的散点图，知随增大，也增大，变量与正相关， 由变量，的散点图，知随增大，减小，与负相关. 故选：B 【变式1-1】（多选）下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（　　） A．角度和它的余弦值 B．眼睛的近视程度与看手机的时间 C．正边形的边数和内角和的度数 D．人的年龄和身高 【答案】BD 【详解】对于A，角度和它的余弦值满足函数关系，A是函数关系； 对于B，眼睛的近视程度与看手机的事件是客观存在的相互依存的不确定性关系，B不是函数关系； 对于C，正边形的边数和内角和的度数满足函数关系，C是函数关系； 对于D，人的年龄和身高是客观存在的相互依存的不确定性关系，D不是函数关系. 故选：BD. 【变式1-2】根据如下两组数据，下列说法正确的是（    ） 5 6 7 8 9 10 Y 5 4.8 3.5 4 3 2 2 4 6 7 9 3 4 9 7 11 A．和呈正相关，和呈正相关 B．和呈负相关，和呈负相关 C．和呈正相关，和呈负相关 D．和呈负相关，和呈正相关 【答案】D 【详解】由所给数据可知，当增大时减小，和呈负相关；当增大时和增大，和呈正相关. 故选：D 【变式1-3】某校学生科研兴趣小组为了解1~12岁儿童的体质健康情况，随机调查了20名儿童的相关数据，分别制作了肺活量、视力、肢体柔韧度、BMI指数和身高之间的散点图，则与身高之间具有正相关关系的是（    ） A．肺活量 B．视力 C．肢体柔韧度 D．BMI指数 【答案】A 【详解】对于A，儿童的身高越高，其肺活量越大，肺活量与身高具有正相关关系，A正确； 对于B，儿童的视力随身高的增大先增大，后减小，视力与身高不具有正相关关系，B错误； 对于C，肢体柔韧度随身高增大而减小，肢体柔韧度与身高不具有正相关关系，C错误； 对于D，BMI指数与身高的相关性很弱，不具有正相关关系，D错误. 故选：A 重难点二、相关系数的理解及计算 【例3】对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图可知图（1）和图（3）是正相关，故相关系数为正，又因为图（1）的点较图（3）的点分布密集，故相关性图（1）更好，相关系数较大，即； 图（2）和图（4）是负相关，故相关系数为负，又因为图（2）的点较图（4）的点分布密集，故相关性图（2）更好，相关系数的绝对值较大，即，故； 综上可知：， 故选：A. 【例4】通过随机抽样，获得某种商品消费者年需求量与该商品每千克价格之间的一组数据调查，如下表所示: 价格（百元） 4 4 4.6 5 5.2 5.6 6 6.6 7 10 需求量（千克） 3.5 3 2.7 2.4 2.5 2 1.5 1.2 1.2 1 那么线性相关系数 ．（精确到）线性相关系数公式 【答案】 【详解】由题意可得， ， 所以 ， , 所以. 故答案为：. 【变式2-1】（多选）调研某工厂的生产投入（生产工时/天）对产量（件/天）和每件产品的平均能源消耗（千瓦时/件）的影响，得到如下数据： （生产工时/天） 10 20 30 40 50 60 （件/天） 50 101 149 202 248 301 （千瓦时/件） 19.8 19.1 15.2 14.5 13.0 9.2 现在对与，与分别进行相关性分析，得到相关系数分别为，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由表格数据可知增大也增大，即与呈正相关，所以，故A正确； 因为增大时反而越来越少，所以与呈负相关，所以，故B错误； 因为每增加，增加的量分别为，，，，，增加的量接近且偏差不大， 而每增加，减少的量分别为，，，，，偏差较大， 即与的相关性更强，所以，即，所以，故C正确，D错误. 故选：AC 【变式2-2】若已知是的4倍，是的1.5倍，则样本相关系数r的值为 . 【答案】/0.75 【详解】解：. 故答案为：. 【变式2-3】某企业不断扩大规模，提高经营收入．统计得到该企业2018-2022年产值（单位：亿元）与企业员工数（单位：千人）之间的数据如下： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 千人 1 2 3 4 5 亿元 5 8 10 24 28 从表中数据可知与呈线性相关，根据这5年的数据计算与的相关系数 （保留三位小数）． 附：． 【答案】 【详解】由表格中的数据，可得，， 则， ，， 故． 故答案为：. 知识点2回归模型 1.一元线性回归模型 ①最小二乘法：即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小． 若变量x与y具有线性相关关系，有n个样本数据，则回归方程中，. 其中，称为样本点的中心． ②线性回归模型，其中称为随机误差，自变量称为解释变量，因变量称为预报变量 2.判断回归模型的拟合效果 方法 决定系数法 残差图 残差平方和 公式 称为相应于点的残差， 刻画效果 越接近于1，表示回归的效果越好 残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精确度越高. 残差平方和越小，模型的拟合效果越好 重难点三、样本中心点的应用 【例5】已知变量x与y的5组观测值如下表： x 1 2 3 4 5 y 4 8 12 且y对x呈线性相关关系，则y关于x的回归直线必过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】回归直线必过点 因为，， 所以y关于x的回归直线必过点. 故选：B. 【例6】已知变量x，y具有线性相关关系，且回归直线方程为，若回归直线过点，则 . 【答案】 【详解】由回归直线过点，可得，解得. 故答案为：. 【变式3-1】稀土被誉为工业的维生素，具有无法取代的优异磁、光、电性能，对改善产品性能，增加产品品种，提高生产效率起到了巨大的作用.右表是2024年前5个月某国稀土出口均价（单位：万元吨）与月份的统计数据.若与的线性回归方程为，则的值为（ ） 1 2 3 4 5 1.7 2.4 2.0 1.6 A．1.4 B．1.5 C．1.6 D．1.7 【答案】B 【详解】由题意可知，， 因为线性回归方程为过样本中心点， 所以， 所以，解得. 故选： 【变式3-2】某书店为了分析书籍销量与宣传投入之间的关系，对宣传投入x（千元）和书籍销量y（百本）的情况进行了调研，并统计得到表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） x 3 4 5 6 y 5 6.2 7.4 m A．变量x、y之间呈正相关 B．预测当宣传投入2千元时，书籍销量约为400本 C． D．拟合误差 【答案】C 【详解】因为线性回归方程为，， 所以变量x、y之间呈正相关，故正确； 当时，（百本），所以书籍销量约为400本，故正确； 由表中数据可得，， 所以，解得，故错误； 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 所以，故正确. 故选：. 【变式3-3】已知变量和变量的一组成对样本数据，其经验回归方程为，若，，新样本数据得到的经验回归方程依然为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记，， 则，同理， 所以，点、都在直线上， 所以，，解得. 故选：C. 重难点四、残差分析与决定系数 【例7】某学校女高中生的体重y（kg）关于身高x（cm）的经验回归方程是，则此方程在样本点处的残差是 ． 【答案】 【详解】由题意得， 当时，， 此方程在样本点处的残差为． 故答案为： 【例8】（多选）对两组线性相关成对数据进行回归分析，得到不同的统计结果，第一组和第二组成对数据的样本相关系数，残差平方和，决定系数分别为和，则（    ） A．若，则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强 B．若，则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强 C．若，则第二组成对数据的经验回归模型拟合效果比第一组的好 D．若，则第二组成对数据的经验回归模型拟合效果比第一组的好 【答案】BD 【详解】解：由越趋近1，数据的线性相关关系越强知，A错误；B正确； 由残差平方和越小，则数据的经验回归模型拟合效果越好知，C错误； 由决定系数越大，则数据的经验回归模型拟合效果越好知，D正确， 故选：BD 【变式4-1】在政府发布的光伏发电补贴政策的引导下，西北某地光伏发电装机量急剧上升，现对2016年至2023年的新增光伏装机量进行调查，根据散点图选择了两个模型进行拟合，并得到相应的经验回归方程．为判断模型的拟合效果，甲、乙、丙三位同学进行了如下分析： （1）甲同学通过计算残差作出了两个模型的残差图，如图所示； （2）乙同学求出模型①的残差平方和为0.4175、模型②的残差平方和为1.5625； （3）丙同学分别求出模型①的决定系数、模型②的决定系数为； 经检验，模型①拟合效果最佳，则甲、乙、丙三位同学中，运算结果肯定出错的同学是 ．（填“甲”或“乙”或“丙”） 【答案】丙 【详解】甲的残差图中，模型①的残差点更均匀地分布在以横轴为对称轴的水平带状区域内，且水平带状区域更窄，说明模型①拟合效果更好； 残差平方和越大，即决定系数越小，说明数据点越离散， 所以乙的计算结果显示模型①的拟合效果更好，而丙的计算结果显示模型②的拟合效果更好． 故答案为：丙. 【变式4-2】假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下． x 15.0 25.8 30.0 36.6 44.4 y 39.4 42.9 42.9 43.1 49.2 若由最小二乘法计算得经验回归方程． (1)计算各组残差，并计算残差平方和； (2)求，并说明回归模型拟合效果的好坏．（参考数据：） 【答案】(1)答案见解析 (2)0.832，回归模型的拟合效果较好 【详解】（1）由， 可以算得分别为： ， ， ， ， 所以残差平方和为． （2）， 故． 所以回归模型的拟合效果较好． 【变式4-3】近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模稳定增长，有关部门整理了2017—2022年中国夜间经济的数据，把市场发展规模记为（单位：万亿元），并把2017—2022年对应的年份代码依次记为，经分析，判断可用函数模型拟合与的关系（为参数）．令，计算得，，由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为 ．为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数 ． （参考公式：决定系数，参考数据：）； 【答案】 【详解】由，将两边同时取对数可得， 令，由最小二乘法得经验回归方程为， 所以， 又 ， 所以． 故答案为：；． 重难点五、线性回归分析 【例9】已知变量x和y的统计数据如下表： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 若x和y线性相关，则y关于x的线性回归方程为（    ） （附：线性回归方程,中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得. ，， 所以， 故线性回归方程为. 故选：D 【例10】某健身俱乐部为了研究会员每周锻炼时间（单位：）与体重减少量（单位：）的关系，随机选取了5名会员进行跟踪调查，得到以下数据： (1)求每周锻炼时间与体重减少量的样本相关系数；（保留两位小数） (2)求体重减少量关于每周锻炼时间的线性回归方程，并估计当某会员每周锻炼时间为时的体重减少量. 参考公式：相关系数；在线性回归方程中，. 【答案】(1) (2)，. 【详解】（1）由题，，， ， ， ， 所以相关系数. （2）由（1），可得，， 所以体重减少量关于每周锻炼时间的线性回归方程为， 当时，. 估计当某会员每周锻炼时间为时的体重减少量为. 【变式5-1】植物社团的同学观察一株植物的生长情况，为了解植物高度（单位：厘米）与生长期（单位：天）之间的关系，随机统计了某4天的植物高度，并制作了如下对照表： 生长期 3 9 11 17 植物高度 2.4 3.4 3.8 5.2 由表中数据可得回归方程中，试预测生长期是30天时，植物高度约为 厘米. 【答案】 【详解】由题意可得，， 所以， 所以回归方程为， 所以预测生长期是30天时，植物高度约为厘米. 故答案为：. 【变式5-2】随着电商事业的快速发展，网络购物交易额也快速提升，某网上交易平台工作人员对2020年至2024年每年的交易额（取近似值）进行统计分析，结果如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 交易额（单位：百亿） 1.5 2 3.5 8 15 (1)据上表数据，计算与的相关系数（精确到0.01），并说明与的线性相关性的强弱；（若，则认为与线性相关性很强；若，则认为与线性相关性一般；若，则认为与线性相关性较弱．） (2)利用最小二乘法建立关于的线性回归方程，并预测2025年该平台的交易额． 参考数据：，， 参考公式：相关系数； 线性回归方程中，斜率和纵截距的最小二乘估计分别为，． 【答案】(1)0.92，线性相关性程度很强． (2)，15.9百亿． 【详解】（1）由已知得，， ，， ， 故， ，所以线性相关性程度很强； （2），， 则， 所以关于的线性回归方程为， 当时，， 所以预计2025年该平台的交易额为15.9百亿． 【变式5-3】国产动画电影《哪吒之魔童闹海》现已登顶全球动画电影票房榜榜首，并刷新多项世界票房纪录.下表截取了该电影上映后10日的单日累计票房： 日期 1月29日 1月30日 1月31日 2月1日 2月2日 2月3日 2月4日 日期代码 1 2 3 4 5 6 7 累计票房（亿元） 4.88 9.68 15.87 23.19 31.32 39.76 48.43 日期 2月5日 2月6日 2月7日 日期代码 8 9 10 累计票房（亿元） 54.92 60.78 66.20 (1)请根据这10日数据： （i）计算，的平均值，； （ii）求关于的经验回归方程； (2)用上面求出的经验回归方程预测该电影上映半年后的票房，得到的结果合理吗？为什么？ 附： 参考公式：经验回归方程斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，； 参考数据：，. 【答案】(1)（i），；（ii） (2)上映半年后的票房为亿元，预测结果不合理，理由见解析 【详解】（1）由题意，， ， ， 则， ， 所以关于的经验回归方程为. （2）由（1）知，， 当时，， 则预测该电影上映半年后的票房为亿元， 这样的预测结果显然不合理，电影的票房一般在刚上映的一段时间内增长较快， 随着时间的推移，增长速度会逐渐放缓， 而所求的经验回归方程是假设变量之间具有线性关系， 不能准确反映电影票房在较长时间内的变化趋势， 所以用这个方程预测半年后的票房是不合理的. 重难点六、非线性回归分析 【例11】某科技公司在人工智能领域逐年加大投入，根据近年来该公司对产品研发年投入额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计，得到散点图如图．用线性回归和指数型回归模型拟合y与x关系的决定系数分别为和，则根据参考数据，下列表达式中最适宜描述y与x之间关系的函数为（    ） 参考公式：用最小二乘法求经验回归直线方程的系数公式为． 参考数据：令 3 2.5 0.5 10 12 6 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由用线性回归和指数型回归模型拟合y与x关系的决定系数分别为和， 得，则指数型回归模型最适宜拟合y与x关系，排除AB； 设y与x之间关系的函数为，两边取对数得，设，则， 因此，， 即，，C错误，D正确. 故选：D 【例12】某人新房刚装修完，为了监测房屋内空气质量的情况，每天在固定的时间测一次甲醛浓度（单位：mg/m3），连续测量了10天，所得数据绘制成散点图如下：用表示第天测得的甲醛浓度，令，经计算得，，. (1)由散点图可知，与可用指数型回归模型进行拟合，请利用所给条件求出回归方程；（系数精确到0.01） (2)已知房屋内空气中的甲醛浓度的安全范围是低于0.08 mg/m3，则根据（1）中所得回归模型，该新房装修完第几天开始达到此标准？（参考数据：） 附：，. 【答案】(1)； (2)第35天. 【详解】（1）令，而，， 则，， 因此，即， 所以所求回归方程为. （2）由（1）知：，即，解得， 所以，即在新房装修完第35天开始达到此标准. 【变式6-1】红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①，，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到如下值： 24 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中，，，； （1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，模型 比较合适？ （2）根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程是 ．附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 【答案】 ① 【详解】（1）模型①更合适，理由如下：模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适； （2）令，则， 由所给的参考数据可得，， 所以， 所以关于的线性回归方程为，即， 所以产卵数关于温度的回归方程为， 故答案为：①；． 【变式6-2】某企业前8个月月底的盈利金额（万元）与月份之间的关系如下表所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 1.95 2.92 4.38 6.58 9.87 15.00 22.50 33.70 (1)用模拟与的关系，求出回归方程； (2)根据（1）的结果计算，在几月份的月底统计的盈利金额开始超过60万元？ 附：①； ②； ③回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式为：. 【答案】(1) (2)10月 【详解】（1）令，则， ， ， 故. （2）令， 故， 故10月开始超过. 【变式6-3】年初，哈尔滨利用冰雪资源成功吸引了大批游客前来旅游.年底，第二十六届哈尔滨冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，再次邀请广大游客共赴冰雪之约.统计年这年月份来哈尔滨的游客数量（单位：万），并绘制散点图，如图所示（年份代码对应）. (1)经计算得出下表中的数据，根据散点图，在模型①：与模型②：（均为常数）中，选择一个更适合作为每年月份来哈尔滨的游客数量关于年份代码的回归直线方程类型，并求出关于的回归直线方程. 其中，. 附：对于一组数据、、、，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.参考数据：. (2)根据所求的回归直线方程预测年月份来哈尔滨的游客数量. 【答案】(1)选择，回归方程为 (2)万 【详解】（1）由散点图可知，更适合作为每年月份来哈尔滨的游客数量关于年份代码的回归直线方程类型. 因为，所以. 因为，，，， 所以， 所以，所以回归方程为. 所以每年月份来哈尔滨的游客数量关于年份代码的回归直线方程为. （2）当时，， 所以预测年月份来哈尔滨的游客数量为万. 重难点七、回归方程与概率的结合 【例13】自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据： 产假安排（单位：周） 14 15 16 17 18 有生育意愿家庭数（单位：户） 4 8 16 20 26 (1)请用相关系数说明该组数据中变量与之间的关系可以用线性回归模型拟合，并求关于的线性回归方程； (2)用（1）中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于1时，称该对数据为一个“次数据”，现从这5个成对数据中任取3个做残差分析，求取到的数据中“次数据”个数的分布列和数学期望. 附：①样本相关系数，当时，相关性较强，当时，相关性一般； ②经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，； ③，，. 【答案】(1)答案见解析， (2)分布列见解析， 【详解】（1）由已知，， ， ， 则 ， 因为，说明相关性很强，因此变量与之间的关系可以用线性回归模型拟合. 因为， ， 所以关于的线性回归方程为. （2）由（1）回归方程为，样本数据的残差的绝对值大于1时，称该对数据为一个“次数据”， 则由题意，列出下表： 产假安排（单位：周） 14 15 16 17 18 有生育意愿家庭数（单位：户） 4 8 16 20 26 预测值 3.6 9.2 14.8 20.4 26 残差的绝对值 0.4 1.2 1.2 0.4 0 是否为“次数据” 否 是 是 否 否 则“次数据”共有2个，非“次数据”共有3个， 从这5个数据中任取3个，“次数据”个数为， 则，，， 分布列为： X 0 1 2 P 数学期望为. 【例14】某农业科学院果树研究所在培育新品种苹果树的研究中，选择6个果园试种新品种苹果树，得到样本数据如下表： 果园的面积（单位：亩） 1 2 3 4 5 6 产量（单位：吨） 2.6 6.3 9.3 11.2 16.5 18.3 (1)若果园的面积（单位：亩）与产量（单位：吨）满足线性回归关系，试求关于的线性回归方程； (2)果树研究所在某县大面积推广此品种苹果树，以这6个果园亩产量高于3吨/亩的频率为概率，从该县果园中随机抽取3个，其中亩产量高于3吨/亩的果园的个数记为，求的分布列和数学期望． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 参考数据：． 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为2 【详解】（1），， ， 所以， ， 所以； （2）由题意可知，6个果园亩产量高于3吨/亩的频率为， 则， ，， ，， 即 0 1 2 3 . 【变式7-1】某市2015~2023年全体居民人均可支配收入（单位：元）如表所示，将其绘制成散点图（如图），发现全体居民人均可支配收入与年份具有线性相关关系. 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 全体居民人均可支配收入（单位：元） 18352 20110 22034 24153 26386 28920 30824 33803 35666 (1)设年份编号为（2015年的编号为1，2016年的编号为2，依此类推），记全体居民人均可支配收大为（单位：万元），求经验回归方程（结果精确到0.01），并根据所求回归方程，预测2025年该市全体居民人均可支配收入； (2)为进一步对居民人均可支配收入的结构进行分析，某分析员从年中任取3年的数据进行分析，将选出的居民人均可支配收入超过3万的年数记为，求随机变量的分布列与数学期望. 参考数据：. 参考公式：对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 【答案】(1)，3.99万元. (2)分布列见解析，1 【详解】（1）由题意得， 故，， 故经验回归方程为， 又2025年的年份编号为11，将， 得，即预测2025年该市全体居民人均可支配收入为3.99万元. （2）由图表知，居民人均可支配收入超过3万的年份有3年， 故的可能取值为， 则， 故随机变量的分布列为： 0 1 2 3 故. 【变式7-2】某人工智能公司从2018至2024年的利润情况如下表所示： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 利润y（单位：亿元） 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)根据表中的数据，推断变量y与x之间是否线性相关．计算y与x之间的相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度； (2)求出y关于x的经验回归方程，并预测该人工智能公司2025年的利润； (3)把利润不超过4（亿元）的年份叫做“试销年”，从2018年到2024年这七年中任取2年，X表示取到“试销年”的个数，求X的分布列和数学期望． 参考数据：，，， 参考公式：对于一组数据， ①相关系数为：； ②经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别，． 【答案】(1)，可以推断变量y与x成正线性相关且相关程度很强； (2)，6.3亿元； (3)分布列见解析，期望为. 【详解】（1）由题设，易知y与x线性相关，且， ， 由于，可以推断变量y与x成正线性相关且相关程度很强． （2）由题设，，， 所以，因此关于x的回归方程为， 当时，，即预测该人工智能公司2025的利润为6.3亿元； （3）由题意，2018年到2024年这七年的“试销年”为三个， 因此从2018年到2024年这七年中任取2个，取到“试销年”的个数能取的值为， 则，，， 因此的分布列如下： 所以其数学期望为. 【变式7-3】注重劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，直接决定社会主义建设者和接班人的劳动精神面貌、劳动价值取向和劳动技能水平某市开辟特色劳动教育基地，指导学生种植豆角，某同学针对豆角亩产量的增加量（百千克）与某种液体肥料每亩使用量（千克），之间的关系”进行研究，得出了与具有线性相关关系的结论.现从劳动基地的豆角试验田中随机抽取5亩，其亩产增加量与该肥料每亩使用量关系如下表： 某种液体肥料每亩使用量（千克） 2 3 4 5 6 豆角亩产量的增加量（百千克） 4 5 5 7 9 (1)求豆角亩产量的增加量对该液体肥料每亩使用量的线性回归方程，预测该液体肥料每亩使用量为12千克时，豆角亩产量的增加量为多少百千克？ (2)若豆角亩产量的增加量不低于6百千克的试验田称为“优质试验田”，现从抽取的5亩试验田随机选出3亩，记其中优质试验田的数量为，求的分布列和数学期望. 参考公式：，. 【答案】(1)；（百千克）； (2)分布列见解析； 【详解】（1）由题可得. ， . 则，. 则回归方程为：. 当液体肥料每亩使用量为12千克时， 豆角亩产量的增加量为（百千克）； （2）由题可知“优质试验田”有两亩，则取值可能为0，1，2， 则，，. 据此可得分布列如下： 0 1 2 则期望为：. 一、单选题 1．观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是（   ）    A．a为正相关，b为负相关，c为不相关 B．a为负相关，b为不相关，c为正相关 C．a为负相关，b为正相关，c为不相关 D．a为正相关，b为不相关，c为负相关 【答案】D 【详解】根据散点图，由相关性可知：图a各点散布在从左下角到右上角的区域里，是正相关； 图b中各点分布不成带状，相关性不明确，所以不相关； 图c中各点分布在从左上方到右下方的区域里，是负相关． 故选：D 2．给出下列4个命题： ①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每5分钟从中抽取一件产品进行检验，这样的抽样为分层抽样； ②样本方差反映了样本数据与样本平均值的偏离程度； ③回归直线必过定点； ④回归直线中，每增加1个单位时，就增加2个单位． 其中正确命题的序号是（   ） A．②③④ B．①③④ C．②④ D．①②③④ 【答案】A 【详解】对于①：从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每5分钟从中抽取一件产品进行检验，这样的抽样为系统抽样，故①错误； 对于②：样本方差反映了样本数据与样本平均值的偏离程度，故②正确； 对于③：回归直线必过样本中心点，故③正确； 对于④：回归直线中，每增加1个单位时，就增加2个单位，故④正确； 故选：A. 3．一唱片公司欲知唱片费用x(十万元)与唱片销售量y(千张)之间的关系，从其所发行的唱片中随机抽选了10张，得如下的资料：，，，，，则y与x的相关系数r的绝对值为（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 【答案】D 【详解】因为，，所以， ， 故选：D. 4．已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，去除两个样本点和后，新得到的回归直线方程斜率为3，则样本的残差为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】将代入，， 去除两个样本点和后，所以，，， 故去除样本点和后的回归直线方程为． 当时，，则样本的残差为． 故选：B 5．已知变量与变量的关系可以用模型（，为常数）拟合，设，变换后得到一组数据如下： 2 3 4 5 6 1.02 1.20 1.42 1.62 1.84 由上表可得经验回归方程为，则（    ） A．0.206 B． C．0.596 D． 【答案】D 【详解】由表格中数据得， ， 代入方程得，，解得，因此. 由两边取对数，得. 又，所以，，即. 故选：D 6．研究变量，得到一组成对数据，先进行一次线性回归分析，接着增加一个数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．变量与变量的相关性变强 B．相关系数的绝对值变小 C．线性回归方程不变 D．拟合误差变大 【答案】C 【详解】设变量，的平均数分别为，， 则，，即，， 可知新数据的样本中心点不变，仍为， 对于AB：可得， 同理可得， 则相关系数， 可知相关系数的值不变，变量与变量的相关性不变，故AB错误； 对于C：因为，且线性回归方程过样本中心点， 即均不变，所以线性回归方程不变，故C正确； 因为即为样本中心点，即， 可知残差平方和不变， 所以拟合误差不变，故D错误； 故选：C. 二、多选题 7．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得经验回归方程，分别得到以下四个结论，其中一定错误的是（   ） A．y与x负相关且 B．y与x负相关且 C．y与x正相关且 D．y与x正相关且 【答案】AD 【详解】对于A：由可知y与x正相关，错误； 对于B：由可知y与x负相关，正确； 对于C：由可知y与x正相关，正确； 对于D：由可知y与x负相关，错误； 故选：AD 8．某直播带货公司统计了今年1月份至5月份的某种产品的月销量（单位：千件）如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 月销量 2.4 3.1 4 5 5.5 已知变量与之间具有线性相关关系，通过最小二乘法求得的经验回归直线方程为，则下列说法正确的是（   ） 参考公式：相关系数，决定系数． A． B． C．每增加1，一定增加0.81 D． 【答案】ABD 【详解】由题意及表得， 在中，， ， A项，∵， ∴，故A正确； B项， ，即，∴，故B正确； C项，经验回归直线方程为， 并不意味着每增加1，一定增加0.81，会有一定的浮动，故C错误； D项， ∴，∴，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 9．蚯蚓是一种生活在土壤中的古老生物，其粪便含有丰富的氮、磷、钾等无机盐，可以增加土壤有机质并改善土壤结构，还能中和酸性或碱性土壤，使土壤适于农作物的生长．《2023年中央一号文件》中关于“加强高标准农田建设”章节里重点提到严厉打击电捕蚯蚓等破坏土壤行为．某研究小组响应保护蚯蚓这一举措，研究了50%-70%湿度区间内，对不同湿度情况下投放10条蚯蚓产卵数的情况，得出以下数据： 湿度x/% 50 55 60 65 70 产卵总数y/个 2 4 6 9 18 根据表中数据，可以预测湿度为58%时10条蚯蚓的产卵总数，则此模型为 ，此表刻画了蚯蚓产卵总数与湿度之间的 关系． 【答案】 回归模型 线性相关 【详解】由数据作散点图如下： 在蚯蚓产卵模型中，蚯蚓产卵总数y与湿度x相关，变量y不完全由变量x决定，在观测数据中存在误差， 故此模型应为回归模型，刻画了蚯蚓产卵总数与湿度之间的线性相关关系． 故答案为：回归模型；线性相关. 10．由样本数据，求得回归直线方程为，且，若去除偏离点（4，10）后，得到新的回归直线方程为，则去除偏离点后，相应于样本点的残差值为 . 【答案】 【详解】由于回归直线过样本中心点，当时，， 去除偏离点后，剩余数据的中心点为， 则，， 将点的坐标代入回归直线方程，可得，解得，所以，新的回归直线方程为，当时，， 所以，去除偏离点后，相应于样本点的残差值为. 故答案为：. 11．在某文化节活动现场，为了解不同时段的入口游客人流量，从上午10点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量，之后每过一个小时反馈一次．指挥中心统计了前5次的数据，其中，2，3，4，5，；为第i次入口人流量数据（单位：百人），由此得到y关于i的回归方程．已知，根据回归方程（参考数据：），可预测下午4点时入口游客的人流量为 . 【答案】11 【详解】由题意得， 把代入，得，解得， 则，当时，． 故答案为：11 四、解答题 12．某高中数学兴趣小组，在学习了统计案例后，准备利用所学知识研究成年男性的臂长（cm）与身高（cm）之间的关系，为此他们随机统计了5名成年男性的身高与臂长，得到如下数据： 159 165 170 176 180 67 71 73 76 78 根据上表数据，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； 【答案】说明见解析 【详解】由表中的数据和附注中的参考数据得 ，，，， ， ，， ∴． 因为与的相关系数近似为0.997，说明与的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系． 13．氮氧化物是一种常见的大气污染物，下图为我国2015年至2023年氮氧化物排放量（单位：万吨）的折线图，其中年份代码1~9分别对应年份2015~2023． 已知，，，． (1)可否用线性回归模型拟合与的关系？请分别根据折线图和相关系数加以说明． (2)若根据所给数据建立回归模型，可否用此模型来预测2024年和2034年我国的氮氧化物排放量？请说明理由． 附：相关系数． 【答案】(1)可以用线性回归模型拟合与的关系，说明见解析 (2)可以预测2024年的氮氧化物排放量，但不可以预测2034年的氮氧化物排放量，理由见解析 【详解】（1）从折线图看，各点落在一条直线附近，因而可以用线性回归模型拟合与的关系， 由题意知， 相关系数． 故可以用线性回归模型拟合与的关系． （2）可以预测2024年的氮氧化物排放量，但不可以预测2034年的氮氧化物排放量． 理由如下： ①2024年与所给数据的年份较接近，因而可以认为短期内氮氧化物排放量将延续该趋势，故可以用此模型进行预测； ②2034年与所给数据的年份相距过远，而影响氮氧化物排放量的因素有很多，这些因素在短期内可能保持不变，但从长期看很有可能会变化，因而用此模型预测可能是不准确的． 14．某景区经过提质改造后统计连续5天进入该景区参观的人数（单位：千人）如下： 日期 3月5日 3月6日 3月7日 3月8日 3月9日 第x天 1 2 3 4 5 参观人数y 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9 (1)建立关于的回归直线方程，预测第10天进入该景区参观的人数； (2)该景区只开放东门，西门供游客出入，游客从东门，西门进入该景区的概率分别为、，且出景区与进入景区选择相同的门的概率为，出景区与进入景区选择不同的门的概率为.假设游客从东门，西门出入景区互不影响，求甲，乙两名游客都从西门出景区的概率. 附：参考数据：. 参考公式：回归直线方程，其中，. 【答案】(1)，约为千人； (2). 【详解】（1）依题意，，而， 则，， 因此，当时，， 所以关于的回归直线方程为，第10天进入该景区参观的人数约为千人. （2）记“甲从西门进入景区”为事件，“甲从西门出景区”为事件，“乙从西门出景区”为事件， ，， 由全概率公式得，同理， 所以甲，乙两名游客都从西门出景区的概率. 15．每年3月20日是国际幸福日，节日的意义在于追求幸福，建设未来．某中学为纪念国际幸福日举办了幸福种植计划，一名同学记录了种子的发芽情况， 天数 1 2 3 4 5 胚芽长度（厘米） 0.8 1.1 1.5 2.4 4.2 通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①；②， (1)根据以上数据，计算模型①中的关于的相关系数（结果精确到0.01），若，则选择模型①，否则选择模型②，试问应该选择哪个模型？ (2)根据（1）的结果，试建立关于的回归方程，并预测第6天种子的胚芽长度（结果精确到0.01）． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 样本相关系数为． 参考数据：． 令． 【答案】(1)应选模型②； (2)，预测第6天种子的胚芽长度为5.51厘米. 【详解】（1）由题设，，所以， 所以，故应选模型②； （2）令，则求出线性回归方程， 所以，， 所以， 所以， 又，则，故， 所以回归方程为，故，有厘米， 所以，预测第6天种子的胚芽长度为5.51厘米. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.1~8.2 成对数据的统计相关性及一元线性回归方程模型 一、相关关系的辨析及判断 五、线性回归分析 二、相关系数的理解及计算 六、非线性回归分析 三、样本中心点的应用 七、回归方程与概率的结合 四、残差分析与决定系数 知识点1相关关系 1.变量的相关关系 相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度 正相关与负相关 如果从整体上看， 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，则称这两个变量正相关； 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关 线性相关 如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关 非线性相关 如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关 2.样本相关系数 ①样本相关系数r的计算公式：. ②样本相关系数r的性质： 当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关 |r|越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；|r|越接近于0，表明两个变量的线性相关性越弱. 通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系 重难点一、相关关系的辨析及判断 【例1】下列说法中正确的是（    ） A．中的，是具有相关关系的两个变量 B．正四面体的体积与其棱长具有相关关系 C．电脑的销售量与电脑的价格之间是一种确定性的关系 D．某地区感染流感人数与外来流感患者人数是具有相关关系的两个变量 【例2】对变量，有观测数据，得散点图；对变量，有观测数据，得散点图2．由这两个散点图可以判断（   ） A．变量与正相关，与正相关 B．变量与正相关，与负相关 C．变量与负相关，与正相关 D．变量与负相关，与负相关 【变式1-1】（多选）下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（　　） A．角度和它的余弦值 B．眼睛的近视程度与看手机的时间 C．正边形的边数和内角和的度数 D．人的年龄和身高 【变式1-2】根据如下两组数据，下列说法正确的是（    ） 5 6 7 8 9 10 Y 5 4.8 3.5 4 3 2 2 4 6 7 9 3 4 9 7 11 A．和呈正相关，和呈正相关 B．和呈负相关，和呈负相关 C．和呈正相关，和呈负相关 D．和呈负相关，和呈正相关 【变式1-3】某校学生科研兴趣小组为了解1~12岁儿童的体质健康情况，随机调查了20名儿童的相关数据，分别制作了肺活量、视力、肢体柔韧度、BMI指数和身高之间的散点图，则与身高之间具有正相关关系的是（    ） A．肺活量 B．视力 C．肢体柔韧度 D．BMI指数 重难点二、相关系数的理解及计算 【例3】对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 【例4】通过随机抽样，获得某种商品消费者年需求量与该商品每千克价格之间的一组数据调查，如下表所示: 价格（百元） 4 4 4.6 5 5.2 5.6 6 6.6 7 10 需求量（千克） 3.5 3 2.7 2.4 2.5 2 1.5 1.2 1.2 1 那么线性相关系数 ．（精确到）线性相关系数公式 【变式2-1】（多选）调研某工厂的生产投入（生产工时/天）对产量（件/天）和每件产品的平均能源消耗（千瓦时/件）的影响，得到如下数据： （生产工时/天） 10 20 30 40 50 60 （件/天） 50 101 149 202 248 301 （千瓦时/件） 19.8 19.1 15.2 14.5 13.0 9.2 现在对与，与分别进行相关性分析，得到相关系数分别为，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】若已知是的4倍，是的1.5倍，则样本相关系数r的值为 . 【变式2-3】某企业不断扩大规模，提高经营收入．统计得到该企业2018-2022年产值（单位：亿元）与企业员工数（单位：千人）之间的数据如下： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 千人 1 2 3 4 5 亿元 5 8 10 24 28 从表中数据可知与呈线性相关，根据这5年的数据计算与的相关系数 （保留三位小数）． 附：． 知识点2回归模型 1.一元线性回归模型 ①最小二乘法：即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小． 若变量x与y具有线性相关关系，有n个样本数据，则回归方程中，. 其中，称为样本点的中心． ②线性回归模型，其中称为随机误差，自变量称为解释变量，因变量称为预报变量 2.判断回归模型的拟合效果 方法 决定系数法 残差图 残差平方和 公式 称为相应于点的残差， 刻画效果 越接近于1，表示回归的效果越好 残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精确度越高. 残差平方和越小，模型的拟合效果越好 重难点三、样本中心点的应用 【例5】已知变量x与y的5组观测值如下表： x 1 2 3 4 5 y 4 8 12 且y对x呈线性相关关系，则y关于x的回归直线必过的定点为（    ） A． B． C． D． 【例6】已知变量x，y具有线性相关关系，且回归直线方程为，若回归直线过点，则 . 【变式3-1】稀土被誉为工业的维生素，具有无法取代的优异磁、光、电性能，对改善产品性能，增加产品品种，提高生产效率起到了巨大的作用.右表是2024年前5个月某国稀土出口均价（单位：万元吨）与月份的统计数据.若与的线性回归方程为，则的值为（ ） 1 2 3 4 5 1.7 2.4 2.0 1.6 A．1.4 B．1.5 C．1.6 D．1.7 【变式3-2】某书店为了分析书籍销量与宣传投入之间的关系，对宣传投入x（千元）和书籍销量y（百本）的情况进行了调研，并统计得到表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） x 3 4 5 6 y 5 6.2 7.4 m A．变量x、y之间呈正相关 B．预测当宣传投入2千元时，书籍销量约为400本 C． D．拟合误差 【变式3-3】已知变量和变量的一组成对样本数据，其经验回归方程为，若，，新样本数据得到的经验回归方程依然为，则（   ） A． B． C． D． 重难点四、残差分析与决定系数 【例7】某学校女高中生的体重y（kg）关于身高x（cm）的经验回归方程是，则此方程在样本点处的残差是 ． 【例8】（多选）对两组线性相关成对数据进行回归分析，得到不同的统计结果，第一组和第二组成对数据的样本相关系数，残差平方和，决定系数分别为和，则（    ） A．若，则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强 B．若，则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强 C．若，则第二组成对数据的经验回归模型拟合效果比第一组的好 D．若，则第二组成对数据的经验回归模型拟合效果比第一组的好 【变式4-1】在政府发布的光伏发电补贴政策的引导下，西北某地光伏发电装机量急剧上升，现对2016年至2023年的新增光伏装机量进行调查，根据散点图选择了两个模型进行拟合，并得到相应的经验回归方程．为判断模型的拟合效果，甲、乙、丙三位同学进行了如下分析： （1）甲同学通过计算残差作出了两个模型的残差图，如图所示； （2）乙同学求出模型①的残差平方和为0.4175、模型②的残差平方和为1.5625； （3）丙同学分别求出模型①的决定系数、模型②的决定系数为； 经检验，模型①拟合效果最佳，则甲、乙、丙三位同学中，运算结果肯定出错的同学是 ．（填“甲”或“乙”或“丙”） 【变式4-2】假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下． x 15.0 25.8 30.0 36.6 44.4 y 39.4 42.9 42.9 43.1 49.2 若由最小二乘法计算得经验回归方程． (1)计算各组残差，并计算残差平方和； (2)求，并说明回归模型拟合效果的好坏．（参考数据：） 【变式4-3】近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模稳定增长，有关部门整理了2017—2022年中国夜间经济的数据，把市场发展规模记为（单位：万亿元），并把2017—2022年对应的年份代码依次记为，经分析，判断可用函数模型拟合与的关系（为参数）．令，计算得，，由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为 ．为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数 ． （参考公式：决定系数，参考数据：）； 重难点五、线性回归分析 【例9】已知变量x和y的统计数据如下表： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 若x和y线性相关，则y关于x的线性回归方程为（    ） （附：线性回归方程,中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 A． B． C． D． 【例10】某健身俱乐部为了研究会员每周锻炼时间（单位：）与体重减少量（单位：）的关系，随机选取了5名会员进行跟踪调查，得到以下数据： (1)求每周锻炼时间与体重减少量的样本相关系数；（保留两位小数） (2)求体重减少量关于每周锻炼时间的线性回归方程，并估计当某会员每周锻炼时间为时的体重减少量. 参考公式：相关系数；在线性回归方程中，. 【变式5-1】植物社团的同学观察一株植物的生长情况，为了解植物高度（单位：厘米）与生长期（单位：天）之间的关系，随机统计了某4天的植物高度，并制作了如下对照表： 生长期 3 9 11 17 植物高度 2.4 3.4 3.8 5.2 由表中数据可得回归方程中，试预测生长期是30天时，植物高度约为 厘米. 【变式5-2】随着电商事业的快速发展，网络购物交易额也快速提升，某网上交易平台工作人员对2020年至2024年每年的交易额（取近似值）进行统计分析，结果如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 交易额（单位：百亿） 1.5 2 3.5 8 15 (1)据上表数据，计算与的相关系数（精确到0.01），并说明与的线性相关性的强弱；（若，则认为与线性相关性很强；若，则认为与线性相关性一般；若，则认为与线性相关性较弱．） (2)利用最小二乘法建立关于的线性回归方程，并预测2025年该平台的交易额． 参考数据：，， 参考公式：相关系数； 线性回归方程中，斜率和纵截距的最小二乘估计分别为，． 【变式5-3】国产动画电影《哪吒之魔童闹海》现已登顶全球动画电影票房榜榜首，并刷新多项世界票房纪录.下表截取了该电影上映后10日的单日累计票房： 日期 1月29日 1月30日 1月31日 2月1日 2月2日 2月3日 2月4日 日期代码 1 2 3 4 5 6 7 累计票房（亿元） 4.88 9.68 15.87 23.19 31.32 39.76 48.43 日期 2月5日 2月6日 2月7日 日期代码 8 9 10 累计票房（亿元） 54.92 60.78 66.20 (1)请根据这10日数据： （i）计算，的平均值，； （ii）求关于的经验回归方程； (2)用上面求出的经验回归方程预测该电影上映半年后的票房，得到的结果合理吗？为什么？ 附： 参考公式：经验回归方程斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，； 参考数据：，. 重难点六、非线性回归分析 【例11】某科技公司在人工智能领域逐年加大投入，根据近年来该公司对产品研发年投入额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计，得到散点图如图．用线性回归和指数型回归模型拟合y与x关系的决定系数分别为和，则根据参考数据，下列表达式中最适宜描述y与x之间关系的函数为（    ） 参考公式：用最小二乘法求经验回归直线方程的系数公式为． 参考数据：令 3 2.5 0.5 10 12 6 A． B． C． D． 【例12】某人新房刚装修完，为了监测房屋内空气质量的情况，每天在固定的时间测一次甲醛浓度（单位：mg/m3），连续测量了10天，所得数据绘制成散点图如下：用表示第天测得的甲醛浓度，令，经计算得，，. (1)由散点图可知，与可用指数型回归模型进行拟合，请利用所给条件求出回归方程；（系数精确到0.01） (2)已知房屋内空气中的甲醛浓度的安全范围是低于0.08 mg/m3，则根据（1）中所得回归模型，该新房装修完第几天开始达到此标准？（参考数据：） 附：，. 【变式6-1】红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①，，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到如下值： 24 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中，，，； （1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，模型 比较合适？ （2）根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程是 ．附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 【变式6-2】某企业前8个月月底的盈利金额（万元）与月份之间的关系如下表所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 1.95 2.92 4.38 6.58 9.87 15.00 22.50 33.70 (1)用模拟与的关系，求出回归方程； (2)根据（1）的结果计算，在几月份的月底统计的盈利金额开始超过60万元？ 附：①； ②； ③回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式为：. 【变式6-3】年初，哈尔滨利用冰雪资源成功吸引了大批游客前来旅游.年底，第二十六届哈尔滨冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，再次邀请广大游客共赴冰雪之约.统计年这年月份来哈尔滨的游客数量（单位：万），并绘制散点图，如图所示（年份代码对应）. (1)经计算得出下表中的数据，根据散点图，在模型①：与模型②：（均为常数）中，选择一个更适合作为每年月份来哈尔滨的游客数量关于年份代码的回归直线方程类型，并求出关于的回归直线方程. 其中，. 附：对于一组数据、、、，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.参考数据：. (2)根据所求的回归直线方程预测年月份来哈尔滨的游客数量. 重难点七、回归方程与概率的结合 【例13】自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据： 产假安排（单位：周） 14 15 16 17 18 有生育意愿家庭数（单位：户） 4 8 16 20 26 (1)请用相关系数说明该组数据中变量与之间的关系可以用线性回归模型拟合，并求关于的线性回归方程； (2)用（1）中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于1时，称该对数据为一个“次数据”，现从这5个成对数据中任取3个做残差分析，求取到的数据中“次数据”个数的分布列和数学期望. 附：①样本相关系数，当时，相关性较强，当时，相关性一般； ②经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，； ③，，. 【例14】某农业科学院果树研究所在培育新品种苹果树的研究中，选择6个果园试种新品种苹果树，得到样本数据如下表： 果园的面积（单位：亩） 1 2 3 4 5 6 产量（单位：吨） 2.6 6.3 9.3 11.2 16.5 18.3 (1)若果园的面积（单位：亩）与产量（单位：吨）满足线性回归关系，试求关于的线性回归方程； (2)果树研究所在某县大面积推广此品种苹果树，以这6个果园亩产量高于3吨/亩的频率为概率，从该县果园中随机抽取3个，其中亩产量高于3吨/亩的果园的个数记为，求的分布列和数学期望． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 参考数据：． 【变式7-1】某市2015~2023年全体居民人均可支配收入（单位：元）如表所示，将其绘制成散点图（如图），发现全体居民人均可支配收入与年份具有线性相关关系. 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 全体居民人均可支配收入（单位：元） 18352 20110 22034 24153 26386 28920 30824 33803 35666 (1)设年份编号为（2015年的编号为1，2016年的编号为2，依此类推），记全体居民人均可支配收大为（单位：万元），求经验回归方程（结果精确到0.01），并根据所求回归方程，预测2025年该市全体居民人均可支配收入； (2)为进一步对居民人均可支配收入的结构进行分析，某分析员从年中任取3年的数据进行分析，将选出的居民人均可支配收入超过3万的年数记为，求随机变量的分布列与数学期望. 参考数据：. 参考公式：对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 【变式7-2】某人工智能公司从2018至2024年的利润情况如下表所示： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 利润y（单位：亿元） 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)根据表中的数据，推断变量y与x之间是否线性相关．计算y与x之间的相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度； (2)求出y关于x的经验回归方程，并预测该人工智能公司2025年的利润； (3)把利润不超过4（亿元）的年份叫做“试销年”，从2018年到2024年这七年中任取2年，X表示取到“试销年”的个数，求X的分布列和数学期望． 参考数据：，，， 参考公式：对于一组数据， ①相关系数为：； ②经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别，． 【变式7-3】注重劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，直接决定社会主义建设者和接班人的劳动精神面貌、劳动价值取向和劳动技能水平某市开辟特色劳动教育基地，指导学生种植豆角，某同学针对豆角亩产量的增加量（百千克）与某种液体肥料每亩使用量（千克），之间的关系”进行研究，得出了与具有线性相关关系的结论.现从劳动基地的豆角试验田中随机抽取5亩，其亩产增加量与该肥料每亩使用量关系如下表： 某种液体肥料每亩使用量（千克） 2 3 4 5 6 豆角亩产量的增加量（百千克） 4 5 5 7 9 (1)求豆角亩产量的增加量对该液体肥料每亩使用量的线性回归方程，预测该液体肥料每亩使用量为12千克时，豆角亩产量的增加量为多少百千克？ (2)若豆角亩产量的增加量不低于6百千克的试验田称为“优质试验田”，现从抽取的5亩试验田随机选出3亩，记其中优质试验田的数量为，求的分布列和数学期望. 参考公式：，. 一、单选题 1．观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是（   ）    A．a为正相关，b为负相关，c为不相关 B．a为负相关，b为不相关，c为正相关 C．a为负相关，b为正相关，c为不相关 D．a为正相关，b为不相关，c为负相关 2．给出下列4个命题： ①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每5分钟从中抽取一件产品进行检验，这样的抽样为分层抽样； ②样本方差反映了样本数据与样本平均值的偏离程度； ③回归直线必过定点； ④回归直线中，每增加1个单位时，就增加2个单位． 其中正确命题的序号是（   ） A．②③④ B．①③④ C．②④ D．①②③④ 3．一唱片公司欲知唱片费用x(十万元)与唱片销售量y(千张)之间的关系，从其所发行的唱片中随机抽选了10张，得如下的资料：，，，，，则y与x的相关系数r的绝对值为（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 4．已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，去除两个样本点和后，新得到的回归直线方程斜率为3，则样本的残差为（    ） A．0 B． C．1 D．2 5．已知变量与变量的关系可以用模型（，为常数）拟合，设，变换后得到一组数据如下： 2 3 4 5 6 1.02 1.20 1.42 1.62 1.84 由上表可得经验回归方程为，则（    ） A．0.206 B． C．0.596 D． 6．研究变量，得到一组成对数据，先进行一次线性回归分析，接着增加一个数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．变量与变量的相关性变强 B．相关系数的绝对值变小 C．线性回归方程不变 D．拟合误差变大 二、多选题 7．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得经验回归方程，分别得到以下四个结论，其中一定错误的是（   ） A．y与x负相关且 B．y与x负相关且 C．y与x正相关且 D．y与x正相关且 8．某直播带货公司统计了今年1月份至5月份的某种产品的月销量（单位：千件）如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 月销量 2.4 3.1 4 5 5.5 已知变量与之间具有线性相关关系，通过最小二乘法求得的经验回归直线方程为，则下列说法正确的是（   ） 参考公式：相关系数，决定系数． A． B． C．每增加1，一定增加0.81 D． 三、填空题 9．蚯蚓是一种生活在土壤中的古老生物，其粪便含有丰富的氮、磷、钾等无机盐，可以增加土壤有机质并改善土壤结构，还能中和酸性或碱性土壤，使土壤适于农作物的生长．《2023年中央一号文件》中关于“加强高标准农田建设”章节里重点提到严厉打击电捕蚯蚓等破坏土壤行为．某研究小组响应保护蚯蚓这一举措，研究了50%-70%湿度区间内，对不同湿度情况下投放10条蚯蚓产卵数的情况，得出以下数据： 湿度x/% 50 55 60 65 70 产卵总数y/个 2 4 6 9 18 根据表中数据，可以预测湿度为58%时10条蚯蚓的产卵总数，则此模型为 ，此表刻画了蚯蚓产卵总数与湿度之间的 关系． 10．由样本数据，求得回归直线方程为，且，若去除偏离点（4，10）后，得到新的回归直线方程为，则去除偏离点后，相应于样本点的残差值为 . 11．在某文化节活动现场，为了解不同时段的入口游客人流量，从上午10点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量，之后每过一个小时反馈一次．指挥中心统计了前5次的数据，其中，2，3，4，5，；为第i次入口人流量数据（单位：百人），由此得到y关于i的回归方程．已知，根据回归方程（参考数据：），可预测下午4点时入口游客的人流量为 . 四、解答题 12．某高中数学兴趣小组，在学习了统计案例后，准备利用所学知识研究成年男性的臂长（cm）与身高（cm）之间的关系，为此他们随机统计了5名成年男性的身高与臂长，得到如下数据： 159 165 170 176 180 67 71 73 76 78 根据上表数据，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； 13．氮氧化物是一种常见的大气污染物，下图为我国2015年至2023年氮氧化物排放量（单位：万吨）的折线图，其中年份代码1~9分别对应年份2015~2023． 已知，，，． (1)可否用线性回归模型拟合与的关系？请分别根据折线图和相关系数加以说明． (2)若根据所给数据建立回归模型，可否用此模型来预测2024年和2034年我国的氮氧化物排放量？请说明理由． 附：相关系数． 14．某景区经过提质改造后统计连续5天进入该景区参观的人数（单位：千人）如下： 日期 3月5日 3月6日 3月7日 3月8日 3月9日 第x天 1 2 3 4 5 参观人数y 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9 (1)建立关于的回归直线方程，预测第10天进入该景区参观的人数； (2)该景区只开放东门，西门供游客出入，游客从东门，西门进入该景区的概率分别为、，且出景区与进入景区选择相同的门的概率为，出景区与进入景区选择不同的门的概率为.假设游客从东门，西门出入景区互不影响，求甲，乙两名游客都从西门出景区的概率. 附：参考数据：. 参考公式：回归直线方程，其中，. 15．每年3月20日是国际幸福日，节日的意义在于追求幸福，建设未来．某中学为纪念国际幸福日举办了幸福种植计划，一名同学记录了种子的发芽情况， 天数 1 2 3 4 5 胚芽长度（厘米） 0.8 1.1 1.5 2.4 4.2 通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①；②， (1)根据以上数据，计算模型①中的关于的相关系数（结果精确到0.01），若，则选择模型①，否则选择模型②，试问应该选择哪个模型？ (2)根据（1）的结果，试建立关于的回归方程，并预测第6天种子的胚芽长度（结果精确到0.01）． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 样本相关系数为． 参考数据：． 令． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$