用构造法求数列通项公式教学设计-2025届高三数学一轮复习

南昌市豫章中学“六个基于”教学设计案例 “用构造法求数列通项公式”教学设计 ◆“六个基于之一：基于素养的目标确定 一、内容和内容解析 （一）内容 内容本节课聚焦于用构造法求数列的通项公式，涵盖常见的数列类型，如一阶线性递推数列、二阶线性递推数列以及可通过变形转化为上述类型的数列。通过典型例题的分析与练习，使学生熟练掌握构造法的运用，准确求出数列的通项公式。 （二）内容解析 1.内容的本质：构造法求数列通项公式的本质是通过对给定数列递推关系的观察、分析和变形，构造出一个新的、我们熟悉的数列（如等差数列或等比数列），利用已知数列的通项公式求解方法，间接得出原数列的通项公式。这种方法体现了转化与化归的数学思想，将复杂的、未知的数列问题转化为简单的、已知的数列问题。 2.蕴含的数学思想与方法： （1）转化与化归思想：把非特殊数列转化为等差数列或等比数列，这是解决数列通项公式问题的核心思想。例如对于，通过设，构造出等比数列，从而将问题简化。 （2）类比思想：在面对不同类型的递推公式时，类比已有的成功构造经验。如对于二阶线性递推数列，类比一阶线性递推数列的构造思路，设，找到合适的和，构造出等比数列。 （3）在构造过程中，通过待定系数法确定所设式子中的系数，这涉及到方程的求解。 3.育人价值/数学核心素养/关键能力发展： （1）逻辑推理素养：学生在分析递推公式结构、尝试不同构造方法以及推导通项公式的过程中，需要进行严谨的逻辑思考和推理。通过不断尝试和验证，培养学生的逻辑推理能力，使其能够有条理地解决数学问题。 （2）数学运算素养：在运用构造法求解数列通项公式时，涉及到代数式的变形、方程的求解等运算。这有助于提高学生的运算能力，培养学生在复杂运算中保持细心和耐心，以及优化运算过程的能力。 （3）创新思维能力：面对不同形式的数列递推公式，学生需要创造性地思考如何进行构造。这种对不同情况的探索和创新，有助于培养学生的创新思维，提高学生解决新颖数学问题的能力。 （三）教学重点： 1.熟练掌握一阶线性递推数列和二阶线性递推数列的构造法求通项公式。 2.根据复杂数列递推公式的结构特点，准确选择合适的变形方法，将其转化为可构造的类型，并熟练运用构造法求出通项公式。 3.深刻理解构造法背后的转化与化归、类比、方程等数学思想，并能在解题过程中灵活运用。 二、目标和目标解析 （一）目标 1.通过回顾常见数列的递推公式类型，分析其结构特点，能准确识别可运用构造法求解通项公式的数列，掌握一阶线性递推数列的构造方法，体会转化与化归思想，提升逻辑推理素养。 2.经历对二阶线性递推数列构造法的探究过程，类比一阶线性递推数列的构造思路，会运用待定系数法确定构造形式，求解数列的通项公式，掌握类比思想和方程思想，增强数学运算素养。 3.在解决复杂数列递推公式（可转化为一阶或二阶线性递推数列）的通项公式问题时，通过对递推公式的变形与构造，能熟练运用构造法求出通项公式，并能总结归纳不同类型的构造规律，培养创新思维，提高综合运用知识解决问题的能力。 （二）目标解析 1.“通过回顾常见数列的递推公式类型，分析其结构特点，能准确识别可运用构造法求解通项公式的数列，掌握一阶线性递推数列的构造方法，体会转化与化归思想，提升逻辑推理素养”的解析： （1）“回顾与分析”：学生回忆在高中阶段学习过的各种数列递推公式，如（等差数列递推公式）、（等比数列递推公式）以及其他变形形式。仔细观察递推公式中项与项之间的关系、系数特点等结构特征，判断哪些数列可以通过构造法转化为等差数列或等比数列来求解通项公式。 （2）“准确识别与掌握构造方法”：学生能够敏锐地识别出形如的一阶线性递推数列，并熟练掌握通过设，展开后对比系数求出，从而构造出等比数列的方法。这要求学生理解构造的原理，不仅仅是记住步骤，更要明白为什么这样构造能将原数列转化为等比数列。 （3）“体会转化与化归思想”：学生在这个过程中，深刻体会到将不熟悉的一阶线性递推数列转化为熟悉的等比数列的过程，认识到转化与化归思想在解决数学问题中的重要性。明白通过这种思想，可以将复杂问题简单化，未知问题已知化。 （4）“提升逻辑推理素养”：从观察递推公式结构到确定构造方法，学生需要进行有条理的分析和推理。通过不断地思考和实践，学生的逻辑推理能力得到锻炼，能够更加严谨地思考问题，提高解决数列问题的逻辑性和准确性。 2.“经历对二阶线性递推数列构造法的探究过程，类比一阶线性递推数列的构造思路，会运用待定系数法确定构造形式，求解数列的通项公式，掌握类比思想和方程思想，增强数学运算素养”的解析： （1）“探究过程”：学生针对二阶线性递推数列，尝试寻找构造新数列的方法。从已掌握的一阶线性递推数列构造经验出发，思考如何对二阶递推公式进行变形。 （2）“类比与运用待定系数法”：类比一阶线性递推数列构造等比数列的思路，学生尝试设，展开得到，与原式对比系数，得到方程组，通过解方程组确定和的值，从而构造出等比数列。这一过程要求学生能够灵活运用类比思想，将已有的方法迁移到新的问题情境中，并熟练运用待定系数法和方程思想解决问题。 （3）“求解通项公式”：在确定构造形式后，学生根据构造出的等比数列，逐步推导出原数列的通项公式。这涉及到等比数列通项公式的运用、数列的递推关系以及代数式的化简等运算，需要学生具备较强的数学运算能力。 （4）“增强数学运算素养”：在整个探究和求解过程中，学生进行大量的代数式变形、方程求解以及数列运算。通过这些实践，学生不仅提高了运算的准确性和速度，还学会优化运算过程，培养严谨的运算习惯，从而增强数学运算素养。 3.“在解决复杂数列递推公式（可转化为一阶或二阶线性递推数列）的通项公式问题时，通过对递推公式的变形与构造，能熟练运用构造法求出通项公式，并能总结归纳不同类型的构造规律，培养创新思维，提高综合运用知识解决问题的能力”的解析： （1）“解决复杂问题”：学生面对一些形式更为复杂，但可通过变形转化为一阶或二阶线性递推数列的问题。例如，对于，通过取倒数变形为，转化为一阶线性递推数列（令）来求解。 （2）学生需要运用所学知识，对递推公式进行合理“熟练运用构造法与总结规律”：学生熟练运用构造法，根据变形后的递推公式特点，准确选择合适的构造方法求出通项公式。在解决多个不同类型的复杂问题后，学生能够总结归纳出不同形式递推公式的构造规律，如分式形式递推公式的常见变形方向、指数形式递推公式的处理方法等。 （3）“培养创新思维与提高综合能力”：在面对复杂且新颖的递推公式时，学生需要创造性地思考变形和构造方法，尝试不同的思路和技巧。这种对未知问题的探索过程培养了学生的创新思维。同时，通过综合运用数列、代数式变形、方程求解等多方面知识解决问题，学生的综合运用知识能力得到显著提高，能够更好地应对高考中综合性较强的数列题目。 ◆“六个基于”之二：基于情境的的学习需要 三、生活/学习情境 （一）学生可能存在的理解困难 1.构造法原理理解不深：学生可能只是机械地记住构造的步骤，而不理解为什么要这样构造。例如，对于一阶线性递推数列设，不清楚这样设的目的是为了构造等比数列，以及的确定依据。对于二阶线性递推数列的构造，理解上的困难可能更大，不明白类比一阶构造思路的原理以及解方程组确定系数的意义。 2.递推公式结构分析困难：复杂数列递推公式的结构多样，学生可能难以准确分析其特点，找到合适的变形和构造方向。比如，对于一些既含有分式又含有指数形式的递推公式，学生不知道从何处入手进行变形，无法判断应该转化为哪种熟悉的类型进行构造。 3.多种构造方法的选择与运用：随着数列类型的增多，学生可能在多种构造方法之间产生混淆，不知道在具体情况下该选择哪种方法。例如，在面对一个递推公式时，不确定是通过取倒数、同除某个式子还是其他方式进行构造，导致解题思路受阻。 （二）学生可能存在的理解困难 1.构造法原理理解不深：学生可能只是机械地记住构造的步骤，而不理解为什么要这样构造。例如，对于一阶线性递推数列设，不清楚这样设的目的是为了构造等比数列，以及的确定依据。对于二阶线性递推数列的构造，理解上的困难可能更大，不明白类比一阶构造思路的原理以及解方程组确定系数的意义。 2.递推公式结构分析困难：复杂数列递推公式的结构多样，学生可能难以准确分析其特点，找到合适的变形和构造方向。比如，对于一些既含有分式又含有指数形式的递推公式，学生不知道从何处入手进行变形，无法判断应该转化为哪种熟悉的类型进行构造。 3.多种构造方法的选择与运用：随着数列类型的增多，学生可能在多种构造方法之间产生混淆，不知道在具体情况下该选择哪种方法。例如，在面对一个递推公式时，不确定是通过取倒数、同除某个式子还是其他方式进行构造，导致解题思路受阻。 （三）教学难点 1.深入理解构造法的原理，尤其是二阶线性递推数列构造方法的原理，以及多种构造方法之间的内在联系。 2.面对复杂多样的数列递推公式，能够迅速准确地分析其结构特点，创造性地选择或组合构造方法，实现递推公式的有效转化和通项公式的求解。 3.在运用构造法求解通项公式过程中，保证运算的准确性，特别是在复杂代数式变形、方程求解和数列运算时，避免出现运算错误。 四、教学应对策略 （一）强化原理讲解与案例分析：在教学过程中，深入讲解构造法的原理，通过具体的例子展示构造前后数列性质的变化，让学生明白构造的目的和依据。对于一阶和二阶线性递推数列的构造，详细分析每一步的原理和作用，多举不同系数、不同形式的例子进行演示，帮助学生加深理解。 （二）加强结构分析训练：提供大量不同结构的数列递推公式，让学生进行分析练习，引导学生从递推公式的项数、系数、指数、分式等特征入手，判断可能的变形方向和构造类型。在练习过程中，逐步培养学生敏锐的观察力和分析能力，总结不同结构特点对应的构造方法。 （三）对比归纳与专项练习：对常见的构造方法进行对比归纳，明确每种方法的适用条件和特点。例如，通过列表对比取倒数、同除指数式、待定系数法构造等方法，让学生清晰区分。针对容易混淆的部分，设计专项练习题，让学生在练习中巩固对不同构造方法的理解和运用。 （四）注重运算规范与错误分析：在课堂教学中，注重代数式变形、方程求解和数列运算的规范演示，强调运算的步骤和易错点。在学生练习过程中，及时收集运算错误案例，进行集中分析讲解，让学生明白错误原因，避免再次犯错。同时，鼓励学生养成检查和反思运算过程的习惯，提高运算的准确性。 五、生活/学习情境导入及教学目标的阐述 以下试题在同学们在复习迎考时经常遇到的类型，它是数列学习与考查的重点，也是同学们考试时的难点。 【引例】（多选）已知数列的前项和为，且，，则下列结论正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则数列是等比数列 D. 若，则数列是等差数列 这个题的CD的正确性我们也可以验证性证明。 例如，则有，故选项C是正确的。 但是，一个让我好奇的事情是，这是给出了这些结论，我们可以验证？那么这些结论是如何被发现出来的呢？ 本节课就是要对这类问题做一个专题复习。 ◆“六个基于”之三：基于任务的课堂开展 ◆“六个基于”之四：基于评价的教师指导 ◆“六个基于”之五：基于结果的成长记录 六、“任务、评价、结果”三位一体的教学过程 缀玉联珠，题型梳理 师生活动1：师生共同回忆构造法求数列通项的题型（教师板书） 二阶线性递推型:用“待定系数法”构造 非线性递推型1： 非线性递推型2:用“同除法或待定系数法”构造 一阶线性递推型：用“待定系数法”构造 其中一阶线性递推型，大部分同学都比较熟悉，本节课在此基础上展开对其它类型的学习。 考情突破一：一阶线性递推型：用“待定系数法”构造 师生活动2：师生共同完成例1.教师对同学们可能采用的Sn－2Sn-1＝1，然后作差求出数列通项的方法给予充分的、及时的肯定。但明确要求这个活动环节的目的是让同学们经历使用“构造法”求数列通项的过程，要求同学们用构造法完在本题求解。 视班级不同，教师应采用不同的方法解决学生可能存在的疑问：这里是Sn的关系式，如何用构造法求通项。 【例1】设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1，n∈N*，则通项公式an＝_______ 【详解】（1）因为Sn＋1－2Sn＝1，设Sn＋1－x=2(Sn－x)，解得x＝－1.得{Sn+1}是一个以S1+1=a1+1=2为首项，2为公比的等比数列。 故，所以， 时，，又a1＝1； 所以 师生活动3：在教师的引导下完成课堂评价1. 【课堂评价1】已知数列的首项，函数有唯一零点，则通项(    ) A. B. C. D. 教师对同学们可能采用代值检验的方法给予充分的、及时的肯定。但明确要求这个活动环节的目的是让同学们经历使用“构造法”求数列通项的过程，要求同学们经历用构造法本题求解。 条件中唯一零点及偶函数，是本题难点，但与本节课目标关联不大，应由教师带领学生尽快突破。 【详解】， 为偶函数，图象关于轴对称， 的零点关于轴对称，又有唯一零点，的零点为， 即，，即， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列， ，则. 考情突破二：非线性递推型1： 师生活动4：师生共同完成例2.其中分析过程由教师引导学生共同完成，详解由同学们独立完成，不同的班级可以采用演板、提问等方式。 【例2】在数列{bn}中，b1＝－1，bn＋1＝，n∈N*，则通项公式bn＝________ 【分析】利用构造法求通项公式，如构造为，再由等比数列通项公式求解即可. 【详解】对递推式的两边同时取倒数， 得，即， 因此，， 故是以2为首项，2为公比的等比数列， 于是，可得． 教师引导学生归纳总结，得出类型2令，则问题转事实化为类型1。 考情突破三：非线性递推型2:用“同除法或待定系数法”构造 师生活动5：在教师的引导下完成例3（对引例的突破）. 【例3（对引例的突破）】已知数列的前项和为，且，，求数列通项. 【解析】，即是以为首项和公差的等差数列，，故。 考情突破四：二阶线性递推型:用“待定系数法”构造 师生活动6：在教师的引导下完成课堂例4. 【例4】数列各项均是正数，，，，求数列通项. 【解析】设，则， 所以得，故。 ∴是为首项，的等比数列。即。 接下来可以参照例3的解法，“两边同除法”构造等比数列，也可如下求解。 设，得， 所以，由于，故 所以 教师提醒学生注意，有些背景下，这两种方法并不总是都可以做下去.具体解题时要根据需要灵活选择。 ◆“六个基于”之六：基于总结的的实践检验 七、课堂小结 等差数列递推定义 等比数列递推定义 （一阶、二阶）线性递推关系的“待定系数法” 非线性递推关系1：倒数 非线性递推关系2：同除 其他 八、课时评价 师生活动7：针对前面已经求出答案的例3，学生自主用其他解法求解。 【例3（对引例的突破）】已知数列的前项和为，且，，求数列通项. 【解析】，即是以为首项和公差的等差数列，，故。 九、课后作业 校本作业第15-16页 附：【板书设计】 用构造法求数列通项公式 一阶线性递推型： 二阶线性递推型: 非线性递推型1： 非线性递推型2: 学科网（北京）股份有限公司 $$