第一章 整式的乘除 单元检测卷B 　2024—2025学年北师大版数学七年级下册

北师大2024版数学七年级下册 单元检测卷B 第一章 整式的乘除 考试范围：北师大2024版第一章 （考试时间：120分钟 总分：120分） 题号 一 二 三 总分 得分 一、单选题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分） 1．“阿秒”是人类目前能够掌握的最短时间尺度．已知1阿秒秒，电子围着原子核转一圈约需要150阿秒．把150阿秒用科学记数法表示为（    ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 2．下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列结论中，错误的是（   ） A．奇数的平方是奇数 B．偶数的平方是偶数 C．两个连续奇数的平方差被8整除 D．两个连续偶数的平方差被8整除 4．两个相邻奇数的平方差一定是（    ）． A．3的倍数 B．5的倍数 C．6的倍数 D．8的倍数 5．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片的张数为（    ） A．6 B．5 C．3 D．2 6．已知，则的值是（   ） A．9 B．3 C．-3 D．±3 7．如图，有一块长为米，宽为米的长方形空地，计划在其中央留下一个边长为米的正方形广场，在广场的前后左右各修一条小路，已知四条小路的宽度均为a米，其余空地用作绿化．用含a，b的式子表示绿化面积为（   ） A． B． C． D． 8．观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算：的值是（   ） A． B． C． D． 9．如图1为我校七年级两个班的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示两个班级的基地面积．若，，则（   ） A．16 B．15 C．14 D．12 10．已知整式（均为整数，），且． 下列说法： ①若，则的值可能为30； ②存在，，，，均为非零的整式的平方； ③若（）均为正整数，则最大值为768． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11．小明家有一块三角形的菜园，三角形的底边长为，底边上的高是，则它的面积是 ． 12．地球表面平均上的空气质量约为，地球的表面积大约是，地球的质量约为，则地球质量大约是其表面全部空气质量的 倍（结果用科学记数法表示）． 13．若，其中，都是大于1的整数，，则 ． 14．若a，b满足，则的值为 ． 15．在长方形内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为 ．（用a、b的代数式表示） 16．对于一个四位正整数，千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，若它的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字与百位数字之和等于9，十位数字与个位数字之和等于5，则称为“九五数”．则最大的“九五数”是 ；若将“九五数”的千位数字与十位数字互换，百位数字与个位数字互换得到一个新的四位数，则称为“九五数”的“九五新佳数”，记，设“九五数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，若能被6整除，则满足条件的“九五数”的最小值是 ． 三、解答题（本题满分72分，共有9道小题） 17．（本题8分）计算 (1)； (2)； (3)； (4)（用乘法公式计算）． 18．（本题4分）先化简，再求值：，其中． 19．（本题4分）先化简，再求值：，其中，． 20．（本题8分）如图，正方形的边长为，点在边上，四边形也是正方形，它的边长为，连接、、． (1)用含、的代数式表示________________； (2)若两个正方形的面积之和为60，且，求图中线段的长； (3)记的面积为，则______________（用字母表示）． 21．（本题8分）【发现问题】《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论． 【提出问题】（）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：；公式②：． 图对应公式______；图对应公式______． 【解决问题】 （）如图，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形且对角线时，若，正方形和正方形的面积和为，请求出阴影部分的面积．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是） 【能力拓展】 （）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？已知，则______． （）已知，则______． 22．（本题10分）如图1，现有两张长为a，宽为b的长方形纸片，将它们按图2，图3两种方式放置在正方形中，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖的部分用阴影表示，图2中阴影部分面积记为，图3中阴影部分面积记为，图2和图3中两张长方形纸片重叠部分面积分别记为和． (1)当正方形的边长为x时，________，_______．（用含a，b，x的代数式表示，不用化简）； (2)若图1中长方形纸片的面积为40，周长为26，求①的值；②的值； (3)请判断的值与的值是否有关？并说明理由 23．（本题10分）阅读材料： 材料1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中记载了源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”（如图1）；材料2：我们知道，，．利用多项式的乘法运算，还可以得到：．当时，将计算结果中多项式（以降次排序）各项的系数排列成表，可得到如图2． (1)请根据材料1和材料2直接写出： ①展开式中的系数是 ； ②展开式中所有项的系数和为 ； ③利用上面的规律计算（结果用乘方表示）：； (2)如图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题：若表示第行，从左到右数第个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是 ． 24．（本题10分）在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“”，对于任意的有理数a和b，有，其中 m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题． (1)已知， ①求 m， n 的值； ②若，，求的值． (2)对于任意非零实数α，b，c，若新运算“”满足，且存在某个常数k，使得，求 m，n的值和常数k． 25．（本题10分）观察并验证下列等式： ， ， ， (1)续写等式：________；（写出最后结果） (2)我们已经知道，根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：________；（结果用因式乘积表示） (3)利用（2）中得到的结论计算： ； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《北师大2024版数学七年级下册 单元检测卷B》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D D B D A A A C 1．B 【分析】本题主要考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．根据科学记数法的定义，将一个数表示成，其中，为整数，即可得到答案． 【详解】解：． 故选B． 2．A 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方运算，熟练掌握和运用同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方运算是解决本题的关键． 根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方运算，进行运算，即可一一判定． 【详解】解：A．，故该选项正确，符合题意； B．，故该选项错误，不符合题意； C．，故该选项错误，不符合题意； D．，故该选项错误，不符合题意； 故选：A． 3．D 【分析】本题考查了平方的运算、完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．根据平方的运算、完全平方公式逐项判断即可得． 【详解】解：A、奇数的平方是奇数，则此项正确，不符合题意； B、偶数的平方是偶数，则此项正确，不符合题意； C、设两个连续奇数， 则它们的平方差为 ， 所以两个连续奇数的平方差被8整除，此项正确，不符合题意； D、设两个连续偶数为， 则它们的平方差为 ， 所以两个连续偶数的平方差不能被8整除，此项错误，符合题意； 故选：D． 4．D 【分析】本题考查完全平方公式的运用，根据奇数的性质，设两个连续奇数为，(n为整数)，求出平方差判断即可解题． 【详解】解：设两个相邻的奇数为和， 则， ∴两个相邻奇数的平方差一定是8的倍数， 故选：D． 5．B 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形的面积，熟练掌握运算法则以及数形结合思想是解题的关键． 先根据多项式乘多项式的法则计算，再求出A类、B类C类卡片的面积，即可得出C类卡片的张数． 【详解】解： ， ∵A类卡片的面积是，B类卡片的面积是，C类卡片的面积是， ∴拼拼一个长为，宽为的大长方形需要C类卡片5张． 故本题选：B． 6．D 【分析】本题主要考查代数式的变形与求解，涉及完全平方公式、变量替换以及方程求解能力，熟练掌握以上知识点是解题的关键．观察到两个平方项的结构对称，通过变量替换简化表达式，转化为关于新变量的二次方程，求解后，对进行变形，即可求解． 【详解】解：设，则原式可变形为： ， 解得：， 即， ， 故选：D． 7．A 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，完全平方公式，单项式乘以单项式，绿化面积等于最大正方形面积减去边长为的正方形面积，再减去周围四个空白的长方形面积，据此列式计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 8．A 【分析】本题考查了多项式乘法规律探究；根据题中规律每一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项大1，减数都为1，即可得到规律为，利用规律，当，时，代入其中即可求解． 【详解】解：由； ； ； … 观察发现： ， 当，时，得 ， ∴， 故选：A． 9．A 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式与几何图形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意，，求得，再根据，，利用完全平方公式求出的值，最后整体代入计算即可． 【详解】解：根据题意，得，， ， ，， ， ， ， ， ． 故选：A． 10．C 【分析】本题考查了整式加减的应用．由题意得，，据此逐项判断即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：①， ， 又， ，， 为整数， 、、、、的值可以为、、0、1、16， ， 的值可能为30，故①正确； ②根据，，， 当中有一个为时，有一个式子必须是，这与均为整数不符合， 则得组合必须是， 当前四个式子为时，此时最后一个式子为负数，不符合题意， 当前四个式子为时，此时最后一个式子为2，不是整式的平方，不符合题意， 当前四个式子为时，此时最后一个式子为6，不是整式的平方，不符合题意， 当前四个式子为时，此时最后一个式子为8，不是整式的平方，不符合题意， 当前四个式子为时，此时最后一个式子为10，不是整式的平方，不符合题意， 当前四个式子为时，此时最后一个式子为12，不是整式的平方，不符合题意， 不存在、、、、均为非零的整式的平方，故②错误； ③，（）均为正整数， 若要最大，应该尽可能都相等， 则当，时，取最大值，最大值为，故③正确； 综上，正确的个数是2， 故选：C． 11． 【分析】此题考查整式的混合运算，根据三角形的面积公式列式计算可得答案． 【详解】解：三角形的底边长为，底边上的高是， 则它的面积是 故答案为． 12． 【分析】本题考查了科学记数法的应用，同底数幂乘法，整式的除法运算，先把地球的表面积转换为，再列出即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵地球的表面积大约是， ∴， 故答案为：． 13．8 【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法．熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：由题意，得，即， ， ． ，都是大于1的整数，， 符合题意的只有，， ． 故答案为：． 14．8 【分析】本题考查完全平方公式，非负性，将等式左边化为两个完全平方式的和的性质，根据非负性进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：8． 15． 【分析】本题考查了列代数式和整式的混合运算，解题的关键是：能灵活运用整式的运算法则进行计算．设，则，根据图形得出，再根据整式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：设，则， 故答案为：． 16． 8141 1823 【分析】本题考查了新定义下的整数性质、数的表示以及整除的性质等知识，解题关键是根据“九五数”及“九五新佳数”的定义准确表示出数m、和，并结合整除条件通过合理取值来确定满足要求的数． 根据“九五数”定义，要使数最大，千位数字应尽量大，结合千位与百位数字和为9、十位与个位数字和为5，确定各数位数字得到最大数；设“九五数”m各数位数字，根据定义表m、，进而得出，计算，根据能被整除设等式，化简， 要使最小，尽量小，从开始试，结合的取值范围，找到符合整除条件的、，进而确定、，得到的最小值． 【详解】∵九五数”是四位正整数，各个数位上的数字均不为，且千位数字与百位数字之和等于，十位数字与个位数字之和等于． ∴要使“九五数”最大，则千位数字要尽可能大． ∵千位数字与百位数字之和为且数字不为， ∴千位数字最大为，此时百位数字为不符合要求， ∴千位数字取，百位数字为； ∵十位数字与个位数字之和为，要使数大， ∴十位数字取，个位数字为． 所以最大的“九五数”是8141． 由题意得，，且，，，，，为的“九五新佳数”，则． ∵： ． ∴． ∵，，将其代入得：． ． ∵能被整除， 设（为整数），则， 化简得． 要使“九五数”最小，千位数字要尽可能小． 当时：则，． 因为，从开始试： 当时，，，不是整数，不符合． 当时，，，，符合． 此时，，，． ∴“九五数”的最小值是1823． 故答案为：8141，1823． 17．(1)6 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了负整数指数幂与零指数幂、积的乘方与幂的乘方、整式的混合运算等知识，熟练掌握运算法则和乘法公式是解题关键． （1）先计算负整数指数幂与零指数幂、乘方，再计算加减法即可得； （2）先计算积的乘方与幂的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得； （3）先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减法即可得； （4）先将式子改写成，再利用平方差公式计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 18．； 【分析】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，直接利用乘法公式化简，再合并同类项，把已知数据代入得出答案，正确运用乘法公式是解题关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 19．，． 【分析】此题考查整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把，代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 将，代入，得； 20．(1) (2)； (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的运用，解题的关键是完全平方公式展开与合并． （1）可由图形直观的得出结论； （2）利用完全平方公式通过展开推导，再将数值代入计算可得； （3）通过割补法计算可得，的面积为． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：∵两个正方形的面积之和为60， ∴， ， ， ； （3）解： ． 故答案为：． 21．（）②，①；（）；（）；（） 【分析】（）根据图形即可求解； （）设正方形的边长为，正方形的边长为， 可得，，进而由完全平方公式可得，最后根据即可求解； （）利用完全平方公式的变形运算计算即可； （）设，则，可得，即得，进而得到，再根据即可求解； 本题考查了完全平方公式与几何图形，完全平方公式的变形运算，熟练掌握完全平方公式的运用是解题的关键． 【详解】解：（）图对应公式是；图对应公式是， 故答案为：②，①； （）设正方形的边长为，正方形的边长为， 由题意得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （）∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （）设，则， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 故答案为：． 22．(1)， (2)①3；②9 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了列代数式、完全平方公式、多项式乘法与图形面积、整式的四则混合运算等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）直接根据图2、图3列代数式即可； （2）①由题意可得、、，然后根据完全平方公式求值即可；②先求出，然后根据完全平方公式求值即可； （3）先根据图2、图3列代数式表示出，然后根据整式的四则混合运算求出，再与比较即可解答． 【详解】（1）解：当正方形的边长为x时， 图2中阴影部分的面积：； 图2中阴影部分的面积：； 故答案为：，． （2）解：∵图1中长方形纸片的面积为40，周长为26， ∴，即， ①， ∴． ② ． （3）解：，理由如下： 当正方形的边长为x时， 由图2中两张长方形纸片重叠部分面积：， 由图3中两张长方形纸片重叠部分面积：， ∴ ， ∵， ∴． 23．(1)①4；②；③ (2) 【分析】本题考查了数字规律，多项式乘法，因式分解的应用，找出本题的数字规律是正确解题的关键． （1）①根据每一行两端的系数都为1，中间部分系数分别为上一行相邻两系数的和计算求值即可； ②根据已知式子中系数和的变化规律求解即可； ③根据题中计算规律可将原式化为，继而求解即可； （2）由题意可知，每行第一个数的分母是该行的行数，即第行第一个数为，并且相邻两个数之和等于它们上方的数，据此求解即可． 【详解】（1）解：①， ∴的系数为4， 故答案为：4． ②的系数和为1，即， 的系数和为，即， 的系数和为，即， 的系数和为，即， …… ∴的系数和为， ∴展开式中所有项的系数和为， 故答案为：． ③根据题中规律可得： =． （2）解：由题意可知，每行第一个数的分母是该行的行数，即第行第一个数为，并且相邻两个数之和等于它们上方的数， ∴第6行第一个数是 ， ∵第5行第一个数是 ，那么第6行第二个数为 ， 又∵第5行第二个数是 ， ∴第6行第三个数为 ， ∴以表示的数是， 故答案为：． 24．(1)①；② (2) 【分析】本题考查定义新运算，幂的运算，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）①根据新定义，得到，即可得出结果；②根据新定义，列出方程组进行求解即可； （2）根据，推出，进而得到，根据，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， 两式相乘可得：， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵为正整数，为常数，为任意非零有理数， ∴； 综上：． 25．(1)225 (2) (3) 【分析】本题主要考查了自然数立方和公式推导及应用，掌握自然数列和公式，自然数平方和公式，自然数立方和推导过程，数字的变化类是解题关键． （1）直接根据题意给出的规律即可求解； （2）直接根据题意给出的规律即可求解； （3）先按积的乘方分出27，提公因式27，再按给出的规律即可求解 【详解】（1）解：原式， 故答案为：225； （2）解：原式， 故答案为：； （3）解：原式 ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$