精品解析：湖北省武汉市七校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题

2024~2025学年度第二学期期中考试 高一年级数学试卷 考试时间：2025年4月15日下午：16：15—18：15 试卷满分：150分 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则的虚部为（ ） A. 1 B. -2 C. D. 2. 的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（ ） A 4 B. C. 6 D. 8 3. 中，角所对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 或 4. 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，则函数y＝g(x)的图象的一个对称中心是 A. B. C. D. 5. 已知向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，P是BN上一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点，且，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点的距离为.若且关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 棱台的侧面都是等腰梯形 B. 棱柱的侧棱长都相等，但侧棱不一定都垂直于底面 C. 过圆锥顶点截面是等腰三角形 D. 以直角梯形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 10. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（ ） A. 的模长为定值 B. 为纯虚数 C. 对应的点位于第二象限 D. 的共轭复数为 11. 已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 函数为偶函数 D. 函数在区间上单调递减 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是两个不共线的向量，向量.若，则__________. 13. 已知都是锐角，，则___________. 14. 已知函数（，），为的零点，为图像的对称轴，且在上单调，则的最大值为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在梯形中，，，. （1）若，求的长； （2）若，求. 16. 已知向量. （1）若向量与共线，求实数的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 17. 如图，一个半径为4的筒车按逆时针方向每分钟转1圈，筒车的轴心O距离水面的高度为米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：）之间的关系为 （1）求的值； （2）盛水筒出水后至少经过多少时间就可以到达最高点？ 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，，. （1）求外接圆的面积； （2）若，，求的周长. 19. 如图，在边长为1的正三角形ABC中，D为BC的中点，，过点O的直线交边AB与点M，交边AC于点N． （1）用，表示； （2）若，，求的值； （3）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第二学期期中考试 高一年级数学试卷 考试时间：2025年4月15日下午：16：15—18：15 试卷满分：150分 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则的虚部为（ ） A. 1 B. -2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数的乘法运算化简再求解. 【详解】解：因为复数， 所以， 所以的虚部为1， 故选：A 2. 的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再根据与面积之比为，得到答案. 【详解】由题意得， 由三角形面积公式得， 又与的面积之比为， 故的面积为 故选：C 3. 中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理可得，再由边角关系确定角的大小即可. 【详解】由题意，在中，则，所以， 因为，所以或，又，所以． 故选：A 4. 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，则函数y＝g(x)的图象的一个对称中心是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的伸缩变换规律，得到的解析式，求出它的对称中心，结合选项，选出正确的一个对称中心． 【详解】由题意可知： 令，是函数图象的一个对称中心，故本题选A． 【点睛】本题考查了余弦函数的伸缩变换、对称中心. 5. 已知向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的性质，由模长求解，再根据投影向量的公式求解即可. 【详解】因为， 所以， 则， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A 6. 如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件得到，由共线定理的推论得到方程，求出答案. 【详解】，故， ，故， 因为三点共线，故，解得. 故选：C 7. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点，且，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式“1”的代换进行求解即可． 【详解】由题意得，， 即， 所以，得， 得， 当且仅当，即时，的最小值为. 故选：D． 8. 已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点的距离为.若且关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式得出，根据题意出函数的最小正周期，可求出的值，解题中的方程得出或，分析可知函数在区间上有两个不等的零点，分析函数的单调性，可出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为 ， 因为曲线与直线的交点中，相邻交点的距离为. 所以函数的最小正周期为，可得，即， 由可得， 解得或， 当时，， 由可得，可得，解得， 所以方程在上只有一个解，故方程在上有两个不等的解， 令， 由可得，由可得， 所以函数在区间上单调递减，在上单调递增， 由题意可知，函数在区间上有两个不等的零点， 所以，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 棱台的侧面都是等腰梯形 B. 棱柱的侧棱长都相等，但侧棱不一定都垂直于底面 C. 过圆锥顶点的截面是等腰三角形 D. 以直角梯形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 【答案】BC 【解析】 【分析】利用棱台的结构特征判断A；利用棱柱的结构特征判断B；利用圆锥的结构特征判断C；利用圆台的结构特征判断D. 【详解】对A，棱台的侧棱延长后交于一点，但侧面不一定是等腰梯形，如一条侧棱垂直于底面，那么会有两个侧面为直角梯形，故A错误； 对B，棱柱的侧棱长都相等，但侧棱不一定都垂直于底面，故B正确； 对C，因为每条腰都是母线，且圆锥的母线长度相等，因此过圆锥顶点的截面是等腰三角形，故C正确； 对D，以直角梯形的直角腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体才是圆台，故D错误. 故选：BC. 10. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（ ） A. 的模长为定值 B. 为纯虚数 C. 对应的点位于第二象限 D. 的共轭复数为 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，，故模长为，A正确；B选项，，B错误；C选项，对应的点坐标为，C错误；D选项，计算出，根据共轭复数的概念得到答案. 【详解】A选项，，故的模长为，A正确； B选项，，为实数，B错误； C选项，当时，，故对应的点坐标为，不在第二象限，C错误； D选项，，共轭复数为，D正确. 故选：AD 11. 已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 函数为偶函数 D. 函数在区间上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数图象求出的解析式，即可判断A、B ，再根据三角函数的变换规则得到解析式，再由正弦函数的性质判断C、D． 【详解】对于A，函数的部分图象， 可得，， ，则． 又，所以，， 所以，，又， ，，故A正确； 对于B，由， ， ，故B正确； 对于C，将函数的图象向左平移个单位长度得到， 则为奇函数，故C错误； 对于D，当则，因为在上单调递减， 所以函数在区间上单调递减，故D正确， 故选：ABD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是两个不共线的向量，向量.若，则__________. 【答案】-2 【解析】 【分析】根据向量平行，设，从而得到方程组，求出答案. 【详解】因为，所以设， 故，解得. 故答案为：-2 13. 已知都是锐角，，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】要求，先求，结合已知可有，利用两角差的余弦公式展开可求. 【详解】、为锐角， ， ， 由于为锐角， 故答案为： 14. 已知函数（，），为的零点，为图像的对称轴，且在上单调，则的最大值为______. 【答案】5 【解析】 【分析】根据已知条件，易得，再结合在上单调，可知，进而可得的最大值. 【详解】由为的零点，得， 即，，① 又因为图像的对称轴， 得，，② 联立①②得：，故为奇函数， 又因在上单调， 所以，即，故， 因为奇函数，故，且检验满足在上单调. 故答案：5. 【点睛】本题考查的正弦函数图像性质的综合应用，解决本题的关键在于在上单调，可转化为，但需验证结果是否满足题意即可. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在梯形中，，，. （1）若，求的长； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行求解即可； （2）利用余弦定理进行求解即可. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得， 则. 【小问2详解】 因为，所以. 由余弦定理得， 则， 所以. 16. 已知向量. （1）若向量与共线，求实数的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量共线的坐标运算可知，即可求出参数值； （2）利用两向量夹角为锐角的充要条件是且与不共线，从而可得不等式组求解即可. 【小问1详解】 由题意可得，， 若向量与共线，可得， 解得. 【小问2详解】 若向量与的夹角为锐角可得且与不共线， 即可得， 解得且， 即实数的取值范围为且 17. 如图，一个半径为4的筒车按逆时针方向每分钟转1圈，筒车的轴心O距离水面的高度为米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：）之间的关系为 （1）求的值； （2）盛水筒出水后至少经过多少时间就可以到达最高点？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据振幅得到，根据题意得到最小正周期，，由最值得到，代入特殊点函数值求出； （2）由（1）得到，从而得到方程，求出，求出最小值，得到答案. 【小问1详解】 由题意，振幅等于半径，即， 逆时针方向每分钟转一圈，，， 由题意， 因为时，，所以，所以， 又； 【小问2详解】 由（1）可得，， 令，则有， 即，， ， 当时，最小，， 盛水筒出水后至少经过25s就可以到达最高点. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，，. （1）求外接圆的面积； （2）若，，求周长. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先利用诱导公式将原式化简，再运用正弦定理进行边角互化，得出角的大小，然后运用正弦定理求解外接圆的半径，从而得出外接圆的面积. （2）由及可解出，的大小，得出角的大小，进而得出角，然后在中，由余弦定理可解得的值，得出的周长. 【详解】（1）∵ ， ∴ ，由正弦定理得：， 因为 ，所以，得， 又，故 ， ∴外接圆的半径， ∴外接圆的面积为. （2）由及得：，， ∵，则为锐角， ∴，故. 如图所示，在中，由余弦定理得， ， 解得， 则的周长为. 【点睛】解三角形时，若题目所给式子中含有角的余弦或边的二次式，则考虑用余弦定理；若式子中含有角的正弦或者边的一次式时，则考虑用正弦定理；若以上特征不明显，则两个定理都有可能用到. 19. 如图，在边长为1正三角形ABC中，D为BC的中点，，过点O的直线交边AB与点M，交边AC于点N． （1）用，表示； （2）若，，求的值； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知可得出，然后即可得出答案； （2）先根据已知结合（1）的结论得出，然后根据三点共线得出，即可得出答案； （3）先用得出，然后根据数量积的运算律可推得.根据（2）的结论可得出，，，换元，可得出.然后根据对勾函数的单调性可得出，根据二次函数的性质，即可得出答案. 【小问1详解】 因为D为BC中点， 所以，. 又因为， 所以. 【小问2详解】 若，， 所以，， 所以. 因为M，O，N三点共线， 所以， 所以，. 【小问3详解】 因为，，， 所以， . 由（2）得，得，， 令，，则， 得. 根据对勾函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增， 且，，所以， 所以，. 因为， 所以，根据二次函数的性质可知， 所以的取值范围为. 【点睛】思路点睛：用基底表示出向量，根据向量数量积的运算律得出的表达式，然后根据的关系化简，进而根据基本不等式以及二次函数的性质，即可得出答案. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $