精品解析：河南省驻马店市2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题（北师大版）

河南省普通高中2024—2025学年（下） 高一年级期中考试 数学（北师大版） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，则与（ ） A. 互为相等向量 B. 互为相反向量 C. 相互垂直 D. 均为零向量 2. 设的外接圆的半径为，若，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 在中，，记，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，，则（ ） A. B. 2 C. D. 5. 已知是曲线与轴从左至右的第一个交点，则随着逐渐增大，（ ） A. 的横坐标逐渐减小 B. 的横坐标逐渐增大 C. 的横坐标不变 D. 的横坐标先增大再减小 6. 在平面直角坐标系中，已知存在正数，使得平行四边形满足，，则平行四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知两个非零向量，的夹角为，非零向量与的夹角为，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 8. 若实数满足，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的定义域是 B. 是奇函数 C. 是的一个周期 D. 是曲线的一个对称中心 11. 在中，，，，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则函数的最小正周期为______． 13. 向量在向量上的投影向量为______. 14. 已知的内角所对的边分别是，且，，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，. （1）求向量； （2）证明：向量与共线； （3）已知实数、满足，求、的值. 16. 已知函数，将曲线的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象． （1）求； （2）求的相位及最小正周期； （3）当时，求使得不等式恒成立时的的取值范围． 17. 在中，，为的中点． （1）求； （2）若，求的值． 18. 记的内角所对的边分别为，已知 （1）若为直角，求； （2）若为锐角三角形，证明：． 19. 设函数． （1）当时，求解下列问题． （ⅰ）若存在实数，对任意的（是函数的定义域的子集），都有，且存在，使得，则称为函数在区间上的最大值，称为最大值点，讨论在上最大值点的个数； （ⅱ）小明利用函数进行一个棋盘游戏：有一个的正方形棋盘，小明将一棋子开始时置于左下角（棋盘最左边的边界线与最下边的边界线的交点），每下一步移动1格，且在第步时，若，则将棋子向上前进一步，否则将棋子向右前进一步，棋子走到棋盘最右边的边界线或最上边的边界线时停止，若棋子停在棋盘最上边的边界线，求的取值范围． （2）若，的最小正周期，且曲线与直线在区间上有且仅有1个交点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省普通高中2024—2025学年（下） 高一年级期中考试 数学（北师大版） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，则与（ ） A. 互为相等向量 B. 互为相反向量 C. 相互垂直 D. 均为零向量 【答案】B 【解析】 【分析】由坐标表示可得答案. 【详解】因为，所以，即互为相反向量． 故选：B． 2. 设的外接圆的半径为，若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理求得，得到，进而求得的值，得到答案. 【详解】由正弦定理得，因为，所以， 又因为，即，所以． 故选：B． 3. 在中，，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算用基底表示即可. 【详解】由题意可得，其中， 所以. 故选：C 4. 在中，，，，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用正弦定理求解即可 【详解】由正弦定理得， 所以． 故选：D． 5. 已知是曲线与轴从左至右的第一个交点，则随着逐渐增大，（ ） A. 的横坐标逐渐减小 B. 的横坐标逐渐增大 C. 的横坐标不变 D. 的横坐标先增大再减小 【答案】A 【解析】 【分析】由题意的横坐标为函数的最小零点，求出的横坐标，进而可得出答案. 【详解】由题意的横坐标为函数的最小零点， 已知函数的零点满足，取， 可知的横坐标为，故随着逐渐增大，的横坐标逐渐减小． 故选：A． 6. 在平面直角坐标系中，已知存在正数，使得平行四边形满足，，则平行四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的夹角公式，先求得，进而求得，再根据面积公式即可求得. 【详解】因为，，所以，， 则，所以， 所以平行四边形的面积． 故选：C． 7. 已知两个非零向量，的夹角为，非零向量与的夹角为，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】如图，记向量为题设中的向量，向量为题设中的向量，利用数量积的定义和转化法计算可得. 【详解】如图，记向量为题设中的向量，向量为题设中的向量， 因为与的夹角为与的夹角可以看作的补角， 所以，故可知，又因为，所以． 故选：D． 8. 若实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正余弦函数的最值结合可得，从而可求出，进而可得出答案. 【详解】由三角函数的值域可知，，所以，所以， 当且仅当时取等号，此时, 所以，， 所以． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据数量积的坐标公式即可判断A；根据向量的模的坐标公式即可判断B；根据平面向量线性运算的坐标表示即可判断C；根据平面向量夹角的坐标公式即可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：AC． 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的定义域是 B. 是奇函数 C. 是的一个周期 D. 是曲线的一个对称中心 【答案】BCD 【解析】 【分析】由函数的解析式有意义，结合有定义，求得函数的定义域，可得判定A错误；根据函数的奇偶性的判定方法，可判定B正确；求得，可判定C正确；求得，可判定D正确． 【详解】对于A中，由有定义，可得， 又由，可得，即， 所以函数的定义域是，且，所以A错误； 对于B中，因为，所以，即， 又因为定义域关于原点对称，所以是奇函数，所以B正确； 对于C中，由，即， 所以是的一个周期，所以C正确； 对于D中，函数的定义域关于点对称， 又由，可得， 即，所以曲线关于点中心对称，所以D正确． 故选：BCD． 11. 在中，，，，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】设三角形的重心为，根据三角形重心公式可判断A选项；由，，可判断B选项；设的中点为，根据是三角形的重心，结合A选项可判断C选项；设的中点为，利用三角形的中点向量可判断D选项. 【详解】设三角形的重心为，由，，根据三角形重心公式，可得，， 又，即，可得，则，故A正确； 因为，，故B错误； 设的中点为，因为是三角形的重心，故，，故C正确； 设的中点为，有，而，故，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则函数的最小正周期为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质，得到的最小正周期为，的最小正周期为，进而得到是函数的一个正周期，不是函数的周期，然后利用特值法可证明函数的正周期只能是的任意正整数倍，从而得到其最小正周期为. 【详解】由正弦函数的图象与性质，可得的最小正周期为，的最小正周期为， 可得， ， 所以函数的一个正周期为. 设是函数的正周期， 则， 当时，， 当时得，无解. 所以的最小正周期只能是的任意正整数倍， 但上面已经证明不是函数的周期，是函数的周期， 所以函数的最小正周期为. 故答案为：． 13. 向量在向量上的投影向量为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出，，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为： 14. 已知的内角所对的边分别是，且，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解. 【详解】依据正弦定理，由，得， 两边同乘，得，解得， 又因为，所以． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，. （1）求向量； （2）证明：向量与共线； （3）已知实数、满足，求、的值. 【答案】（1） （2）证明如下： ∵向量，， ∴， ∴向量与共线． （3）， 【解析】 【分析】（1）利用平面向量加法的坐标表示可求得向量的坐标； （2）利用平面向量共线的坐标表示可证得结论成立； （3）利用平面向量线性运算的坐标表示可得出关于、的方程组，即可解出这两个未知数的值. 【小问1详解】 由题意可得． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，所以， 可得方程组，解得. 16. 已知函数，将曲线的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象． （1）求； （2）求的相位及最小正周期； （3）当时，求使得不等式恒成立时的的取值范围． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的图象变换，得到平移后的图象解析式为，根据为偶函数，且，求得的值； （2）由（1）得，即可求得函数的相位和最小正周期； （3）把不等式转化为 ，由，结合三角函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：函数，将曲线的图象向左平移个单位长度， 可得函数的图象， 因为函数为偶函数，可得，解得， 又因为，所以. 【小问2详解】 解：由（1）知：，所以， 所以函数的相位为，最小正周期为. 【小问3详解】 解：由（2）知：， 则不等式，即为， 当时，可得， 要使得恒成立，则满足， 解得，即的取值范围为. 17. 在中，，为的中点． （1）求； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的性质求解即可； （2）在中，利用余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由， 所以， 即， 又，故； 【小问2详解】 设，由，可知， 又为的中点，所以， 在中，由余弦定理得，， 故的值为． 18. 记的内角所对的边分别为，已知 （1）若为直角，求； （2）若为锐角三角形，证明：． 【答案】（1） （2） 由余弦定理可得， 即， 由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立， ，故， 又是锐角三角形，故且， 故，且， 解得， 由双勾函数的性质可得函数在上单调递减， 在上单调递增， 而， 所以， 因为，故， 综上，． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理，结合即可得解； （2）利用余弦定理结合求出的范围，进而可得出答案. 【小问1详解】 因为为直角，故， 即， 解得（负值舍去）； 【小问2详解】 略 19. 设函数． （1）当时，求解下列问题． （ⅰ）若存在实数，对任意的（是函数的定义域的子集），都有，且存在，使得，则称为函数在区间上的最大值，称为最大值点，讨论在上最大值点的个数； （ⅱ）小明利用函数进行一个棋盘游戏：有一个的正方形棋盘，小明将一棋子开始时置于左下角（棋盘最左边的边界线与最下边的边界线的交点），每下一步移动1格，且在第步时，若，则将棋子向上前进一步，否则将棋子向右前进一步，棋子走到棋盘最右边的边界线或最上边的边界线时停止，若棋子停在棋盘最上边的边界线，求的取值范围． （2）若，的最小正周期，且曲线与直线在区间上有且仅有1个交点，求的取值范围． 【答案】（1）（ⅰ）当时，故在上有2个最大值点；当时，在上有1个最大值点； （ⅱ） （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）根据正弦函数的性质结合函数最大值的的定义，分和两种情况讨论即可； （ⅱ）根据正弦函数的单调性比较的大小，进而可得出答案； （2）方程在上有且仅有1个根，再根据正弦函数的性质结合整体思想即可得解. 【小问1详解】 （i），则， 当时，在上有两个最大值点，， 故在上有2个最大值点；同理当时，在上有1个最大值点； （ii），棋子移动的周期为3， 若棋子停在棋盘最上边的边界线，则，中至少有两个大于或等于， 因为，， 由正弦函数的单调性得， 故， 则或， 故的取值范围是； 【小问2详解】 曲线与直线在上有且仅有1个交点， 即方程在上有且仅有1个根， 由，可知， 又因为，即， 所以， 故， 则只需令， 解得， 即的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $