精品解析：2025年广东省化州市九年级中考一模数学试题

化州市2025年初中学业水平检测九年级数学试卷 注意事项： 1.考试时间共120分钟，满分为120分． 2.全部答案必须在答题卷上完成，在非答题卷上作答无效． 3.答题卷必须保持整洁，考试结束后，将答题卷交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的，请把选出的答案填在答题卷上） 1. 下列各数中，互为相反数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和2 D. 和 2. 下列图案是轴对称图形但不是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 4. 据统计我国每年浪费的粮食约3500万吨，我们要勤俭节约，反对浪费，积极的加入“光盘行动”中来．用科学记数法表示3500万是（ ） A. B. C. D. 5. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，是的外角，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从华山、华阳古镇，太白山三个著名景点中分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，，对角线交于点O，E为的中点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 设函数（，m，n是实数），当时，，时，．则（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题（本大题5小题，每小题5分，共15分，请将下列各题的正常答案填写在答题卡相应的位置上） 11. 为了解某班学生的跳绳成绩，从该班学生中随机抽取7名同学进行调查．经统计，他们1分钟跳绳次数分别为165，180，175，165，175，170，175．这组数据的众数是_____． 12. 不等式的解集是________________． 13. 化简的结果为________． 14. 关于一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为__________． 15. 如图，半圆的直径长为8，点C，D是半圆的三等分点，连接，，过点C作，垂足为E，则图中阴影部分的面积为__________． 三、解答题（一）本大题共3小题，每小题7分，共21分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： 17. 如图：在平行四边形中，点F在上，且． （1）用直尺和圆规作的平分线交于点E（尺规作图的痕迹保留在图中）， （2）求证：四边形为菱形． 18. 图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人识别身份成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”成轴对称，，半径，且它们之间的距离为． （1）求闸机通道的宽度即与之间的距离； （2）经调查，一个智能闸机平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 四、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成两幅不完整的统计图． 请根据统计图中信息解答以下问题； （1）本次抽取的学生共有 人，扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是 ，并把条形统计图补充完整； （2）依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，则抽取的这部分学生书写成绩的中位数是 分，平均数是 分； （3）若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有 人； （4）A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率． 20. 如图，是的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5， ，求的长． 21. 综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做收纳盒． 【任务要求】 任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1． 任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．如图2． 【问题解决】 （1）若任务一中设计收纳盒的底面积为，剪去的小正方形的边长为多少？ （2）若任务二中设计的该收纳盒的底面积为． ①该收纳盒的高是多少？ ②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由． 五、解答题（一）本大题共2小题，第22题13分、23题14分，共27分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. 足球训练中球员从球门正前方8米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； （3）已知点为上一点，米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时球员带球向正后方移动米再射门，足球恰好经过区域（含点和），求的取值范围． 23. 如图1，已知点，且a、b满足， 的边与y轴交于点E， 且E为的中点，双曲线经过C、D两点． （1） ， ； （2）求反比例函数解析式； （3）以线段为对角线作正方形（如图2），点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当点T在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 化州市2025年初中学业水平检测九年级数学试卷 注意事项： 1.考试时间共120分钟，满分为120分． 2.全部答案必须在答题卷上完成，在非答题卷上作答无效． 3.答题卷必须保持整洁，考试结束后，将答题卷交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的，请把选出的答案填在答题卷上） 1. 下列各数中，互为相反数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和2 D. 和 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，化简绝对值，化简多重符号，先根据相关性质化简各个数，再结合相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）进行分析，即可作答． 【详解】解：A、，它们互为相反数，故该选项符合题意； B、，它们不互为相反数，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，它们不互相反数，故该选项不符合题意； 故选：A 2. 下列图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】、是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式，二次根式的性质，根据同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式，二次根式的性质逐一判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 故选：． 4. 据统计我国每年浪费的粮食约3500万吨，我们要勤俭节约，反对浪费，积极的加入“光盘行动”中来．用科学记数法表示3500万是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：用科学记数法表示3500万是； 故选A 5. 分式方程的解是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验． 【详解】解： ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故选：C． 【点睛】本题考查了解分式方程，正确的计算是解题的关键． 6. 如图，在中，，，是的外角，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和与外角的性质，解题的关键在于求出的度数，通过三角形的内角和为即可求解． 【详解】在中，可得： 可化为： 即： 解得： 是外角． 故选：C． 7. 在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从华山、华阳古镇，太白山三个著名景点中分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用列表法进行计算即可． 【详解】解：设表示华山、表示华阳古镇、表示太白山，列表如下： 共有9种情况，他们两家去同一景点旅游共有3中情况， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查利用列表法求概率．熟练掌握列表法求概率是解题的关键． 8. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，分两种情况讨论是解题的关键． 分两种情况讨论，当时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出时，一次函数和反比例函数所过象限，对选项一一分析符合题意者即为正确答案． 【详解】解：①当时，一次函数图象过一、三、四象限；反比例函数图象过一、三象限； ②当k＜0时，一次函数图象过一、二、四象限；反比例函数图象过二、四象限， A．由反比例函数知，一次函数图象应过一、三、四象限，而该选项一次函数图象过一、二、三象限，故该选项不正确，不符合题意； B．由反比例函数知，一次函数图象应过一、二、四象限，而该选项一次函数图象过一、三、四象限，故该选项不正确，不符合题意； C．由反比例函数知，一次函数图象应过一、三、四象限，而该选项一次函数图象过一、二、四象限，故该选项不正确，不符合题意； D．由反比例函数知，一次函数图象应过一、二、四象限，该选项一次函数图象过一、二、四象限，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 9. 如图，在菱形中，，对角线交于点O，E为的中点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理．由菱形的性质求得，，根据三角形中位线定理得到，求得，据此求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴，，O为的中点， ∵E为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10. 设函数（，m，n是实数），当时，，时，．则（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，能根据m的取值及抛物线上两点的坐标分析出抛物线的开口方向是解题的关键．根据所给解析式得出抛物线的对称轴为直线，再根据选项中所给出的m的值都a的正负依次进行判断即可． 【详解】解：由所给函数解析式可知， 抛物线的对称轴为直线． 当时，抛物线的对称轴为直线， 因为和在抛物线上， 则点关于直线的对称点为， 因为，， 所以在对称轴的右侧y随x的增大而增大， 则抛物线的开口向上，即．故A不符合题意． 当时，抛物线的对称轴为直线， 所以点关于直线的对称点为， 因为， 所以在对称轴的右侧y随x的增大而减小， 则抛物线的开口向下，即．故B选项不符合题意． 当时，抛物线的对称轴为直线， 所以点关于直线的对称点为， 因为， 所以在对称轴的右侧y随x的增大而减小， 则抛物线的开口向下，即． 故C选项符合题意． 当时，抛物线的对称轴为直线， 因为， 所以顶点的纵坐标为抛物线上所有点纵坐标中最大的， 则抛物线的开口向下，即．故D选项不符合题意． 故选：C． 二、填空题（本大题5小题，每小题5分，共15分，请将下列各题的正常答案填写在答题卡相应的位置上） 11. 为了解某班学生的跳绳成绩，从该班学生中随机抽取7名同学进行调查．经统计，他们1分钟跳绳次数分别为165，180，175，165，175，170，175．这组数据的众数是_____． 【答案】175 【解析】 【分析】本题考查了众数的概念，出现次数最多的数为众数，据此进行作答即可． 【详解】解：∵1分钟跳绳次数分别为165，180，175，165，175，170，175， ∴175出现的次数为3，出现次数最多， ∴这组数据的众数是175， 故答案为：175 12. 不等式的解集是________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查求不等式的解集，根据解不等式的步骤进行求解，是解题的关键． 【详解】解：， ， ∴； 故答案为：． 13. 化简的结果为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了异分母分式的减法，先将分母化为同分母，再根据同分母分式的减法法则计算，约分即可得解． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为__________． 【答案】-4 【解析】 【分析】根据根的判别式列出关于的方程，求解即可. 【详解】由题意，得 ∴ 故答案为：-4. 【点睛】此题主要考查利用根的判别式求参数的值，熟练掌握，即可解题. 15. 如图，半圆的直径长为8，点C，D是半圆的三等分点，连接，，过点C作，垂足为E，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质，涉及到了同弧或等弧所对的圆周角（圆心角）相等、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是理解题意，正确构造全等三角形以及运用转化的思想是解题的关键，本题将求阴影面积转化为即可求解． 【详解】解：如图，连接，过D点作于F， ∵ 点C，D是半圆的三等分点， ∴，且每段弧所对的圆周角是， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积 ∵， ∴是等边三角形， ∵半圆的直径长为8， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积； 故答案为： ． 三、解答题（一）本大题共3小题，每小题7分，共21分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据负整数指数幂、绝对值的性质、算术平方根的定义计算，再合并即可． 【详解】解： 17. 如图：在平行四边形中，点F在上，且． （1）用直尺和圆规作的平分线交于点E（尺规作图的痕迹保留在图中）， （2）求证：四边形为菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）因为在平行四边形中，，故，以点A为圆心，为半径，画弧，分别与、交于点和，再以点和为圆心，大于为半径画弧，交于一点，然后连接A和这个交点，并延长交于一点，即为点，即可作答． （2）由尺规作的角平分线的过程可得，，，根据平行四边形的性质可得，然后证明，进而可得四边形为平行四边形，再由可得四边形为菱形； 此题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，菱形的性质和判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 证明：由尺规作的角平分线的过程可得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 18. 图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人识别身份成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”成轴对称，，半径，且它们之间的距离为． （1）求闸机通道的宽度即与之间的距离； （2）经调查，一个智能闸机平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 【答案】（1）闸机通道的宽度即与之间的距离为 （2）一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为60人 【解析】 【分析】本题考查含角的直角三角形、分式方程的应用，掌握在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半、列分式方程并求解是解题的关键． （1）连接，延长交于点G；延长交于点H，则，，根据“在直角三角形中，所对直角边等于斜边的一半”分别求出、，再由计算闸机通道的宽度即与之间的距离即可； （2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过人数为x人，则一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人，根据题意列关于x的分式方程并求解，再计算的值即可． 【小问1详解】 解：如图，连接，延长交于点G；延长交于点H． 由题意可知，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴闸机通道的宽度即与之间的距离为． 【小问2详解】 解：设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为x人，则一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， （人）． 答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为60人． 四、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成两幅不完整的统计图． 请根据统计图中的信息解答以下问题； （1）本次抽取的学生共有 人，扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是 ，并把条形统计图补充完整； （2）依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，则抽取的这部分学生书写成绩的中位数是 分，平均数是 分； （3）若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有 人； （4）A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率． 【答案】（1）40，，见解析 （2）70，66.5 （3）280 （4） 【解析】 【分析】本题考查了扇形图与条形统计图的结合、求圆心角，样本估计总体，画树状图求概率，求中位数、平均数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用等级的人数除以占比得出总人数，然后算出A的占比，再与相乘得出其的圆心角，再运算出B等级的人数，最后补全条形图，即可作答． （2）结合中位数的定义进行作答，再结合平均数的公式列式计算，即可作答． （3）运用样本估计总体的公式进行列式计算即可作答． （4）先画树状图，再得出共有12种等可能情况，满足条件的结果是6种等可能情况，运用概率公式列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，（人）， 则， 则（人）， 补全条形图如下： 故答案为：40，， 【小问2详解】 解：∵本次调查的总人数为， 故中位数为排在第名的平均数， 结合（2）的条形图，， 得出第名的书写能力等级在等级， 即这部分学生书写成绩的中位数是70分， 依题意，（分） 故答案为：70，66.5； 【小问3详解】 解：依题意，（人）． 故答案为：280； 【小问4详解】 解：画树状图为： 则共有12种等可能情况，其中被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的有6种情况， ∴被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率为． 20. 如图，是的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5， ，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，则，因为，所以，由是的直径，得，推导出，即可证明是的切线； （2）因为的半径为5，所以，，由，， ，则，由勾股定理求得，再证明 ，得，则，且，于是得，求解即可． 【小问1详解】 证明：连接，则， ， ， ， 是的直径， ， ， 是的半径，且， 是的切线． 【小问2详解】 解：的半径为5， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ，且， ， 解得， 的长为． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 21. 综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做收纳盒． 【任务要求】 任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1． 任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．如图2． 【问题解决】 （1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为，剪去的小正方形的边长为多少？ （2）若任务二中设计的该收纳盒的底面积为． ①该收纳盒的高是多少？ ②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由． 【答案】（1）剪去的小正方形的边长为； （2）①收纳盒的高为厘米；②不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 【解析】 【分析】本题主要考查用一元二次方程的运用， （1）设剪去的小正方形的边长为x厘米，则底面的长为厘米，宽为厘米，根据面积的计算公式列式即可求解； （2）根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米，结合图示分析可得收纳盒底面的长、宽，根据收纳盒的底面积为列式可得， ②根据该收纳盒的高与玩具机械狗的尺寸比较即可求解． 【小问1详解】 解：设剪去的小正方形的边长为x厘米，由题意得： ，整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：剪去的小正方形的边长为 【小问2详解】 ①根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米， ∴收纳盒底面的长为（厘米），宽为厘米， ∵收纳盒的底面积为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为厘米， ②∵， ∴不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 五、解答题（一）本大题共2小题，第22题13分、23题14分，共27分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. 足球训练中球员从球门正前方8米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； （3）已知点为上一点，米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时球员带球向正后方移动米再射门，足球恰好经过区域（含点和），求的取值范围． 【答案】（1） （2）球不能射进球门，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求解析式，平移规律： （1）依题意，先得到抛物线的顶点坐标为，设设抛物线，把点代入，即可作答． （2）依题意，当时，，即可作答． （3）依题意，设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 再把点和点分别代入，算出的值，即可作答． 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 解： ， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线，把点代入得：，解得， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：依题意，当时，， 球不能射进球门． 【小问3详解】 解：设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得：， 解得（舍去）或， 把点代入得：， 解得：（舍去）或， 即． 23. 如图1，已知点，且a、b满足， 的边与y轴交于点E， 且E为的中点，双曲线经过C、D两点． （1） ， ； （2）求反比例函数解析式； （3）以线段为对角线作正方形（如图2），点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当点T在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明． 【答案】（1） （2） （3），不发生改变，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值即可； （2）设，由，可知，再根据反比例函数的性质求出t的值即可； （3）连接、、，易证，故，推出，根据斜边上的中线得到，由此即可得出结论． 【小问1详解】 解：， ，解得：， 故答案为：； 【小问2详解】 由（1）可知：，， E为中点， ， 设， ∵ ∴， ∵点先向右移动1个单位，再向下移动2个单位，得到点， ∴点先向右移动1个单位，再向下移动2个单位，得到点， ， ∵双曲线经过C、D两点， ， ， ∴ ， ∴； 【小问3详解】 的值不发生改变， 理由：如图，连接、、， ∵M是的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ， 四边形是正方形， ， 在与中， ， （）， ，， ， 四边形中，，而， 所以，， 因为，四边形内角和为， 所以， ， ∴， 即的值不发生改变． 【点睛】本题考查了非负数的性质，待定系数法求反比例函数解析式，平行四边形的性质，正方形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，四边形的内角和，直角三角形的性质等知识点，有一定的难度，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点并能灵活运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $