河南省洛阳市2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷

2024-2025学年河南省洛阳市八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列计算正确的是（　　） A．＝ B． C．2+ D．2﹣2＝ 3．（3分）在△ABC中，BC＝a，AB＝c，AC＝b，则下列不能作为判定△ABC是直角三角形的条件是（　　） A．∠B＝∠A+∠C B．a2﹣b2＝c2 C．a：b：c＝3：4：5 D．a＝32，b＝42，c＝52 4．（3分）菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角相等 5．（3分）如图，Rt△ABC的直角边AC在数轴上，∠ACB＝90°，点A表示的实数为﹣2，以点A为圆心，AB的长为半径作弧交数轴的正半轴于点D．若BC＝1，AC＝2，则点D表示的实数为（　　） A．0.2 B． C． D． 6．（3分）如图，在△ABC中，点D、点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，且∠AFC＝90°，若BC＝12，AC＝8，则DF的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（3分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A．﹣2b B．﹣2a C．2b﹣2a D．0 8．（3分）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5m，则小巷的宽为（　　） A．2.4m B．2m C．2.5m D．2.7m 9．（3分）如图，点O为矩形ABCD的对角线的交点，点E从点A出发，沿AB向点B运动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（　　） A．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 B．正方形→菱形→平行四边形→矩形 C．平行四边形→正方形→菱形→矩形 D．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形 10．（3分）如图，在正方形ABCD中，以AB为边作等边三角形ABP，连接AC，PD，PC，则下列结论：①∠BCP＝75°；②△ADP≌△BCP；③△ADP和△ABC的面积比为1：2；④S△CDP＝CP2．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 　 　 ． 12．（3分）如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为 　 　 cm． 13．（3分）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若b﹣a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为 　 　 ． 14．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC＝16，BD＝12，E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为 　 　 15．（3分）如图，正方形ABCD的边长为，对角线AC，BD相交于点O，点E在CA的延长线上，OE＝5，连接DE． （Ⅰ）线段AE的长为 　 　 ； （Ⅱ）若F为DE的中点，则线段AF的长为 　 　 ． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16．（8分）计算： （1）； （2）． 17．（9分）在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（△ABC的三个顶点都在正方形的顶点处），如图所示，这样不需要求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上．　 　 （2）画△DEF，DE、EF、DF三边的长分别为、、， ①判断三角形的形状，说明理由． ②求这个三角形的面积． 18．（9分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上，　 　 ． 请从“①∠B＝∠AED；②AE＝BE，AE＝CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求证：四边形BCDE为平行四边形； （2）若AD⊥AB，AD＝8，BC＝10，求线段AE的长． 19．（9分）阅读材料，回答问题： （1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”．上述记载表明了：在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，那么a，b，c三者之间的数量关系是：　 　 ； 利用此数量关系解决以下问题： （2）我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”如图1所示，设绳索AC的长为x尺，根据题意，可列方程为 　 　 ； （3）如图2，把矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，如果AB＝4，BC＝8，求BE的长． 20．（10分）如图，AC＝BC，D是AB中点，CE∥AB，CE＝AB． （1）求证：四边形CDBE是矩形． （2）若AC＝5，CD＝3，F是BC上一点，且DF⊥BC，求DF的长． 21．（9分）学习了“勾股定理”之后，“综合与实践”小组进行测量风筝的高度的实践活动，他们设计了如表方案： 课题 测量风筝的高度CE 成员 组长：xxx组员：xxx，xxx，xxx 工具 皮尺，计算器等 测量示意图 说明：如图1，AE表示地面水平线，AB表示放风筝的同学牵风筝牵引线的手到地面的距离，且AB垂直于地面于点A，线段BC表示风筝牵引线（近似为线段），CE表示风筝到地面的垂直高度，CE⊥AE于点E，BD⊥CE于点D． 测量数值 测量项目 数值 点B到CE的距离BD 12米 风筝线BC的长度 20米 AB的长度 1.7米 （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如图2，如果想让风筝沿CD方向下降11米至点F，求应该往回收多少米风筝牵引线． 22．（10分）如图，BD是▱ABCD的对角线． （1）尺规作图（请用2B铅笔）：作线段BD的垂直平分线EF，分别交AD，BD，BC于点E，O，F，连接BE，DF（保留作图痕迹，不写作法）． （2）试判断四边形DEBF的形状，并说明理由． 23．（11分）实践探究： 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，若得到一个正方形，剪口与折痕应成 　 　 度的角． 知识应用： （1）小明按照以上方法剪出两个边长为1的全等正方形，如图②所示摆放，则四边形OEBF的面积为 　 　 ． （2）小明发现，正方形A1B1C1O在绕点O转动的过程中，两个正方形重叠部分的面积与正方形ABCD面积之间存在一定的数量关系，如图③写出该数量关系，并予以证明． 拓展延伸： 小明剪了两个大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形DEF，且∠BAC＝∠EDF＝90°，如图④放置，其中点D是BC的中点，点F在BA的延长线上，BE∥AC，当点M是DE的中点，EF＝时，请直接写出两个等腰直角三角形重叠部分的面积． 2024-2025学年河南省洛阳市八年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D A C B D D A D 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．【解答】解：A、原式＝，不符合题意； B、原式＝，不符合题意； C、原式为最简二次根式，符合题意； D、原式＝2，不符合题意， 故选：C． 2．【解答】解：A.与不能合并，所以A选项不符合题意； B.×＝＝，所以B选项符合题意； C.2与不能合并，所以C选项不符合题意； D．2与2不能合并，所以D选项不符合题意； 故选：B． 3．【解答】解：A、∵∠B＝∠A+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B＝∠A+∠C＝90°，能判定△ABC是直角三角形，不符合题意； B、∵a2﹣b2＝c2，即a2＝c2+b2，根据勾股定理逆定理可判定△ABC是直角三角形，不符合题意； C、由a：b：c＝3：4：5，可设a＝3x，b＝4x，c＝5x， ∴a2+b2＝25x2＝c2，根据勾股定理逆定理可判定△ABC是直角三角形，不符合题意； D、∵a＝32，b＝42，c＝52 ∴a2+b2＝（32）2+（42）2＝337，c2＝（52）2＝625 ∵a2+b2≠c2，所以不能判定△ABC是直角三角形，符合题意． 故选：D． 4．【解答】解：∵菱形的性质有：内角和360°，对边平行且相等，对角线互相垂直平分，对角相等； 平行四边形的性质有：内角和360°，对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等； ∴菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线互相垂直； 故选：A． 5．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝， 由题意可知，AD＝AB＝， ∴CD＝AD﹣AC＝﹣2， ∴点D表示的实数为﹣2， 故选：C． 6．【解答】解：∵点D、点E分别是AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE＝BC， ∵BC＝12， ∴DE＝6， 在Rt△AFC中，∠AFC＝90°，点E是AC的中点，AC＝8， ∴FE＝AC＝4， ∴DF＝DE﹣FE＝6﹣4＝2， 故选：B． 7．【解答】解：由数轴得，a＜0，b＞0， ∴b﹣a＞0， ∴ ＝|a|+b﹣（b﹣a） ＝﹣a+b﹣b+a ＝0， 故选：D． 8．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝2.5（m）， ∴A′B＝AB＝2.5米， 在Rt△A′BD中，由勾股定理得：BD＝＝＝2（m）， ∴CD＝BC+BD＝2+0.7＝2.7（m）， 即小巷的宽为2.7米， 故选：D． 9．【解答】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形， 故选：A． 10．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△ABP是等边三角形， ∴AB＝BP＝BC，∠ABC＝90°，∠ABP＝60°， ∴∠DAP＝∠CBP＝30°， ∴∠BCP＝∠BPC＝75°，故①正确； ∵AD＝BC，AP＝BP，∠DAP＝∠CBP＝30°， ∴△DAP≌△CBP（SAS），故②正确； 如图，∵△ABP是等边三角形，过点P作PG⊥AB于点G，PH⊥AD于点H， ∴AG＝GB， ∵∠BAD＝∠AGP＝90°， ∴四边形AGPH是矩形， ∴PH＝AG， ∵S△ABC＝×BC×AB＝×AD×AB，S△ADP＝×AD×PH＝×AD×AB＝×AD×AB， ∴△ADP和△ABC的面积比为1：2，故③正确； ∵∠PCD＝∠BCD﹣∠BCP＝15°，PC＝PD， ∴∠PCD＝∠PDC＝15°， ∴∠CPN＝30°， ∵CN⊥DP， ∴CN＝PC， ∴S△PDC＝×DP×CN＝PC2，故④正确， 综上所述：①②③④． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．【解答】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得x≥2； 故答案为：x≥2． 12．【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， ∵两张纸条宽度均为3cm， ∴四边形ABCD为平行四边形，且AE＝AF＝3cm， ∴∠ADF＝∠ABE＝60°， ∴△ADF≌△ABE（AAS）， ∴AD＝AB， ∴四边形ABCD为菱形， 在Rt△ADF中，∠ADF＝60°，AF＝3cm， ∴AD＝＝， 四边形ABCD的周长为：＝cm． 故答案为：． 13．【解答】解：由图可得， a2+b2＝c2， ∴且a、b均大于0， 解得， ∴每个直角三角形的面积为ab＝×12×16＝96， 故答案为：96． 14．【解答】解：如图，连接OE，作OH⊥CD于点H， ∵四边形ABCD是菱形，AC＝16，BD＝12， ∴， ∴∠COD＝90°， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G， ∴∠OFE＝∠OGE＝∠FOG＝90°， ∴四边形OGEF是矩形， ∴OE＝FG， ∴OE≥OH， ∵， ∴FG的最小值为， 故答案为：． 15．【解答】解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形， ∴OA＝OC＝OD＝OB，∠DOC＝90°， ∴在Rt△DOC中，OD2+OC2＝DC2， ∵DC＝3， ∴OA＝OD＝OC＝OB＝3， ∵OE＝5， ∴AE＝OE﹣OA＝2； 故答案为：2． （Ⅱ）延长DA到点G，使AG＝AD，连接EG，过E作EH⊥AG于H， ∵F为DE中点，A为DG中点， ∴AF为△DGE中位线， ∴AF＝EG， 在Rt△EAH中，∠EAH＝∠DAC＝45°， ∴AH＝EH， ∵AH2+EH2＝AE2， ∴AH＝EH＝， ∴GH＝AG﹣AH＝3﹣＝2， 在Rt△EGH中，EG2＝EH2+GH2＝10， ∴EG＝， ∴AF＝EG＝． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16．【解答】解：（1）原式＝ ＝ ＝ ＝5； （2）原式＝ ＝ ＝． 17．【解答】解：（1）S△ABC＝3×3﹣×1×2﹣×2×3﹣×1×3＝； 故答案为：； （2）如图2所示：△DEF，即为所求； ①三角形DEF是直角三角形， 理由如下： ∵（）2+（）2＝（）2， ∴△DEF是直角三角形； ②S△DEF＝××＝2． 18．【解答】解：（1）选择①或②，证明如下： 选择①，∵∠B＝∠AED， ∴BC∥DE， ∵AB∥CD， ∴四边形BCDE为平行四边形； 选择②，∵AE＝BE，AE＝CD， ∴BE＝CD， ∵AB∥CD， ∴四边形BCDE为平行四边形； 故答案为：①或②； （2）由（1）可知，四边形BCDE为平行四边形， ∴DE＝BC＝10， ∵AD⊥AB， ∴∠A＝90°， ∴AE＝＝＝6， 即线段AE的长为6． 19．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c， 由勾股定理得：a2+b2＝c2， 故答案为：a2+b2＝c2； （2）设绳索AC的长为x尺，则AB的长为（x﹣3）尺， 在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2+BC2＝AC2， ∴（x﹣3）2+82＝x2， 故答案为：（x﹣3）2+82＝x2； （3）把矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，如果AB＝4，BC＝8，设BE＝x，则EC＝8﹣x， ∴AE＝EC＝8﹣x， 由矩形的性质可得∠B＝90°， 在Rt△ABE中，由勾股定理得AE2＝AB2+BE2， ∴（8﹣x）2＝42+x2， 解得，x＝3， 则BE的长为3． 20．【解答】（1）证明：∵AC＝BC， ∴△ACB是等腰三角形， ∵D是AB中点， ∴DB＝AB，CD⊥DB， ∵CE＝AB， ∴DB＝CE， ∵CE∥AB， ∴四边形CDBE是平行四边形， 又∵CD⊥DB， ∴四边形CDBE是矩形； （2）解：在Rt△CDB中，∠CDB＝90°，CB＝AC＝5，CD＝3， ∴BD＝＝4， ∵DF⊥BC于F， ∴DF•BC＝CD•BD， 解得：DF＝． 21．【解答】解：（1）由勾股定理得，（米）， ∴CE＝CD+DE＝16+1.7＝17.7（米）， 答：风筝的垂直高度为17.7米． （2）如图，由勾股定理得， （米）， 20﹣13＝7（米）， ∴他应该往回收线7米． 22．【解答】解：（1）如图，EF为所作； （2）四边形DEBF为菱形． 理由如下：∵EF垂直平分BD， ∴OB＝OD，EF⊥BD， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， 在△DOE和△BOF中， ， ∴△DOE≌△BOF（ASA）， ∴OE＝OF， ∵OE＝OF，OB＝OD，EF⊥BD， ∴四边形DEBF为菱形． 23．【解答】解：实践探究：由题意知，剪口与折痕成 45°角， 故答案为：45； 知识应用：（1）由图知，O点是正方形的中心点，四边形OEBF是边长为的正方形， ∴四边形OEBF的面积为， 故答案为：； （2）两个正方形重叠部分的面积是正方形ABCD面积的，证明如下： 作OM⊥BC于点M，作ON⊥AB于N， 由（1）知，四边形OMBN是正方形， ∴OM＝ON， ∵∠OFB+∠B+∠OEN+∠EOF＝360°，∠B＝∠EOF＝90°， ∴∠OEN+∠OFB＝180°， 又∵∠OFM+∠OFB＝180°， ∴∠OEN＝∠OFM， 在△OEN和△OFM中， ， ∴△OEN≌△OFM（AAS）， ∴阴影部分的面积等于正方形OMBN的面积，是正方形ABCD面积的， 即两个正方形重叠部分的面积是正方形ABCD面积的； 拓展延伸： 设AC与DF交于点N，连接AD，过点D作DJ⊥BA于点J， 在△EBM和△DJM中， ， ∴△EBM≌△DJM（AAS）， ∴BM＝MJ， ∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，D是BC的中点， ∴△BDA和△BDJ是等腰直角三角形， ∴DJ＝BJ＝AB，MJ＝DJ， ∵EF＝， ∴DE＝＝，DM＝， 在Rt△DMJ中，DM2＝MJ2+DJ2， 即（）2＝（）2+DJ2， 解得，DJ＝1（舍去负值）， ∴AB＝2， ∵∠DNA+∠NDM+∠DMA+∠NAM＝360°，∠NDM＝∠NAM＝90°， ∴∠DNA+∠DMA＝180°， 又∵∠DMA+∠DMB＝180°， ∴∠DNA＝∠DMB， 在△BMD和△AND中， ， ∴△BMD≌△AND（AAS）， ∴两个等腰直角三角形重叠部分的面积＝△BDA的面积， 即两个等腰直角三角形重叠部分的面积＝AB•DJ＝2×1＝1． 学科网（北京）股份有限公司 $$