第27章 相似 单元试卷 2024-2025学年人教版数学九年级下册

第27章 相似 单元试卷 2024-2025学年人教版数学九年级下册 一、单选题 1．下列命题中，正确的有（    ）． ①有一个角等于的两个等腰三角形一定相似； ②一个角等于的两个等腰三角形一定相似； ③有一个锐角等于的两个直角三角形相似； ④任意两个等边三角形一定相似． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，DE∥BC，分别交△ABC的边AB、AC于点D、E，，若AE=5，则EC的长度为（　　）    A．10 B．15 C．20 D．25 3．图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（ ） A．点M B．点N C．点O D．点P 4．如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到的两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是（    ） A．2：1 B．1：2 C．3：2 D．：1 5．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的面积比为(　 　) A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D．∶ 6．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠B＝∠1，AE＝EC＝4，BC＝10，AB＝12，则△ADE和△ACB的周长之比为(   ) A．1︰2 B．1︰3 C．1︰4 D．1︰5 7．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是(　　) A．6米 B．8米 C．18米 D．24米 8．如图1，一长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘．图2是此时的示意图，若，，水面离桌面的高度为，则此时点C离桌面的高度为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如果，则 ． 10．如图所示的两个四边形相似，则的度数是 ． 11．如图，若，添加一个条件使，则添加的条件是 ． 12．已知，如图，，，且，则与 是位似图形，位似比为 . 13．△ADE∽△ABC， AM、AN分别是△ADE和△ABC的高，且周长分别是5和15，则AM：AN= ． 14．如图，中，，边在轴上，以为位似中心，作与位似，若 的对应点 ，则的坐标为 ． 15．如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么＝ ． 16．如图所示，为了测量一条大河的宽度，勘测人员在对面岸边观察到了一个特别明显的标志点O，再在他们所在的这一侧岸边选点A，B，D，使得AB⊥AO，AB⊥DB，如果已经确定DO和AB的交点C，并测得AC，BC的长度，那么要想算出河宽，还要测得长度的线段为 ． 三、解答题 17．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出将向左平移个单位，再向上平移个单位后的； (2)以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出将放大后的； (3)判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 18．如图，在正方形ABCD中，点E、F、G 分别在AB、BC、CD上，且于F． （1）求证：△BEF∽△CFG； （2）若AB=12，AE=3，CF=4，求CG的长． 19．如图，已知在四边形中，，延长、相交于点．求证： 20．如图，在矩形中，，，点从点沿边向点以的速度移动；同时，点从点沿边向点以的速度移动，问： (1)几秒后的面积等于？ (2)几秒后？ 21．如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F，． （1）若BD=20，求BG的长； （2）求的值． 22．课本中有一道作业题： 有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？ 小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题． （1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算． （2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长． 23．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD、CE所在直线相交所成的锐角为β． (1)问题发现当α＝0°时，＝_____；β＝_____°． (2)拓展探究 试判断：当0°≤α＜360°时，和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． (3)在△ADE旋转过程中，当DE∥AC时，直接写出此时△CBE的面积． 参考答案 1．C 2．A 3．D 4．D 5．C 6．B 7．B 8．C 9． 10．87° 11．或者∠DAB=∠CAE，∠DAE=∠BAC． 12． 7：4 13．1:3 14． 15． 16．BD 17．（1）解：如图所示： 为所作； （2）解：如图所示： 为所作； （3）解：与关于点为位似中心的位似图形，如图所示： 点为所作，点的坐标为． 18．解：(1)∵ABCD是正方形，于F ∴∠B=∠C=∠EFG= ∴∠BEF+∠BFE=∠BFE+∠CFG= ∴∠BEF=∠CFG ∴△BEF∽△CFG (2)解: ∵△BEF∽△CFG ∴ ∴ ． 19．证明：， ． 又， ， ， 即． 20．（1） 解：设秒后的面积等于， ，． ． ， 解得，， 答：秒或秒后的面积等于； （2） 解：设秒后， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∴ ∴∽， ∴， ，，，， ， 解得：， 答：秒后． 21．(1)    ∵GF∥BC， ∴， ∵BD=20，， ∴ ； (2)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴， ∴， ∴， ∴. 22．（1）mm，mm；（2）PN=60mm，mm． 23．（1）解：如图1中， ∵∠B＝90°，BA＝BC， ∴∠A＝45°，AC＝ =AB， ∵点D、E分别是边AB、AC的中点， ∴BD＝AB，EC＝AC， ∴＝，β＝45°； （2）解：结论：和β的大小无变化．理由如下： 如图2中，延长CE交AB于点O，交BD于K． 由（1）得：AE＝AD，AC＝AB，∠DAE＝∠BAC， ∴＝，∠DAB＝∠EAC， ∴， ∴△DAB∽△EAC， ∴＝＝，∠OBK＝∠OCA， ∵∠BOK＝∠COA， ∴∠BKO＝∠CAO＝45°，即β＝45°， ∴和β的大小无变化． （3）解：∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4， ∴， ∵点E分别是边AC的中点， ∴， 当点E在线段AB上时，， ∴S△BCE＝ =， 当点E在线段BA的延长线上时，， ∴S△BCE＝ =． 综上所述，△BCE的面积为 或． 学科网（北京）股份有限公司 $$