冲刺2025年中考数学之几何折叠（填空压轴）

宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 1 冲刺 2025 年中考之几何折叠 题型 1、折叠求长度 （2019 济南中考）如图，在矩形纸片 ABCD中，将 AB沿 BM 翻折，使点 A落在 BC上的点 N处， BM 为 折痕，连接MN ；再将CD沿CE 翻折，使点 D恰好落在MN 上的点 F 处，CE 为折痕，连接 EF 并延长交 BM 于点 P，若 8AD  ， 5AB  ，则线段 PE 的长等于 ． 【解析】过点 P作 PG FN ， PH BN ，垂足为G、H ，由折叠可知，四边形 ABNM 是正方形， 5AB BN NM MA    ， 5CD CF  ， 90D CFE    ， ED EF ， NC  8 5 3MD    ，在Rt FNC 中， 2 25 3 4FN    ， 5 4 1MF    ，在Rt MEF 中，设 EF x ，则 3ME x  ，由勾股定理得， 2 2 21 (3 )x x   ，解得， 5 3 x  ， CFN PFG   90， 90PFG FPG   ， FNC PGF ∽ ， : : : : 3 : 4 : 5FG PG PF NC FN FC   ， 设 3FG m ，则 4PG m ， 5PF m ， 4 3GN PH BH m     ， 5 (4 3 )HN m    1 3 4m PG m   ，解得， 1m  ， 5 5PF m   ， 5 205 3 3 PE PF FE      ． （2021 历下一模）如图，在矩形 ABCD中，AB＝3，BC＝4，点 P为 AD边上一点，将△APB沿 PB翻折， 点 A落在点 A′处，当点 A′在矩形的对角线上时，AP的长度为 ． 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 2 【解答】解：①如图，当点 A′落在 BD上时，由折叠得△BAP≌△BA′P， ∴∠BA′P＝∠BAP＝90°，AP＝A′P， 则∠PA′D＝90°， 在△PA′D中，sin∠PDA′＝ ， 在△BAD中， sin∠A′DP＝ ， 设 AP＝A′P＝a，则 PD＝4﹣a， ∴ ， 解得 a＝ ． ②如图，当点 A落在 AC上时， 由翻折知，直线 BP是 A与 A′ 对称轴， ∴BP⊥AA′， 令 BP交 AA′于点 E，则∠AEB＝90°， ∴∠EAP+∠APE＝90° ∵∠ABP+∠APE＝90°， ∴∠A＝∠EAP， ∴tan∠ABP＝ ＝tan∠EAP＝ ， 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 3 即 ， 解得：AP＝ ． 综上所述，AP的长度是 或 ． （2021 长清一模）如图，在矩形 ABCD中，BD为对角线，将矩形 ABCD沿 BE 、BF 所在直线折叠，使 点A落在 BD上的点M 处，点C落在 BD上的点N 处，连接 EF ．已知 6AB  ， 8BC  ，则 EF 的长 为________． 【解析】 【分析】根据勾股定理求出 BD，根据折叠的性质得到 AE EM ，CF NF ，证明 EDM BDA∽△ △ ， 根据相似三角形的性质求出DE，同理出去DF，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：∵四边形 ABCD是矩形， ∴ 6AB CD  ， 8AD BC  ， 90A C EDF      ， ∴ 2 2 2 26 8 10BD AB AD     ， ∵将矩形 ABCD沿 BE 所在直线折叠，使点A落在 BD上的点M 处， ∴ AE EM ， 90A BME    ， ∴ 90EMD  ， ∵ EDM ADB  ， ∴ EDM BDA∽△ △ ，∴ ED EM BD AB  ， 设DE x ，则 8AE EM x  ﹣ ，∴ 8 10 6 x x  ， 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 4 解得， 5x  ，即 5DE  ， 同理， DNF DCB∽△ △ ，∴ DF NF BD BC  ， 设DF y ，则 6CF NF y   ， ∴ 6 10 8 y y  ，解得， 10 3 y  ，即 10 3 DF  ， ∴ 2 2 2 2 10 5 135 3 3 EF DE DF          ， 故答案为： 5 13 3 （2021 历城一模）如图，矩形纸片 ABCD，AD＝2AB＝12，点 E在线段 BC上，将△ECD沿 DE向上翻折， 点 C的对应点 C落在线段 AD上，点 M、N分别是线段 AD与线段 BC上的点，将四边形 ABNM沿 MN向 下翻折，点 A恰好落在线段 DE的中点 A'处．则线段 MN的长为 ． 【解答】解：如图所示，作 A′G⊥AD于 G，连接 AA′交 MN于 K，连接 AN． 由题意可得，四边形 DCEC′是正方形，△DGA′ 是等腰直角三角形， ∴DG＝GA′＝ ＝3，AG＝AD﹣DG＝12﹣3＝9， 设 AM＝MA′＝x，则 MG＝9﹣x， 在 Rt△MGA′中，A'M2＝MG2+A'G2， 即 x2＝（9﹣x）2+32， 解得 x＝5， 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 5 ∴AM＝5， 在 Rt△AA'G中，AA′＝ ＝3 ， 由折叠可得 AK＝ AA'＝ ，AK⊥NM， ∵ MN×AK＝ AM×AB， ∴MN＝ ＝ ＝ ， 故答案为： （2021 市中二模）如图，有一张矩形纸条 ABCD，AB＝5cm，BC＝2cm，点 M、N分别在边 AB、CD上， CN＝1cm，现将四边形 BCNM沿 MN折叠，使点 B、C分别落在点 B′、C′上，在点 M从点 A运动到 点 B的过程中，若边 MB′与边 CD交于点 E，则点 E相应运动的路径长为 cm． 【解答】解：如图 1中， ∵四边形 ABCD是矩形， ∴AB∥CD，∴∠1＝∠3， 由翻折的性质可知：∠1＝∠2，BM＝MB′， ∴∠2＝∠3，∴MB′＝NB′， ∵NB′＝ ＝ ＝ ， ∴BM＝NB′＝ （cm）． 如图 2中，当点 M与 A重合时，AE＝EN，设 AE＝EN＝xcm， 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 6 在 Rt△ADE中，则有 x2＝22+（4﹣x）2，解得 x＝ ， ∴DE＝4﹣ ＝ （cm）， 如图 3中，当点 M运动到 MB′⊥AB时，DE′的值最大，DE′＝5﹣1﹣2＝2（cm）， 如图 4中，当点 M运动到点 B′落在 CD时，DB′（即 DE″）＝5﹣1﹣ ＝（4﹣ ）（cm）， ∴点 E的运动轨迹 E→E′→E″，运动路径＝EE′+E′B′＝2﹣ +2﹣（4﹣ ）＝（ ﹣ ）（cm）． 故答案为：（ ﹣ ） （2022 历城区一模）如图，矩形纸片 ABCD中， 2 10AB  ， 10BC  ，将矩形纸片 ABCD折叠，使C与 点 A重合，则折痕 EF 的长为 ． 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 7 【详解】连接 AC交 EF 于点O，由折叠可知， EF 垂直平分 AC， OA OC  ， 在矩形纸片 ABCD中， / /AD BC ， OAE OCF   ， 在 AOE 和 COF 中， OAE OCF OA OC AOE COF         ， ( )AOE COF ASA   ， OE OF  ， 在Rt ABC 中， 2 10AB  ， 10BC  ， 2 2 2 35AC AB BC    ， 35OA OC   ， 设 AE x ，则 10EG ED x   ， 在Rt AGE 中，由勾股定理得： 2 2 2(2 10) (10 )x x   ， 解得： 7x  ， 7AE x   ， 在Rt AOE 中， 2 2 49 35 14OE AE OA     ， 2 2 14EF OE   故答案为： 2 14 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 8 （2022 历城区校级模拟）如图，在矩形 ABCD中， 5AB  ， 6BC  ，点M ， N分别在 AD， BC上，且 3AM AD ，3BN BC ， E为直线 BC上一动点，连接DE，将 DCE 沿DE所在直线翻折得到△DC E ， 当点C 恰好落在直线MN 上时，CE 的长为 ． 【详解】设CE x ，则C E x  ， 当 E点在线段 BC上时，如图 1， 矩形 ABCD中， 5AB  ， 5CD AB   ， 6AD BC  ， / /AD BC ， 点M ， N分别在 AD， BC上，且 3AM AD ，3BN BC ， 4DM CN   ， 四边形CDMN 为平行四边形， 90NCD   ， 四边形MNCD是矩形， 90DMN MNC    ， 5MN CD  由折叠知， 5C D CD   ， 2 2 2 25 4 3MC C D MD        ， 5 3 2C N     ， 4EN CN CE x    ， 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 9 2 2 2C E NE C E     ， 2 2 2(4 ) 2x x    ， 解得， 2.5x  ，即 2.5CE  ； 当 E点在CB的延长线上时，如图 2， 矩形 ABCD中， 5AB  ， 5CD AB   ， 6AD BC  ， / /AD BC ， 点M ， N分别在 AD， BC上，且 3AM AD ，3BN BC ， 4DM CN   ， 四边形CDMN 为平行四边形， 90NCD   ， 四边形MNCD是矩形， 90DMN MNC    ， 5MN CD  由折叠知， 5C D CD   ， 2 2 2 25 4 3MC C D MD        ， 5 3 8C N     ， 4EN CE CN x    ， 2 2 2C E NE C E    ， 2 2 2( 4) 8x x    ， 解得， 10x  ，即 10CE  ； 综上， 2.5CE  或 10． 故答案为：2.5或 10 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 10 （2022 槐荫区校级模拟）如图，将矩形纸片 ABCD折叠 ( )AD AB ，使 AB落在 AD上，AE为折痕，然后 将矩形纸片展开铺在一个平面上， E点不动，将 BE 边折起，使点 B落在 AE上的点G处，连接 DE，若 DE EF ， 2CE  ，则 AD的长为 ． 【详解】由翻折的性质可知， EB EB ， 90B AB E EB D        ， 在Rt EBF 和 Rt△ EB D 中， EB EB EF ED     ， Rt EBF Rt   △ ( )EB D HL ， BF DB  ， 四边形 ABCD是矩形， 90C CDB EB D        ， 四边形 ECDB是矩形， 2DB EC    ， 2BF EC   ， 由翻折的性质可知， 2BF FG  ， 45FAG  ， 90EGF B AGF      ， 2AG FG   ， 2 2AF  ． 2 2 2AB AB     ， 4 2 2AD AB DB       ， 故答案为： 4 2 2 ． （2022 济阳区一模）如图， ABC 中， 90ABC  ， 2AB  ， 4BC  ，点D是斜边 AC的中点．将 DBC 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 11 沿直线 BD对折，C点落在 E处，连接 AE，则 AE的长度为 ． 【详解】连接 EC，延长 BD交 EC于点 F ，如图， 90ABC   ， 2AB  ， 4BC  ， 2 2 2 5AC AB BC    ， 点 D是斜边 AC的中点， 1 5 2 BD CD AC    ， 由题意： BE BC ， DE DC ， BD 是线段 EC的垂直平分线， BF EC  ， EF FC ， 点 D是斜边 AC的中点， DF 是 CAE 的中位线， 2AE DF  ． 设DF x ，则在Rt DFC 中， 2 2 2 25CF CD DF x    ， 在Rt BFC 中， 2 2 2BF CF BC  ， 2 2 2(( 5 ) 5 4x x     ， 解得： 3 5 5 x  ， 6 52 5 AE x   ． 故答案为： 6 5 5 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 12 （2022 市中区二模）如图，矩形纸片 ABCD， 12AD  ， 4AB  ，点 E在线段 BC上，将 ECD 沿DE向 上翻折，点C的对应点C 落在线段 AD上，点M ，N分别是线段 AD与线段 BC上的点，将四边形 ABNM 沿MN 向上翻折，点 B恰好落在线段DE的中点 B处．则线段MN 的长 ． 【详解】如图，作 B F BC  于 F ，连接 BB交MN 于G，连接 BM ， 由题意可知，四边形CDC E ，是正方形，△ B EF 是等腰直角三角形， 1 2 2 CF EF B F CD     ， 12 2 10BF BC CF     ， 在 Rt△ BB F 中， 2 2 104 2 26BB BF B F     ， 设 BN B N x  ，则 10NF BC BN CF x     ， 在 Rt△ B NF 中， 2 2 2B N NF B F   ， 即 2 2 2(10 ) 2x x   ， 解得： 26 5 x  ， 26 5 BN  ， 由折叠的性质可知： 1 26 2 BG B G BB    ， BB MN  ， 1 1 2 2BMN S MN BG BN AB       ， 26 4 45 26 526 BN ABMN BG      ， 故答案为： 4 26 5 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 13 （2022市中区二模）如图，将矩形 ABCD沿 EF 折叠，使得点 D落在 AB边上的点G处，点C落在点 P处， 得到四边形 EFPG，若 2AB  ， 3BC  ， 2 10 3 EF  ， BP  ． 【详解】方法一：如图，过点 F 作 FH EG 于H ，过点 P 作 PJ BF 于 J ． 四边形 ABCD是矩形， 2AB CD   ， 3AD BC  ， 90A  ， 2HF AB  ， EFH ADG   ， 90EHF GAD    ， EFH GDA ∽ ，  EF HF DG AD  ，  2 10 23 3DG  ， 10DG  ， 2 2 10 9 1AG DG AD      ， 由翻折可知： ED EG ，设 ED EG x  ， 3AE x  ， 在Rt AEG 中， 2 2 2EG AE AG  ， 2 2 2x AG AE   ， 2 21 (3 )x x    ， 5 3 x  ， 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 14 5 3 DE EG   ， 5 43 3 3 3 AE x     ， FH EG ， 90FHG HGP GPF      ， 四边形 HGPF是矩形， 2FH PG CD    ， 2 2 2 22 10 5( ) 2 3 3 EH EF FH      ， 5 2 1 3 3 GH FP CF EG EH        ， / /PF EG ， / /EA FB， AEG JFP   ， 90A FJP     ， AEG JFP ∽ ，  AE AG EG FJ PJ FP   ，  4 5 13 3 1FJ PJ   ， 4 5 FJ  ， 3 5 PJ  ， 4 63 1 5 5 BJ BC FJ CF        ， 在Rt BJP 中， 2 2 2 23 6 3 5( ) ( ) 4 5 5 BP BJ PJ     ； 解法二：作 PM 垂直 AB于M ，用解法一中方法计算得： 4 3 AE  ， 1AG GB  ， 2 2 2 24 5( ) 1 3 3 GE AE AG      ， 由一线三等角易证Rt AEG Rt MGP ∽ ，  AE AG EG GM MP GP   ，  4 5 13 3 2GM MP   ， 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 15 解得： 8 5 GM  ， 6 5 MP  ， 8 31 5 5 BM GM GB      ， 直角三角形 BPM 中，由勾股定理得 2 2 2 2 3 6 3 5( ) ( ) 5 5 5 BP BM MP     ． （2022 钢城区二模）如图，四边形 ABCD是一张矩形纸片， 2AB  ，点G是CD的中点，先将矩形纸片 ABCD 沿过点 B的直线折叠，使点 A落在 BC上的点 F 处，折痕为 BE ，然后把纸片展平．再将矩形纸片 ABCD沿 BG折叠，点C恰好落在 BE 上的点H 处，折痕为 BG，然后再把纸片展平，分别连接 EF 、HG，则 BC的 长为 ． 【详解】如图，连接 EG ，由折叠的性质可知：四边形 ABFE 是正方形，四边形 EFCD是矩形， BH BC ， 90BHG C    ，CG HG ， 2AB  ， 2 2BE  ， 点G是CD的中点， CG DG  ， 2CG DG HG    ， 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 16 在Rt DGE 和Rt HGE 中， GE EG DG HG    ， Rt DGE Rt HGE(HL)    ， DE HE FC   ， 设 FC x ，则 2BH BC BF FC x     ， 2 2BE BH HE x     ， 2 2 2 2x   ， 解得 2 1x   ， 2 2 1BC x     ， 故答案为： 2 1 （2022 市中区校级模拟）如图，在矩形纸片 ABCD中， 2 4AD AB  ，点M 、 N分别是 AD、 BC的中 点，点 E、 F 分别在 AB、CD上，且 AE CF ．将 AEM 沿 EM 折叠，点 A的对应点为点 P，将 NCF 沿 NF 折叠，点C的对应点为点Q，当四边形 PMQN 为菱形时，则 AE  ． 【详解】如图，连接MN ， PQ交于点O，延长 PQ交CD于H ，延长QP交 AB于G． 四边形 PNQM 是菱形， MN PQ  ， 点M 、 N分别是 AD、 BC的中点， AM BN  ， 又矩形 ABCD中， / /AM BN ， 90A  ， 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 17 四边形 AMNB是矩形， 90AMN   / / / /PQ AD BC ， 1 1 1 2 4 AG DK OM AB AD      ， 2PM AM  ， 1sin 2 MPO   ， 30MPO  ， 90EPM   ， 90 30 60EPG       3 3OP OM   ， 2OG  ， tan 60 2 3 3EG PG     ， 2 3GP   ， 1 (2 3 3) 4 2 3AE AG EG        ． 故答案为： 4 2 3 （2022 商河县一模）如图，在矩形 ABCD中， 9AB  ，点 E， F 分别在 BC，CD上，将 ABE 沿 AE折 叠，使点 B 落在 AC 上的点 B处，又将 CEF 沿 EF 折叠，使点 C 落在直线 EB与 AD的交点 C处， DF  ． 【详解】连接CC， 将 ABE 沿 AE折叠，使点 B 落在 AC 上的点 B处， 又将 CEF 沿 EF 折叠，使点C 落在 EB与 AD的交点C处． EC EC  ， 1 2   ， 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 18 3 2   ， 1 3   ， 在△CC B 与△CC D 中， 90D CB C BC C DC C C C C C                 ， △CC B   △ ( )CC D AAS ， CB CD   ， 又 AB AB  ， AB CB   ， 所以 B是对角线 AC 中点， 即 2 18AC AB  ，所以 30ACB  ， 60BAC  ， 30ACC DCC      ， 1 60DC C     ， 30DC F FC C      ， 2C F CF DF    ， 9DF CF CD AB    ， 3DF  ． 故答案为：3． （2022 莱芜区二模）如图，将矩形纸片 ABCD折叠 ( )AD AB ，使 AB落在 AD上，AE为折痕，然后将矩 形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将 BE 边折起，使点 B落在 AE上的点G处，连接DE，若DE EF ， 1CE  ，则 AD  ． 【详解】四边形 ABCD是矩形， 90B C    ， 矩形 ABCD折叠， AB落在 AD上， AE为折痕， 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 19 90AB E   ， BE B E  ， 45BAE B AE     ， 四边形 ABEB为正方形，四边形CDB E 为矩形， CD B E   ， 1B D CE   ， BE CD  ， DE EF ， Rt BEF Rt CDE(HL)    ， 1BF CE   ， BE 边折起，使点 B 落在 AE上的点G处， 1GF BF   ， 90EGF B    ， 2 2AF GF   ， 2 1AB AF BF     ， 2 1AB AB     ， 2 2AD AB B D       ， 故答案为： 2 2 （2023 年商河一模）正方形 ABCD中， 2AB  ， E为 AB的中点，将 ADEV 沿DE折叠得到 FDEV ， FH BC ，垂足为H ，则 FH  ______． 【解析】 【分析】先证明△EMF∽△FND，列比例式可得比值为 12 ，设 FH= x，根据勾股定理列方程可得结论． 【详解】如图，过点 F作 MN ∥BC，交 AB于 M，交 CD于 N， 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 20 四边形 ABCD是正方形 ∠B =∠C = 90° MN ∥BC ∠AMF =∠B = 90°，∠DNF=∠C= 90° ∠EMF =∠DNF = 90° 由折叠得：AD= DF = 2， AE = EF，∠A =∠EFD= 90°, ∠EFM +∠DFN=∠DFN+∠NDF= 90° ∠EFM=∠NDF △EMF∽△FND EF FM EM DF DN FN    正方形 ABCD中， AB = 2，E为 AB的中点 AE= BE = EF = 1 设 FH = BM=x，则 EM= 1 – x，FN = 2EM = 2 (1 - x)= 2 – 2x FM = 2 - FN = 2 -(2 -2 x)= 2 x 在 Rt△EMF中，由勾股定理得： EF2= EM2+ FM2 12=(1-x) 2 +(2x) 2 解得：x1=0，x2 = 2 5 FH= 2 5 故答案为： 2 5 （2023 年章丘一模）如图，在矩形 ABCD 中，BD 为对角线，将矩形 ABCD 沿 BE、BF 所在直线折叠，使点 A 落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连接EF．已知AB＝6，BC＝8，则EF的长为__________________． 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 21 【解析】 【分析】根据勾股定理求出 BD，根据折叠的性质得到 AE＝EM，CF＝NF，证明△EDM∽△BDA，根据相 似三角形的性质求出 DE，同理出去 DF，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：∵四边形 ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∠A＝∠C＝∠EDF＝90°， ∴ 2 2 10BD AB AD   ∵将矩形 ABCD沿 BE所在直线折叠，使点 A落在 BD上的点 M处， ∴AE＝EM，∠A＝∠BME＝90°， ∴∠EMD＝90°， ∵∠EDM＝∠ADB， ∴△EDM∽△BDA， ∴ ED EM BD AB  ， 设 DE＝x，则 AE＝EM＝8﹣x， ∴ 8 10 6 x x  解得，x＝5，即 DE＝5， 同理，△DNF∽△DCB， ∴ DF NF BD BC  ， 设 DF＝y，则 CF＝NF＝6﹣y， ∴ 6 10 8 y y  ， 解得，y＝ 10 3 ，即 DF＝ 10 3 ， ∴ 2 2 5 13 3 EF DE DF   ， 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 22 故答案为： 5 13 3 ． （2023 年历城三模）如图，在矩形 ABCD中， 2AB  ，在BC上取一点 E，连接 AE ED、 ，将 ABE 沿 AE翻折，使点 B落在 B处，线段 EB交 AD于点 F，将 ECD 沿DE翻折，使点 C的对应点C落在线 段EB上，若点C恰好为EB的中点，则线段 EF 的长为______． 【解析】 【分析】由折叠的性质可得 2 90AB AB CD C D B B C DC E BE B E CE C E                   ， ， ， ， AEB AEB   ， DEC DEC   ，从而可求出 90AED  ．由中点性质可得 2B E C E  ，可得 3BC AD EC  ，由勾股定理可求可求 CE 的长，由“ AAS ”可证 AB F DC F  ≌ ，可得 2 2 C F B F   ，即可求解． 【详解】∵四边形 ABCD是矩形， ∴ 2 90AB CD AD BC B C       ， ， ． 由折叠的性质可得 2 90AB AB CD C D B B C DC E BE B E CE C E                   ， ， ， ， AEB AEB   ， DEC DEC   ， ∴ 90AED AEB DEC      ． ∵点C恰好为EB的中点， 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 23 ∴ 2B E C E  ， ∴ 2BE CE ， ∴ 3BC AD EC  ． ∵ 2 2 2 2 2 2 2 2 2AE AB BE DE DC CE AD AE DE     ， ， ， ∴ 2 2 24 4 4 9CE CE CE    ， ∴ 2CE  ， ∴ 2 2 3 2 2B E BE BC AD C E     ， ， ， ∴ 2B C B E C E      ． ∵ 90B DC F AFB DFC AB C D             ， ， ， ∴  AASAB F DC F  ≌ ， ∴ 1 2 2 2 C F B F B C      ， ∴ 2 3 22 2 2 EF C E C F      ． 故答案为： 3 2 2 （2024 莱芜三模）16. 如图，在边长为 2的菱形 ABCD中， 120B  ，点 M是 AD的中点，连接MC， 将菱形 ABCD翻折，使点 A落在线段CM 上的点 E处，折痕交 AB于点 N，则线段 EC的长为__________． 【解析】 【分析】过点M作MF DC ，交CD于点F，解直角三角形得出 ,MF FD的长，再根据勾股定理求得MC， 即可解答． 【详解】解：如图所示，过点 M作MF DC ，交CD于点 F， 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 24 ∵在边长为 2的菱形 ABCD中， 120ABC  ， 120ADC  ， 60FDM   ， 30FMD  ， MF FDQ ，点 M为 AD的中点， ∴ 1 1 1 2 2 MD AD CD   ， ∴ 1 1 2 2 FD MD  ， ∴ 2 2 3 2 FM MD FD   ， ∴ 22 2 2 5 3 7 2 2 MC FC FM                ， 将菱形 ABCD翻折，使点 A的对应点 E落在MC上， 1ME AM   ， ∴ 7 1EC MC ME    ． 故答案为： 7 1 （2024 商河一模）16．（4分）如图，在 Rt△ABC中，∠BAC＝90°， ，点 E在线段 AC上，且 AE＝2，D是线段 BC上的一点，连接 DE，将四边形 ABDE沿直线 DE翻折，得到四边形 FGDE，当点 G 恰好落在线段 AC上时，AF＝ ． 【解答】解：过点 F作 FH⊥AC于 H，如图： ∵将四边形 ABDE沿直线 DE翻折，得到四边形 FGDE， 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 25 ∴AB＝FG＝2 ，AE＝EF＝2，∠BAC＝∠EFG＝90°， ∴EG＝ ＝ ＝4， ∵sin∠FEG＝ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴HF＝ ， ∵cos∠FEG＝ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴EH＝1， ∴AH＝AE+EH＝2+1＝3， ∴AF＝ ＝ ＝2 ， 故答案为：2 ． （2024 莱芜一模）16．（4分）如图，在矩形 ABCD中，AB＝2，BC＝3，点 F为 CD的中点，将△ADF沿 AF折叠，点 D的对应点为 D′，连接 FD′并延长，交 BC于点 P，CP的长为 ． 【解答】解：如图，过点 D′作 MN∥AD，分别交 AB、CD于点 M、N， ∵四边形 ABCD是矩形， 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 26 ∴∠BAD＝∠D＝90°，AD＝BC＝3，AB＝CD＝2， ∵MN∥AD， ∴∠AMN+∠BAD＝180°，∠D+∠DNM＝180°， ∴∠AMN＝∠DNM＝90°， ∴四边形 AMND是矩形，∠AD′M+∠MAD′＝90°， ∴MN＝AD＝3， ∵点 F为 CD的中点， ∴DF＝CF＝1， ∵将△ADF沿 AF折叠，点 D的对应点为 D′， ∴∠D＝∠AD′F＝90°，DF＝D′F＝1，AD＝AD′＝3， ∴∠AD′M+∠FD′N＝90°， ∴∠MAD′＝∠FD′N， 又∵∠AMN＝∠DNM， ∴△AMD′∽△D′NF， ∴ ＝ ， 设 D′N＝x，则 MD′＝3﹣x， ∴AM＝ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴x＝ 或 x＝0（舍去）， 即 D′N＝ ， ∴FN＝ ＝ ＝ ， ∴tan∠CFP＝ ＝ ＝ ＝ ， ∴CP＝ ， 故答案为： （2024 南山二模）16. 如图，矩形OABC中， 4OA  ， 3AB  ，点D在边 BC上，且 3CD DB ，点 E 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 27 是边OA上一点，连接DE，将四边形 ABDE沿DE折叠，若点 A的对称点 A恰好落在边OC上，则OE 的长为_______． 【解析】 【分析】连接 A D ， AD，根据矩形的性质得到 4BC OA  ， 3OC AB  ， 90C B O     ，求 得 3CD  ， 1BD  ，根据折叠的性质得到 A D AD  ， A E AE  ，根据全等三角形的性质得到 1A C BD   ，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：连接 A D ， AD， 四边形OABC是矩形， 4BC OA   ， 3OC AB  ， 90C B O      ， 3CD DB ， 3CD  ， 1BD  ， CD AB  ， 将四边形 ABDE沿DE折叠，点A的对称点 A恰好落在边OC上， A D AD  ， A E AE  ， 在Rt A CD△ 与Rt DBA 中， CD AB A D AD    ， ∴Rt Rt (HL)A CD DBA ≌ ， 1A C BD   ， 2AO  ， 2 2 2A O OE A E   ， 2 2 22 (4 )OE OE    ， 3 2 OE  ， 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 28 故答案为： 3 2 ． （2024 平阴一模）16．（4分）如图，已知正方形 ABCD的边长为 1，点 E、F分别在边 AD、BC上，将正 方形沿着 EF翻折，点 B恰好落在 CD边上的点 B′处，如果四边形 ABFE与四边形 EFCD的面积比为 3： 5，那么线段 FC的长为 ． 【解答】解：如图，连接 BB'，过点 F作 FH⊥AD， ∵已知正方形 ABCD的边长为 1，四边形 ABFE与四边形 EFCD的面积比为 3：5， ∴S 四边形 ABFE＝ ， 设 CF＝x，则 DH＝x，BF＝1﹣x， ∴S 四边形 ABFE＝ ， 即 ， 解得 AE＝x﹣ ， 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 29 ∴DE＝1﹣AE＝ ， ∴EH＝ED﹣HD＝ ， 由折叠的性质可得 BB'⊥EF， ∴∠1+∠2＝∠BGF＝90°， ∵∠2+∠3＝90°， ∴∠1＝∠3， 又 FH＝BC＝1，∠EHF＝∠C， ∴△EHF≌△B'CB（ASA）， ∴EH＝B'C＝ ， 在 Rt△B'FC中，B'F2＝B'C2+CF2， ∴（1﹣x）2＝x2+（ ）2， 解得 x＝ ． 故答案为： （2024 天桥三模）16. 如图，正方形 ABCD的边长是 18，点 E是 AB边上的一个动点，点 F是 CD边上 一点， 8CF ，连接 EF，把正方形 ABCD沿 EF折叠，使点 A，D分别落在点 A，D¢处，当点 D¢落在 直线 BC上时，线段 AE的长为________． 【解析】 【分析】分两种情况：①D′落在线段 BC上，②D′落在线段 BC延长线上，分别连接 ED、ED′、DD′，利用 折叠的性质以及勾股定理，即可得到线段 AE的长． 【详解】解：分两种情况： ①当 D′落在线段 BC上时，连接 ED、ED′、DD′，如图 1所示： 由折叠可得，D，D'关于 EF对称，即 EF垂直平分 DD'， ∴DE＝D′E， 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 30 ∵正方形 ABCD的边长是 18， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝18， ∵CF＝8， ∴DF＝D′F＝CD−CF＝10， ∴CD′＝ 2 2'D F CF- ＝6， ∴BD'＝BC−CD'＝12， 设 AE＝x，则 BE＝18−x， 在 Rt△AED和 Rt△BED'中， 由勾股定理得：DE2＝AD2＋AE2＝182＋x2，D'E2＝BE2＋BD'2＝（18−x）2＋122， ∴182＋x2＝（18−x）2＋122， 解得：x＝4，即 AE＝4； ②当 D′落在线段 BC延长线上时，连接 ED、ED′、DD′，如图 2所示： 由折叠可得，D，D'关于 EF对称，即 EF垂直平分 DD'， ∴DE＝D′E， ∵正方形 ABCD的边长是 18， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝18， ∵CF＝8， ∴DF＝D′F＝CD−CF＝10，CD'＝ 2 2'D F CF- ＝6， ∴BD'＝BC＋CD'＝24， 设 AE＝x，则 BE＝18−x， 在 Rt△AED和 Rt△BED'中， 由勾股定理得：DE2＝AD2＋AE2＝182＋x2，D'E2＝BE2＋BD'2＝（18−x）2＋242， ∴182＋x2＝（18−x）2＋242， 解得：x＝16，即 AE＝16； 综上所述，线段 AE的长为 4或 16； 故答案为 4或 16． 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 1 冲刺 2025 年中考之几何折叠 题型 1、折叠求长度 （2019 济南中考）如图，在矩形纸片 ABCD中，将 AB沿 BM 翻折，使点 A落在 BC上的点 N处， BM 为 折痕，连接MN ；再将CD沿CE 翻折，使点 D恰好落在MN 上的点 F 处，CE 为折痕，连接 EF 并延长交 BM 于点 P，若 8AD  ， 5AB  ，则线段 PE 的长等于 ． （2021 历下一模）如图，在矩形 ABCD中，AB＝3，BC＝4，点 P为 AD边上一点，将△APB沿 PB翻折， 点 A落在点 A′处，当点 A′在矩形的对角线上时，AP的长度为 ． （2021 长清一模）如图，在矩形 ABCD中，BD为对角线，将矩形 ABCD沿 BE 、BF 所在直线折叠，使 点A落在 BD上的点M 处，点C落在 BD上的点N 处，连接 EF ．已知 6AB  ， 8BC  ，则 EF 的长 为________． （2021 历城一模）如图，矩形纸片 ABCD，AD＝2AB＝12，点 E在线段 BC上，将△ECD沿 DE向上翻折， 点 C的对应点 C落在线段 AD上，点 M、N分别是线段 AD与线段 BC上的点，将四边形 ABNM沿 MN向 下翻折，点 A恰好落在线段 DE的中点 A'处．则线段 MN的长为 ． 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 2 （2021 市中二模）如图，有一张矩形纸条 ABCD，AB＝5cm，BC＝2cm，点 M、N分别在边 AB、CD上， CN＝1cm，现将四边形 BCNM沿 MN折叠，使点 B、C分别落在点 B′、C′上，在点 M从点 A运动到 点 B的过程中，若边 MB′与边 CD交于点 E，则点 E相应运动的路径长为 cm． （2022 历城区一模）如图，矩形纸片 ABCD中， 2 10AB  ， 10BC  ，将矩形纸片 ABCD折叠，使C与 点 A重合，则折痕 EF 的长为 ． （2022 历城区校级模拟）如图，在矩形 ABCD中， 5AB  ， 6BC  ，点M ， N分别在 AD， BC上，且 3AM AD ，3BN BC ， E为直线 BC上一动点，连接DE，将 DCE 沿DE所在直线翻折得到△DC E ， 当点C 恰好落在直线MN 上时，CE 的长为 ． 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 3 （2022 槐荫区校级模拟）如图，将矩形纸片 ABCD折叠 ( )AD AB ，使 AB落在 AD上，AE为折痕，然后 将矩形纸片展开铺在一个平面上， E点不动，将 BE 边折起，使点 B落在 AE上的点G处，连接 DE，若 DE EF ， 2CE  ，则 AD的长为 ． （2022 济阳区一模）如图， ABC 中， 90ABC  ， 2AB  ， 4BC  ，点D是斜边 AC的中点．将 DBC 沿直线 BD对折，C点落在 E处，连接 AE，则 AE的长度为 ． （2022 市中区二模）如图，矩形纸片 ABCD， 12AD  ， 4AB  ，点 E在线段 BC上，将 ECD 沿DE向 上翻折，点C的对应点C 落在线段 AD上，点M ，N分别是线段 AD与线段 BC上的点，将四边形 ABNM 沿MN 向上翻折，点 B恰好落在线段DE的中点 B处．则线段MN 的长 ． （2022•市中区二模）如图，将矩形 ABCD沿 EF 折叠，使得点D落在 AB边上的点G处，点C落在点 P处， 得到四边形 EFPG，若 2AB  ， 3BC  ， 2 10 3 EF  ， BP  ． 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 4 （2022 钢城区二模）如图，四边形 ABCD是一张矩形纸片， 2AB  ，点G是CD的中点，先将矩形纸片 ABCD 沿过点 B的直线折叠，使点 A落在 BC上的点 F 处，折痕为 BE ，然后把纸片展平．再将矩形纸片 ABCD沿 BG折叠，点C恰好落在 BE 上的点H 处，折痕为 BG，然后再把纸片展平，分别连接 EF 、HG，则 BC的 长为 ． （2022 市中区校级模拟）如图，在矩形纸片 ABCD中， 2 4AD AB  ，点M 、 N分别是 AD、 BC的中 点，点 E、 F 分别在 AB、CD上，且 AE CF ．将 AEM 沿 EM 折叠，点 A的对应点为点 P，将 NCF 沿 NF 折叠，点C的对应点为点Q，当四边形 PMQN 为菱形时，则 AE  ． （2022 商河县一模）如图，在矩形 ABCD中， 9AB  ，点 E， F 分别在 BC，CD上，将 ABE 沿 AE折 叠，使点 B 落在 AC 上的点 B处，又将 CEF 沿 EF 折叠，使点 C 落在直线 EB与 AD的交点 C处， DF  ． （2022 莱芜区二模）如图，将矩形纸片 ABCD折叠 ( )AD AB ，使 AB落在 AD上，AE为折痕，然后将矩 形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将 BE 边折起，使点 B落在 AE上的点G处，连接DE，若DE EF ， 1CE  ，则 AD  ． 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 5 （2023 年商河一模）正方形 ABCD中， 2AB  ， E为 AB的中点，将 ADEV 沿DE折叠得到 FDEV ， FH BC ，垂足为H ，则 FH  ______． （2023 年章丘一模）如图，在矩形 ABCD 中，BD 为对角线，将矩形 ABCD 沿 BE、BF 所在直线折叠，使点 A 落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连接EF．已知AB＝6，BC＝8，则EF的长为__________________． （2023 年历城三模）如图，在矩形 ABCD中， 2AB  ，在BC上取一点 E，连接 AE ED、 ，将 ABE 沿 AE翻折，使点 B落在 B处，线段 EB交 AD于点 F，将 ECD 沿DE翻折，使点 C的对应点C落在线 段EB上，若点C恰好为EB的中点，则线段 EF 的长为______． （2024 莱芜三模）16. 如图，在边长为 2的菱形 ABCD中， 120B  ，点 M是 AD的中点，连接MC， 将菱形 ABCD翻折，使点 A落在线段CM 上的点 E处，折痕交 AB于点 N，则线段 EC的长为__________． （2024 商河一模）16．（4分）如图，在 Rt△ABC中，∠BAC＝90°， ，点 E在线段 AC上，且 AE＝2，D是线段 BC上的一点，连接 DE，将四边形 ABDE沿直线 DE翻折，得到四边形 FGDE，当点 G 恰好落在线段 AC上时，AF＝ ． 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 6 （2024 莱芜一模）16．（4分）如图，在矩形 ABCD中，AB＝2，BC＝3，点 F为 CD的中点，将△ADF沿 AF折叠，点 D的对应点为 D′，连接 FD′并延长，交 BC于点 P，CP的长为 ． （2024 南山二模）16. 如图，矩形OABC中， 4OA  ， 3AB  ，点D在边 BC上，且 3CD DB ，点 E 是边OA上一点，连接DE，将四边形 ABDE沿DE折叠，若点 A的对称点 A恰好落在边OC上，则OE 的长为_______． （2024 平阴一模）16．（4分）如图，已知正方形 ABCD的边长为 1，点 E、F分别在边 AD、BC上，将正 方形沿着 EF翻折，点 B恰好落在 CD边上的点 B′处，如果四边形 ABFE与四边形 EFCD的面积比为 3： 5，那么线段 FC的长为 ． （2024 天桥三模）16. 如图，正方形 ABCD的边长是 18，点 E是 AB边上的一个动点，点 F是 CD边上 一点， 8CF ，连接 EF，把正方形 ABCD沿 EF折叠，使点 A，D分别落在点 A，D¢处，当点 D¢落在 直线 BC上时，线段 AE的长为________． 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 7 （2024 市中一模）16．（4分）如图，▱ABCD中，∠B＝60°，AD＝2AB＝4，E，F分别为边 AD，BC上 两点，连结 EF，将▱ABCD沿 EF翻折，A，B对应点分别为 A′，B′，点 C在直线 A'B'上，且 A′E⊥ AD，则 AE＝ ． （2024 长清二模前测）16．如图，正方形 ABCD中，AB＝4，点 E是对角线 BD上一点，连接 AE，过点 E 作 EF⊥AE，交 BC于点 F，连接 AF，交 BD于点 M，将△EFM沿 EF翻折，得到△EFN，连接 AN，交 EF于点 G，若点 F是 BC边的中点，则线段 AN的长是 ． （2025 市中一模前测）15. 如图，在Rt ACB△ 中， 90ACB  ， 5AC  ， 3BC  ，点 D是 AB边上 一点（且点 D不与点 A，B重合），连接CD，将 ACD 沿CD翻折得到 A CD△ ，连接 A B ，若 A BC 是 直角三角形，则 AD  ______． （2025 历城零模）15. 如图，在 ABCD 中，点 P是边 AD上一点，将 PDC△ 沿直线 PC折叠，点 D的 对应点为 E．当点 E恰好落在 AB边上时，若 2, 3, 13AP PD DC   ，则 AE的长为_______． 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 8 （2025 实验初中一模）如图， ABCV ， 90ACB  ， 5CB  ， 10CA  ，点 D，E分别在 AC AB， 边 上， 5AE AD ，连接DE，将 ADEV 沿DE翻折，得到 FDEV ，连接CE，CF．若 CEF△ 的面积 是 BECV 面积的 2倍，则 AD  ______． （2025 历城 4 月一模）如图，在矩形 ABCD中， 2AB  ， 4BC  ，点 E是边 BC上一点， 3 BE CE  ，连 接 AE，将 ABE 沿 AE翻折，得到 AFE△ ，延长 FA，交CB的延长线于点M ，则 EM  ___________． （2025 平阴一模）如图，将一张矩形纸片 ABCD上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕 EF，连接 BF．再将矩形纸片折叠，使点 B落在 BF上的点 H处，折痕为 AG．若点 G恰好为线段 BC最靠近点 B的 一个五等分点， 4AB  ，则 BC的长为__________． （2025 市中一模）如图，平行四边形 ABCD， 45B  ， 8AB  ， 10AD  ，G为边 BC上一点，连 接 AG，将 ABG 沿 AG翻折，点 B的对应点为 B，E为 AD中点，F 为边CD上一点，连接 EF ，将 DEF 沿 EF 翻折，点D的对应点恰巧也为 B，则DF  ______． 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 9 （2024 济阳一模）16．（4分）在矩形 ABCD中，AB＝ ，BC＝1，将△ABC沿 AC翻折得到△AEC，F 是 DC上一点，连接 EF，若 sin∠AEF＝ ，则线段 EF的长度是 ． （2025 章丘一模）在矩形 ABCD中， 2 3  AB BC ，M N、 分别在边 AD BC、 上，将矩形 ABCD沿MN折 叠，使点 B落在CD边上的点 F 处，得到四边形EFNM ，连接DE，若折痕 2 10MN  ， 3tan 4 EMD  ， 则DE的长为______． （2022 济南二模）如图，矩形 ABCD中， E为CD上一点， F 为 AB上一点，分别沿 AE，CF 折叠，D， B两点刚好都落在矩形内一点 P，且 120APC  ，则 :AB AD  ． （2022 历下区模拟）如图，矩形纸片 ABCD， : 2 :1AD AB  ，点 E， F 分别在 AD， BC上，把纸片如 图沿 BF 折叠，点 A，B的对应点分别为 A，B，连接 AA并延长交线段CD于点G，则 EF AG 的值为 ． 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 10 （2025 长清一模）15. 如图，在矩形 ABCD中， 4AD AB ．将矩形 ABCD对折，得到折痕MN ；沿着 CM 折叠，点 D的对应点为 E，ME与 BC的交点为 F；再沿着MP折叠，使得 AM 与ME重合，折痕 为MP，此时点 B的对应点为 G．则 NF PN  _________． 题型 2、折叠求三角函数 （2020 济南中考）如图，在矩形纸片 ABCD中， 10AD  ， 8AB  ，将 AB沿 AE翻折，使点 B落在 B处， AE为折痕；再将 EC沿 EF 翻折，使点C恰好落在线段 EB上的点C 处，EF 为折痕，连接 AC．若 3CF  ， 则 tan B AC   ． （2022 历下区一模）如图，将矩形 ABCD对折，使点 A点与 D重合，点 B与C 重合，折痕为 EF ；展开 后再次折叠，使点 A与点 D重合于 EF 上的点 P处，折痕分别为 BM 、CN ，若 10AB  ， 16BC  ，则 tan PCN  ． 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 11 （2022 莱芜区一模）如图 1，在矩形纸片 ABCD中， 12AB  ， 10AD  ，点 E是CD的中点．将这张纸片 依次折叠两次：如图 2，第一次折叠纸片使点 A与点 E重合，折痕为MN ，连接ME、NE；如图 3，第二 次折叠纸片使点 N与点 E重合，点 B落在 B处，折痕为 HG，连接HE，则 tan EHG  . （2022 历下区二模）矩形 ABCD中 10AB  ， 8BC  ，E为 AD边上一点，沿CE将 CDE 对折，使点 D正 好落在 AB边上，则 tan AFE  ． （2022 历城区二模）如图，在矩形 ABCD中， 3AB  ， 5BC  ，E在 AD边上且 1AE  ，若点 H在边CD 上，将矩形 ABCD沿直线 EH 折叠，折叠后点 D落在 EC上的点D处，过点 D作D N AD  于点 N，与 EH 交于点M ，则 tan MD H 的值为 ． （2022 历下区校级一模）如图，在矩形纸片 ABCD中， 4BC  ， E是 BC的中点．将 AB沿 AE翻折，使 点 B落在 AD边的 B处，AE为折痕，再将 B D 沿 B G 翻折，使点 D恰好落在线段 AC上的点 F 处，B G 为 折痕，则 tan FB E   ． 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 12 （2023 年济阳二模）如图，矩形 ABCD中， 4AB  ， 6BC  ，点 E是BC中点，连接 AE．将 ABE 沿 AE折叠，点 B落在点 F 处，则 tan DAF 的值为______． 题型 3、折叠综合题 （2021 天桥一模）如图，四边形 ABCD 是矩形纸片，AB＝2，对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，折痕 为 EF，展平后再过点 B 折叠矩形纸片，使点 A 落在 EF 上的点 N 处，折痕 BM 与 EF 相交于点 Q；再次展平， 连接 BN，MN，延长 MN 交 BC 于点 G；P 为线段 BM 上一动点．有如下结论：①∠ABN＝60°；②AM＝1； ③△BMG 是等边三角形；④ 2 3 3 QN  ；⑤H 是 BN 的中点，则 PN PH 的最小值是 3．其中正确结论的 序号是 ． （2021 高新一模）如图，在正方形纸片 ABCD中，对角线 AC、BD交于点 O，折叠正方形纸片 ABCD，使 AD落在 BD上，点 A恰好与 BD上的点 F重合，展开后，折痕 DE分别交 AB、AC于点 E、G．连接 GF， 下列结论： ①∠AGD＝112.5°；②tan∠AED＝ 2 1 ；③S△AGD＝ 2 S△OGD；④四边形 AEFG是菱形；⑤BE＝2OG． 其中正确结论的序号是_____（在横线上填上你认为所有正确结论的序号） （2021 莱芜二模）如图，正方形纸片 ABCD中，对角线 AC、BD交于点 O，折叠正方形纸片 ABCD，使 AD落在 BD上，点 A恰好与 BD上的点 F重合，展开后折痕 DE分别交 AB、AC于点 E、G，连接 GF．给 出下列结论： 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 13 ①∠ADG＝22.5°；②四边形 AEFG是菱形；③tan∠AED＝ +1；④S△AGD＝ S△OGD；⑤BE＝ OG． 其中结论正确的是 ． （2021 历城二模）如图，在边长为 4的正方形 ABCD中，E，F分别为 BC、CD的中点，连接 AE，BF交 于点 G，将△BCF沿 BF对折，得到△BPF，延长 FP交 BA延长线于点 Q，BP与 AE交于点 M．下列四个 结论：①∠PMA＝∠FBQ；（2）FG＝ AG；（3）tan∠BQP＝ ；（4）S 四边形 ECFG＝2S△BGE．其中正确的 是 （2023 年高新一模）如图，在Rt ABC△ 中， 90ACB  ， 3AC  ， 3BC  ，把Rt ABC△ 沿 AB翻 折得到Rt△ABD，过点 B 作 BE BC ，交 AD于点 E，点 F是线段 BE 上一点，且 3tan 2 ADF  ．则 下列结论中：① AE BE ；② BED ABC∽△ △ ；③ 2BD AD DE  ；④ 2 13 3 AF  ．正确的有______ （把所有正确答案的序号都填上） （2023 年槐荫一模）如图，将矩形 ABCD沿着GE EC GF、 、 翻折，使得点 A、B、D 恰好都落在点 O 处， 且点 G、O、C 在同一条直线上，同时点 E、O、F 在另一条直线上，小炜同学得出以下结论：①GF EC∥ ； 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 14 ② COF CEG△ △ ；③ 3 2 AB AD ；④ 6GE DF ；⑤ 2 2OC OF ，其中正确的是______． （2023 年历城一模）正方形 ABCD的边长为 8，点 E、F 分别在边 AD、BC上，将四边形 ABFE沿 EF 折叠，使点A落在 A处，点 B落在点 B处，A B 交 BC于G．以下结论：①当 A为CD中点时， A DE 三边之比为3: 4 :5；②连接 AA，则 A EA F  ；③当 A DE 三边之比为3: 4 :5时， A为CD中点；④ 当 A在CD上移动时， A CG 周长不变．其中正确的有___________（写出所有正确结论的序号）． （2023 年莱芜二模）如图，在矩形 ABCD中，点 F 是CD边上的一点，把矩形 ABCD沿 BF 折叠，点 C 落在 AD边上的点 E处， 10 8AD AB ， ，点 M 是线段CF 上的动点，连接 BM ，过点 E 作 BM 的垂线 交BC于点 N，垂足为 H．以下结论：① FED EBA  ；② 6EF  ；③ 5 4 BM EN  ；④连接CH ，则CH 的最小值为 65 5 ；其中正确的结论是________（把所有正确结论的序号都填在横线上）． （2023 年高新二模）如图，已知矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝4，点 M，N 分别在边 AD，BC 上，沿着 MN 折叠 矩形 ABCD，使点 A，B 分别落在 E，F处，且点 F 在线段 CD 上（不与两端点重合），过点 M 作 MH⊥BC 于点 H，连接 BF，给出下列判断：①△MHN∽△BCF；②折痕 MN 的长度的取值范围为 3＜MN ； ③当四边形 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 15 CDMH 为正方形时，N为 HC 的中点．其中正确的是 ．（写出所有正确判断的序号） （2023 年历下三模）如图，在矩形 ABCD中， 2 3AD  ， 6CD  ，E 是 AB的中点，F 是线段BC上的 一点，连接 EF ，把 BEF△ 沿 EF 折叠，使点 B落在点 G处，连接DG，BG的延长线交线段CD于点 H．给 出下列判断：① 30BAC  ；② EBF BCH ∽ ；③当 90EGD  时，DG的长度是 2 3 ④线段DG 长度的最小值是 21 3 ；⑤当点 G 落在矩形 ABCD的对角线上， BG的长度是 3 或3 3；其中正确的 是________．（写出所有正确判断的序号） （2023 年天桥三模）如图，在矩形 ABCD中， 4AD ， 6AB  ，点 E在 AB上，将 DAE 沿直线DE折 叠，使点A恰好落在DC上的点F 处，连接 EF ，分别与矩形 ABCD的两条对角线交于点M 和点G．给 出以下四个结论：① ADEV 是等腰直角三角形；② : 1: 4BEM BADS S △ △ ；③ FG GM EM  ；④ 13sin 13 EDM  ，其中正确的结论序号是________． （2024 平阴二模）16. 如图 1，有一张矩形纸片 ABCD，已知 10AB  ， 12AD  ，现将纸片进行如下操 作：现将纸片沿折痕 BF 进行折叠，使点A落在 BC边上的点 E处，点 F 在 AD上（如图 2）；然后将纸 片沿折痕DH 进行第二次折叠，使点C落在第一次的折痕 BF 上的点G处，点H 在 BC上（如图 3），给 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 16 出四个结论： ① AF 的长为 10；② 2 3 BG GF  ；③ BGHV 的周长为12 4 2 ；④GH的长为 5． 其中正确的结论有______．（写出所有正确结论的序号）