精品解析：2025年山东省淄博市淄川区中考一模数学试题

参照秘密级管理☆启用前 试卷类型：A 初四数学试题 2025.04 本试题共8页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置，并核对条形码． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．解答题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸修正带修改．不允许使用计算器． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5．评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 在实数，， ， 中，相反数是它本身的数是（ ） A. B. C. D. 2. 开展“美好‘食’光”校园系列活动是贯彻习近平总书记关于制止餐饮浪费行为指示精神的重要举措，纠正学生不良饮食习惯，倡导适量点餐，光盘事小也能水滴石穿．我国每年仅餐饮浪费的食物蛋白和脂肪分别达到800万吨和300万吨，倒掉了约2亿人一年的“口粮”．“2亿”这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个几何体的两个视图如图所示，若其俯视图为正三角形，则该几何体的左视图中的a值为（ ） A. 1.8 B. 1.7 C. D. 2 5. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人公车，九人步．问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？设共有x人，可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 图，等边中，于点分别为上的两个定点且，在 上有一动点 使最短，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点C，D的连线交于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 若抛物线与直线（为常数）都经过同一定点，则代数式的值为（ ） A. 0 B. 3 C. D. 10. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=；②当点E与点B重合时，MH=；③AF＋BE=EF；④MG•MH=，其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共5小题，满分20分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 使代数式有意义的x的取值范围是_____． 12. 《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超．若铜钱直径4cm，中间有边长为1cm的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油滴恰好落入孔中的概率为____ 13. 如图，在直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，点 的坐标为，点 的坐标为，若将线段 向下平移若干个单位长度， ， 两点的对应点同时落在反比例函数图象上，则的值为____________． 14. 对于任意实数a，抛物线与x轴都有公共点，则b的取值范围是____________． 15. 如图，正方形 内接于 ，线段 在对角线 上运动，若 的面积为，，则周长的最小值是____________． 三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 当时，试求代数式的值． 17. 如图，将平行四边形纸片 沿一条直线折叠，使点 与点 重合，点 落在点 处，折痕为 ．求证： （1）； （2）． 18. 某水果店销售苹果和梨，已知购买3千克苹果和1千克梨共需30元；购买1千克苹果和4千克梨共需32元． （1）求每千克苹果和每千克梨的售价； （2）若购买苹果和梨共12千克，且总价不超过80元，问最多购买多少千克苹果？ 19. 自深圳经济特区建立至今50年以来，深圳本土诞生了许多优秀的科技企业，华为、腾讯、中兴、大疆就是其中的四个杰出代表．某数学兴趣小组在校内对这四个企业进行“你最认可的特区科技企业”调查活动．兴趣小组随机调查了 人（每人必选一个且只能选一个），并将调查结果绘制成了如下尚不完整的统计图，请根据图中信息回答以下问题： （1）请将以上两个统计图补充完整； （2） ______，“腾讯”所在扇形的圆心角的度数为______； （3）该校共有名同学，估计最认可“华为”的同学大约有______名； （4）已知 ， 两名同学都最认可“华为”， 同学最认可“腾讯”， 同学最认可“中兴”，从这四名同学中随机抽取两名同学，请你利用画树状图或列表的方法求出这两名同学最认可的特区科技企业不一样的概率． 20. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，其中p，q是关于t的一元二次方程的两个实数根． （1）求反比例函数的表达式； （2）若一次函数与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求． 21. 为了维护国家主权和海洋权益，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图，我国一艘海监船在 处巡航时，检测到在正东方向的 处有一艘可凝船只正匀速向正北方向航行，我国海监船立即沿北偏东 方向对该船只实施拦截，航行后到达 处，发现此时可疑船只在正东方向的 处．我国海监船决定改变航向，沿北偏东 方向继续加速航行，继续航行了后在 处将可疑船只成功拦截． （1）求当我国海监船到达 处时，离可疑船只的距离 的长； （2）成功拦截后，发现整个过程用时，求可疑船只的航行速度．（计算结果保留根号） 22. 如图，在 中，，将 沿直线 翻折得到 ，连接 ，交 于点， 是线段上的点，连接 ， 是的外接圆与 的另一个交点，连接 ， ． （1）求证： 是直角三角形； （2）求证：； （3）当 ，时，在线段上存在点 ，使得 和 互相平分，求 的值． 23. 已知，在以O为原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为A （﹣1，﹣4），且经过点B（﹣2，﹣3），与x轴分别交于C、D两点． （1）求直线OB以及该抛物线相应的函数表达式； （2）如图1，点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的下方，过点M作x轴的平行线与直线OB交于点N，求MN的最大值； （3）如图2，过点A的直线交x轴于点E，且AE∥y轴，点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、PD与AE分别交于F、G两点．当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 参照秘密级管理☆启用前 试卷类型：A 初四数学试题 2025.04 本试题共8页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置，并核对条形码． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．解答题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸修正带修改．不允许使用计算器． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5．评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 在实数， ， ， 中，相反数是它本身的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，正数的相反数一定是负数，负数的相反数一定是正数，相反数是它本身的数只有 ． 【详解】解：A选项：根据相反数的定义可知，的相反数是 ，故A选项不符合题意； B选项：根据相反数的定义可知， 的相反数还是 ，故B选项符合题意； C选项：根据相反数的定义可知，的相反数是 ，故C选项不符合题意； D选项：根据相反数的定义可知， 的相反数是，故D选项不符合题意． 故选：B． 2. 开展“美好‘食’光”校园系列活动是贯彻习近平总书记关于制止餐饮浪费行为指示精神的重要举措，纠正学生不良饮食习惯，倡导适量点餐，光盘事小也能水滴石穿．我国每年仅餐饮浪费的食物蛋白和脂肪分别达到800万吨和300万吨，倒掉了约2亿人一年的“口粮”．“2亿”这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，解题的关键是学握科学记数法的形式（其中为整数）． 先确定 的值，再根据原数绝对值确定 的值． 【详解】2亿，将200000000转变为的形式，， ， 故选D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方、同底数幂除法，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故C错误； C、，故C正确； D、，故D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方、同底数幂除法，解题的关键是掌握运算法则进行解题． 4. 一个几何体的两个视图如图所示，若其俯视图为正三角形，则该几何体的左视图中的a值为（ ） A. 1.8 B. 1.7 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三视图、等边三角形的性质以及勾股定理，掌握常见几何体的三视图是解答本题的关键. 观察图形可知，该几何体为三棱柱，其左视图的宽等于俯视图正三角形底边上的高，设俯视图为为，作于 根据等边三角形的性质和勾股定理求出长即可． 【详解】解：如图，设俯视图为，作于 ， ∵为正三角形， ∵， ∴，， ∴ ， 则 ． 故选：C． 5. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人公车，九人步．问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？设共有x人，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据车的辆数不变，即可列出方程求解． 【详解】解： 由“每3人共乘一车，最终剩余2辆车”可知车辆有辆，由“每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘”可知车辆有辆， 所以可列方程． 故选：B． 6. 图，等边中，于点分别为上的两个定点且，在 上有一动点 使最短，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+PQ=PE+EQ′=PQ′， 【详解】解：如图，∵△ABC是等边三角形， ∴BA=BC， ∵BD⊥AC， ∴AD=DC=AQ+QD=3.5cm， ∴AB=AC=2AD=7， 作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值为PE+PQ=PE+EQ′=PQ′， , ∴QD=DQ′=1.5（cm）， ∴AQ′=AD+DQ′=3.5+1.5=5(cm) ∵BP=2（cm）， ∴AP=AB-BP=7-2=5（cm） ∴AP=AQ′=5（cm）， ∵∠A=60°， ∴△APQ′是等边三角形， ∴PQ′=PA=5（cm）， ∴PE+QE的最小值为5cm． 故选择：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题． 7. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∥AB，由勾股定理逆定理可以证明△DCE为直角三角形，所以cos∠APC＝cos∠EDC即可得答案． 【详解】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图． 则DE∥AB， ∴∠APC＝∠EDC． 在△DCE中，有，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴cos∠APC＝cos∠EDC＝． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键． 8. 如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点C，D的连线交于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接 、 、 ，由 ，可知 是直径且值为，可知，根据勾股定理逆定理可判断出是等腰直角三角形，求出，可知的长是圆周长的，利用圆周长公式求解即可． 【详解】解：如图所示：连接 、 、 ， ∵ ， ∴ 是直径， ∴， 根据网格图形可知： ， ， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴所对的圆心角是 ， ∴的长为以 为直径的圆周长的， 即． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理、圆周角定理及其推论、弧长的计算公式、利用网格求线段长等知识，准确的作出辅助线构造出直角三角形和正确的计算是解决本题的关键． 9. 若抛物线与直线（为常数）都经过同一定点，则代数式的值为（ ） A. 0 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线过定点，代数式的值，准确找到定点是解题的关键．把变形得，确定函数过的定点是，从而得到，代入计算即可． 【详解】解：把变形得， 所以函数过的定点是， 因为一次函数都经过同一定点， 所以， 所以． 故选：D． 10. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=；②当点E与点B重合时，MH=；③AF＋BE=EF；④MG•MH=，其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形即可作出判断； ②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，可得MG∥BC，四边形MGCB是矩形，进一步得到FG是△ACB的中位线，从而作出判断； ③如图2所示，SAS可证△ECF≌△ECD，根据全等三角形的性质和勾股定理即可作出判断； ④根据AA可证△ACE∽△BFC，根据相似三角形的性质可得AF•BF＝AC•BC＝1，由题意知四边形CHMG是矩形，再根据平行线的性质和等量代换得到MG•MH＝AE×BF=AE•BF=AC•BC=，依次即可作出判断． 【详解】解：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形， ∴ ， 故①正确； ②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合， ∵MB⊥BC， ∴∠MBC=90°， ∵MG⊥AC， ∴∠MGC=90°=∠ACB=∠MBC， ∴MGBC，四边形MGCB是矩形， ∴MH=MB=CG， ∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°， ∴CF=AF=BF， ∴FG是△ACB的中位线， ∴GC=AC=MH， 故②正确； ③如图2所示， ∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠A=∠5=45°． 将△ACF顺时针旋转90°至△BCD， 则CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF； ∵∠2=45°， ∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°， ∴∠DCE=∠2． 在△ECF和△ECD中， ， ∴△ECF≌△ECD（SAS）， ∴EF=DE． ∵∠5=45°， ∴∠DBE=90°， ∴DE2=BD2+BE2，即EF2=AF2+BE2， 故③错误； ④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE， ∵∠A=∠5=45°， ∴△ACE∽△BFC， ∴ ， ∴AE•BF=AC•BC=1， 由题意知四边形CHMG是矩形， ∴MGBC，MH=CG， MG=CH，MHAC， ∴ ， ， 即 ， ， ∴MG=AE；MH=BF， ∴MG•MH=AE×BF=AE•BF=AC•BC=， 故④正确． 故选：C． 【点睛】此题考查了等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，能灵活运用以上知识是解题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，满分20分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 使代数式有意义的x的取值范围是_____． 【答案】x≥0且x≠ 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得x≥0，根据分式有意义的条件可得2x-1≠0，再解不等式即可． 【详解】由题意得：x≥0且2x−1≠0， 解得x≥0且x≠， 故答案为x≥0且x≠． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．牢记分式、二次根式成立的条件是解题的关键． 12. 《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超．若铜钱直径4cm，中间有边长为1cm的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油滴恰好落入孔中的概率为____ 【答案】 【解析】 【分析】分别求出铜钱的面积和正方形小孔的面积，由几何概率公式即可得出结果． 【详解】∵直径为4cm的铜钱的面积=π×22=4π，边长为1cm的正方形小孔的面积=1×1=1， ∴随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入口中的概率=； 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何概率公式、圆的面积公式、正方形面积公式，熟记概率公式，求出圆面积和正方形面积是解题关键． 13. 如图，在直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，点 的坐标为，点 的坐标为，若将线段 向下平移若干个单位长度， ， 两点的对应点同时落在反比例函数图象上，则 的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，反比例函数图象和性质，坐标与图形变化-平移，表示出平移后点的坐标是解题的关键．假设将线段 向下平移个单位长度，表示出相应的平移后 与 坐标，可得的值，求得平移后 的坐标，将之代入反比例函数表达式即可求解． 【详解】解：∵点 的坐标为，点 的坐标为． 假设将线段 向下平移个单位长度， ∴ ， 平移后的坐标分别为，， ∵ ， 两点平移后的坐标同时落在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴ 平移后的坐标为，并代入反比例函数， 即． 故答案为：． 14. 对于任意实数a，抛物线与x轴都有公共点，则b的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，二次函数与x轴交点问题．由题意易得，则有，然后设，由无论a取何值时，抛物线与 轴都有公共点可进行求解． 【详解】解：由抛物线与 轴都有公共点可得：，即， ∴， 设，则， 要使对于任意实数 ，抛物线与 轴都有公共点，则需满足小于等于 的最小值即可， ∴，即 的最小值为， ∴； 故答案为：． 15. 如图，正方形 内接于 ，线段 在对角线 上运动，若 的面积为，，则周长的最小值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质、轴对称性质、平行四边形的性质及勾股定理等，确定点 、 的位置是本题解题的关键． 由正方形的性质，知点是点 关于的对称点，过点作，且使，连接交于点 ，取，连接、，则点 、 为所求点，进而求解． 【详解】解： 的面积为，则圆的半径为 ，则， 由正方形的性质，知点是点 关于的对称点， 过点作，且使， 连接交于点 ，取，连接、，则点 、 为所求点， 理由：，且，则四边形为平行四边形， 则， 故的周长的最小值， ， 则的周长的最小值为， 故答案为：． 三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 当时，试求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．先利用分式的性质和运算法则化简，再由得，将合适的值代入化简后的结果中计算即可求解． 【详解】解：； 因为， 所以． 当时，分式无意义， 所以只取． 当时，原式． 17. 如图，将平行四边形纸片 沿一条直线折叠，使点 与点 重合，点落在点 处，折痕为 ．求证： （1）； （2）． 【答案】 证明：（1） 四边形 是平行四边形， ， 由折叠可得， ， ， ， ； (2) 四边形 是平行四边形， ， ， 由折叠可得，，， ，， 又， ． 【解析】 【分析】(1)依据平行四边形的性质，即可得到，由折叠可得，，即可得到； (2)依据平行四边形的性质，即可得出， ，由折叠可得，，，即可得到，，进而得出． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质以及折叠的性质是解题的关键. 18. 某水果店销售苹果和梨，已知购买3千克苹果和1千克梨共需30元；购买1千克苹果和4千克梨共需32元． （1）求每千克苹果和每千克梨的售价； （2）若购买苹果和梨共12千克，且总价不超过80元，问最多购买多少千克苹果？ 【答案】（1）每千克苹果8元，每千克梨6元 （2）最多购买苹果4千克 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程组，根据不等关系，列出不等式． （1）设每千克苹果x元，每千克梨y元，根据购买3千克苹果和1千克梨共需30元；购买1千克苹果和4千克梨共需32元，列出方程组，解方程组即可； （2）设购买苹果m千克，则购买梨千克，根据总价不超过80元，列出不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设每千克苹果x元，每千克梨y元，根据题意，可得： ， 解得， 所以每千克苹果8元，每千克梨6元． 【小问2详解】 解：设购买苹果m千克，则购买梨千克，根据题意，可得： ， 解得：， 答：最多购买苹果4千克． 19. 自深圳经济特区建立至今50年以来，深圳本土诞生了许多优秀的科技企业，华为、腾讯、中兴、大疆就是其中的四个杰出代表．某数学兴趣小组在校内对这四个企业进行“你最认可的特区科技企业”调查活动．兴趣小组随机调查了人（每人必选一个且只能选一个），并将调查结果绘制成了如下尚不完整的统计图，请根据图中信息回答以下问题： （1）请将以上两个统计图补充完整； （2） ______，“腾讯”所在扇形的圆心角的度数为______； （3）该校共有名同学，估计最认可“华为”的同学大约有______名； （4）已知 ， 两名同学都最认可“华为”， 同学最认可“腾讯”，同学最认可“中兴”，从这四名同学中随机抽取两名同学，请你利用画树状图或列表的方法求出这两名同学最认可的特区科技企业不一样的概率． 【答案】（1） 两个统计图补充完整如下． （2），； （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了统计与概率，解题的关键是熟练掌握条形统计图、扇形统计图、用样本评估总体、树状图的性质． （1）结合条形统计图和扇形统计图，可计算出调查的总人数、认可中兴的人数，认可腾讯的占比，即可补全统计图； （2）由（1）可知的值、腾讯的占比，再根据腾讯的占比可求出“腾讯”所在扇形的圆心角； （3）根据用样本评估总体的性质计算，即可得到答案； （4）根据树状图法求概率的性质计算，即可得到答案． 【小问1详解】 解：调查的总人数为：（人）， 中兴的人数：（人）， 腾讯的占比：， 【小问2详解】 由（1）知：，腾讯的占比： ， “腾讯”所在扇形的圆心角的度数为：， 故答案为：，； 【小问3详解】 该校共有名同学，估计最认可“华为”的同学大约有：（名）， 故答案为：； 【小问4详解】 列表如下： （华为，华为） （腾讯，华为） （中兴，华为） （华为，华为） （腾讯，华为） （中兴，华为） （华为，腾讯） （华为，腾讯） （中兴，腾讯） （华为，中兴） （华为，中兴） （腾讯，中兴） 从这四名同学中随机抽取两名同学，一共有 种等可能的结果，其中这两名同学最认可的特区科技企业不一样的结果有 种，所以所求概率． 20. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，其中p，q是关于t的一元二次方程的两个实数根． （1）求反比例函数的表达式； （2）若一次函数与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先求出线段 的长，再根据三角形面积公式求出的面积即可． 【小问1详解】 解： p，q是关于t的一元二次方程的两个实数根， 解得 ，．则点和点． 点A在反比例函数图象上， ，解得． 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：把代入， 得：解得． 所以一次函数的表达式为． 当 时，，所以点． 因为点D为点C关于原点O的对称点，所以． 的面积． 21. 为了维护国家主权和海洋权益，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图，我国一艘海监船在 处巡航时，检测到在正东方向的 处有一艘可凝船只正匀速向正北方向航行，我国海监船立即沿北偏东方向对该船只实施拦截，航行后到达 处，发现此时可疑船只在正东方向的处．我国海监船决定改变航向，沿北偏东 方向继续加速航行，继续航行了后在 处将可疑船只成功拦截． （1）求当我国海监船到达 处时，离可疑船只的距离 的长； （2）成功拦截后，发现整个过程用时，求可疑船只的航行速度．（计算结果保留根号） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（ ）解即可求解； （ ）过点 作于 ，可得四边形是矩形，即得，分别解和，求出 和 ，进而求出，即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，，，， ∴， 答：当我国海监船到达 处时，离可疑船只的距离 的长为； 【小问2详解】 解：如图，过点 作于 ，则， 由题意得，，，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴可疑船只的航行速度为． 22. 如图，在中，，将沿直线 翻折得到 ，连接 ，交 于点 ， 是线段上的点，连接， 是的外接圆与 的另一个交点，连接 ，． （1）求证： 是直角三角形； （2）求证：； （3）当，时，在线段上存在点 ，使得 和 互相平分，求的值． 【答案】（1） 证明：∵，将沿直线 翻折得到 ， ∴， ，， ， ， 是直角三角形． （2） 证明：， ． ， ． ，， ， ． ， ， ． ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质可得，根据圆周角定理的推论可得，，进一步即可证得结论； （2）证明，即可证得结论； （3）设 交 于 ，连接 ．证明四边形、是平行四边形，可得，然后依次证明，，利用相似三角形的性质求出，结合（2）的结论可得，然后代入数据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设 交 于 ，连接 ． 与 互相平分， 四边形是平行四边形， ∴，， ，即． ， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ，， ∵， ， ， ∴， ． ， ， ∵， ∴ ， 解得（负根已经舍弃）． 【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、一元二次方程的求解等知识，熟练掌握上述知识、证明三角形相似是解题的关键． 23. 已知，在以O为原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为A （﹣1，﹣4），且经过点B（﹣2，﹣3），与x轴分别交于C、D两点． （1）求直线OB以及该抛物线相应的函数表达式； （2）如图1，点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的下方，过点M作x轴的平行线与直线OB交于点N，求MN的最大值； （3）如图2，过点A的直线交x轴于点E，且AE∥y轴，点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、PD与AE分别交于F、G两点．当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）直线OB解析式为y=x，抛物线为y＝x2+2x﹣3 （2）最大值为 （3）EF+EG是定值，当点P运动时，EF+EG为定值8． 【解析】 【分析】（1）由B点坐标利用待定系数法可求直线OB解析式，利用顶点式可求得抛物线解析式； （2）设M（t，t2+2t﹣3），MN＝s，则可表示出N点坐标，由MN的纵坐标相等可得到关于s和t的关系式，再利用二次函数的性质可求得其最大值； （3）设P（t，t2+2t﹣3），则可表示出PQ、CQ、DQ，再利用相似三角形的性质可用t分别表示出EF和EG的长，则可求得其定值． 【小问1详解】 解：设直线OB解析式为y＝kx， 由题意可得﹣3＝﹣2k， 解得k， ∴直线OB解析式为yx， ∵抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣4）， ∴可设抛物线解析式为y＝a（x+1）2﹣4， ∵抛物线经过B（﹣2，﹣3）， ∴﹣3＝a﹣4，解得a＝1， ∴抛物线为y＝x2+2x﹣3； 【小问2详解】 解：设M（t，t2+2t﹣3），MN＝s， 则N的横坐标为t﹣s，纵坐标为， ∵MN∥x轴， ∴t2+2t﹣3， 得s ， ∴当t时，MN有最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：EF+EG＝8． 理由如下： 如图3，过点P作PQ∥y轴交x轴于Q， 在y＝x2+2x﹣3中，令y＝0 可得0＝x2+2x﹣3， 解得x＝﹣3或x＝1， ∴C（﹣3，0），D（1，0）， 设P（t，t2+2t﹣3）， 则PQ＝﹣t2﹣2t+3，CQ＝t+3，DQ＝1﹣t， ∵PQ∥EF， ∴△CEF∽△CQP， ∴， ∴EF•PQ（﹣t2﹣2t+3）， 同理△EGD∽△QPD 得， ∴EG•PQ， ∴EF+EG（﹣t2﹣2t+3） 2（﹣t2﹣2t+3）（） ＝2（﹣t2﹣2t+3）（） ＝2（﹣t2﹣2t+3）（） ＝8， ∴当点P运动时，EF+EG为定值8． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、相似三角形的判定和性质及方程思想等知识点．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $