专题11.4 反比例函数的图象与性质（拓展培优）（精选精练）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题11.4 反比例函数的图象与性质（拓展培优）（精选精练） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（2025·浙江宁波·一模）已知一次函数的图象与反比例函数交于两点．当时，的面积为1，则当时，的面积为（   ） A． B．1 C． D．2 2．（2025九年级下·湖北·学业考试）已知函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C．或 D．或 3．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）函数和在同一直角坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·山东日照·二模）在平面直角坐标系中，P是双曲线上的一点，点P绕着原点O顺时针旋转的对应点落在直线上则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）下列关于反比例函的图象与性质的说法中，正确的是（　　） A．图象关于轴对称 B．当时，随的增大而减少 C．图象位于第二、四象限 D．当时，则 6．（江苏省扬州市梅岭集团2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题）若点，，在反比例函数（m为常数）的图象上，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，下列说法正确的是（    ） A． B．随的增大而减小 C．若矩形的面积为2，则 D．若点的坐标是，则当时，的取值范围是 8．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，点B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，轴，且A为轴上任一点，则的面积为（   ） A． B．4 C． D．6 9．（2025·山西阳泉·一模）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点，且点恰好在反比例函数的图象上，则k的值为（   ） A． B． C． D． 10．（2022·湖北武汉·一模）在平面直角坐标系中，直线y=x与反比例函数y=（x>0）的图象交与点A（4，2），直线y=x+b（b>0）与反比例函数y=（x>0）的图象交与点C，与y轴交与点B．记y=（x>0）的图象在点A，C之间的部分与线段OA、OB、BC围成的区域（不含边界）为W，若区域W内恰有4个整点，则b的取值范围是（　　　） 2、 A．≤b≤2 B．<b≤2 C．2≤b< D．2≤b≤ 3、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）已知反比例函数，当时，的取值范围为 ． 12．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图是反比例函数的图象．整数的值是 ． 13．（2025·陕西西安·模拟预测）点，在反比例函数（的常数）的图象上，若（，则a的取值范围是 ． 14．（2025·陕西汉中·一模）已知点、、均在反比例函数（k为常数，且）的图象上，则的值为 ． 15．（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图，点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为 ． 16．（24-25九年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则 ． 17．（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图，直线与双曲线相交于两点，现将线段沿着直线对折，得到对应线段，过点作轴的垂线，交该双曲线于点，连接，．若，则的值为 ． 18．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，过点作，交轴于点．若都是等腰直角三角形，其中点，在反比例函数的图像上，则点的横坐标为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025·山东潍坊·一模）如图，一次函数与反比例函数相交于，两点，过点A作轴于点C，连接并延长，交反比例函数的图象于点D，连接． （1）求直线的函数表达式； （2）求的面积． 20．（本小题满分8分）（2021·江苏常州·一模）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在y轴、x轴上，点B的坐标为（4，﹣2），反比例函数y（x＞0）的图象经过AB的中点D，交BC于点E． （1）求k的值； （2）若F是OC上一点，且△AFE的面积为3，求直线EF的函数表达式． 21．（本小题满分10分）（2023·甘肃定西·二模）如图，已知直线与双曲线交于A，B两点，且点A的纵坐标为4，第一象限的双曲线上有一点，过点P作轴交直线于点Q． （1）直接写出k的值及点B的坐标； （2）求线段的长． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级下·河南新乡·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．点在直线上，反比例函数的图象过点，且与直线在第三象限相交于点，连结． （1）求反比例函数的表达式； （2）已知点的横坐标为，求的面积； （3）一次函数的图象由函数的图象向下平移个单位长度得到，当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图所示，已知直线与双曲线交于、两点，且点的横坐标为4． （1）k的值为_____，点B的坐标为_____． （2）若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积． （3）过原点的另一条直线交双曲线于、两点（点在第一象限），若由点、、、为顶点组成的四边形面积为24，求点的坐标． 24．（本小题满分12分）（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，B两点． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）点C是第一象限内反比例函数图象上一点，且，求点C的坐标； （3）在（2）的条件下，点C位于点B左侧，连接，点M为双曲线上一动点，平面内是否存在一点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11.4 反比例函数的图象与性质（拓展培优）（精选精练） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（2025·浙江宁波·一模）已知一次函数的图象与反比例函数交于两点．当时，的面积为1，则当时，的面积为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的对称性，根据对称性求解是解题的关键． 分别联立直线和反比例函数解析式得到两次的交点关于原点成中心对称，则的面积不变，即可求解． 解：当时，联立直线与 得：， 解得：， ∴点，（顺序无关） 当联立直线与 得：， 解得：， ∴点，（顺序无关）， ∴发现点与点关于原点成中心对称，点与点关于原点成中心对称， ∴， 故选：B． 2．（2025九年级下·湖北·学业考试）已知函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．先将原函数看成由平移得到，然后运用反比例函数增减性的性质可得，且，解之即可． 解：可以看成是由平移得到， 当时，随的增大而减小， 根据反比例函数的性质得，，且， 或． 故选：C． 3．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）函数和在同一直角坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质和反比例函数的图象与性质，分两种情况讨论，分别分析当时和时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意即为正确答案． 解：当时，函数的图象在第一、三象限，函数在第一、二、三象限，故A、D错误，B正确； 当时，函数的图象在第二、四象限，函数在第一、二、四象限，故C错误， 故选：B． 4．（2023·山东日照·二模）在平面直角坐标系中，P是双曲线上的一点，点P绕着原点O顺时针旋转的对应点落在直线上则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点P作轴于点Q，过点作轴于点，由题意可得出，，．易证，即得出，，即可求出，进而得出，最后将所求式子通分变形为，再整体代入求值即可． 解：如图，过点P作轴于点Q，过点作轴于点，    ∵，且在直线上， ∴，，， ∴． 由旋转的性质可知，， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴． ∵P是双曲线上的一点， ∴，即． ∴． 故选：A． 【点拨】本题为一次函数与反比例函数的综合题，考查函数图象上的点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，坐标与图形，代数式求值．画出大致图象并正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 5．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）下列关于反比例函的图象与性质的说法中，正确的是（　　） A．图象关于轴对称 B．当时，随的增大而减少 C．图象位于第二、四象限 D．当时，则 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 解：A、反比例函数图象关于原点对称，故选项不符合题意； B、C、∵， ∴图象在二、四象限， ∴当时，随的增大而增大，故B选项不符合题意，C选项符合题意； D、当时，需分情况讨论： 当，， 当时，， ∴当时，不一定小于，故D选项不符合题意； 故选：C． 6．（江苏省扬州市梅岭集团2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题）若点，，在反比例函数（m为常数）的图象上，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是反比例函数的图象及性质，掌握反比例函数的图象及性质与比例系数的关系是解决此题的关键．根据平方的非负性即可求出反比例函数的比例系数的符号，从而判断出反比例函数的增减性，即可得出结论． 解： ∴反比例函数图象经过二、四象限，并且在每一象限内，y随x的增大而增大 ∴点，在第二象限，在第四象限 ∴，， ∵ ∴ 故选：A． 7．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，下列说法正确的是（    ） A． B．随的增大而减小 C．若矩形的面积为2，则 D．若点的坐标是，则当时，的取值范围是 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，反比例函数系数的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的图象和性质，反比例函数系数的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征是正确判断的前提．根据反比例函数图象和性质逐项进行判断即可． 解：A．由于图象在第二象限，因此，所以选项A不符合题意； B．y随x的增大而增大，因此选项B不符合题意； C．由，而，所以，因此选项C不符合题意； D．若图象上点的坐标是，则当时，y的取值范围是，因此选项D符合题意； 故选：D． 8．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，点B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，轴，且A为轴上任一点，则的面积为（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，连接，由的几何意义得，再由三角形同底等高面积相等即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 解：连接，如图： 由题意可得： ， ∵轴， ∴， 故选：B． 9．（2025·山西阳泉·一模）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点，且点恰好在反比例函数的图象上，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了角平分线的性质和三角形面积公式． 过分别作、轴、轴的垂线，垂足分别为、、，如图，利用勾股定理计算出，根据角平分线的性质得，设，利用面积的和差得到方程，求出得到点坐标，然后把点坐标代入中求出的值． 解：过分别作、轴、轴的垂线，垂足分别为、、，如图， ， ，， ， 的两个锐角对应的外角角平分线相交于点， ，， ， 设，则， ， ， 解得：， ， 把代入， 得． 故选：B． 10．（2022·湖北武汉·一模）在平面直角坐标系中，直线y=x与反比例函数y=（x>0）的图象交与点A（4，2），直线y=x+b（b>0）与反比例函数y=（x>0）的图象交与点C，与y轴交与点B．记y=（x>0）的图象在点A，C之间的部分与线段OA、OB、BC围成的区域（不含边界）为W，若区域W内恰有4个整点，则b的取值范围是（　　　） A．≤b≤2 B．<b≤2 C．2≤b< D．2≤b≤ 【答案】B 【分析】根据题意可求出反比例函数解析式为．再画出图象，考虑两种极限状态当经过点（1，2）时和当刚经过点（2，3）时，即可得出答案． 解：∵点A在反比例函数y=（x>0）的图象上， ∴， 解得：， ∴反比例函数解析式为． 如图，当经过点（1，2）时， 即时，区域W内有（1，1），（2，2），（3，2）三个点， 当直线向上平移时，区域W内出现第四个整点（1，2），此时满足题意， ∴． 当直线再向上平移，经过点（2，3）时， 即时，区域W内还是四个整点， 继续向上平移，即时，出现第五个整点（2，3），此时已经不符合意义， ∴． 综上可知． 故选B． 【点拨】本题考查一次函数和反比例函数的综合，一次函数的平移．读懂题意，画出图象，找出两种极限状态是解题关键． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）已知反比例函数，当时，的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．由可知图像分布在第一，三象限，当时，有部分图像在第一象限，有部分图像在第三象限，分别表示出的取值范围，从而得到答案． 解：反比例函数中，， 此函数图象的两个分支位于一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小， 当时，， 当时，第三象限中；第一象限图象中，； 故答案为：或． 12．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图是反比例函数的图象．整数的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数的性质得，由图得，即可求解；理解反比例函数的性质是解题的关键． 解：由题意得 ， 解得：， 图象在第一象限， ， 是整数， ， 故答案为：． 13．（2025·陕西西安·模拟预测）点，在反比例函数（的常数）的图象上，若（，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的增减性，当，在每一象限内y随x的增大而减小；当，在每一象限内y随x的增大而增大．根据反比例函数中，则同一象限内y随x的增大而减小，由于，得到，从而得到的取值范围． 解：∵在反比例函数中，， ∴在同一象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴这两个点在同一象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 14．（2025·陕西汉中·一模）已知点、、均在反比例函数（k为常数，且）的图象上，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．将点A、B的坐标分别代入已知反比例函数解析式，分别求得m、k的值，再求出n的值，然后再代入计算即可． 解：将点、代入得，，， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把点代入，得， ∴， ∴， 故答案为：9． 15．（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图，点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 由点、在反比例函数的图象上，可设，，再由轴，表示出点、的坐标，再根据，得到，，再结合与的距离为5，即可求解． 解：点、在反比例函数的图象上， 设，， 又点、在反比例函数的图象上，轴， ，， 由题意得，，， ，， 与的距离为5， ， ， 解得：． 故答案为：6． 16．（24-25九年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点坐标，反比例函数系数的几何意义，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握反比例函数系数的几何意义． 根据正比例函数和反比例函数交于、两点，得出两点的坐标关于原点对称，过点作于点，由等腰三角形的性质可得，进而求出k的值． 解： 根据正比例函数和反比例函数交于、两点， 两点的坐标关于原点对称， ∵，， ， ， ， 是等腰三角形， 过点作于点，根据等腰三角形的三线合一可得 ∴ ∵反比例函数的图形位于二、四象限 故答案为：． 17．（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图，直线与双曲线相交于两点，现将线段沿着直线对折，得到对应线段，过点作轴的垂线，交该双曲线于点，连接，．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，轴对称的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先联立直线与双曲线，可得，分和时，代入直线中可得两点坐标，由轴对称的性质可列，可得点坐标，根据轴，点在双曲线上，代入到双曲线中即可求得坐标，长度，由，求解即可得的值． 解：联立直线与双曲线，可得：， ∴，即， 当时，则有， ∴， 当时，则有， ∴， 由轴对称的性质可知：与关于直线对称， 令点的横坐标为，则， ∴，即， ∵轴，点在双曲线上， 当时，双曲线， 即 ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 18．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，过点作，交轴于点．若都是等腰直角三角形，其中点，在反比例函数的图像上，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数图像的交点问题，掌握一次函数、反比例函数图像上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质是解题的关键． 根据题意找到点的横坐标的规律，然后再求出的横坐标即可． 解：如图，过点A，，，，分别作轴，轴，轴，轴…，垂足分别为…．．． ∵直线的关系式为， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可得……都是等腰直角三角形， 设， 则点，点A在反比例函数的图象上， ∴，解得：（负值舍去）， ∴点A的横坐标为1， 设， 则点，点A1在反比例函数的图像上， ∴，解得：， ∴点的横坐标为 设， 则点，点在反比例函数的图象上， ∴，解得：， ∴点的横坐标为 以此类推：点横坐标为：． 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025·山东潍坊·一模）如图，一次函数与反比例函数相交于，两点，过点A作轴于点C，连接并延长，交反比例函数的图象于点D，连接． （1）求直线的函数表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）；（2）5 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象的交点、运用待定系数法求函数的解析式，求三角形的面积． （1）将点代入求出k，再将点代入反比例函数求出m，即可得点C的坐标，直线过B、C两点，用待定系数法求函数解析式即可； （2）先令，求出点D的坐标，再根据求面积即可． 解：（1）解：∵点在反比例函数上， ∴， 解得， ∵点在反比例函数上， ∴， 解得， 即， ∵轴于点C， ∴， 设直线的函数表达式为，将、代入得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：令， 解得，， 当时，， ∴， 由（1）可得， ， 即的面积为5． 20．（本小题满分8分）（2021·江苏常州·一模）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在y轴、x轴上，点B的坐标为（4，﹣2），反比例函数y（x＞0）的图象经过AB的中点D，交BC于点E． （1）求k的值； （2）若F是OC上一点，且△AFE的面积为3，求直线EF的函数表达式． 【答案】（1）-4；（2）yx+1 【分析】（1）求得线段AB的中点D的坐标，再利用待定系数法求k的值； （2）先求得点E坐标，然后根据题意求得点F坐标，利用待定系数法求直线EF的解析式． 解：（1）解：∵点B的坐标为（4，﹣2），AB的中点为D， ∴D（2，﹣2）， ∵反比例函数y（x＞0）的图象经过AB的中点D， ∴k＝2×（﹣2）＝﹣4， 故k的值为﹣4； （2）解：由（1）可得， 把x＝4代入y得，y＝﹣1， ∴E（4，﹣1）， 连接AF，设F（m，0）， 则OF＝m，CF＝4﹣m， ∴S△AOFOF•OAm， S△CEF（4﹣m）×1＝2m， ∵S梯形OAEC（1+2）×4＝6，△AFE的面积为3， ∴S△AFE＝S梯形OAEC﹣S△AOF﹣S△CEF＝6﹣m﹣（2m）＝3， 解得m＝2， ∴F（2，0）， 设直线EF的解析式为y＝ax+b， 把E（4，﹣1），F（2，0）代入 得， 解得， ∴直线EF的函数表达式为yx+1． 【点拨】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了利用待定系数法求函数的解析式，求得E、F的坐标是解题关键． 21．（本小题满分10分）（2023·甘肃定西·二模）如图，已知直线与双曲线交于A，B两点，且点A的纵坐标为4，第一象限的双曲线上有一点，过点P作轴交直线于点Q． （1）直接写出k的值及点B的坐标； （2）求线段的长． 【答案】（1），；（2）6 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，掌握函数图象的交点坐标满足每个函数的解析式是解题的关键． （1）先求得点坐标，再代入直线解析式可求得的值，根据对称性可求得点坐标； （2）由反比例函数解析式可求得点坐标，由直线解析式可求得点坐标，可求得的长． 解：（1）解：在双曲线交于，且的纵坐标为4， 即， 坐标为， 代入直线，可得，解得， 又、关于原点对称， 点的坐标为． （2）解：点在双曲线上， 代入，可得点的坐标为． 轴，且点在直线上， 可设点的坐标为． 代入，得点的坐标为． ． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级下·河南新乡·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．点在直线上，反比例函数的图象过点，且与直线在第三象限相交于点，连结． （1）求反比例函数的表达式； （2）已知点的横坐标为，求的面积； （3）一次函数的图象由函数的图象向下平移个单位长度得到，当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数图象的平移、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）先将代一次函数中求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，得到，再由计算即可得出答案； （3）新的一次函数的解析式为，当时，，当函数的图象过点时，，得出，画出函数和的图象，结合函数图象即可得出答案． 解：（1）解：点在直线上， ， ， 反比例函数的图象过点， ， ， 反比例函数的表达式； （2）解：∵反比例函数解析式为，点的横坐标为， ， 一次函数的图象与轴交于点， 令，则， ， ， ， ， ； （3）解：一次函数的图象由函数的图象向下平移个单位长度得到， 为， 当时，，直线经过点时，，， 如图所示： 由题得在时恒成立， 当时，直线与直线平行，且直线在直线上方，不等式恒成立， 如图所示： 当时，不能保证时不等式恒成立， 综上所述，的取值范围为． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图所示，已知直线与双曲线交于、两点，且点的横坐标为4． （1）k的值为_____，点B的坐标为_____． （2）若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积． （3）过原点的另一条直线交双曲线于、两点（点在第一象限），若由点、、、为顶点组成的四边形面积为24，求点的坐标． 【答案】（1）8；；（2）15；（3）或 【分析】（1）根据一次函数与反比例函数相交于点A，将点A的横坐标代入，求出点A的坐标，再将点A的坐标代入函数解析式即可求得k的值，联立两个函数解析式，求出点B的坐标即可； （2）求出点C的坐标为，过点A、C分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形，得出，，，，，根据，求出结果即可； （3）设点P的横坐标为（且），则，分两种情况：当时，当时，分别画出图形求出结果即可． 解：（1）解：∵点A横坐标为4， ∴把代入得：， ∴， ∵点A是直线与双曲线的交点， ∴， ∴反比例函数解析式为：， 联立， 解得：或， ∴点B的坐标为：； （2）解：如图，    ∵点C在双曲线上，纵坐标为8， ∴把代入得：， ∴点C的坐标为， 过点A、C分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形， 则，，，，，， ∴ ； （3）解：∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 设点P的横坐标为（且），则， 过点P、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F， ∵点P、A在双曲线上， ∴， 若，如图所示，    ∵， ∴， ∴． ∴，（舍去）， ∴； 若，如图所示，    ∵， ∴． ∴， 解得，（舍去）， ∴． ∴点P的坐标是或． 【点拨】本题主要考查反比例函数与一次函数的图像交点问题，反比例函数几何综合，求反比例函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的性质，注意进行分类讨论． 24．（本小题满分12分）（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，B两点． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）点C是第一象限内反比例函数图象上一点，且，求点C的坐标； （3）在（2）的条件下，点C位于点B左侧，连接，点M为双曲线上一动点，平面内是否存在一点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）点的坐标为或；（3）点的坐标为或． 【分析】本题考查了反比例函数综合题，掌握反比例函数性质，以及矩形性质是解题关键． （1）由一次函数得，把代入得，故反比例函数的表达式为；再联立计算即可； （2）设点，过点C作轴平行线交直线于，得点，由，得，再计算即可； （3）由点C位于点B左侧，得．①当四边形为矩形时，构造一线三垂直得，得，求出直线解析式为，再联立计算即可．②当为矩形时，由得直线解析式为再联立计算即可． 解：（1）解：一次函数过点， ， ， ， 把代入得，， 反比例函数的表达式为； ， 或； （2）解：设点，过点作轴平行线交直线于， 点， ， ， ， 解得或，（负数已舍）， 点的坐标为或； （3）解：点位于点左侧， ， ①当四边形为矩形时， 如图：过作直线轴，过作直线，过作直线， ， ， ，， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， 设直线解析式为， 代入， 得， 直线解析式为， 联立得， ， 或2， ， 移动到， 移动到， ， ②当为矩形时， ， 设直线解析式为， 代入，得， 直线解析式为， 联立得， ， 或1， ， 移动到， 移动到， ， 综上所述，点的坐标为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$