广东省揭阳市普宁国贤学校等多校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试卷

■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 2024一2025学年度高一年摄4月联考 南在春自的若数区度两作苦，■山期延形业眼定《位的酱省无效 请在备甘的著区适内下答，加出厘型适框意定区的苦率老效 数学答卡 15(13升) 16.15) 季校 饭： 姓名 准考证号 ■ ■ x 国 8面容8团I王 ■ ■ 贴条形码风 团流面害面无面重面重 年期转这 座韩专江 ● 装口 可TT用方手 运释每罐5分共格分 80国酒D ■■ 多市中u 7.用需中D 8置的 40重团D ■ 5为重户拉 每分共1分 ■ B面边D 1红亚四亚 集道择超：海5分共15分 请勿在此区城作答 请在备温日的客面区速内作盖，题出尾色矩肠边机烟定区域的馨酱无数 南在各日的着区域内作答，题出鱼鞭形边限定区随的案无发 请在各日的香区填内中著，细出属色地形造框雅定区健的香案无效 营举1面（丸6页） 数季愿红民（共6氧） GD 数单解瓦共6直) 请在各日的苦■区建内作着电色地的切根侧定区道的苦无数 遗在罐自的苦哑区内答。山班影边框丽业区值的苦衡光数 在者数日的密程区肉作着出色短形框硬定《适的著名无签 17.(15分) 18.17分) 10(17分) 请在各日的着面区通内作著。组出黑色地形边框刚定区罐的著萄无效 、请在各日的酱区通内作著，植出深色地愁边松限定区植的著面无效 调在格盟日的着区硬内作著，数出黑色题形边明足延的馨无效 暂华丽面（共后丙 置华第勇（无6民） 量单属6面离反) ■ 2024—2025学年度高一年级4月联考 数学参考答案及解析 三、填空题 12．－　【解析】 由题可得z＝ei＝cos＋isin＝－＋i，所以z的实部为－.故答案为－. 13．286　【解析】 依题意，抽取的前5袋牛奶的标号依次为：206，301，169，071，286，所以抽取的第5袋牛奶的标号是286.故答案为286. 14.；－　【解析】 因为D为BC的三等分点(靠近C点)，所以＝＝，可得＝＋＝＋＝＋，所以·＝·＝－2＋2－·＝－×9＋×4－×3×2cos＝；设＝λ，所以＝＋＝λ＋－＝＋，可得·＝·λ＝λ·＋λ2＝λcos＋λ2＝－3λ＋4λ＝4λ2－7λ＝4－；可知当λ＝时，·的最小值为－.故答案为；－. 四、解答题 15．解：(1)由＝＋，得z＝＝＝1＋i.(5分) (2)由于－3－2i是方程2x2＋px＋q＝0的一根，则2＋p＋q＝0，(7分) 即＋i＝0，(9分) 所以，(11分) 解得，p＝12，q＝26.(13分) 16．解：(1)③④.(2分) (2)共线向量即平行向量．(3分) 要证明a，b互为共线向量，只需证明存在一个实数λ，使得b＝λa.(5分) 对于a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，有－2×(1，2)＝(－2，－4)，所以存在实数λ＝－2使得b＝－2a，即a，b互为共线向量．(8分) (3)能．(9分) 不共线的两个向量可以作为表示这一平面内所有向量的一组基底向量，(10分) 假设存在实数m，n，使得ma＋nc＝0，(11分) 展开得ma＋nc＝(m＋2n，2m＋3n)＝0，可得方程组，(12分) 解得m＝n＝0，(13分) 故当且仅当m＝n＝0时，ma＋nc＝0成立，因此向量a，c不共线，(14分) 可以作为表示这一平面内所有向量的一组基底向量．(15分) 17．解：(1)＝－＝－＝b－a，(3分) ＝＋＝＋＝＋＝a＋b.(6分) (2) ＝＝，(8分) ，(10分) =－＝－.(15分) 18．解：(1)由题意知，AB＝2，PA＝PB＝2，故△PAB为以P为直角顶点的等腰直角三角形，故∠PBA＝，(1分) 又因为∠ABQ＝，且由题意得P，Q分布于直线AB两侧，所以∠PBQ＝，(2分) 有cos∠PBQ＝coscos－sinsin＝，(4分) 若游船的航行距离即PQ＝，由余弦定理得，，(6分) 解得BQ＝(海里)．(7分) (2)由题意知，点Q始终位于以B为起点的射线上，记该射线为l.注意到在(1)的条件下BQ2＋PQ2＝BP2，故此时∠PQB＝，即PQ⊥l，所以此时即为游船航行距离的最小值；(9分) 由于游船从两灯塔间穿过，即PQ与AB存在异于端点的交点，设为M.由正弦定理得，在△BPQ中，＝⇒BPsin∠PBQ＝PQsin∠BQP，(11分) 其中BPsin∠PBQ＝为定值，故PQ增大时，sin∠BQP减小，又因为∠BQP＝π－∠QBP－∠BPQ，故PQ增大时，sin∠BPQ增大．(13分) 因为sin∠BPQ＝sin∠BPM，∠BPM<，所以∠BPQ<，故∠BQP>，(14分) 因为sin＝sin＝，(15分) 所以PQ＝＝<<4＋2，(16分) 故PQ∈(海里)．(17分) 19．解：(1)由方程x2－x－＝0，解得x＝，(1分) 又因为C在第一象限，故t＝，则点C坐标为，(2分) 由复数几何意义可得A(2，2)，B(－1，)，(3分) 故＝，＝，(4分) 故·＝＋＝0.(5分) (2)设＝λ，其中＝(－3，－)，设点D，(6分) 则＝(x－2，y－2)， 故(x－2，y－2)＝λ(－3，－)，即x＝2－3λ，y＝2－λ，(8分) 又＝，＝(2－3λ，2－λ)，因为与共线，所以(2－λ)＝(2－3λ)，(9分) 即λ＝3＋3－－3，λ＝2，解得λ＝，所以＝.(11分) (3)由可得，又点F对应的复数为z3，，所对应的复数分别为za，zb，可得FA是∠BAC的外角平分线，(13分) 过F作FH⊥AB交BA的延长线于H，可得AF平分∠CAH，又·＝0，故AC⊥BC，(14分) 故FC＝FH，AC＝AH，＝＝＝tan∠ABC，(15分) ＝，＝，(16分) 故tan∠ABC＝＝＝2－，故＝2－.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$2024一2025学年度高一年级4月联考 二、迹择题：本题共3小题，每小题6分，共州分，在每小题给出的选项中，有多项特合题 目要求，全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分 数学试题 9,从某市参加升学考试的学生中随机抽查10心0名学生的数学藏情进行统计分析，在这个 本试卷共4页，19题。全卷裤分150分。考试用时120分钟。 问题中，下列说法正确的是 生意事项： A.总休指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成领 1答题筒，先将自已的姓名、准考证号筑写在答题卡上，并将雅考正号条罪码精黠在 B.样本是指1000名学生的数学成黄 答圆卡上的指定位置。 C.样本量指的是100M名学生 2.选择的作答：每小题选出答案后，用B铅笔把答题卡上对应惠目的答案标号涂 D)个体指的是该市参加升学考试的而一名学生的数学成绩 黑。写在试盟卷、草稿纸和答恩卡上的非答题区域均无效。 10.已知非零复数1，其中粒为纯班数.则 3,非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对流的答题区城内。写在试题姿，草 八若=和，则为纯婚数 篇纸和答盟卡上的非容题区城均无效。 且若与互为共矩复数，则一1 4,考试结束后，请将本试题整和答题卡一并上交」 C.若：■2，且为纯喔数，则1=2十2 一，选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 D若。=，则：的避部为0 1.MN-MB+NC+CA- 11.在△4BC中，Bi+BC-8,AB+AC=3,(A百+AC·AE=0,月 A.A万 B.BA C D.0 A.AB-3 2.为了了解某县中小学生课外阅读时间情况，拟从该县的中小学生中推取部分学生进行 调查，事先已经了解到该县小学、初中、高中三可个学段学生的果外阅读时间存在较大差 且A- 异，面男，女生的阅读时同差异不大，赐最合理的由样方法是 A按性别分层随机轴样 围按学段分层随机袖样 C△ABC的面积为2受 C.推签法 D.面机数表法 D.Ci+C8-37 3.已知：=a十柄清足：一1=：一2引(a,6ER).期4- 三、填空题：本题共3小题，每小驱5分，共15分 0,2 D.4 12.欧拉公式©“一oms0+isin(其中i为虚数单位)是由瑞上数学家欧拉发现的，若复数 一心，则：的实部为 4.某校高三年领共有200人，其中男生1200人·女生800人，某次考试结束后，学校采 13.要考察某公可生产的500克烧装牛奶的质量是香达标，现从500袋牛奶中抽取0袋 用按性别分层随机抽样的方法轴取容量为n的样本，已样本中男生比女生人数多8 进行检验，将它们编号为000,001,002，，99，利用随机数表抽收样本，从第8行第5 人，期且一 列的数开始，按3位数依次向右读最，判行末后接着从下一行第一个数谁续.则抽收的 A20 B.30 C.40 1).48 第5袋牛奶的标号是 5.已A,B,C.D是平面内不同的四点，设甲，Ai∥DC:乙：四边形ACD为平行四边 (下面摘收了某釉机数表的第？行至第9行) 彩，期 84421755315794550688770474476721763 A甲是乙的充分条件但不是必要条件 3602583921206766301647859169557671 B甲是乙的位要条件但不是充分条件 98301071851285735807443952387933211 C,甲是乙的充要条件 D,甲瓦不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 14.在△ABC中，CA一2，AB-3,∠BAC-红，D为C的三等分点（靠正C点），则AD· 3 6.已知夏数：5：在复平面内所对应的点分别为A(lc,B(@,一1)，且4和=2.则AB BC- :设点P是线登AC上的动点，则P形，PC的最小值为， A.0.-9) B,1,-3) C.2.-4) D.{-1.-1) 7,记△ABC的内角A,B,C的对边分别为：，b,已知m=2,C边上的高为1，十=6。 用△ABC的周长为 A.4 B,1+,8 C2+2v5 D.3+w8 设复=+受期的个位数字 A.2 B.4 C.6 D.8 散学试题第1年[共4页} 数学试题第多页[共页 GD 四、解答题：本题共小题，共7？分.解答控写出必要的文字说用，证明过程或清算步骤 18,【本小题清分17分》 15.(木小题满分13分) 已知海面上A,B两点处有距高为22海里的两个灯塔，游阳在P点时：与A,B两点 1已知1-1+i,出-2-i且5-上+上，求 处灯塔的臣距离均为？海里，游婚沿直线航行一段臣离后：从两灯塔阿穿过并把达Q点，此 ￥ (2)已知一3一2i是关于x的方程2：2十P:十=D的一个根.求实数P9的值 时在B点处灯塔测得∠ABQ- 1>者避相的航行距商为香生海里，求B0。 (2)求游婚航行距离的取值爸围。 16.(本小圆满分15分) 已知向量4=(1,2).b=(一2.-40c=(2.3). (1)a,b互为 :(直接填写所看符合题意的序号》 ①相等向量：相反阗量：)共线向量：④平行向量， (2)证明()中你所选择的结论： ()判断@：c能否作为表示这一平面内所有肉量的一组基底向量，并说明理由， 19,(本小避满分17分》 已知1为方程-一言-0的一个解，设一2+2，i一-1+厚1在复半围内对 应的点分别为AB,坐标原点为O,C(t:3)为第一象限内一点. (1)求AC·C: 17.(本小题满分15分) 如图，平行四边形ACD中，点E是AB的中点，A示-A,配-C,设A-a, (2)设0C与4B交于点D,求裙的值： A万-k (3△AC中，F为C延长线上的一点，记B.AC,AF所对应的复数分谢为： CF (1)用a,b表茶EF, ,且=：=一(5+》≠0》，求干Ac的值 (2)若a-b-2,∠AD-o',求∠FEG的余弦值， 数学试盟第3页共（页1 数学试慧第4页引共（页】 D参考答案及解析 数学 2024一2025学年度高一年级4月联考 数学参考答案及解析 一、选择题 c0sA=六因为simA十c0osA=1,解得=后，故 1.B【解析】由向量的线性运算可得M不-M店+N心 (6+c)=6+2c十C=6+2√5，解得b+c=1十√5， +Ci=M+BM+NA=BA.故选B. 故△ABC的周长为3十√5，故选D. 2.B【解析】因为男、女生的阅读时间差异不大，而小 学，初中、高中三个学段学生的课外阅读时间存在较 8.C 【解折】因为=合+ 名i,则1 大差异，故应按照学段分层随机抽样.故选B, √（分）+()=厄，又11=1小- 3.B【解析】由题意可得|a一1十bi=1a一2十bi,所 以(a-1D+=(a一2》：+6，解得a=号故选B (2)21=2102=243,因为2=2,2=2×2=4， 2=2×4=8.2=2×8=16,25=16×2=32,2"= 4,C【解析】根据分层抽样的性质可知，样本中男生人 2×32=64,27=2×64=128,2=2×128=256,…, 数为四×识-样木中女生人数为：× 则2(n∈N)的个位数以4为周期，所以|：2|的 号，由题意所以一号=8，所以m=0,故选℃ 个位数字是6.故选C. 二、选择题 5.B【解析】一方面，AB∥DC时，可能A,B,D,C四点 9,ABD【解析】总体指的是该市参加升学考试的全体 共线，此时A,B,C,D不构成四边形，故充分性不成 学生的数学成绩，A正确：样本是指1000名学生的 立：另一方面，四边形ABCD为平行四边形时，则AB 数学成绩，B正确：样本量是1000，C错误：个体指的 ∥DC,故AB∥D心，故必要性成立.故甲是乙的必要 是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩，D正 条件但不是充分条件，故选B. 确.故选ABD. 6,A【解析】由复数的几何意义可得=1十ai,:= 10.BD【解析】设=a十bi(a.b∈R),=ci(c≠0)， a-i,故12=(1十ai)(a-i)=2,所以2a十(a-1)i ||=|2,即a2+6=c2,并不能证明a=0,故A =2,解得a=1,故AB=(0,-2).故选A. 错误：由12=一bc十aci与=a十i互为共轭复 7.D【解析】易得△ABC的面积为宁aX1=1,由BC a=-bc 数，可得 ,解得c=1,所以||=1，故B ac=-b 边上的高为1知sinC=1,放6c=snC由正弦定理 正确：山||=2得/a+6=2,对=a+(i)+ 2 得，C=sA所以sinA=C由余弦定理可得 2abi=a2-b+2abi,又因为为纯虚数，则a=b, GD 数学 参考答案及解析 解得a=士厄，b=士厄，放C错误：号=→ 2· 对，即=一2，故D正确.故选BD, 13.286【解析】依题意，抽取的前5袋牛奶的标号依 11,ACD【解析】设边AC,BC中点分别为E,F,三角 次为：206,301,169,071,286，所以抽取的第5袋牛 形的重心为G,由|B+BC1=6,|A店+AC|=3, 奶的标号是286.故答案为286. 根据三角形承心公式，可得BG引= 14.子-号 49 【解析】因为D为BC的三等分点（靠近 号1BA+BC=2,AG=号1Ai+AC=1,又 C点)，所以C市=Ci=子(A店-AC),可得AD- (AB+AC)·AB=0,即3AG.AB=0,可得AB⊥ AG,则AB=√BG一AG=√，故A正确：因为 A心+C市=AC+号成=专A店+号A花.所以A心： AB=万，BG=2,AG=1,故n∠ABG-瓷- BC=(号A店+号AC)·(AC-A)=-子A萨+ 可得∠ABG=吾，BE=是BG=3,则在△ABE中， 号A心-号ai,AC=-子×9+号×4-吉×3X 由余弦定理AE=AB十BE一2AB· 2co=号：设P心=AAC,所以Pi=P心+C= BEcos∠ABG,解得AE=3,由正弦定理AE sin∠ABE AAC+AB-AC=AB+(a-1)AC,可得P馆.P心 sn2BA正·解得m∠BAE=号，面G在线段BE BE [AB+(a-1)AC]·AAC=AAB·AC+ Aa-1)A心=aA1ACosξ+x(a-1)Ac 上，放∠BAE>∠BAG=受，∠A=∠BAE=要，故 =-3x+aa-1)=4-7x=4(a-子)）'-号：可 B错误：因为G是三角形重心，故心=号成， 知当X=子时，P店P心的最小值为一号枚答案为 SAc=2SAHE=3S△ir= AB·AG=3Y,故C 3 2 正确：设AB中点为M,有CA+CB=2CM=6GM 面GM=VMA+AG=竖，放IC+ 四、解答题 15.解：1)由上=上+上，得=1i2) (1+i)+(2-i) 6|GM=3√7，故D正确.故选ACD. 三、填空题 3生-1+ 3 (5分) 12.-号 【解析】由题可得=e中=cos (2)由于一3一2i是方程2x+px十q=0的一根，则 4 2(-3-2i)+p(-3-2i)+q=0, (7分) =-+马，所以：的实部为一 2 2 2 故答案为 即(-3p+q+10)+(24-2p)i=0, (9分) ·2· 面 参考答案及解析 数学 -3p十g+10=0 所以 (11分) 24-2p=0 解得，p=12,g=26. (13分) =√-al1b1os60+号 16.解：(1)③①. (2分) (2)共线向量即平行向量。 (3分) 3 (8分) 要证明a,b互为共线向量，只需证明存在一个实数 1=√函=√2+b) A,使得b=a. (5分) 对于a=(1,2),b=(-2,-4),有-2×(1,2)= (一2，一4)，所以存在实数1=一2使得b=一2a,即 +号+- 3， (10分) a,b互为共线向量， (8分) (3)能. E.E心 (9分) cOs∠FEG= EFIEG 不共线的两个向量可以作为表示这一平面内所有向 (3b-)·(号+2a) 量的一组基底向量， - (10分) EFIEGI 假设存在实数m,n,使得0十c=0, (11分) 3 3 展开得0十c=(n十2n,2m十3n)=0,可得方程组 --5133 m+2n=0 万×97×⑨ 133 (12分) 9 9 2m十3n=0 (15分) 解得m=n=0, (13分) 18.解：(1)由题意知，AB=2E,PA=PB=2,故△PAB 故当且仅当n=n=0时，0十c=0成立，因此向 为以P为直角顶点的等腰直角三角形，故∠PBA= 量a,c不共线， (14分) 可以作为表示这一平面内所有向量的一组基底向 异 (1分) 量 (15分) 又因为∠ABQ=吾，且由题意得P,Q分布于直线 17.解：1求=A求-A花=号A心-AB=专b-号 AB两侧，所以∠PBQ-登， (2分) (3分) 成=成+心=号A+号C=Ai+号市- 有cos∠PBQ=cos晋os-sm晋sin= 2a+b, (6分) 6一E (4分) 4 21成=V=√gb 若游船的航行距离即PQ=卫，由余弦定理得， 2 ·3· GD 数学 参考答案及解析 C0s/PBQ-PB+QB-PQ6- 2PB·QB 4 (6分) (@ (2分) 解得BQ=5,巨（海里. (7分) 由复数儿何意义可得A(2,25),B(-1,w5), 2 (3分) (2)由题意知，点Q始终位于以B为起点的射线上， 记该射线为，.注意到在(1)的条件下BQ+PQ 做成-(，)aC-(,3) BP,故此时∠PQB=受，即PQ⊥，所以此时即为 (4分) 游船航行距离的最小值： (9分) 故A花.BC=5-3)(3++3-)(3+ 由于游船从两灯塔间穿过，即PQ与AB存在异于 =0. (5分) 端点的交点，设为M.由正弦定理得，在△BPQ中， (2)设AD=AAB,其中AB=(-3,-√5)，设点 PQ BP sin∠PbQ sin∠BQP →BPsin∠PBQ D(x,y). (6分) PQsin∠BQP. (11分) 则AD=(x-2,y-25), 其中BPsina∠PBQ=5亚为定值，故PQ增大时， 2 故(x-2,y-2√5)=A(-3,-√3)，即x=2-3, sin∠BQP减小，又因为∠BQP=r-∠QBP y=25-3: (8分) ∠BPQ,故PQ增大时，sin∠BPQ增大. (13分) 0d-(15,0±@)，0市=2-.2g 2 因为sin∠BPQ=sin∠BPM,∠BPM<,所以 50.因为0成与0市共线，所以1中2(2厅-50 ∠BPQ<受，故∠BQP>是， (14分) 31+52(2-3x), (9分) 因为in是=sin(爱-吾)=6一E (15分) 即(9+95-5-3)x=3+3-尽-3， 所以PQ= BPsin∠PBQ_6+E 2 sin∠BQP 2m80<6+2< 2sin音 (5+8)A=25,解得X=8二5，所以 13 AB 4+25, (16分) 8-23 (11分) 故PQ∈ [5士，4+25)海里 (17分) 13 (3)由||w|=k(x|6|+w|z.|)可得= 19:解：1由方程r-一令-0，解得x=生5 1 2 (白十白奇小义点F对应的复数为B,Ad (1分) 所对应的复数分别为z.,,可得FA是∠BAC的外 又因为C在第一象限，故1=1十5，则点C坐标为 2 角平分线， (13分) 。4 GD 参考答案及解析 数学 过F作FH⊥AB交BA的延长线于H,可得AF平 故tan∠ABC= C=1A4=2-5,故B+AC BC BC 分∠CAH,又AC.BC=0,故AC⊥BC. (14分) 2-5. (17分) CF CF FH 故FC=FH,AC=AH,AB干AC一AB干AH-B丽 =tan∠ABC, (15分) C=(+9,3+)aC=(3,32) (16分) ·5 GD