8.5.3 平面与平面平行（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

8.5.3 平面与平面平行 题型一 面面平行的判定定理与性质定理 1．（24-25高一下·河北唐山·期中）平面与平面平行的充分条件可以是（    ） A．平面内的任意一条直线都与平面平行 B．直线平面，直线平面，且直线不在平面内，也不在平面内 C．直线平面，直线平面，且平面，直线平面 D．平面内有无穷多条直线都与平面平行 2．（24-25高一下·浙江丽水·期中）已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若为异面直线，且，，，则l与m，n中至少一条相交 3．（24-25高一下·福建龙岩·期中）已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若m，n是异面直线，，，，，则 4．（23-24高一下·广东广州·期中）（多选）已知直线，平面，则下列说法错误的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 题型二 平面与平面平行的证明 1．如图，四边形与均为平行四边形，，，分别是，，的中点．求证：平面平面． 2．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期中）如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，点M、N、Q分别是、、的中点.求证：平面平面. 3．（24-25高一下·河北邯郸·期中）如图，在四棱锥中，，，，设，，分别为，，的中点， (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 4．（22-23高一下·广东·期中）如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)若为的中点，求证：平面平面. 题型三 利用面面平行证明线线平行 1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，平面平面，所在的平面与，分别交于，，若，，，则（    ） A． B．2 C． D．3 2．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，在正方体中，作截面如图交，，，分别于，，，，则四边形的形状为（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 3．如图所示，平面四边形的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形外，且，，，互相平行，求证：四边形是平行四边形． 4．（23-24高一下·广东佛山·月考）如图，在六面体中，，四边形是平行四边形，． (1)证明：平面平面． (2)若G是棱的中点，证明：． 题型四 利用面面平行证明线面平行 1．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·开学考试）如图，在正方体中，E，F，P，Q分别是，，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面． 2．如图，已知多面体的底面为正方形，四边形是平行四边形，，，是的中点.证明：平面. 3．如图，三棱柱中，四边形均为正方形，分别是棱的中点，为上一点. 证明：平面； 4．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知四棱锥中，底面为平行四边形，点分别在，，上．如图，若Q满足，则点满足什么条件时，平面． 题型五 利用面面平行的性质定理解决动点问题 1．（23-24高一下·云南昆明·期中）如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的三等分点（靠近，靠近）； (1)求证：平面． (2)在上确定一点，使平面平面，并证明. 2．（22-23高一下·江苏南京·月考）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，交于点，是上一点且平面 (1)证明：为的中点； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，请给出点的位置，并证明，若不存在，请说明理由. 3．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，． (1)求三棱锥的体积． (2)在上是否存在一点，使得平面平面.如果存在，请说明点位置并证明.如果不存在，请说明理由. 4．（23-24高一下·云南昭通·期中）如图，正三棱柱的高为，底面边长为2，点，分别为，上的点. (1)在棱，上是否存在点，使得平面平面？如果存在，在此条件下证明平面平面； (2)在（1）的条件下，求几何体的体积. 1．（23-24高一下·浙江温州·月考）下列四个正方体中，，，为所在棱的中点，，，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山东枣庄·期末）如图，梯形中，四边形是梯形在平面α内的投影（），则对四边形的判断正确的是（    ） A．可能是平行四边形不可能是梯形 B．可能是任意四边形 C．可能是平行四边形也可能是梯形 D．只可能是梯形 3．（23-24高一下·河南新乡·期末）（多选）如图，在长方体中，点M，N，E，F分别在棱，，，上，且平面平面，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．平面 4．（23-24高一下·福建泉州·期中）（多选）如图，已知在正方体中，和分别为和的中点，则（    ） A．直线与为异面直线 B．正方体过点，，的截面为三角形 C．直线平面 D．平面平面 5．（23-24高一下·安徽阜阳·月考）如图所示，在长方体中，，.一平面截该长方体，所得截面为OPQRST，其中O，P分别为AD，CD的中点，，则 ， . 6．（23-24高一下·江西南昌·月考）如图所示，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，是侧面内一点，若平面AEF.则线段长度的最大值与最小值之和为 . 7．（23-24高一下·福建厦门·期中）如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面． (1)判断直线l与BC的位置关系并证明； (2)求证：平面PAD； (3)直线PB上是否存在点H，使得平面平面ABCD?若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由． 8．（23-24高一下·辽宁抚顺·期末）如图（1），在梯形PBCD中，，，A是PD中点，现将沿AB折起得图（2），点M是PD的中点，点N是BC的中点．    (1)求证：平面PAB； (2)在线段PC上是否存在一点E，使得平面平面PAB？若存在，请指出点E的位置并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.5.3 平面与平面平行 题型一 面面平行的判定定理与性质定理 1．（24-25高一下·河北唐山·期中）平面与平面平行的充分条件可以是（    ） A．平面内的任意一条直线都与平面平行 B．直线平面，直线平面，且直线不在平面内，也不在平面内 C．直线平面，直线平面，且平面，直线平面 D．平面内有无穷多条直线都与平面平行 【答案】A 【解析】对于选项A：由任意两一直线与平面平行，一定能找到两条相交的直线a,b使得直线平面, 直线平面,又两条相交直线在平面内，由面面平行的判断定理即可得到. 对于选项B: 由图可知直线平面，直线平面，且直线不在平面内，也不在平面内， 但是平面与平面相交；故B错误 对于选项C: 由图可知：直线平面，直线平面，且直线平面，直线平面， 但是平面与平面相交，故C错误 对于选项D: 平面内只要与直线a平行的线都与平面平行， 这样的线有无数条，但是平面与平面相交，故D错误故选：A 2．（24-25高一下·浙江丽水·期中）已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若为异面直线，且，，，则l与m，n中至少一条相交 【答案】D 【解析】对于A中，若，，则直线与，可能相交、平行或异面，所以A错误； 对于B中，若，，则平面与平面可能相交，所以B错误； 对于C中，若，，，则或，所以C错误； 对于D中，若为异面直线，且，，， 假设直线与直线都不相交，则，所以， 这与为异面直线矛盾，所以与中至少一条相交，所以D正确.故选：D. 3．（24-25高一下·福建龙岩·期中）已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若m，n是异面直线，，，，，则 【答案】D 【解析】对于A，若，，则与平行或相交，故A错误； 对于B，若，，则或，故B错误； 对于C，若，，，则与平行或异面，故C错误； 对于D，因为，所以在内存在直线∥，又，所以∥； 又是两条异面直线，所以直线与是两条相交直线；又，所以；故D正确.故选：D. 4．（23-24高一下·广东广州·期中）（多选）已知直线，平面，则下列说法错误的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 【答案】ABC 【解析】选项A中，可能在内，也可能与平行，故A错误； 选项B中，与也可能相交，故B错误； 选项C中，与也可能相交，故C错误； 选项D中，依据面面平行的判定定理可知，故D正确．故选：ABC． 题型二 平面与平面平行的证明 1．如图，四边形与均为平行四边形，，，分别是，，的中点．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【解析】因为，分别为平行四边形的边，的中点，所以, 又平面，平面，所以平面, 又为的中点，为的中点， 所以为的中位线，所以． 因为平面，平面， 所以平面，又，面， 所以平面平面. 2．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期中）如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，点M、N、Q分别是、、的中点.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【解析】因为底面为平行四边形，为的中点，所以为的中点， 因为M、Q分别是、的中点.，所以，， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 因为平面， 所以平面平面. 3．（24-25高一下·河北邯郸·期中）如图，在四棱锥中，，，，设，，分别为，，的中点， (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）在四棱锥中，连接， 由，分别为，的中点，得， 而，，则，四边形为平行四边形， 因此，而平面，平面，所以平面． （2）由是中点，而为中点，则， 又平面，平面，于是平面， 由（1）知，，而平面，平面， 因此平面，又平面， 所以平面平面． 4．（22-23高一下·广东·期中）如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)若为的中点，求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）如图：连接BD，设，连接OM， ∵在正方体中，四边形是正方形，是中点， 是的中点，， 平面，平面， 平面. （2）如图：连接，NB， 为的中点，为的中点，， 又， ∴四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面 由（1）知平面，，平面，平面， ∴平面平面. 题型三 利用面面平行证明线线平行 1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，平面平面，所在的平面与，分别交于，，若，，，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【解析】因为平面平面，且平面平面，平面平面， 所以，所以， 可得，所以.故选：C. 2．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，在正方体中，作截面如图交，，，分别于，，，，则四边形的形状为（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 【答案】A 【解析】在正方体中，可得平面平面， 且平面平面，平面平面， 所以，同理可证：， 所以四边形的形状一定为平行四边形.故选：A. 3．如图所示，平面四边形的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形外，且，，，互相平行，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【解析】四边形是平行四边形，． 平面，平面， 平面，同理，可证得平面． 平面，平面，且， 平面平面． 又平面平面，平面平面， ．同理可证．四边形是平行四边形． 4．（23-24高一下·广东佛山·月考）如图，在六面体中，，四边形是平行四边形，． (1)证明：平面平面． (2)若G是棱的中点，证明：． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】（1）由，得，而平面，平面平面，则平面， 由，平面，平面，得平面， 又平面，所以平面平面. （2）延长与的延长线分别交于点， 由，，得，由，G是棱的中点，得， 因此点重合，记为，显然平面平面，平面平面， 由（1）知，平面平面，所以. 题型四 利用面面平行证明线面平行 1．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·开学考试）如图，在正方体中，E，F，P，Q分别是，，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）如图，连接，． 因为四边形是正方形，且是的中点， 所以是的中点，又是的中点，所以． 又平面，平面，所以平面． （2）方法一  取的中点，连接，，如图所示， 则有且． 又且，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面． 方法二  取的中点，连接，，如图所示， 因为点是，的中点，所以， 平面，平面， 所以平面， 因为点，分别是和的中点， 所以，平面，平面， 所以平面， 且，，平面， 所以平面平面． 又平面，所以平面． 2．如图，已知多面体的底面为正方形，四边形是平行四边形，，，是的中点.证明：平面. 【答案】证明见解析 【解析】设，连接， 因为为正方形，则为的中点， 又因为是的中点，则， 且平面，平面，所以平面， 由题意可知：四边形是平行四边形，， 且平面，平面，所以平面， 且，平面，可得平面平面， 由平面，可得平面. 3．如图，三棱柱中，四边形均为正方形，分别是棱的中点，为上一点. 证明：平面； 【答案】证明见解析 【解析】证明：连接，如下图所示： 因为，且，分别是棱的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面， 因为，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 因为平面， 所以平面. 4．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知四棱锥中，底面为平行四边形，点分别在，，上．如图，若Q满足，则点满足什么条件时，平面． 【答案】为中点，证明见解析 【解析】当为中点时，平面， 证明如下：连接交于点，连接，取的中点， 取的中点，连接、、， 四边形为平行四边形，为中点， 为中点，，为中点，， 平面，平面，平面； 分别为中点，， 平面，平面，平面， ，平面，平面平面， 平面，平面. 题型五 利用面面平行的性质定理解决动点问题 1．（23-24高一下·云南昆明·期中）如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的三等分点（靠近，靠近）； (1)求证：平面． (2)在上确定一点，使平面平面，并证明. 【答案】(1)证明见解析；(2)点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面，证明见解析 【解析】（1）过点作，交于点，连接， 因为为的三等分点，可得， 又因为为的三等分点，可得， 因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又由平面，平面，所以平面. （2）当点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面，证明如下： 取取一点，使得，即点为上靠近点的三等点， 在中，因为分别为的三等分点，可得，所以， 因为平面，平面，所以平面； 又由（1）知平面，且，平面， 所以平面平面， 即当点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面． 2．（22-23高一下·江苏南京·月考）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，交于点，是上一点且平面 (1)证明：为的中点； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，请给出点的位置，并证明，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，为中点 【解析】（1）连接，设，连接， 因为平面，平面，平面平面，所以， 又底面为平行四边形，所以为的中点，所以为的中点． （2）存在，为中点时，平面平面， 因为为中点，为的中点，所以， 由于，所以， 由于平面，平面， 所以平面， 同理可证得平面， 由于，平面， 所以平面平面. 3．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，． (1)求三棱锥的体积． (2)在上是否存在一点，使得平面平面.如果存在，请说明点位置并证明.如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)存在，为的中点 【解析】（1）在直四棱柱中，底面为正方形，所以平面， 所以. （2）当为的中点时满足平面平面， 设，连接， 因为为正方形，所以为的中点， 又为棱的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面， 又为的中点，所以且， 所以为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面. 4．（23-24高一下·云南昭通·期中）如图，正三棱柱的高为，底面边长为2，点，分别为，上的点. (1)在棱，上是否存在点，使得平面平面？如果存在，在此条件下证明平面平面； (2)在（1）的条件下，求几何体的体积. 【答案】(1)存在，证明见解析；(2)2 【解析】（1）与的中点，可以使得平面平面， 证明：在三棱柱中， ∵与为与的中点， ∴与平行且相等， 故四边形为平行四边形，∴， ∵与平行且相等，∴四边形为平行四边形  故， 因为，平面，平面， 所以平面，同理可证平面， 而，  平面，平面， ∴平面平面； （2）∵， ， . 1．（23-24高一下·浙江温州·月考）下列四个正方体中，，，为所在棱的中点，，，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A选项，若平面平面，平面，则平面， 由图可知与平面相交，故平面与平面不平行，A不满足条件； 对于B选项，如下图所示，连接， 因为、分别为、的中点，则， 在正方体中，且， 故四边形为平行四边形，所以，，， 平面，平面，平面， 同理可证平面，，因此，平面平面，B满足条件； 对于C选项，如下图所示： 在正方体中，若平面平面，且平面平面， 则平面平面，但这与平面与平面相交矛盾， 因此，平面与平面不平行，C不满足条件； 对于D选项，在正方体中，连接、、，如下图所示： 因为且，则四边形为平行四边形，则， 平面，平面，所以，平面， 同理可证平面，，所以，平面平面， 若平面平面，则平面平面， 这与平面与平面相交矛盾，故平面与平面不平行，D不满足条件.故选：B. 2．（23-24高一下·山东枣庄·期末）如图，梯形中，四边形是梯形在平面α内的投影（），则对四边形的判断正确的是（    ） A．可能是平行四边形不可能是梯形 B．可能是任意四边形 C．可能是平行四边形也可能是梯形 D．只可能是梯形 【答案】D 【解析】由题意，因为，所以与确定平面， 与确定平面， 平面，平面，平面， 又在梯形中，平面， 平面，平面. 又平面，平面， 平面平面. 易知平面， 平面. 在平面中，与长度不相等，必然会相交于一点， 则平面与平面相交，必然会相交于一点， 则四边形只可能是梯形，故选：D 3．（23-24高一下·河南新乡·期末）（多选）如图，在长方体中，点M，N，E，F分别在棱，，，上，且平面平面，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．平面 【答案】ABD 【解析】因为平面平面， 平面与平面和平面的都相交，是交线，所以，故A正确； 因为长方体，所以平面平面， 而平面与这两个平行平面的都相交，是交线，所以，故B正确， 如图，连接，此时平面与平面和平面的都相交， 是交线，所以， 而，所以， 又因为，所以四边形是平行四边形， 所以，，所以四边形是平行四边形，所以， 因为，所以与不平行，故C错误； 如图，连接，由长方体性质得面面， 此时平面与这两个平面的都相交，是交线，所以， 又因为面，面，所以平面，故D正确. 故选：ABD 4．（23-24高一下·福建泉州·期中）（多选）如图，已知在正方体中，和分别为和的中点，则（    ） A．直线与为异面直线 B．正方体过点，，的截面为三角形 C．直线平面 D．平面平面 【答案】ACD 【解析】 对于A，由图知，，，在平面内，不在平面内， 所以，，，四点不共面，直线与为异面直线，故A正确； 对于B，因为点是的中点，所以点在平面， 因为，所以点在平面， 所以截面为平行四边形，故B错误； 对于C，连接，和分别为和的中点，所以， 平面，平面，所以直线平面，故C正确； 对于D，因为，平面，平面， 所以平面，同理平面， 且，平面，平面， 所以平面平面，故D正确.故选：ACD. 5．（23-24高一下·安徽阜阳·月考）如图所示，在长方体中，，.一平面截该长方体，所得截面为OPQRST，其中O，P分别为AD，CD的中点，，则 ， . 【答案】 /0.5 /0.4 【解析】设, ,则, 由题意可知，由面面平行的性质定理可得该截面六边形的对边分别平行， 即, ，则, 又因为, ，所以, 则, 由 , 可 得 , 所以, 由~,可得, 所以, 则, 解得, 所以 6．（23-24高一下·江西南昌·月考）如图所示，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，是侧面内一点，若平面AEF.则线段长度的最大值与最小值之和为 . 【答案】 【解析】下图所示： 分别取棱、的中点、，连接，连接， 、、、为所在棱的中点，，， ，又平面，平面，平面； ，，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面， 又，平面，平面平面， 是侧面内一点，且平面，则必在线段上， 在中，， 同理，在中，求得， 为等腰三角形， 当在中点时，此时最短，位于、处时最长， ，， 所以线段长度的是大值与最小值之和为． 7．（23-24高一下·福建厦门·期中）如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面． (1)判断直线l与BC的位置关系并证明； (2)求证：平面PAD； (3)直线PB上是否存在点H，使得平面平面ABCD?若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，证明见解析；(2)证明见解析；(3)存在，为中点，证明见解析. 【解析】（1）. 依题意，，平面，平面，则平面， 又平面平面，平面，所以. （2）取中点，连接，在中， 在中，，则，即四边形为平行四边形， 因此，平面，平面， 所以平面. （3）当为中点时，平面平面 证明如下： 取的中点为，连接， 在中，，平面，平面， 则平面，同理可证，平面， 又平面，， 所以平面平面. 8．（23-24高一下·辽宁抚顺·期末）如图（1），在梯形PBCD中，，，A是PD中点，现将沿AB折起得图（2），点M是PD的中点，点N是BC的中点．    (1)求证：平面PAB； (2)在线段PC上是否存在一点E，使得平面平面PAB？若存在，请指出点E的位置并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，E为PC中点，证明见解析 【解析】（1）取AP的中点Q，连接MQ，BQ， 因为M，Q分别为PD，PA的中点，所以，， 又因为N为BC的中点，所以，． 所以，， 所以四边形MNBQ为平行四边形，所以， 又因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB． （2）存在点E，当E为PC中点时，平面平面PAB． 证明如下：由图（1）因为A是PD中点，，， 所以且， 所以四边形ABCD是平行四边形，所以． 因为E，M分别为PC，PD中点，所以， 所以， 因为平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB， 同理可知平面PAB，又因为平面平面， 所以平面平面PAB． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$