抢分秘籍04 平面向量（5大题型2大易错）-2025年高考数学冲刺抢押秘籍（上海专用）

抢分秘籍04 平面向量 目录 【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型） 【题型一】平面向量的线性运算 【题型二】 平面向量的基本定理及坐标表示 【题型三】 平面向量的数量积 【题型四】 平面向量的应用 【题型五】 向量新定义 【误区点拨】点拨常见的易错点 易错点一：对平面向量基本定理理解有误 易错点二：认为与的夹角为锐角（钝角）致错 题型分布：在上海高考中，平面向量主要以选择题、填空题的形式出现，偶尔也会在解答题中作为工具出现。例如 2024 年上海秋考的第 5 题、第 15 题，2023 年春考的第 2 题、第 12 题等。 考点分布 向量平行与垂直求参数：这是常考考点之一，要求考生根据向量平行或垂直的条件建立方程求解参数。例如 2024 年上海卷就有涉及平面向量平行求参数的题目。 平面向量的基本定理及其应用：考查用已知的两个不共线向量作为基底来表示平面上的其他向量，将所求向量转化到平行四边形或三角形中，利用平面图形的几何特征建立关系。 平面向量的模长：通常与向量的数量积、向量的坐标运算等知识结合，通过将向量模的平方转化为向量的平方进行求解。 平面向量数量积：是高频考点，常涉及数量积的定义、运算律及应用，如利用数量积求向量的模、夹角，判断向量的垂直关系等。 平面向量的夹角：一般根据向量的数量积公式来求解向量的夹角，需要先求出向量的数量积和向量的模。 针对题型专项训练 平行垂直问题：强化根据向量平行或垂直的坐标表示来建立方程求解参数的训练，注意公式的准确运用，同时要考虑到特殊情况，如分母不能为零等。 模长与数量积问题：总结求向量模长的方法，如利用数量积将模长的平方转化为向量的平方进行计算；对于数量积问题，要熟练掌握其定义、运算律以及在求夹角、判断垂直关系等方面的应用，多做一些涉及几何图形中向量数量积计算的题目，提高运算能力和对几何图形的分析能力。 范围与最值问题：此类问题通常需要结合函数、不等式等知识来求解。学会通过建立函数模型或利用不等式的性质来确定向量相关量的取值范围或最值，如利用均值不等式、三角函数的有界性等。 【题型一】平面向量的线性运算 1．向量的线性运算 向量 运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 a－b＝a＋(－b) 数乘 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 2.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 常用结论 1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 2．在△ABC中，D为BC的中点，则＝(＋)． 3．在△ABC中，点P满足＋＋＝0⇔P为△ABC的重心，＝(＋)． 4．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 1．如图，、是以为直径的圆上的两点，其中，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】连结、，则有，，根据求解即可. 【详解】解：连结、. 则，. 所以. . 因为， 所以. 故选：. 2．（2024·上海杨浦·二模）平面上的向量、满足：，，.定义该平面上的向量集合.给出如下两个结论： ①对任意，存在该平面的向量，满足 ②对任意，存在该平面向量，满足 则下面判断正确的为（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①正确，②正确 D．①错误，②错误 【答案】C 【分析】根据给定条件，令，，设，利用向量模及数量积的坐标表示探求的关系，再借助平行线间距离分析判断得解. 【详解】由，，，不妨令，，设， ，得，而，， 则，整理得，由，得， 平行直线和间的距离为， 到直线和直线距离相等的点到这两条直线的距离为， 如图，阴影部分表示的区域为集合，因此无论是否属于，都有， 所以命题①②都正确. 故选：C 【点睛】思路点睛：已知几个向量的模，探求向量问题，可以在平面直角坐标系中，借助向量的坐标表示，利用代数方法解决. 3．在三角形中，是中点，，，则 . 【答案】 【分析】根据向量的加法减法运算及数量积的运算性质求解即可. 【详解】由三角形中，,, 可得： , 故答案为： 4．若为内一点，则 ． 【答案】 【分析】首先设，，，，，，得到，，，再根据数量积运算律求解即可. 【详解】如图所示： 设，，，，，， 则，，， 所以 故答案为： 5．（2024·上海松江·二模）已知正三角形的边长为2，点满足，且，，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】取的中点，由题意可得，从而推得三点共线，进而得出，即可得出答案. 【详解】取的中点，则， 又，又因为， 故三点共线，即点在中线上运动， 在正三角形中，， 又，，则， 故. 故答案为： 6．已知四边形ABCD是平行四边形，若，，，且，则在上的数量投影为 . 【答案】10 【分析】运用向量共线、向量垂直画图，运用平行线性质及直角三角形性质可得、，再运用数量积运算及几何意义即可求得结果. 【详解】因为，所以A、D、E三点共线，且， 又因为，所以，所以， 因为，所以B、E、F三点共线，又因为，所以，如图所示， 设，则， 所以，解得：， 所以在上的数量投影为. 故答案为：10. 7．（2025·上海宝山·二模）已知中，，，点在线段上，且，则的值为 . 【答案】 【分析】根据确定，从而可得，从而用向量数量积的运算律即可求解. 【详解】设等腰在边上的高为， 因为，所以， 所以， 所以， 所以 . 故答案为：. 8．已知分别是边的中点，是线段上的一动点(不包含两点)，且满足，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】由三点共线得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由于是上的一动点(不包含两点)， 且满足，所以且， 以， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 故答案为： 9．平面上有一组互不相等的单位向量，，…，，若存在单位向量满足，则称是向量组，，…，的平衡向量．已知，向量是向量组，，的平衡向量，当取得最大值时，的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意得到当时，取得最大值，设，，得到或，根据题意得到，，根据余弦和差公式求出答案. 【详解】当时，取得最大值， 又，如图所示， ， 设，， 则， 所以，即，解得， 故，或， ， 或， 故答案为： 10．（2024·上海徐汇·二模）如图所示，已知满足，为所在平面内一点.定义点集.若存在点，使得对任意，满足恒成立，则的最大值为 . 【答案】 【分析】延长到满足，取的靠近的三等分点，连接，由向量共线定理得三点共线，从而表示的边上的高，利用正弦定理求得的面积的最大值，从而可得结论． 【详解】延长到满足，取的靠近的三等分点，连接，如图， ， 所以三点共线， 又存在点，使得对任意，满足恒成立，则的长表示到直线的距离，即的边上的高，设， 由得，，公用，因此， 所以， 中，设，由正弦定理得，记为角， 所以，，， 所以 ， 若不是钝角，则 ， 又，所以，即， 所以， 设，则，，它是减函数， 所以时，， 若是钝角，则 ， 设，则，， 令，则， ， 时，，递减，时，递增， 所以时，，， 综上，， 此时． 故答案为：3． 【点睛】方法点睛：本题考查向量的线性运算，考查三角形的面积，解题方法其一是根据向量共线定理得出点在一条直线，问题转化为求三角形高的最大值，从而求三角形面积的最大值，解题方法其二是利用正弦定理求三角形的面积，本题中注意在用平方关系转化时，需要根据是否为钝角分类讨论，才能正确求解（本题用海伦公式求三角形的面积方法较简便）． 11．（2025·上海·模拟预测）设，集合.若对任意，均存在和，满足，，则的最大值为 . 【答案】 【分析】设方程表示的区域为，分析可知区域为正方形及其内部，设，可知点在线段上，记为过点的线段的长度的最大值，则的最大值为的最小值，根据对称性分析求解即可. 【详解】设方程表示的区域为， 用代换方程不变，可知区域关于y轴对称； 用代换方程不变，可知区域关于x轴对称； 当时，区域可化为，据此可得区域的图形如图阴影所示， 取， 可知区域为正方形及其内部， 设，点均在区域内， 因为，，即，， 可知点在线段上， 又因为，记为过点的线段的长度的最大值， 若求，不妨假设点在正方形的边界上， 若，即， 可知的最大值为的最小值， 取的中点分别为，可知区域关于直线对称， 根据对称性只需假定点在线段上即可，此时， 可知当点与点重合时，取到最小值， 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：1.根据题意分析集合表示的平面区域； 2.根据向量相关知识分析的最大值表示的意义. 【题型二】 平面向量的基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 2．平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． 3．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 4．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 常用结论 1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. 2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为. 3．已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G. 1．铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示.若图中正方形的边长为，圆的半径为，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法一：建立平面直角坐标系，求出圆的方程，利用圆的参数方程设出点的坐标，结合辅助角公式可求得的最大值； 解法二：过点作平行于的直线分别交直线、于点、，设直线交直线于点，取线段的中点，连接，要使得取最大值，可得出，利用当为射线与圆的交点时，取最大值，即可得解. 【详解】解法一：建立如下图所示的平面直角坐标系，则、、， 点P在圆上，设点， ，，， 因为， 所以， 所以，，， 所以，，即的最大值为； 解法二：过点作平行于的直线分别交直线、于点、， 设直线交直线于点，取线段的中点，连接， 因为、、三点共线，则存在，使得， 所以，，则， 因为、、三点共线，则存在，使得， 因为，且、不共线，则，， 所以，， 因为，且，，则， 所以，为等腰直角三角形，所以，， 易知，即，故、、三点共线， 要使得取最大值，则，且， 当且仅当为射线与圆的交点时，取最大值， 故选：C. 2．在中，.为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论： ①的最小值为；②的最小值为； ③的最大值为；④的最大值为8. 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，设，然后表示出的坐标，由题意可得，再逐个分析判断即可. 【详解】如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则， 因为，所以设，则 ，， 所以， 所以，即（为任意角）， 所以 （其中）， 所以的最大值为，最小值为， 所以①③错误， 因为， 所以 （其中） 因为， 所以， 所以， 所以的最小值为，最大值为14， 所以②正确，④错误， 故选：A 3．古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为1，高为的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，E是母线SC上一点，，平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，利用勾股定理求出，由求出，再由正弦定理得可得答案. 【详解】由题意的，， 则，， 所以， 在中，，，，且， 则，， ， 则， 所以， 由正弦定理得，， 即. 故选：C． 4．已知中，角、、所对的边分别为、、，，点、在边上，，与共线，且，，则 ． 【答案】 【分析】先通过三角运算以及得到的大小，然后再将两边同时平方得到、的关系，再根据为的平分线结合面积可得另一个、的关系，再利用余弦定理及、的关系可得的值. 【详解】由可得， 即， 因为，所以， 又，所以， 由，平方得， 所以，因为与共线，所以为的平分线， 由可得， 整理可得， 由得，， 由余弦定理可得， 故答案为：. 5．在中，已知，，，若点是所在平面上一点，且满足，，则实数的值为 ． 【答案】或 【分析】根据平面向量的线性运算法则，分别把用表示出来，再用建立方程，解出的值. 【详解】由，得，即， ， 在中，已知，，， 所以 ， 即，解得或 所以实数的值为或. 故答案为：或. 6．如图，在中，点D、E是线段BC上两个动点，且，，则的最小值为 . 【答案】8 【分析】以向量为基底，表示向量,结合平面向量基本定理可得，再利用基本不等式求的最小值. 【详解】设，，则，，，，所以， 所以，又， 所以，所以， 因为，，所以，，所以， 即，同理可得，若则，，因为，，所以，所以，即，此时三点重合，与已知矛盾，所以，同理 所以， 当且仅当，即，时取等号； 所以的最小值为8． 故答案为：8． 7．已知点在圆上运动，且，若点的坐标为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可知为圆直径，设， 利用向量运算可得，由此即可求出答案. 【详解】因为，所以为圆直径， 设，则， 所以, 故， 所以当 时，，， 故 故答案为：. 8．（2025·上海嘉定·二模）在平面直角坐标系中，一质点P从原点O出发，第一次从点O移动到点，第二次从点移动到点，…，第k次从点（规定）移动到点.记向量，其模长为k，方向与x轴正方向成角，设为经过n次移动的位移向量，即，则当时，n的值为 . 【答案】 【分析】根据题意，求出向量的坐标，再求出向量的坐标，根据模长求解即可. 【详解】根据题意可知的模长为k，方向与x轴正方向成角，， ∴， ∴，； ，； ，； ，. 故. 故答案为：. 9．在中，为的中点，为的中点，过点作一直线分别与边相交于两点，设，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作出图形，利用平面向量的线性运算得到，再对目标式进行化简，最后利用基本不等式中‘1’的代换求解即可. 【详解】首先，我们作出符合题意的图形， 因为为的中点，所以， 由向量加法法则得， ， 设，则， ， 因为，所以， 因为为的中点，所以， 所以， 因为不共线，所以， 解得，故， 即，，化简得， 而， 故， 由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时解得， 故，即， 故的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是利用平面向量的线性运算得到，然后对目标式化简后再利用基本不等式得到所要求的最值即可． 10．如图，在中，，点在以为直径的半圆（外）内及边界上运动，若，记的最大值与最小值分别为，则 . 【答案】/ 【分析】设、分别为、的中点，则，由三点共线可得，此时点与点重合，最小，做直线与平行，且与半圆相切，由三点共线知点在直线上时，最大，设直线与的延长线相交于点， 设，求出，可得答案. 【详解】设为的中点，连接， 设为的中点，即点为以为直径的半圆的圆心， 则， 当点在上时，由三点共线可得，此时点与点重合， 最小，即， 做直线与平行，且与半圆相切，连接点与切点，此时最大， 即由三点共线知点在直线上时， 最大， 设直线与的延长线相交于点， 连接，则，延长与相交于点， 因为，所以为半圆的一条切线，所以， 由得， 可得为等边三角形，，所以， 由得，又，所以四边形为平行四边形， 所以，， 设，则， 由得，， 可得，， 所以， 因为三点共线，所以，可得， 所以的最大值为， 则. 故答案为：. 11．如图，在△中，，，与交于点，，，，则的值为 . 【答案】2 【分析】令，，利用平面向量的基本定理知：，，将其转化为的线性关系，可求，再由已知条件，应用数量积的运算律求即可. 【详解】令，， 而， ， ∴，得， ∴，又， ∴，，， ∴. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：设，，应用平面向量基本定理求的线性关系求参数，利用向量数量积的运算律求. 12．设平面上的向量满足关系，又设与的模均为1且互相垂直，则与的夹角取值范围为 . 【答案】 【分析】用与表示出向量，利用平面向量数量积结合夹角公式求出即可计算作答. 【详解】当时，由得：， 因与的模均为1且互相垂直，即有， 则，， 则有， 而，于是得，又，则， 所以与的夹角取值范围为. 故答案为： 【点睛】思路点睛：用向量基本定理解决问题，利用已知的不共线的两个向量为基底，将问题中的向量用该基底表示出，再通过向量的运算来解决. 13．已知O是线段外一点，若，． （1）设点、是线段的三等分点，、及的重心依次为、、，试用向量、表示； （2）如果在线段上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论． 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【分析】（1）根据三角形重心性质以及中点公式的向量形式，可得，，即可用向量、表示出； （2）根据（1）中结论可类比得到结论：设是的n等分点， 则． 【详解】（1）如图： 因为点、是线段的三等分点，所以，同理可得：，； （2）层次1： 设是的二等分点，则；； 设、、是的四等分点，则； 设是的n等分点，则． 层次2：设是的n等分点， ； 层次3：设是的n等分点， 则； 证明如下： ． 14．已知， (1)设，求函数的解析式及最大值； (2)设△ABC的三个内角A､B､C的对边分别为a､b､c，当时，，且，求△ABC的面积. 【答案】(1)，最大值为. (2)或 【分析】（1）利用向量数量积的运算、降次公式、辅助角公式对的表达式进行化简，进而求得的最大值. （2）利用向量共线求得，利用余弦定理求得，由此求得三角形的面积. 【详解】（1） ，的最大值为. （2）时，， ， ， 由于，所以， 由余弦定理得， ，， 解得或. 当时，， 当时，. 15．已知，函数的图象为曲线.、是上的两点，在第一象限，在第二象限.设点、. (1)若到和到直线的距离相等，求的值； (2)已知，证明：为定值，并求出此定值（用表示）； (3)设，且直线、的斜率之和为.求原点到直线距离的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）根据函数表达式可设，结合两点间距离公式可得，整理即可求解； （2）设，，则可得到，，由平行关系可得，整理即可证明； （3）设直线、的斜率分别为、（），代入函数表达式可得，的坐标，即可得到直线的表达式，利用点到直线距离公式，进而求解. 【详解】（1）设（），由题意，. 而，由知，，故. （2）设，（，），则，， 故由，得，即， 由于，故， 所以为定值. （3）由题，设直线、的斜率分别为、（）， 则，， 故直线的方程为， 设，则， 所以到直线距离为， 当时，，故. 【题型三】平面向量的数量积 1．向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． 2．平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b. 3．平面向量数量积的几何意义 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cos θ e. 4．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 5．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 几何表示 坐标表示 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的 充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与 |a||b| 的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 常用结论 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 2．有关向量夹角的两个结论 (1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0； 若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0. (2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0； 若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π. 3．向量a在向量b上的投影向量为·. 1．（2024·上海杨浦·二模）平面上的向量、满足：，，.定义该平面上的向量集合.给出如下两个结论： ①对任意，存在该平面的向量，满足 ②对任意，存在该平面向量，满足 则下面判断正确的为（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①正确，②正确 D．①错误，②错误 【答案】C 【分析】根据给定条件，令，，设，利用向量模及数量积的坐标表示探求的关系，再借助平行线间距离分析判断得解. 【详解】由，，，不妨令，，设， ，得，而，， 则，整理得，由，得， 平行直线和间的距离为， 到直线和直线距离相等的点到这两条直线的距离为， 如图，阴影部分表示的区域为集合，因此无论是否属于，都有， 所以命题①②都正确. 故选：C 【点睛】思路点睛：已知几个向量的模，探求向量问题，可以在平面直角坐标系中，借助向量的坐标表示，利用代数方法解决. 2．已知单位向量满足，则 . 【答案】 【分析】由向量的模长和数量积的运算计算可得. 【详解】因为，所以， 又是单位向量，所以，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 3．（2025·上海宝山·二模）已知中，，，点在线段上，且，则的值为 . 【答案】 【分析】根据确定，从而可得，从而用向量数量积的运算律即可求解. 【详解】设等腰在边上的高为， 因为，所以， 所以， 所以， 所以 . 故答案为：. 4．（2024·上海普陀·一模）设，在如图所示的平行六面体中，，，，点是棱的中点，，若，则的值为 . 【答案】 【分析】以为基底表示，结合题意运用数量积及向量数乘运算即可求解. 【详解】， ， ， 所以， 由，，， 可得， ，解得. 故答案为：. 5．（2024·上海青浦·一模）已知是单位圆上任意不同三点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由等价于在上的投影，故可结合投影性质，得到当与反向共线时，在上的投影取最小，当与同向共线时，在上的投影取最大，再结合的范围，即可得到相应投影的最小、最大值，即可得解. 【详解】等价于在上的投影， 如图1，在单位圆圆上任取两点、， 则对任意的，当与反向共线时，在上的投影取最小， 作于点，设，取中点，有， 则，，则， 由，故； 如图2，在单位圆圆上任取两点、， 则对任意的，当与同向共线时，在上的投影取最大， 作于点，设，取中点，有， 则，，则， 由，故； 综上所述，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于得到表示在上的投影，从而数形结合，借助投影性质解题. 6．（2024·上海长宁·二模）已知平面向量满足：，若，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】先利用和证明，再解不等式得到，从而有，再验证，，时，即得到的最小值是2. 【详解】由于， 且， 故有 ， 所以，记，则有，从而或，即或. 总之有，故，即. 存在，，时条件满足，且此时，所以的最小值是2. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：对于的最小值问题，我们先证明，再给出一个使得的例子，即可说明的最小值是2，论证不等关系和举例取到等号两个部分都是证明最小值的核心，缺一不可. 7．（2024·上海金山·二模）已知平面向量、、满足：，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据条件推理得到在方向上的投影数量等于在方向上的投影数量，且等于，，故可以作出图形，设出，将所求转化成关于的函数形式，利用基本不等式即可求得. 【详解】因，由可得， 即在方向上的投影数量等于在方向上的投影数量，且等于， 又由可得，不妨设， 则，，于是， 因，则，因，当且仅当时，等号成立， 即当时，取得最小值. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于运用向量数量积的定义和投影向量的数量理解的相互关系,设出夹角，将所求化成关于的函数形式. 8．（2025·上海·模拟预测）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值 ． 【答案】 【分析】设，根据题意，求得所在圆的圆心和半径；再根据数量投影的意义，数形结合即可求得结果. 【详解】根据题意不妨设，，，， 则， 由可得，由可得； 设，故在以为圆心，为半径的圆上； 在以为圆心，1为半径的圆上； 过作于，则即为在上的数量投影，如下所示： 因为分别为两圆上任意动点，不妨固定，则为定长， 设，即，故， 因为此时为定长，且， 故随着的减小，增大，直至恰好与圆相切时，取得最大值，如下所示： 在与圆相切的基础上，移动点，过作于，故； 在△中，，， 故，因为, 故在直角三角形中，，则，即； 在四边形中，因为，故， 当且仅当时等号成立，从而. 综上所述：在方向上的数量投影的最大值为. 故答案为：. 9．（2024·上海奉贤·一模）已知集合是由函数的图象上两两不相同的点构成的点集，集合，其中、．若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为的等差数列，当时，则符合条件的点集的个数为 ． 【答案】60 【分析】确定数列中最大值为1，最小值为，然后根据分类得出等差数列，再由等差数列的项确定点的横坐标的值，然后由中对应点的情形确定集合个数． 【详解】由已知,， 设，则，显然， 若，则，因此有， 由得或，对应， 同理对应， 集合中已经含有点， 因此产生的集合中，点可有也可没有，至少有一个， 所以的个数为， 若，则， ，或，，或， 对应点， 产生的集合中，点可有也可没有，至少有一个， 中至少有一个，中至少有一个，的个数为， 综上，集合的个数为． 故答案为：60. 10．（2025·上海长宁·二模）已知向量． (1)求函数的单调递减区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）由数量积的坐标形式结合三角变换公式可得，由整体法可求函数的单调减区间； （2）函数在给定区间上的零点问题可转化为与的图象在上有两个不同的交点，利用正弦函数的性质可求参数的取值范围. 【详解】（1）， 令，则，其中， 故函数的单调递减区间为，. （2）由题设有在有两个不同的零点， 而，故在有两个不同的解， 故与的图象在上有两个不同的交点， 而在为增函数，在为减函数， 且，故， 故. 11．（2024·上海崇明·二模）已知椭圆，为的上顶点，是上不同于点的两点． (1)求椭圆的离心率； (2)若是椭圆的右焦点，是椭圆下顶点，是直线上一点.若有一个内角为，求点的坐标； (3)作，垂足为．若直线与直线的斜率之和为，是否存在轴上的点，使得为定值？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或； (3)存在， 【分析】（1）根据离心率公式直接求解； （2）由题设设，进而分或两种情况讨论求解即可； （3）假设存在定点满足题意，先讨论的斜率存在时，设的方程为，，首先与椭圆方程联立并结合直线与直线的斜率之和为得，其次求得直线的方程为并于直线的方程联立求得点，再次根据得当时，为定值，最后说明直线的斜率存在也满足即可. 当直线斜率不存在时，设，， 则，，此时，满足题意． 所以存在定点，使得为定值且定值为． 【详解】（1）由题意，，所以离心率 （2）由题意，，，，所以直线的方程为：， 设，显然有或两种情况， ①当时，直线的倾斜角为，其与轴的交点为，则， 因为， 由，得：，解得（舍去）或， 所以，点的坐标是 ②当时，此时， 则， 因为， 由，得：， 解得（舍去）或 综上所述，点的坐标是或 （3）假设存在定点满足题意， 当的斜率存在时，设直线的方程为，， 由得， 由题意，，即①． ， ， 所以，代入①，得：， 所以或，即存在直线使得直线与直线的斜率之和为2 直线的方程为，直线的方程为 由，得：，即 所以 所以当时，为定值，. 当直线斜率不存在时，设，， 则，，此时，满足题意． 所以存在定点，使得为定值且定值为． 【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于利用分类讨论的思想，求得对应的的范围，进而舍去不满足的解；第三问解题的关键在于根据已知条件求得直线的方程为中的参数，点，难点在于数学运算. 12．（2024·上海宝山·二模）已知双曲线的左、右顶点分别为、，设点在第一象限且在双曲线上，为坐标原点. (1)求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值； (2)若，求的取值范围； (3)椭圆的长轴长为，且短轴的端点恰好是、两点，直线与椭圆的另一个交点为记、的面积分别为、求的最小值，并写出取最小值时点的坐标. 【答案】(1)； (2)； (3)，. 【分析】（1）利用双曲线的渐近线方程及其方向向量，再利用向量的夹角公式计算得解. （2）设出点的坐标，利用数量积及向量模的坐标表示，结合双曲线有范围求解即得. （3）求出椭圆方程，设出直线方程，与椭圆、双曲线方程联立分别求出点的坐标，再建立的关系式，利用基本不等式求解即得. 【详解】（1）双曲线的两条渐近线方程为，则它们的方向向量， 设两条直线夹角为，则， 所以双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为. （2）设，，显然、，，， 则，即，又点在双曲线上，有，即， 从而，解得，而点是双曲线在第一象限的点，则， ， 所以. （3）在椭圆中，，焦点在轴上，标准方程为， 设，，直线的斜率为，， 则直线的方程为， 由，得，该方程的两根分别为和， 由，得，同理，于是， 记，， 则 ，当且仅当即时取等号， 所以的最小值为，此时点的坐标为. 13．（2024·上海奉贤·一模）椭圆的左右焦点分别为，设是第一象限内椭圆上的一点，的延长线交椭圆于点． (1)若椭圆的离心率，求的值； (2)若，求； (3)若，过点的直线与椭圆交于两点，且，则当时，判断符合要求的直线有几条，说明理由？ 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析 【分析】（1）直接根据离心率的定义求解即可； （2）直线与椭圆方程联立，利用三角函数的知识表示出，再利用弦长公式表示出，结合向量数量积公式代入求出，再求和； （3）分类讨论，当直线斜率不存在时满足条件，当斜率存在时，先写出的表达式，然后对方程进行分类讨论. 【详解】（1）若，则，解得：. （2）若，则椭圆方程为：且，由点在第一象限可知的斜率不为， 设直线的方程为：，直线与椭圆方程联立消去得：， 所以，， 因为，所以， 而， 解得：，把代入得：， 把代入椭圆方程得：. （3）若，则椭圆方程为：，且， 当且直线斜率存在时，设直线的方程为：，， 直线与椭圆方程联立消去得：， 所以，， 所以，整理得：， 当或时，即或时， 方程无解，所以不存在满足的直线； 当即时，方程只有唯一的解，所以，存在一条满足的直线； 当，即时，方程有两个不相等的实数解， 所以存在两条满足的直线； 当且直线斜率不存在时，直线即轴，满足. 综上所述：当或时，存在一条满足的直线； 当时，存在两条满足的直线； 当 时，存在三条满足的直线. 14．（2024·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆是其左､右焦点，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点. (1)若，求点的坐标； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)设直线与椭圆交于两点，为线段的中点.当时，的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由. 【答案】(1)或； (2)或； (3)的面积为定值，该定值为. 【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示计算可得或； （2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程根据韦达定理计算可得，可得直线的方程； （3）利用点差法计算可得，设直线的方程为，联立椭圆方程并根据韦达定理可得，再根据弦长公式以及点到直线距离可得. 【详解】（1）易知，设点， 可得，可得， 则， 所以，解得， 可得， 即或 （2）设直线的方程为，， 联立并整理可得， 所以， 易知的面积为 ， 解得，即； 所以直线的方程为或. （3）根据题意可知直线的斜率存在， 设直线的方程为，，则，如下图所示： 易知，两式相减可得； 由，所以可得， 即，又，可得； 即， 联立整理可得， ，可得； 可得； 所以， 整理可得，即； 易知 ； 原点到直线的距离为， 所以的面积为； 所以的面积为定值，该定值为. 15．（2025·上海普陀·二模）设，点分别是椭圆的上顶点与右焦点，且，直线经过点与交于两点，是坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)若，点是轴上的一点，且的面积为，求点的坐标； (3)若点在直线上，向量在直线上的投影为向量，证明. 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）根据焦点坐标和的长度求出基本量后可得椭圆的标准方程； （2）求出直线与椭圆的交点后可得关于横坐标的方程，从而可求其坐标. （3）利用两角和的正切结合韦达定理可证. 【详解】（1）， 直线l过所以右焦点，即， 所以，椭圆方程为. （2）当，直线，， 解得， ， 设，到直线距离， 由面积，得或， 即或 . （3）    设， 因为向量在直线上的投影为向量，故， 故直线的斜率为，故直线的方程为，故， 而， 故， 联立， ，， 故， 设，设， 由双勾函数的性质可得在为增函数， 故，故， . 16．（2025·上海青浦·模拟预测）如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为.曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合，当时，曲线与双曲线重合. (1)当时，求的值； (2)已知，直线过点与曲线交于两点，若，求直线的方程； (3)已知，斜率为的直线过点与曲线交于两点，若，求实数的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3)最大值为. 【分析】（1）将，分别代入椭圆及双曲线方程求解即可； （2）设直线方程为，联立椭圆或双曲线方程，结合韦达定理，向量数量积的坐标运算即可求解； （3）由得到，再判断出直线与双曲线右支无交点，从而转化为直线与椭圆交于两点，利用韦达定理将表示为斜率的函数求最值即可． 【详解】（1） 如图，已知当时，点为椭圆与双曲线在第一象限的公共点. 将代入椭圆方程得，即，解得. 把代入双曲线方程，整理得， 设，则， 即， 解得或（舍去），所以， 即. （2） 当时，椭圆，双曲线. 联立， 解方程组求交点的坐标. 由得， 由得， 两式相减消去得， 代入双曲线方程得， 因为点在第一象限，所以. 设. ， 由得，即.故， 当直线l斜率不存在时，直线l方程为， 此时，则， 成立. 当直线斜率存在时，由题知交点必定在直线两侧，即左侧为与椭圆的交点，右侧为直与双曲线的交点，易知当交点在位于第一象限椭圆上曲线段之间时，，此时，故不可能，舍去； 因为双曲线的渐近线方程为, 故直线与双曲线没有横坐标大于2的交点， 即当交点位于椭圆第二象限时，不可能，舍去； 同理：当直线与椭圆交于轴下方时，也舍去， 综上：直线l方程为， （3） 如图,已知，由（1）知椭圆，双曲线. 直线过点且斜率为，则直线的方程为. 设，由， 根据三角形面积公式， 则， 即. ， 因为双曲线的渐近线方程为，而， 故直线与双曲线右支无交点， 故均为直线与椭圆的交点， 联立， 则， 则， ， 令， 则， 在时成立，故单调递增且，所以递减， 所以当时取得最大值， 又 所以的最大值为. 【题型四】平面向量的应用 1．已知等边的外接圆的面积为，动点在圆上，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据正三角形的几何性质可得外接圆半径，再由正弦定理得边长，取线段的中点，取线段的中点，根据向量的线性运算及数量积的运算性可得，且再由三角形三边关系列不等式得结论. 【详解】依题意，设的外接圆的半径为，则，故， 在等边中由正弦定理得，则； 取线段的中点，连接，则， 所以； 取线段的中点，连接，则在线段上，且，所以， 则又， 故，则． 故答案为：. 2．如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A，B），，，， ；的最大值为 ． 【答案】 2 2 【分析】根据向量的线性运算结合模长即可求得第一空答案；设，作，交的延长线于E，求出，继而求出，结合数量积的几何意义，即可求得答案. 【详解】由题意可知O为的中点，且， 则； 设，作，交的延长线于E， 在中， 故，则， ，又，故， 则， 故， 当时，取到最大值2， 故答案为：2；2 3．在中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在边BC上（与B、C不重合），延长射线AD到P，使得AP＝9，若（m为常数），则DB的长度为 ． 【答案】/1.4 【分析】以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，求得B与C的坐标，再把的坐标用m表示．由AP＝9列式求得m值，由题意可求的坐标，可求得D的坐标，则BD的长度可求． 【详解】如图，以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系， 则B（4，0），C（0，3）， 由若，得， 整理得：． 由AP＝9，得，解得或． 当时，可得，所以点的坐标为，所以 直线PA的方程为，直线BC的方程为， 联立两直线方程可得点D的坐标为，， 所以， 当时，此时，所以三点共线，点在直线上，所以三点共线，又三点共线，所以可知D与C重合（舍去）， ∴BD的长度是． 故答案为：． 4．已知中，点分别是的重心和外心，且，则边的长为 . 【答案】 【分析】根据重心和外心性质，通过转化法利用数量积可得，再由三角形法则计算可求出的长为. 【详解】延长交于点，连接，作于点，则分别为的中点，如下图所示： 易知， 同理可得， 由重心性质可知； 所以； 又，即，可得； 所以，可得； 因此，即. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于要充分利用重心和外心的性质，将数量积通过转化得出三角形边长之间的关系，再由即可得出结果. 5．如图，将边长为1的正五边形的各边延长，得到一个正五角星.若点在正五角星的内部（含边界），则的最小值为 . 【答案】 【分析】按照PQ所处的位置分类，结合向量数量积的几何意义及图形特征可得点分别在图中的处时取最小值，利用黄金分割即可求解. 【详解】要使最小，它们夹角必定为钝角或平角，若在五角星内， 只要延长与边界相交于点，在保持夹角不变情形下，，则， 所以必定在五角星边界上先考察点位置，根据对称性，分两种情形： 1．点在边上： ①先考虑极端情形：若点与右顶点重合， 则在上投影向量的模最长且与反向的就是（即与重合），所以此时最小， ②再考虑一般情形：利用微调法分析，当点在边上由向移动时，变小， 且在上投影向量的模也变小为，故变大，不合题意； 2．点在的边上： ①先考虑极端情形：若点与顶点重合，则此时，但注意到在上投影向量的模最长且反向的是， 且根据相交弦定理知：，所以此时 ②再考虑一般情形：利用微调法分析，当点在边上由向移动时，变小，而在上投影向量的模会变大， 过作的垂线，垂足为，则四点共圆， 由相交弦定理知， 所以此时， 如图：在顶角为的等腰三角形，设， 取,则,所以，解得， 所以, 综上，当，分别与顶点重合时，取最小值 由于黄金分割比，而，则， 同理，则， 所以 , 故答案为： 6．（2025·上海奉贤·二模）内一点（见图1），式子可以写成，这个式子中、、的系数均为，以三个系数作为边长可构造一个等边三角形，因此我们尝试把绕点顺时针旋转，得到（见图2），所以等于，显然，当、、、四点共线时（见图3），最小．    试用类似的方法解决下面这道题目： 已知是平面内的任意一个向量，向量、满足，且，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设、、，不妨设，，，可得，将绕点逆时针旋转得到，可得出，即可得解. 【详解】在如下图所示的平面直角坐标系中，设、、，    不妨设，，， 由题意可得， 将绕点逆时针旋转得到，则，， 其中点， 故 ， 当且仅当点与点重合时，此时，点也与点重合，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 7．已知在抛物线上，其中关于y轴的对称点为，记直线的斜率为且. (1)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)求的面积； (3)记为数列的前n项和，是否存在正整数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析， (2) (3)存在，或 【分析】（1）先根据抛物线过的点求出，然后利用得，然后根据等比数列的定义证明，并根据等比数列的通项公式求解即可. （2）法一：求出直线的斜率，进而求出直线方程，求出到直线的距离及，代入三角形面积公式求解即可. 法一：先证明在中，，则的面积，然后代入三角形面积公式求解即可. （3）先根据求出，利用等差数列求和公式得，再代入已知等式列式求解，即可求得满足条件的正整数. 【详解】（1）点在抛物线上，， 即抛物线方程为. . 即. . . 是以2为首项，2为公比的等比数列，即. 符合上式，数列的通项公式是. （2）（法一）. 直线的斜率为. 直线的方程为：，即. 到直线的距离为， . . （法二）证明：在中，， 则的面积. 证明如下：， . 下面求的面积. ， . . （3）. . . .， 或或. 解得或或（舍）. 或. 【点睛】关键点点睛：对于新结构数列的证明问题，要结合题干中递推式关系，根据等比数列（等差数列）的定义式判断即可，注意证明等比数列时，要说明项不为0. 【题型五】向量新定义 1．向量的广义坐标是用于描述向量或系统状态的一组数值，其选择取决于问题的特定背景和需求．在物理学、工程学、计算机图形学等领域，广义坐标被广泛应用．比如，物理学中的振动系统可能采用角度作为广义坐标，而工程学中的结构分析可能使用特定坐标系来简化问题．通过选择适当的广义坐标，可以更自然地描述问题，简化数学表达，提高问题的可解性，并使模型更符合实际场景．已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点．对于内任意一点P，若，则称有序实数对为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为，，关于下列命题正确的（    ） A．点关于点O的对称点不一定为 B．A，B两点间的距离为 C．若向量平行于向量，则的值不一定为0 D．若线段的中点为C，则点C的广义坐标为 【答案】D 【分析】根据广义坐标的定义，结合平面向量数量积的运算性质、平面向量共线性质逐一判断即可. 【详解】对于A，，设关于点的对称点为，则， 因为，不共线，所以，A错误； 对于B，因为， 所以， 当向量，是相互垂直的单位向量时，，两点间的距离为，否则距离不为，B错误； 对于C，当与中至少一个是时，结论成立； 当与都不为时，设（），有，即，所以，C错误； 对于D，， 所以线段中点的广义坐标为，D正确 故选：D 2．在平面直角坐标系中，向量，若不共线，记以OA，OB为邻边的平行四边形的面积．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据条件设出向量和，以及向量的坐标，代入条件中定义，即可求解. 【详解】依题意设， 则，，，， 则. 故选：C． 3．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.若为的垂心，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据和得，从而可以得出，设，，得，，再结合垂心和直角三角形余弦值即可求解. 【详解】    如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点. 由为的垂心，，且， 得，所以， 又，则，同理可得，所以， 设，，则，， 所以，即，， 所以， 所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用“奔驰定理”得到，从而利用对顶角相等得到，由此得解. 4．如图，设、是平而内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．对于平面内任意一点，若向量，则记，．已知平面内两点、，其中，则点的轨迹围成的图形面积为 ；若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】对、的符号进行分类讨论，确定点的轨迹，作出其图形，计算出该图形的面积，即为所求；计算得出，要求其最大值，令，由已知得出，利用二次函数的基本性质可求得的最大值. 【详解】当，时，， 此时，点的轨迹表示以点、的线段； 当，时，， 此时，点的轨迹表示以点、的线段； 当，时，， 此时，点的轨迹表示以点、的线段； 当，时，， 此时，点的轨迹表示以点、的线段； 如下图所示： 记点、、、， 则点的轨迹为四边形， 因为，，同理可得， 故四边形为矩形，且， 所以，点的轨迹围成的图形面积为； 由平面向量数量积的定义可得， 所以，， 因为，要求其最大值，令， 不妨设，，于是，则， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题考查动点的轨迹所围成图形的面积，解题的关键在于紧扣题中的定义，分析出动点的轨迹图形，通过作出图形求解. 5．（2025·上海松江·二模）设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，，根据题意可得为圆的直径，得，将求范围问题转化为直线与圆相切的问题. 【详解】将圆化为标准方程，圆心，半径. 因为，所以为圆的直径. 设，. 由. 因为为直径，所以， 则. 令，即，且， 当直线与圆相切时，取得最值. 根据圆心到直线的距离等于半径，可得，解得或， 所以，则的取值范围是. 故答案为：. 6．我们知道，在平面内取定单位正交基底建立坐标系后，任意一个平面向量，都可以用二元有序实数对表示.平面向量又称为二维向量，一般地，n元有序实数组称为n维向量，它是二维向量的推广.类似二维向量，对于n维向量，可定义两个向量的数量积，向量的长度（模）等：设，，则；.已知向量满足，向量满足 (1)求的值； (2)若，其中. （i）求证：； （ii）当且时，证明：. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（1）利用定义求出，再利用错位相减法求和即得. （2）（i）构造函数，利用导数探其单调性推理得证；（ii）利用（i）的结论，结合裂项相消法求和即可推理得证. 【详解】（1）依题意，，， 则， 于是， 两式相减得， 所以. （2）（i），依题意，， 设，，求导得， 函数在上单调递增，即当时，， 即，因此，， 所以. （ii）由（i）知， 且， 因此   ，即， 所以当且时，. 【点睛】关键点点睛：构造函数，利用导数判断其单调性，赋值计算得到是解决第2问的关键. 7．从数据组中取出个不同的数构成一个新数据组：．若，，，使得，，则称数据组为数据组的一个k维基本数据库. (1)判断数据组：是否为数据组：的一个2维基本数据库； (2)判断数据组：是否为数据组：的一个3维基本数据库. (3)若数据组是数据组的一个k维基本数据库，求证：. 【答案】(1)是 (2)不是 (3)证明见解析 【分析】（1）根据k维基本数据库的定义直接运算判断即可； （2）根据k维基本数据库的定义直接运算判断即可； （3）设，计算出的各种情况下的正整数个数，并求出它们的和，结合定义即可得证. 【详解】（1）因为， 所以数据组：是数据组：的一个2维基本数据库； （2）因为等式，，对于均不可能成立， 所以数据组：不是数据组：的一个3维基本数据库； （3）不妨设，则形如的正整数共有k个； 形如的正整数共有k个； 形如的正整数至多有个； 形如的正整数至多有个； 又数据组含n个不同的正整数，数据组是数据组的一个k维基本数据库， 故，化简得. 【点睛】关键点点睛：本题考查了新定义问题，解决此类问题的关键是读懂新定义，利用新定义解决问题. 8．对于平面向量，定义“变换”： ，其中表示中较大的一个数，表示中较小的一个数.若，则.记. (1)若，求及； (2)已知，将经过次变换后，最小，求的最小值； (3)证明：对任意，经过若干次变换后，必存在，使得. 【答案】(1) (2)1349. (3)证明见解析 【分析】（1）先根据已知的新定义求出，从而可求出及； （2）根据求出，从而可求出，进而可得且，则可求出的最小值； （3）分，，和四种情况讨论即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 所以. （2）因为， 所以或 所以， 即. 由题意可得， ， ， 根据规律可得且， 由且可得的最大值为674，所以， 所以，此后进入循环. 所以当时，； 当时，； 当时，. 所以最小时，的最小值为1349. （3）证明：当时，显然存在，使得. 当时，，即，存在，使得. 同理，当时，存在，使得. 当时，若，则，存在，使得. 若，设. 假设对任意，则均不为0. 因为，所以. 若，则， 若，则， 所以， 所以，即. 因为，所以， 所以， 与矛盾，故假设不正确，即存在，使得. 综上，对于任意，经过若干次变换后，必存在，使得. 易错点一：对平面向量基本定理理解有误 【典型例题】如图所示，是圆上的三点，线段的延长线与的延长线交于圆外的一点，若，则的取值范围是 . 特别提醒：对平面内任意一点，点与点共线的充要条件为，即，的系数和等于1.求型如中参数的值，可通过辅助线构造与向量共线且满足共线的向量，求解，可得参数的值. 【解析】三点共线，存在实数满足 设 ，，即 由，可得 则 的取值范围是. 易错点二：认为与的夹角为锐角（钝角）致错 【典型例题】已知向量，.若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为（ ） 特别提醒：当时，与的夹角为锐角（钝角）或0（180）度角，所以与的夹角为锐角（钝角）等价且与不共线. 【解析】由题意得，. 若与的夹角是锐角，则与不共线，且它们的数量积为正值，即，且， 解得，且， 所以实数的取值范围为.故选. 【变式练习】在中，“”是“为钝角三角形”的（ ） 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 特别提醒：（1）向量的夹角要将两个向量平移到同起点去观察，首尾相连的向量所呈现的角是夹角的补角 （2）两个向量的夹角为钝角是两个向量的数量积小于0的充分不必要条件，求参数时需要排除两个向量反向共线的情况，同理，两个向量的夹角为锐角时，也要注意排除两个向量同向共线时的参数值. 【解析】，即，又， 所以，不能推出为钝角三角形，充分性不成立. 为钝角三角形时，若，则，不能推出，必要性不成立. 所以“”是“为钝角三角形”的既不充分也不必要条件.故选. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 抢分秘籍04 平面向量 目录 【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型） 【题型一】平面向量的线性运算 【题型二】 平面向量的基本定理及坐标表示 【题型三】 平面向量的数量积 【题型四】 平面向量的应用 【题型五】 向量新定义 【误区点拨】点拨常见的易错点 易错点一：对平面向量基本定理理解有误 易错点二：认为与的夹角为锐角（钝角）致错 题型分布：在上海高考中，平面向量主要以选择题、填空题的形式出现，偶尔也会在解答题中作为工具出现。例如 2024 年上海秋考的第 5 题、第 15 题，2023 年春考的第 2 题、第 12 题等。 考点分布 向量平行与垂直求参数：这是常考考点之一，要求考生根据向量平行或垂直的条件建立方程求解参数。例如 2024 年上海卷就有涉及平面向量平行求参数的题目。 平面向量的基本定理及其应用：考查用已知的两个不共线向量作为基底来表示平面上的其他向量，将所求向量转化到平行四边形或三角形中，利用平面图形的几何特征建立关系。 平面向量的模长：通常与向量的数量积、向量的坐标运算等知识结合，通过将向量模的平方转化为向量的平方进行求解。 平面向量数量积：是高频考点，常涉及数量积的定义、运算律及应用，如利用数量积求向量的模、夹角，判断向量的垂直关系等。 平面向量的夹角：一般根据向量的数量积公式来求解向量的夹角，需要先求出向量的数量积和向量的模。 针对题型专项训练 平行垂直问题：强化根据向量平行或垂直的坐标表示来建立方程求解参数的训练，注意公式的准确运用，同时要考虑到特殊情况，如分母不能为零等。 模长与数量积问题：总结求向量模长的方法，如利用数量积将模长的平方转化为向量的平方进行计算；对于数量积问题，要熟练掌握其定义、运算律以及在求夹角、判断垂直关系等方面的应用，多做一些涉及几何图形中向量数量积计算的题目，提高运算能力和对几何图形的分析能力。 范围与最值问题：此类问题通常需要结合函数、不等式等知识来求解。学会通过建立函数模型或利用不等式的性质来确定向量相关量的取值范围或最值，如利用均值不等式、三角函数的有界性等。 【题型一】平面向量的线性运算 1．向量的线性运算 向量 运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 a－b＝a＋(－b) 数乘 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 2.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 常用结论 1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 2．在△ABC中，D为BC的中点，则＝(＋)． 3．在△ABC中，点P满足＋＋＝0⇔P为△ABC的重心，＝(＋)． 4．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 1．如图，、是以为直径的圆上的两点，其中，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 2．（2024·上海杨浦·二模）平面上的向量、满足：，，.定义该平面上的向量集合.给出如下两个结论： ①对任意，存在该平面的向量，满足 ②对任意，存在该平面向量，满足 则下面判断正确的为（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①正确，②正确 D．①错误，②错误 3．在三角形中，是中点，，，则 . 4．若为内一点，则 ． 5．（2024·上海松江·二模）已知正三角形的边长为2，点满足，且，，，则的取值范围是 . 6．已知四边形ABCD是平行四边形，若，，，且，则在上的数量投影为 . 7．（2025·上海宝山·二模）已知中，，，点在线段上，且，则的值为 . 8．已知分别是边的中点，是线段上的一动点(不包含两点)，且满足，则的最小值为 ． 9．平面上有一组互不相等的单位向量，，…，，若存在单位向量满足，则称是向量组，，…，的平衡向量．已知，向量是向量组，，的平衡向量，当取得最大值时，的值为 ． 10．（2024·上海徐汇·二模）如图所示，已知满足，为所在平面内一点.定义点集.若存在点，使得对任意，满足恒成立，则的最大值为 . 11．（2025·上海·模拟预测）设，集合.若对任意，均存在和，满足，，则的最大值为 . 【题型二】 平面向量的基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 2．平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． 3．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 4．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 常用结论 1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. 2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为. 3．已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G. 1．铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示.若图中正方形的边长为，圆的半径为，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．在中，.为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论： ①的最小值为；②的最小值为； ③的最大值为；④的最大值为8. 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为1，高为的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，E是母线SC上一点，，平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为（   ）    A． B． C． D． 4．已知中，角、、所对的边分别为、、，，点、在边上，，与共线，且，，则 ． 5．在中，已知，，，若点是所在平面上一点，且满足，，则实数的值为 ． 6．如图，在中，点D、E是线段BC上两个动点，且，，则的最小值为 . 7．已知点在圆上运动，且，若点的坐标为，则的取值范围是 . 8．（2025·上海嘉定·二模）在平面直角坐标系中，一质点P从原点O出发，第一次从点O移动到点，第二次从点移动到点，…，第k次从点（规定）移动到点.记向量，其模长为k，方向与x轴正方向成角，设为经过n次移动的位移向量，即，则当时，n的值为 . 9．在中，为的中点，为的中点，过点作一直线分别与边相交于两点，设，则的最小值为 ． 10．如图，在中，，点在以为直径的半圆（外）内及边界上运动，若，记的最大值与最小值分别为，则 . 11．如图，在△中，，，与交于点，，，，则的值为 . 12．设平面上的向量满足关系，又设与的模均为1且互相垂直，则与的夹角取值范围为 . 13．已知O是线段外一点，若，． （1）设点、是线段的三等分点，、及的重心依次为、、，试用向量、表示； （2）如果在线段上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论． 14．已知， (1)设，求函数的解析式及最大值； (2)设△ABC的三个内角A､B､C的对边分别为a､b､c，当时，，且，求△ABC的面积. 15．已知，函数的图象为曲线.、是上的两点，在第一象限，在第二象限.设点、. (1)若到和到直线的距离相等，求的值； (2)已知，证明：为定值，并求出此定值（用表示）； (3)设，且直线、的斜率之和为.求原点到直线距离的取值范围. 【题型三】平面向量的数量积 1．向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． 2．平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b. 3．平面向量数量积的几何意义 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cos θ e. 4．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 5．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 几何表示 坐标表示 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的 充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与 |a||b| 的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 常用结论 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 2．有关向量夹角的两个结论 (1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0； 若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0. (2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0； 若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π. 3．向量a在向量b上的投影向量为·. 1．（2024·上海杨浦·二模）平面上的向量、满足：，，.定义该平面上的向量集合.给出如下两个结论： ①对任意，存在该平面的向量，满足 ②对任意，存在该平面向量，满足 则下面判断正确的为（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①正确，②正确 D．①错误，②错误 2．已知单位向量满足，则 . 3．（2025·上海宝山·二模）已知中，，，点在线段上，且，则的值为 . 4．（2024·上海普陀·一模）设，在如图所示的平行六面体中，，，，点是棱的中点，，若，则的值为 . 5．（2024·上海青浦·一模）已知是单位圆上任意不同三点，则的取值范围是 . 6．（2024·上海长宁·二模）已知平面向量满足：，若，则的最小值为 ． 7．（2024·上海金山·二模）已知平面向量、、满足：，，则的最小值为 ． 8．（2025·上海·模拟预测）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值 ． 9．（2024·上海奉贤·一模）已知集合是由函数的图象上两两不相同的点构成的点集，集合，其中、．若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为的等差数列，当时，则符合条件的点集的个数为 ． 10．（2025·上海长宁·二模）已知向量． (1)求函数的单调递减区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围． 11．（2024·上海崇明·二模）已知椭圆，为的上顶点，是上不同于点的两点． (1)求椭圆的离心率； (2)若是椭圆的右焦点，是椭圆下顶点，是直线上一点.若有一个内角为，求点的坐标； (3)作，垂足为．若直线与直线的斜率之和为，是否存在轴上的点，使得为定值？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 12．（2024·上海宝山·二模）已知双曲线的左、右顶点分别为、，设点在第一象限且在双曲线上，为坐标原点. (1)求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值； (2)若，求的取值范围； (3)椭圆的长轴长为，且短轴的端点恰好是、两点，直线与椭圆的另一个交点为记、的面积分别为、求的最小值，并写出取最小值时点的坐标. 13．（2024·上海奉贤·一模）椭圆的左右焦点分别为，设是第一象限内椭圆上的一点，的延长线交椭圆于点． (1)若椭圆的离心率，求的值； (2)若，求； (3)若，过点的直线与椭圆交于两点，且，则当时，判断符合要求的直线有几条，说明理由？ 14．（2024·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆是其左､右焦点，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点. (1)若，求点的坐标； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)设直线与椭圆交于两点，为线段的中点.当时，的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由. 15．（2025·上海普陀·二模）设，点分别是椭圆的上顶点与右焦点，且，直线经过点与交于两点，是坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)若，点是轴上的一点，且的面积为，求点的坐标； (3)若点在直线上，向量在直线上的投影为向量，证明. 16．（2025·上海青浦·模拟预测）如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为.曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合，当时，曲线与双曲线重合. (1)当时，求的值； (2)已知，直线过点与曲线交于两点，若，求直线的方程； (3)已知，斜率为的直线过点与曲线交于两点，若，求实数的最大值. 【题型四】平面向量的应用 1．已知等边的外接圆的面积为，动点在圆上，若，则实数的取值范围为 ． 2．如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A，B），，，， ；的最大值为 ． 3．在中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在边BC上（与B、C不重合），延长射线AD到P，使得AP＝9，若（m为常数），则DB的长度为 ． 4．已知中，点分别是的重心和外心，且，则边的长为 . 5．如图，将边长为1的正五边形的各边延长，得到一个正五角星.若点在正五角星的内部（含边界），则的最小值为 . 6．（2025·上海奉贤·二模）内一点（见图1），式子可以写成，这个式子中、、的系数均为，以三个系数作为边长可构造一个等边三角形，因此我们尝试把绕点顺时针旋转，得到（见图2），所以等于，显然，当、、、四点共线时（见图3），最小．    试用类似的方法解决下面这道题目： 已知是平面内的任意一个向量，向量、满足，且，，则的最小值为 ． 7．已知在抛物线上，其中关于y轴的对称点为，记直线的斜率为且. (1)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)求的面积； (3)记为数列的前n项和，是否存在正整数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【题型五】向量新定义 1．向量的广义坐标是用于描述向量或系统状态的一组数值，其选择取决于问题的特定背景和需求．在物理学、工程学、计算机图形学等领域，广义坐标被广泛应用．比如，物理学中的振动系统可能采用角度作为广义坐标，而工程学中的结构分析可能使用特定坐标系来简化问题．通过选择适当的广义坐标，可以更自然地描述问题，简化数学表达，提高问题的可解性，并使模型更符合实际场景．已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点．对于内任意一点P，若，则称有序实数对为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为，，关于下列命题正确的（    ） A．点关于点O的对称点不一定为 B．A，B两点间的距离为 C．若向量平行于向量，则的值不一定为0 D．若线段的中点为C，则点C的广义坐标为 2．在平面直角坐标系中，向量，若不共线，记以OA，OB为邻边的平行四边形的面积．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.若为的垂心，，则（    ）    A． B． C． D． 4．如图，设、是平而内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．对于平面内任意一点，若向量，则记，．已知平面内两点、，其中，则点的轨迹围成的图形面积为 ；若，则的最大值为 ． 5．（2025·上海松江·二模）设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是 . 6．我们知道，在平面内取定单位正交基底建立坐标系后，任意一个平面向量，都可以用二元有序实数对表示.平面向量又称为二维向量，一般地，n元有序实数组称为n维向量，它是二维向量的推广.类似二维向量，对于n维向量，可定义两个向量的数量积，向量的长度（模）等：设，，则；.已知向量满足，向量满足 (1)求的值； (2)若，其中. （i）求证：； （ii）当且时，证明：. 7．从数据组中取出个不同的数构成一个新数据组：．若，，，使得，，则称数据组为数据组的一个k维基本数据库. (1)判断数据组：是否为数据组：的一个2维基本数据库； (2)判断数据组：是否为数据组：的一个3维基本数据库. (3)若数据组是数据组的一个k维基本数据库，求证：. 8．对于平面向量，定义“变换”： ，其中表示中较大的一个数，表示中较小的一个数.若，则.记. (1)若，求及； (2)已知，将经过次变换后，最小，求的最小值； (3)证明：对任意，经过若干次变换后，必存在，使得. 易错点一：对平面向量基本定理理解有误 【典型例题】如图所示，是圆上的三点，线段的延长线与的延长线交于圆外的一点，若，则的取值范围是 . 易错点二：认为与的夹角为锐角（钝角）致错 【典型例题】已知向量，.若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为（ ） 【变式练习】在中，“”是“为钝角三角形”的（ ） 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$