第一章 整式的乘除 单元检测卷A2024-2025学年北师大版数学七年级下册

北师大2024版数学七年级下册 单元检测卷A 第一章 整式的乘除 考试范围：北师大2024版第一章 （考试时间：120分钟 总分：120分） 题号 一 二 三 总分 得分 一、单选题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分） 1．据统计，2024年我国新能源汽车产量超过13160000辆，其中13160000用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 5．“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”是我国著名数学家华罗庚对“数形结合思想”在研究数学学科中所发挥的重要价值与意义的高度概括，下图是利用割补法求图形面积的示意图，其直观揭示的公式是：（   ） A． B． C． D． 6．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．根据，，，，…的规律，则的个位数字是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 8．如果，（为整数），那么用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 9．已知（x为任意有理数），则M，N的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 10．有个依次排列的整式：第一项是，第二项是，用第二项减去第一项，所得之差记为，将加2记为，将第二项与相加作为第三项，将加2记为，将第三项与相加作为第四项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到3个结论： ①； ②若第101项与第51项之差为9500，则； ③当时，； 以上结论正确个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11．计算： ． 12．已知，，则代数式的值为 ． 13．将两个边长分别为、的正方形按如图所示位置放置，已知，图中阴影部分面积为25，则的值为 ． 14．如图，有一个边长为的大正方形和两个边长为的小正方形，分别将它们按照图①和图②的形式摆放．两个小正方形重叠部分的面积分别为．若，那么的值等于 ． 15．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“卓越数”．例如，，，，，就是三个卓越数．在正整数中，从1开始，第2025个卓越数是 ． 16．对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，某同学通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形（边长为2和和长方形，并拼成图2．由面积相等得：，所以，当时，长方形面积取得最大值为4．据此方法，可得代数式的最大值为 ． 三、解答题（本题满分72分，共有9道小题） 17．（本题8分）计算 (1)； (2)； (3)； (4)（利用乘法公式简算）． 18．（本题8分）化简求值 (1)，其中 (2)，其中 19．（本题6分）已知，（m，n是正整数）． (1)求，的值； (2)求的值． 20．（本题6分）（1），，根据上述计算，发现： _______；（填“>”“<”或“=”） （2）请通过计算，判断与的关系； （3）判断与（m是正整数）的关系，并说明理由； （4）试计算． 21．（本题6分）2024年底，国内社交媒体平台流出的视频中某飞机工业集团试飞了一款新型战斗机，独特的三发布局尤为瞩目．小明作为一名国防军事爱好者激动不已，在学校科技艺术节比赛，制作了飞机模型，并用板制作了如图所示的宣传版画，它是由一个三角形，两个梯形组成，已知板（阴影部分）的尺寸如图所示． (1)用含a、b的代数式表示板模型的总面积（结果需化简）； (2)若，，求板总面积． 22．（本题8分）在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题，比如，运用两数和的完全平方公式，能够在三个代数式，ab，中，已知其中任意两个代数式的值，求出第三个代数式的值．例如：已知，，求的值． 解：将两边同时平方，得，即． 因为，等量代换，得，所以． 请根据以上信息，解答下列问题． (1)已知，，则 ； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a，b，若，，求图中阴影部分的面积． (3)若，求的值． 23．（本题10分）【探索】（1）观察图1，图2，请写出 ，，之间的等量关系是： ；根据（1）的结论，若，，则的值是 ． 【应用】（2）如图3，C是线段上的一点，以，边向上分别作等腰和等腰 ，点E在上，连接，若，，求的面积． 【拓展】（3）如图4，某学校有一块梯形空地．于点E，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为109平方米，米，求种草区域的面积和． 24．（本题10分）规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ； (2)若，，请你尝试运用上述运算求出x与y之间的关系； (3)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明： 设，，， ，即． ． 结合①，②探索的结论，计算： ． 25．（本题10分）阅读材料：北师大版七年级下册教材24页为大家介绍了杨辉三角． 如果将（为非负整数）的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写． (1)判断的展开式共有 　 　项；写出的第三项的系数是 　 　； (2)结合杨辉三角解决以下问题： ①计算：； ②猜想：的展开式中含项的系数是 　 　． (3)运用：若今天是星期二，那么再过天是星期 　 　． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《北师大2024版数学七年级下册 单元检测卷A》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D D C B B C A D 1．C 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，13160000用科学记数法表示为， 故选：C． 2．D 【分析】本题主要考查合并同类项，单项式的乘除法，积的乘方和幂的乘方，运用相关知识计算出各选项的结果，再进行判断即可． 【详解】解：A. ，原式计算错误，不符合题意； B. ，原式计算错误，不符合题意； C. ，原式计算错误，不符合题意； D. ，计算正确，符合题意； 故选：D． 3．D 【分析】本题考幂的定义及幂的乘方运算，根据幂的定义先化简，再由幂的乘方运算法则计算即可得到答案，熟记幂的定义及幂的乘方运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：， 故选：D． 4．D 【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．利用平方差公式的结构特征逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； B、，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； C、，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； D、，不能用平方差公式计算，故此选项符合题意； 故选：D． 5．C 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景的计算方法进行求解是解决本题的关键．左边大正方形的边长为，面积为，由边长为的正方形，2个长为宽为的长方形，边长为的正方形组成，根据面积相等即可得出答案． 【详解】解：根据题意，大正方形的边长为，面积为， 由边长为的正方形，2个长为宽为的长方形，边长为的正方形组成， 所以． 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，先对进行运算，然后进行对比一次项系数即可求出的值，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∴， 故选：． 7．B 【分析】本题考查整式的规律探究、数字类规律探究，理解题意，找到变化规律是解答的关键． 根据前几个等式的变化规律得到第n个等式为，进而求解即可． 【详解】解：第1个等式为， 第2个等式为， 第3个等式为， 第4个等式为， …… 第n个等式为， ∴ ， ∵，，，，，，，……， ∴的末位数是以2、4、8、6每四个一个循环， ∴的末位数是以1、3、7、5每四个一个循环， ∵， ∴即的末位数为3， 故选B． 8．C 【分析】本题考查了幂的乘方及其逆运算，掌握计算公式并灵活运用是解题的关键． 先将化为，再由幂的乘方及其逆运算将化为，再代入即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 9．A 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，完全平方，掌握完全平方是解题的关键．求出的结果，再判断即可． 【详解】解：， ， 故选：． 10．D 【分析】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式；数字类的规律探索，整式的加减计算，根据所给计算方式，依次求出第1项，第2项，第3项，…，及，，，…，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，第1项为：， 第2项为：， ∴， ∴， ∴第3项为：，， 第4项为：， …， 以此类推， 第n项为：，（n为正整数）． 当时，．故①正确． 第项与第项之差可表示为：， 第101项与第51项之差为9500， ∴，即 ∴ 解得．故②正确． 当时， ．故③正确． 故选：D． 11． 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方运算，掌握计算公式是解题的关键． 根据幂的乘方和积的乘方计算公式直接求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．17 【分析】本题考查的是完全平方公式的变形，由，再代入，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：17． 13．/ 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据阴影部分的面积等于大正方形的面积与小正方形面积和减去2个三角形的面积建立等式，再根据整式加减及完全平方公式化简，将代入即可得出答案． 【详解】解：根据题意，得大正方形的边长为，小正方形的边长为， ， ， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及应用，根据题意准确写出图中阴影部分的边长，求出，再化简整理，把代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， ， ∴ ， ∵， ∴原式， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了数字规律，乘方运算，理解数量关系找出规律是关键． 根据题意把从1开始的正整数依次每4个分一组，除第一组有1个卓越数外，其余各组都有3个卓越数，且每组中第二个不是卓越数，即中只有3是卓越数，中有3个卓越数，其中第二个不是卓越数，中有3个卓越数，其中第二个不是卓越数，由此推理即可求解． 【详解】解：设两个数分别为，为整数， ∴， 设两个数分别为，为整数， ∴， ∴ 除4外，所有能被4整除的偶数都是卓越数，即当时，均为卓越数，另外，还有如等，这样不能被4整除的数，均不是卓越数， ∴被4除余2的正整数不是卓越数， 同时，根据表格信息可得，除1外，所有奇数均为卓越数， ∴把从1开始的正整数依次每4个分一组，除第一组有1个卓越数外，其余各组都有3个卓越数，且每组中第二个不是卓越数，即中只有3是卓越数，中有3个卓越数，其中第二个不是卓越数，中有3个卓越数，其中第二个不是卓越数，依次类推， ∴， ∴第个卓越数在（组），且是第三个数， ∴， 故答案为： ． 16．32 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积．先将代数式化为，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出的最大值，进而求出的最大值． 【详解】解：依题意有， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴， 当时，该长方形为边长是8的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是64， ∴的最大值为． 故答案为：． 17．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了平方差公式，积的乘方，多项式除以单项式，单项式乘以单项式和多项式乘以多项式的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）本题根据积的乘方和单项式乘以单项式的知识进行计算，即可求解； （2）本题根据多项式除以单项式的知识进行计算，即可求解； （3）本题根据单项式乘以单项式和单项式乘以多项式的知识进行计算，即可求解； （4）本题根据平方差公式进行计算，即可求解； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； 18．(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，正确根据整式的相关计算法则化简原式是解题的关键． （1）先根据乘法公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案； （2）先根据乘法公式去中括号内的小括号，再合并同类项，接着计算多项式除以单项式化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当时，原式． 19．(1)， (2) 【分析】本题考查了幂的运算的逆运算，解题关键是熟练运用幂的运算的逆运算法则进行求解． （1）利用同底数幂相乘的逆运算，同底数幂相除的逆运算计算即可； （2）利用同底数幂相除的逆运算，幂乘方的逆运算计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ； （2）解：． 20．（1）；（2）；（3）相等，见解析；（4） 【分析】本题考查负整数指数幂，幂的运算；熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）直接根据题干即可得出结论； （2）利用负整数幂的运算法则进行计算，即可得出结果； （3）相等，利用负整数幂的运算法则进行计算，即可得出结果； （4）利用负整数幂的运算法则和积的乘方的逆运算进行计算，即可得出结果； 【详解】解：（1）由题得， 故答案为：； （2），， ； （3）相等，理由如下， ， ； （4）． 21．(1) (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，单项式乘以单项式的应用，正确列出板面积的代数式是解题的关键． （1）分别求出三角形和两个梯形的面积，再求和即可得到答案； （2）根据完全平方公式的变形求出的结果即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴板总面积为． 22．(1) (2)9 (3)11 【分析】本题考查了利用完全平方公式的变式求值及其几何应用，熟练掌握和运用完全平方公式的变式是解决本题的关键． （1）根据完全平方公式变形，再将，，代入即可求解； （2）根据题意得出图中阴影部分的面积，再根据完全平方公式变形求出，即可求解． （3）令，表示出，，根据计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）解：根据题意可得： 图中阴影部分的面积． 根据题意，得， 即， ∵， ， 即． ∴图中阴影部分的面积． （3）解：令， 则， ∵， ∴， ∴ ． 23．（1），12 （2）的面积为14 （3）种草区域的面积和为19 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用两种不同的方法表示出4个小长方形的面积即可得到；然后根据题意得到，将，代入求解即可； （2）设，由题意得，，由代入计算即可； （3）设，由题意得，，，根据代入计算即可． 【详解】解：（1）图1中4个小长方形的面积为， 图②中4个小长方形的面积为， ∴； ∵，， 根据题意得，， ∴， ∴； （2）∵等腰和等腰 ∴设， ∴ ∵，， ∴， 由（1）得， ∴ ∴ ∴的面积； （3）设，， 由题意得，， ∴，即， ∴ ， 即种草区域的面积和为19． 24．(1) (2) (3)证明见解析    【分析】（1）由题意可得，然后根据定义的新运算即可直接得出答案； （2）由，可得，，由同底数幂的乘法可得，由同底数幂的除法可得，由幂的乘方可得，于是可得，由此即可得出x与y之间的关系； （3）①由，，可得，，，由可得，然后由同底数幂的乘法即可得出结论；②由可得，设，，，由探索的结论可得，即，由于，因而可得，由此即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得：， ， 故答案为：； （2）解：，， ，， ，， ， ， ； （3）①证明：，，， ，，， ， ， 即：， ； ②解： ， 设，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，有理数的乘方等知识点，读懂题意，根据题中定义的新运算正确列式计算并熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 25．(1)六，15 (2)①；② (3)星期三 【分析】本题考查了杨辉三角，整式的乘法，有理数的乘方，通过观察得到系数的规律是解题的关键． （1）通过观察，可知展开式有五项，分别写出和展开式的系数，从而得到展开式有七项，系数分别是1，6，15，20，15，6，1，从而得到答案； （2）①通过观察可知，，从而得出答案；②写出的展开项，从而算得的系数； （3），其展开式除最后一项外，均含有因数，都能被整除，求出其展开式的最后一项为，往后数一天即可． 【详解】（1）解：根据题意，可知展开式有五项，系数分别是1，4，6，4，1 展开式有六项，系数分别是1，5，10，10，5，1 展开式有七项，系数分别是1，6，15，20，15，6，1 故答案为：六，15； （2）解：① 故答案为：； ②，理由如下： 展开后共项， 第一项是： 第二项是： 第三项是： 第四项是： 故答案为：； （3）解：，其展开式除最后一项外，均含有因数，都能被整除， 其展开式的最后一项为 从星期二往后数天是星期三， 答案为：是星期三． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$