2025年中考数学专项复习讲义 等腰三角形存在性问题

专题8   等腰三角形存在性问题

一、角度问题

等腰三角形ABC中，满足两个角相等，需分三种情况讨论

（1）当AB=AC时，∠ABC=∠ACB

（2）当AB=BC时，∠BAC=∠BCA

（3）当AC=BC时，∠BAC=∠ABC

这类题目，一般是先用一个未知数表示出三个角，然后分三种情况，求出所设的未知量即可。

例题1：（2024秋•仪征市校级月考）在△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F．（友情提示：翻折前后的两个三角形的对应边相等，对应角相等）

（1）如图1，当DE∥AC时，求证：AE⊥BC；

（2）如图2，若∠B=40°，∠BAD=x（0°＜x＜60°），是否存在这样的x的值，使得△DEF是以EF为腰的等腰三角形．若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．

 

 

二、线段长度问题（坐标系）

代数法：（1）表示出三个点坐标A、B、C；

（2）由点坐标表示出三条线段：AB、AC、BC；

（3）根据题意要求取①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC；

（4）列出方程求解．

例题2：（2024春•碑林区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l交x轴于点A（-1，0）、交y轴于点B（0，3）．

（1）求直线l对应的函数表达式；

（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC为等腰三角形，若存在，请求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

三、“两圆一线”几何法

已知线段AB，在平面内找一点C，使△ABC为等腰三角形。

①以A点为圆心，AB为半径作圆，除AB所在直线与圆的交点外，圆上任意一点都可以与点A、B组成以AB为腰的等腰三角形，如图所示：

②以B点为圆心，BA为半径作圆，除AB所在直线与圆的交点外，圆上任意一点都可以与点A、B组成以AB为腰的等腰三角形，如图所示：

③作AB的垂直平分线，除与AB的交点外，垂直平分线上任意一点都可以组成以AB为底的等腰三角形，如图所示：

例题3．在平面直角坐标系中，点A（，），B（3，3），动点C在x轴上，若以A、B、C