数学（江苏通用卷）-【试题猜想】2025年中考考前最后一卷

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考考前最后一卷（江苏通用卷） 数 学 （考试时间：150分钟 试卷满分：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．与 互为相反数的是（     ） A． B． C． D． 2．2024年12月4日晚，在巴拉圭亚松森召开的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上，中国申报的“春节~中国人庆祝传统新年的社会实践”正式列入《人类非物质文化遗产代表作名录》．春节期间家家户户贴的下列窗花图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ）． A． B． C． D． 4．如图是一个“U”形工件，则其主视图为（   ） A．B． C． D． 5．在学校开展的环保主题实践活动中，某小组的5位同学捡拾废弃塑料袋的个数分别为：4，6，8，7，7，这组数据的众数，中位数分别为（   ） A．6，7 B．7，6 C．7，7 D．7，8 6．把一块含45°角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．我国古典数学文献《增删算法统宗，六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊，如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（   ） A． B． C． D． 8．在如图所示的某函数图象上可以找到个不同的点：，使得，则的最大值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 9．因式分解： ． 10．截至2025年3月21日，中国芯片技术已实现多项重大突破，其中最引人注目的是工艺的量产．这一成就标志着中国在全球半导体领域的竞争力显著提升．数据用科学记数法表示为 ． 11．若一个圆锥的底面半径长是，母线长是，则这个圆锥的侧面积 ． 12．有“枇杷之乡”之称的书峰乡，枇杷种植面积高达近2万多亩，是省定的枇杷主要生产基地和第七批枇杷栽培标准化示范区．某校数学兴趣小组跟踪调查了书峰枇杷某次移栽的成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计书峰枇杷移栽成活的概率约为 ． 13．苯（分子式为）环状结构的6个碳原子组成了一个完美的正六边形．如图所示，已知点O为正六边形的中心，则其中心角的度数为 ． 14．在平面直角坐标系中，为坐标原点，若将直线向上平移（）个单位所得的直线经过点，则的值为 ． 15．小明学习了韦达定理之后，发现若一元二次方程有两个实数根，，则方程可化为，将等式左边展开后可得，与原方程系数比较，就不难得到根与系数的等量关系． 小明接着思考，那么若一元三次方程有三个实数根，，，则这三个根之和、三个根之积与原方程系数之间是否存在类似的等量关系？ 请你帮助小明解决问题：若方程的三个实数根为，，，则的值为 ． 16．如图，已知，，，、分别为、上的点，连接，若于点，且平分▱的面积，过作于点，连接，则的最小值为 三、解答题（本大题共11个小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）计算：． 18．（5分）解不等式组 并写出不等式组的整数解． 19．（6分）先化简，再求值：，其中，． 20．（6分）如图，点，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：≌； (2)求证：． 21．（6分）某中学为丰富校园体育活动，成立了跑步、跳绳、篮球、乒乓球、羽毛球共五个社团．为了解全校学生对五个社团的喜爱情况，现随机抽取部分学生进行问卷调查，并形成如下调查报告（不完整）： 调查主题 某中学学生对五个社团的喜爱情况 调查方式 抽样调查 调查对象 该中学的学生 调查方案 方案一：抽取七年级的部分学生进行调查； 方案二：抽取每个班的体育委员进行调查； 方案三：按各年级人数比例，分别抽取合适人数的学生进行调查． 调查问卷 您最喜爱的社团是（只选一项，在其后的括号内打“√”） A．跑步社团（   ）；B．跳绳社团（   ）；C．篮球社团（   ）； D．乒乓球社团（   ）；E．羽毛球社团（   ）． 调查结果 将所有问卷全部收回，并将调查结果绘制成如下两幅统计图（不完整）： 请根据调查报告，解答下列问题： (1)上述调查方案中，最合理的是方案______（填“一”，“二”或“三”）； (2)本次抽样调查的总人数共有多少人？ (3)根据调查结果直接补全条形统计图； (4)若该校共有1000名学生，所有学生都只选择了一项社团，请通过计算估计该校参加篮球社团的学生有多少名？ 22．（8分）某校需要派遣数学老师去农村学校支教，现有A，B，C，D4位老师报名参加，其中A是男老师，其余3人均为女老师．学校决定用随机抽取的方式确定人选． (1)若随机抽取1人，则恰好抽中男老师的概率为 (2)若需从这4位老师中随机抽取2人，请用画树状图或列表的方法求抽到的两位老师都是女老师的概率． 23．（8分）公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．求单独处理需要多少小时？ 24．（8分）如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数的图象分别交于点C、D，点C坐标为，点D坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)直接写出当时，自变量x的取值范围． 25．（10分）如图，已知是边上的一点，以为圆心、为半径的与边相切于点，且，连接，交于点，连接并延长，交于点． (1)求证：是切线； (2)求证：； (3)若，求的长． 26．（10分）平行线是研究相似三角形的基本工具 【尝试】 已知线段，请用无刻度直尺与圆规作出线段的一个三等分点P． 【应用】仅用无刻度直尺在下面的网格中作出线段的一个三等份点D、E． 【拓展】仅用无刻度直尺完成下列作图 （1）在边找一点E，使得 （2）在边找一点E，使得 【计算】 在上图中的中，请直接写出的值． 27．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接，，． (1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标； (2)求证：； (3)如图2，点在x轴上，点P是线段上的动点（不与点B，C重合），连接，作，交y轴于点Q，设点Q的纵坐标为n，求n的取值范围． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前最后一卷（江苏通用卷） 数 学 （考试时间：150分钟 试卷满分：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．与 互为相反数的是（     ） A． B． C． D． 2．2024年12月4日晚，在巴拉圭亚松森召开的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上，中国申报的“春节~中国人庆祝传统新年的社会实践”正式列入《人类非物质文化遗产代表作名录》．春节期间家家户户贴的下列窗花图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ）． A． B． C． D． 4．如图是一个“U”形工件，则其主视图为（   ） A． B． C． D． 5．在学校开展的环保主题实践活动中，某小组的5位同学捡拾废弃塑料袋的个数分别为：4，6，8，7，7，这组数据的众数，中位数分别为（   ） A．6，7 B．7，6 C．7，7 D．7，8 6．把一块含45°角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．我国古典数学文献《增删算法统宗，六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊，如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（   ） A． B． C． D． 8．在如图所示的某函数图象上可以找到个不同的点：，使得，则的最大值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 9．因式分解： ． 10．截至2025年3月21日，中国芯片技术已实现多项重大突破，其中最引人注目的是工艺的量产．这一成就标志着中国在全球半导体领域的竞争力显著提升．数据用科学记数法表示为 ． 11．若一个圆锥的底面半径长是，母线长是，则这个圆锥的侧面积 ． 12．有“枇杷之乡”之称的书峰乡，枇杷种植面积高达近2万多亩，是省定的枇杷主要生产基地和第七批枇杷栽培标准化示范区．某校数学兴趣小组跟踪调查了书峰枇杷某次移栽的成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计书峰枇杷移栽成活的概率约为 ． 13．苯（分子式为）环状结构的6个碳原子组成了一个完美的正六边形．如图所示，已知点O为正六边形的中心，则其中心角的度数为 ． 14．在平面直角坐标系中，为坐标原点，若将直线向上平移（）个单位所得的直线经过点，则的值为 ． 15．小明学习了韦达定理之后，发现若一元二次方程有两个实数根，，则方程可化为，将等式左边展开后可得，与原方程系数比较，就不难得到根与系数的等量关系． 小明接着思考，那么若一元三次方程有三个实数根，，，则这三个根之和、三个根之积与原方程系数之间是否存在类似的等量关系？ 请你帮助小明解决问题：若方程的三个实数根为，，，则的值为 ． 16．如图，已知，，，、分别为、上的点，连接，若于点，且平分▱的面积，过作于点，连接，则的最小值为 三、解答题（本大题共11个小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）计算：． 18．（5分）解不等式组 并写出不等式组的整数解． 19．（6分）先化简，再求值：，其中，． 20．（6分）如图，点，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：≌； (2)求证：． 21．（6分）某中学为丰富校园体育活动，成立了跑步、跳绳、篮球、乒乓球、羽毛球共五个社团．为了解全校学生对五个社团的喜爱情况，现随机抽取部分学生进行问卷调查，并形成如下调查报告（不完整）： 调查主题 某中学学生对五个社团的喜爱情况 调查方式 抽样调查 调查对象 该中学的学生 调查方案 方案一：抽取七年级的部分学生进行调查； 方案二：抽取每个班的体育委员进行调查； 方案三：按各年级人数比例，分别抽取合适人数的学生进行调查． 调查问卷 您最喜爱的社团是（只选一项，在其后的括号内打“√”） A．跑步社团（   ）；B．跳绳社团（   ）；C．篮球社团（   ）； D．乒乓球社团（   ）；E．羽毛球社团（   ）． 调查结果 将所有问卷全部收回，并将调查结果绘制成如下两幅统计图（不完整）： 请根据调查报告，解答下列问题： (1)上述调查方案中，最合理的是方案______（填“一”，“二”或“三”）； (2)本次抽样调查的总人数共有多少人？ (3)根据调查结果直接补全条形统计图； (4)若该校共有1000名学生，所有学生都只选择了一项社团，请通过计算估计该校参加篮球社团的学生有多少名？ 22．（8分）某校需要派遣数学老师去农村学校支教，现有A，B，C，D4位老师报名参加，其中A是男老师，其余3人均为女老师．学校决定用随机抽取的方式确定人选． (1)若随机抽取1人，则恰好抽中男老师的概率为 (2)若需从这4位老师中随机抽取2人，请用画树状图或列表的方法求抽到的两位老师都是女老师的概率． 23．（8分）公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．求单独处理需要多少小时？ 24．（8分）如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数的图象分别交于点C、D，点C坐标为，点D坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)直接写出当时，自变量x的取值范围． 25．（10分）如图，已知是边上的一点，以为圆心、为半径的与边相切于点，且，连接，交于点，连接并延长，交于点． (1)求证：是切线； (2)求证：； (3)若，求的长． 26．（10分）平行线是研究相似三角形的基本工具 【尝试】 已知线段，请用无刻度直尺与圆规作出线段的一个三等分点P． 【应用】仅用无刻度直尺在下面的网格中作出线段的一个三等份点D、E． 【拓展】仅用无刻度直尺完成下列作图 （1）在边找一点E，使得 （2）在边找一点E，使得 【计算】 在上图中的中，请直接写出的值． 27．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接，，． (1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标； (2)求证：； (3)如图2，点在x轴上，点P是线段上的动点（不与点B，C重合），连接，作，交y轴于点Q，设点Q的纵坐标为n，求n的取值范围． 10 / 11 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前最后一卷（江苏通用卷） 数 学 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．与 互为相反数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：与 互为相反数， 故选：B． 2．2024年12月4日晚，在巴拉圭亚松森召开的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上，中国申报的“春节~中国人庆祝传统新年的社会实践”正式列入《人类非物质文化遗产代表作名录》．春节期间家家户户贴的下列窗花图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A符合题意； B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 3．下列计算正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的运算，根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方、积的乘方法则逐项判断即可． 【详解】解∶A．，原计算错误，不符合题意； B．，原计算错误，不符合题意； C．，原计算正确，符合题意； D．，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 4．如图是一个“U”形工件，则其主视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三视图的知识，熟知主视图是从物体的正面看得到的视图，注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．找到从正面看所得到的图形即可． 【详解】解：从正面看可得到长方形少了一个半圆，即主视图为 ， 故选：A 5．在学校开展的环保主题实践活动中，某小组的5位同学捡拾废弃塑料袋的个数分别为：4，6，8，7，7，这组数据的众数，中位数分别为（   ） A．6，7 B．7，6 C．7，7 D．7，8 【答案】C 【分析】本题考查了中位数、众数，解题的关键是掌握中位数、众数的概念，并会求一组数值的中位数、众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，一组数据中出现次数最多的数值，叫众数．根据这两个定义解答即可． 【详解】解：这组数据中出现次数最多的是数据7， 所以这组数据的众数为7， 将数据重新排列为4，6，7，7，8， 则这组数据的中位数为7， 故选：C． 6．把一块含45°角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7．我国古典数学文献《增删算法统宗，六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊，如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据题意正确的列方程组是解题的关键．由乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍，可得；由如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，可得，进而可列方程组． 【详解】解：∵如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍， ∴； ∵如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同， ∴． ∴根据题意可列方程组． 故选：D． 8．在如图所示的某函数图象上可以找到个不同的点：，使得，则的最大值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】此题考查了正比例函数的图象和性质，根据题意构造正比例函数，利用数形结合是解题的关键．设，则点：均在反比例函数图象上，根据反比例函数图象与此图的交点个数，即可得到答案． 【详解】解：设， 则点：均在反比例函数图象上， 根据函数图象可知：当时，反比例函数图象与此图在第一象限最多有4个交点，在第三象限最多有4个交点，即此时最多有8个交点， 当时，反比例函数图象与此图在第二象限最多有2个交点，在第四象限最多有2个交点，即此时最多有4个交点， ∴n的最大取值为8， 故选：A．   第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 9．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解提公因式法，先确定公因式，然后提取即可．熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 10．截至2025年3月21日，中国芯片技术已实现多项重大突破，其中最引人注目的是工艺的量产．这一成就标志着中国在全球半导体领域的竞争力显著提升．数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示，掌握其表示方法，确定的值是关键． 科学记数法的表示形式为，确定n值的方法：当原数的绝对值大于等于10时，把原数变为a时，小数点向左移动位数即为n的值；当原数的绝对值小于1时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值，由此即可求解． 【详解】解：， 故答案为： ． 11．若一个圆锥的底面半径长是，母线长是，则这个圆锥的侧面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键． 根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】解：则这个圆锥的侧面积， 故答案为： ． 12．有“枇杷之乡”之称的书峰乡，枇杷种植面积高达近2万多亩，是省定的枇杷主要生产基地和第七批枇杷栽培标准化示范区．某校数学兴趣小组跟踪调查了书峰枇杷某次移栽的成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计书峰枇杷移栽成活的概率约为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．由图可知，书峰枇杷移栽成活的棵数占比稳定在0.9，故成活的概率估计值为0.9． 【详解】解：由题意得，随着移栽数量的增加，成活棵树的占比逐步稳定在附近， ∴可估计书峰枇杷移栽成活的概率约为， 故答案为：． 13．苯（分子式为）环状结构的6个碳原子组成了一个完美的正六边形．如图所示，已知点O为正六边形的中心，则其中心角的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆心角，正多边形各边所对的中心角相等． 根据正多边形各边所对中心角相等计算即可． 【详解】解：∵正六边形各边所对中心角相等， ∴其中心角的度数为， 故答案为： ． 14．在平面直角坐标系中，为坐标原点，若将直线向上平移（）个单位所得的直线经过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键． 先根据平移规律求出直线向上平移个单位所得的直线，再把点代入，即可求出的值． 【详解】解：∵直线向上平移个单位， ∴平移后的直线为， ∵所得的直线经过点， ∴，解得：， 故答案为：． 15．小明学习了韦达定理之后，发现若一元二次方程有两个实数根，，则方程可化为，将等式左边展开后可得，与原方程系数比较，就不难得到根与系数的等量关系． 小明接着思考，那么若一元三次方程有三个实数根，，，则这三个根之和、三个根之积与原方程系数之间是否存在类似的等量关系？ 请你帮助小明解决问题：若方程的三个实数根为，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元三次方程根与系数的关系，整式的乘法，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据一元三次方程有三个实数根，，，则有，然后得出，，，再根据根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵一元三次方程有三个实数根，，， ∴， ∴ ， ∴，，， ∵的三个实数根为，，， ∴，，， ∴， 故答案为：． 16．如图，已知，，，、分别为、上的点，连接，若于点，且平分▱的面积，过作于点，连接，则的最小值为 【答案】 【分析】本题考查配方法的应用，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，求正弦，设、交于点，过作于，设，，则，先证明，得到，再由平分平行四边形的面积，得到，利用勾股定理得到，则，利用配方得到当时，最小，此时最大，进而求得的最小值． 【详解】解：设、交于点，过作于， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 设，， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∵平分平行四边形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴中，， ∴， ∵， ∴当时，最小，此时最大， ∴ 的最小值为 故答案为：． 三、解答题（本大题共11个小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及零指数幂、算术平方根、特殊角的三角函数值，根据相关运算法则正确求解即可． 【详解】解： ． 18．（5分）解不等式组 并写出不等式组的整数解． 【答案】，整数解为整数解为、0、1． 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为，...............................................3分 所以其整数解为、0、1．...............................................5分 19．（6分）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的混合运算和化简求值，熟练掌握乘法公式是解题关键． 先利用平方差公式、单项式乘多项式进行化简，再把，代入计算即可． 【详解】解：原式 ，...............................................3分 将，代入，得：原式．...............................................6分 20．（6分）如图，点，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：≌； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查三角形的判定定理和性质定理，等式的性质等知识，正确找到对应边和角是解题的关键． （1）由推导出，即可证明结论； （2）由得，即可证得，得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴．...............................................3分 （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴．...............................................6分 21．（6分）某中学为丰富校园体育活动，成立了跑步、跳绳、篮球、乒乓球、羽毛球共五个社团．为了解全校学生对五个社团的喜爱情况，现随机抽取部分学生进行问卷调查，并形成如下调查报告（不完整）： 调查主题 某中学学生对五个社团的喜爱情况 调查方式 抽样调查 调查对象 该中学的学生 调查方案 方案一：抽取七年级的部分学生进行调查； 方案二：抽取每个班的体育委员进行调查； 方案三：按各年级人数比例，分别抽取合适人数的学生进行调查． 调查问卷 您最喜爱的社团是（只选一项，在其后的括号内打“√”） A．跑步社团（   ）；B．跳绳社团（   ）；C．篮球社团（   ）； D．乒乓球社团（   ）；E．羽毛球社团（   ）． 调查结果 将所有问卷全部收回，并将调查结果绘制成如下两幅统计图（不完整）： 请根据调查报告，解答下列问题： (1)上述调查方案中，最合理的是方案______（填“一”，“二”或“三”）； (2)本次抽样调查的总人数共有多少人？ (3)根据调查结果直接补全条形统计图； (4)若该校共有1000名学生，所有学生都只选择了一项社团，请通过计算估计该校参加篮球社团的学生有多少名？ 【答案】(1)三 (2)50 (3)图见解析 (4)估计该校参加篮球社团的学生有400名 【分析】本题考查了抽样调查、条形统计图和扇形统计图的信息关联、利用样本估计总体等知识，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）根据抽样调查的可靠性进行选择即可求解； （2）利用最喜欢乒乓球球社团的人数除以其所占的百分比可得本次抽样调查的总人数； （3）利用本次抽样调查的总人数乘以最喜爱篮球社团的人数所占的百分比可求出最喜爱篮球社团的人数，据此补全条形统计图即可得； （4）利用该校学生的总人数乘以最喜欢篮球社团的人数所占的百分比即可得． 【详解】（1）解：因为方案三抽查的对象最具有代表性和广泛性， 所以上述调查方案中，最合理的是方案三， 故答案为：三．...............................................1分 （2）解：本次抽样调查的总人数为（人），...............................................2分 （3）解：最喜爱篮球社团的人数为（人）， 则补全条形统计图如下： ．...............................................4分 （4）解：（名）， 答：估计该校参加篮球社团的学生有400名．..............................................6分 22．（8分）某校需要派遣数学老师去农村学校支教，现有A，B，C，D4位老师报名参加，其中A是男老师，其余3人均为女老师．学校决定用随机抽取的方式确定人选． (1)若随机抽取1人，则恰好抽中男老师的概率为 (2)若需从这4位老师中随机抽取2人，请用画树状图或列表的方法求抽到的两位老师都是女老师的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了概率公式和用树状图求概率． （1）利用概率公式即可求出答案； （2）画树状图得到所有等可能情况，用符合题意的情况数除以总的情况数即可． 【详解】（1）解：∵现有A，B，C，D4位老师报名参加，其中A是男老师，其余3人均为女老师． ∴随机抽取1人，则恰好抽中男老师的概率为， 故答案为：...............................................4分 （2）根据题意，画树状图如下： ∴共有12种等可能的结果，其中抽到两位女老 师的结果有6种， 则P(抽到两位女老师)...............................................8分 23．（8分）公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．求单独处理需要多少小时？ 【答案】单独处理需要小时 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是列出等量关系．设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据两模型合作小时完成，可得出方程，求解并检验即可． 【详解】解：设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时， 依题意得，即， 整理得：， 解得：或，...............................................4分 由题意得，则， 经检验，是原分式方程的解， 答：单独处理需要小时．...............................................8分 24．（8分）如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数的图象分别交于点C、D，点C坐标为，点D坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)直接写出当时，自变量x的取值范围． 【答案】(1)； (2)3 (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，利用函数图象解不等式．熟练掌握待定系数法是关键． （1）将点坐标代入，即可求出反比例函数解析式；根据点D坐标为．求出，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）先求出，，再利用即可求解； （3）时，自变量的取值范围即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围，根据图象即可解答． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， 即反比例函数解析式为：； ∵点D坐标为． ∴， ∴点D坐标为． ∵一次函数的图象过点，， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为；...............................................3分 （2）解：∵一次函数解析式为与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴当时，则， ∴， ∴， ∵，， 则的面积，..............................................6分 （3） 解：根据图象可得，当时，自变量的取值范围为或． ...............................................8分 25．（10分）如图，已知是边上的一点，以为圆心、为半径的与边相切于点，且，连接，交于点，连接并延长，交于点． (1)求证：是切线； (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题考查切线的性质与判定，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识．在解圆的相关题型中，连接常用的辅助线是解题关键． （1）连接，由切线的性质可知．证明得出，即，说明是的切线； （2）证明得出，整理得； （3）利用三角函数比得出，利用勾股定理得出，求出，再利用进而可求的长． 【详解】（1）证明：连接， 与相切于点， ， 在和中， ， ， 是的半径，且， 是的切线；...............................................3分 （2）证明：，， ， ， ；...............................................6分 （3）解：， ， ． ， ， ， ， ， ， ， 解得， 的长是．...............................................10分 26．（10分）平行线是研究相似三角形的基本工具 【尝试】 已知线段，请用无刻度直尺与圆规作出线段的一个三等分点P． 【应用】仅用无刻度直尺在下面的网格中作出线段的一个三等份点D、E． 【拓展】仅用无刻度直尺完成下列作图 （1）在边找一点E，使得 （2）在边找一点E，使得 【计算】 在上图中的中，请直接写出的值． 【答案】[尝试]见解析；[应用]见解析；[拓展]（1）见解析；（2）见解析；[计算] 【分析】本题考查了使用无刻度直尺作图，涉及解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定等知识点，难度较大，熟练掌握知识点是解题的关键． [尝试]先作出，连接，再作，则，由平行线分线段成比例可得； [应用]取格线与的交点即为点，由得，则，故点D即为所作；取格点，连接与交点即为点，同理，，则，故点以为所作． [拓展]（1）取格点，连接交于点，连接与交点即为点．首先由边角边可证明，则，根据全等三角形对应角相等可证明，同上由平行得相似，则，则，故； （2）取格点，连接交于点，与交点即为点，同上可得，由“8字形”相似得，则，设，则由勾股定理得，故； [计算] 过点C作于点M，过点A作于点N，通过勾股定理以及解直角三角形即可求解． 【详解】[尝试]解：如图，点P即为所作： ...............................................2分 [应用]如图，点即为所作： ...............................................4分 [拓展] （1）如图，点即为所作： （2）如图，点即为所作： ...............................................6分 [计算] 解：过点C作于点M，过点A作于点N， 由勾股定理可得， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ...............................................10分 27．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接，，． (1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标； (2)求证：； (3)如图2，点在x轴上，点P是线段上的动点（不与点B，C重合），连接，作，交y轴于点Q，设点Q的纵坐标为n，求n的取值范围． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）将，两点代入抛物线，则可得抛物线的解析式；将求出解析式化成顶点式，即可写出抛物线的顶点D的坐标； （2）连接CD，令，得，由点A、B、C的坐标可得，，进而得．由点B、C、D的坐标可求得，．根据勾股定理逆定理可得．根据三角函数的定义得 ，由，即可求证； （3）先证明，得．设，，则；进而得．可得有最大值．由，得的最小值为．又点Q在线段上，可得点Q纵坐标n的取值范围． 【详解】（1）解：把，代入， 得． 解得． 抛物线的解析式为． ， 顶点D的坐标为；...............................................3分 （2）解：如图，连接， 在中，令，得， 点C的坐标为，则． ，， ，． ． ，，， 由勾股定理可求得，． ，， ， ． ， 又， ；...............................................6分 （3）解：，， ， ，， ， ． ． 设，，则； ； ． 当时，y的最大值为，即有最大值． ， 的最小值为． 又点Q在线段上， 点Q纵坐标n的取值范围是． ...............................................10分 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数图象上的点的坐标特点、相似三角形的判定与性质、三角函数及勾股定理等知识点，数形结合、分类讨论、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 28 / 29 24 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1 2025 年中考考前最后一卷（江苏通用卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B 铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 9．_________________ 10．___________________ 11．_________________ 12．___________________ 13．__________________ 14．__________________ 15. ___________________ 16. ___________________ 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、（本大题共 10 个小题，共 96 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5 分） 18．（5 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（6 分） 20．（6 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（6 分） 22．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（8 分） 24．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10 分） 26．（10 分） 27．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025年中考考前最后一卷（江苏通用卷） 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 B A C A C B D A 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 9． 10． 11． 12． 13．/60度 14． 15． 三、解答题（本大题共11个小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分） 【答案】 【详解】解： ． 18．（5分） 【答案】，整数解为整数解为、0、1． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为，...............................................3分 所以其整数解为、0、1．...............................................5分 19．（6分） 【答案】， 【详解】解：原式 ，...............................................3分 将，代入，得：原式．...............................................6分 20．（6分） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴．...............................................3分 （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴．...............................................6分 21．（6分） 【答案】(1)三 (2)50 (3)图见解析 (4)估计该校参加篮球社团的学生有400名 【详解】（1）解：因为方案三抽查的对象最具有代表性和广泛性， 所以上述调查方案中，最合理的是方案三， 故答案为：三．...............................................1分 （2）解：本次抽样调查的总人数为（人），...............................................2分 （3）解：最喜爱篮球社团的人数为（人）， 则补全条形统计图如下： ．...............................................4分 （4）解：（名）， 答：估计该校参加篮球社团的学生有400名．..............................................6分 22．（8分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵现有A，B，C，D4位老师报名参加，其中A是男老师，其余3人均为女老师． ∴随机抽取1人，则恰好抽中男老师的概率为， 故答案为：...............................................4分 （2）根据题意，画树状图如下： ∴共有12种等可能的结果，其中抽到两位女老 师的结果有6种， 则P(抽到两位女老师)...............................................8分 23．（8分） 【答案】单独处理需要小时 【详解】解：设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时， 依题意得，即， 整理得：， 解得：或，...............................................4分 由题意得，则， 经检验，是原分式方程的解， 答：单独处理需要小时．...............................................8分 24．（8分） 【答案】(1)； (2)3 (3)或 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， 即反比例函数解析式为：； ∵点D坐标为． ∴， ∴点D坐标为． ∵一次函数的图象过点，， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为；...............................................3分 （2）解：∵一次函数解析式为与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴当时，则， ∴， ∴， ∵，， 则的面积，..............................................6分 （3） 解：根据图象可得，当时，自变量的取值范围为或． ...............................................8分 25．（10分） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【详解】（1）证明：连接， 与相切于点， ， 在和中， ， ， 是的半径，且， 是的切线；...............................................3分 （2）证明：，， ， ， ；...............................................6分 （3）解：， ， ． ， ， ， ， ， ， ， 解得， 的长是．...............................................10分 26．（10分） 【答案】[尝试]见解析；[应用]见解析；[拓展]（1）见解析；（2）见解析；[计算] 【详解】[尝试]解：如图，点P即为所作： ...............................................2分 [应用]如图，点即为所作： ...............................................4分 [拓展] （1）如图，点即为所作： （2）如图，点即为所作： ...............................................6分 [计算] 解：过点C作于点M，过点A作于点N， 由勾股定理可得， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ...............................................10分 27．（10分） 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)． 【详解】（1）解：把，代入， 得． 解得． 抛物线的解析式为． ， 顶点D的坐标为；...............................................3分 （2）解：如图，连接， 在中，令，得， 点C的坐标为，则． ，， ，． ． ，，， 由勾股定理可求得，． ，， ， ． ， 又， ；...............................................6分 （3）解：，， ， ，， ， ． ． 设，，则； ； ． 当时，y的最大值为，即有最大值． ， 的最小值为． 又点Q在线段上， 点Q纵坐标n的取值范围是． ...............................................10分 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数图象上的点的坐标特点、相似三角形的判定与性质、三角函数及勾股定理等知识点，数形结合、分类讨论、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 10 / 10 6 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 11 ) 2025年中考考前最后一卷（江苏通用卷） ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) ( 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 9 ． _________________ 10 ． ___________________ 11． _________________ 12 ． ___________________ 1 3 ． __________________ 14 ． __________________ 15. ___________________ 1 6 . ___________________ )第Ⅱ卷 ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、（本大题共 10 个小题，共 96 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17． （5分） 18． （5分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19． （6分） 20． （6分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21． （6分） 22． （8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 23．（8分） 24．（8分） ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 25．（10分） 26．（10分） 27．（10分） ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 $$