数学（江苏无锡卷）-【试题猜想】2025年中考考前最后一卷

2025年中考考前最后一卷（无锡卷） ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) ( 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 11． _________________ 12 ． ___________________ 1 3 ． __________________ 14 ． __________________ 15. ___________________ 1 6 . ___________________ 1 7 . _______________ ____ 1 8 . ___________________ )第Ⅱ卷 ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、（本大题共 10 个小题，共 96 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19． （8分） 20． （8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21． （10分） 22． （10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23． （10分） 24． （10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 25．（10分） 26．（10分） ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 27．（10分） 28．（10分） ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前最后一卷（无锡卷） 数 学 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列四个有理数中，绝对值最小的是（　　） A． B．0 C． D．1 2．要使有意义，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．为进一步促进体教融合，引导广大学生掌握游泳技能，经研究，我市从2025届初中毕业生起，将游泳项目纳入初中学业水平考试的体育选考项目．以下是8名男生在某次训练时50米游泳时间（秒）：48，49，50，48，47，48，49，47，则这组数据的中位数和众数分别是（    ） A．47，48 B．47.5，48 C．48，48 D．48，49 4．方程组的解是（    ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．美在数学中有着它的独特之处，在丰富多彩的数学美之中，对称美、旋转美深深的震撼着我们．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 7．掀起了“人工智能”的热潮，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时．则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 8．有一组对角是直角，且另一组对角不相等的四边形叫作准矩形．有下列命题：①直角梯形是准矩形；②准矩形中，夹一个直角的两边的平方和等于夹另一个直角的两边的平方和；③准矩形的对角互补．其中，真命题有（   ）． A．①②③ B．② C．③ D．②③ 9．如图，将绕点C按顺时针方向旋转得到，点A、B的对应点分别是D、E，连接，点E恰好落在线段上．若，，则的值是（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 10．如图，已知在中，，，点E在边上，点F在的延长线上，连接，点G为的中点，连接，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．因式分解： ． 12．中科院发现“绿色”光刻胶，精度可达0.00000000014米．数字0.00000000014用科学记数法可表示为 ． 13．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的表面积是 ． 14．已知一次函数（为常数）的图象不经过第二象限．写出一个符合条件的的值为 ． 15．正多边形的一部分如图所示，点为正多边形中心，若，则该正多边形的边数为 ． 16．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形 ． 连结并延长，交于点 ，点为的中点．若， 则的长为 ． 17．如图，直线分别交x轴、y轴于A，B，M是反比例函数的图象上位于直线上方的一点，轴交于C，交于D，，则k的值为 18．定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：的友好同轴二次函数为．已知二次函数（其中且且），其友好同轴二次函数记为，当时，函数的最大值与最小值的差为8，则的值为 ． 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）（1）计算：； （2）化简：． 20．（8分）解方程和不等式组． (1)； (2)． 21．（10分）在平行四边形中，为上一点，点为的中点，连接并延长，交的延长线于点， (1)求证：； (2)求证：． 22．（10分）为了让学生更多的了解中国传统的民间文学类非物质文化遗产，在某次班会上，八年级（1）班的甲、乙、丙、丁四位班干部准备从“A．白蛇传，B．女娲补天，C．阿诗玛，D．木兰辞”这四个故事传说中，各选一个进行讲解，班长做了4张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别绘制了这4个故事传说的插画，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，以所抽取卡片正面的内容进行讲解． (1)甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到白蛇传的概率是___________； (2)请用列表或画树状图的方法，求甲、乙都抽到民间叙事长诗（C，D）的概率． 23．（10分）小刚家2021年和2023年的家庭总支出情况如图所示．    (1)2023年总支出比2021年增加了 万元，增加的百分比是 ； (2)2021年衣食方面支出的金额为 万元，2023年教育方面所在扇形的圆心角为 度： (3)小华说：“2021年娱乐支出占，2023年娱乐支出占，因为，所以2023年娱乐支出金额比2021年减少了”，你同意小华的说法吗？请通过计算说明理由． 24．（10分）如图，在中，． (1)求作：菱形，使菱形的顶点D落在边上；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，，求（1）中的菱形的周长． 25．（10分）如图1，平行四边形的对角线交于点P，E为的中点，过E点的圆O与相切于点P，圆O与直线分别交于点F，G． (1)求证：； (2)如果 如图2．求圆O的直径． 26．（10分）某村为了提高广大农户的生活水平，经过市场调查，决定推广种植某特色水果．该水果每千克成本为20元，每千克售价需超过成本，但不高于50元．某农户日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该水果的日销售利润为W元． (1)分别求出y与x，W与x之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）； (2)若该水果的日销售量不低于90千克，当售价定为多少元/千克时，每天获取的利润最大？最大利润是多少元？ 27．（10分）【操作观察】 如图，在四边形纸片中，，，，，．折叠四边形纸片，使得点的对应点始终落在上，点的对应点为，折痕与，分别交于点，． 【解决问题】 (1)求的长以及的值； (2)当点与点重合时，求的长； (3)设直线与直线相交于点，当时，求的长（直接写结果）． 28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线于点A，C，抛物线的顶点为D．       (1)求抛物线的表达式； (2)M是线段上一点，N是抛物线上一点，平行于y轴且交x轴于点E，当时，求点M的坐标； (3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 10 / 11 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025 年中考考前最后一卷（无锡卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B 铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 11．_________________ 12．___________________ 13．__________________ 14．__________________ 15. ___________________ 16. ___________________ 17. ___________________ 18. ___________________ 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、（本大题共 10 个小题，共 96 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8 分） 20．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10 分） 22．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10 分） 24．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10 分） 26．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27．（10 分） 28．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025年中考考前最后一卷（无锡卷） 数 学 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列四个有理数中，绝对值最小的是（　　） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的性质，掌握绝对值的性质是关键． 根据绝对值的性质求解即可． 【详解】解：A、 B、 C、 D、， ∵， ∴绝对值最小的是， 故选：B ． 2．要使有意义，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 故选：B． 3．为进一步促进体教融合，引导广大学生掌握游泳技能，经研究，我市从2025届初中毕业生起，将游泳项目纳入初中学业水平考试的体育选考项目．以下是8名男生在某次训练时50米游泳时间（秒）：48，49，50，48，47，48，49，47，则这组数据的中位数和众数分别是（    ） A．47，48 B．47.5，48 C．48，48 D．48，49 【答案】C 【分析】本题考查求一组数据的众数和中位数，熟记众数和中位数的定义是解题的关键．根据众数和中位数的定义求解． 【详解】解：这组数据中出现次数最多的数是48，因此众数是48； 将这组数据从小到大排序为：47，47，48，48，48，49，49，50， 第4，5位是48，48，因此中位数是， 故答案为：C． 4．方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组（加减消元法），熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 利用加减消元法求解二元一次方程组，，得，解得，将代入，得，解得，由此即可得出答案． 【详解】解：， ，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 将代入，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 方程组的解是， 故选：． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方，完全平方公式，同底数幂的乘法，平方差公式，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． 根据积的乘方，完全平方公式，同底数幂的乘法，平方差公式计算各项并判断，即可解题． 【详解】解：A. ，选项计算错误，不符合题意； B. ，选项计算错误，不符合题意； C. ，选项计算正确，符合题意； D. ，选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 6．美在数学中有着它的独特之处，在丰富多彩的数学美之中，对称美、旋转美深深的震撼着我们．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选D． 7．掀起了“人工智能”的热潮，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时．则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是列出等量关系．设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据两队合作小时完成，可得出方程． 【详解】解：设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时， 依题意得， 故选：B． 8．有一组对角是直角，且另一组对角不相等的四边形叫作准矩形．有下列命题：①直角梯形是准矩形；②准矩形中，夹一个直角的两边的平方和等于夹另一个直角的两边的平方和；③准矩形的对角互补．其中，真命题有（   ）． A．①②③ B．② C．③ D．②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查准矩形，熟练掌握准矩形的定义是解题的关键．根据准矩形的定义进行判断即可． 【详解】解：①直角梯形并不是对角是直角，故不是准矩形，①错误； 准矩形中，， ， ， 夹一个直角的两边的平方和等于夹另一个直角的两边的平方和，②正确； 准矩形中，，故， 四边形的内角和为， ，故③正确； 故选D． 9．如图，将绕点C按顺时针方向旋转得到，点A、B的对应点分别是D、E，连接，点E恰好落在线段上．若，，则的值是（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．由旋转得，，，推出是等腰直角三角形，，过点C作于点H，得到，利用勾股定理求出的长． 【详解】解：由旋转得，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形，， 过点C作于点H， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10．如图，已知在中，，，点E在边上，点F在的延长线上，连接，点G为的中点，连接，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定及性质，添加辅助线构造直角三角形，是解决问题的关键． 由题意可知，，过点作，交于，则，，过点作，交于，则，可知，得，则，设，，得，，，则，可得，再根据正切的定义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 过点作，交于，则，， 过点作，交于，则， ∴， ∴，则， ∵，则设，， ∴，，， 则， ∴， ∴， 故选：A． 第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解−−运用公式法，用平方差公式因式分解即可．熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12．中科院发现“绿色”光刻胶，精度可达0.00000000014米．数字0.00000000014用科学记数法可表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：． 故答案为：． 13．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的表面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的计算，根据弧长公式及圆锥的侧面积公式求出圆锥的侧面积，再根据圆的面积公式求出圆锥的底面积，从而根据“圆锥的表面积侧面积底面面积”计算即可．掌握弧长计算公式、圆锥的侧面积计算公式和圆的面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：， 则圆锥的侧面积为，圆锥的底面半径为， 则圆锥的底面积为 ， 该圆锥的表面积是． 故答案为：． 14．已知一次函数（为常数）的图象不经过第二象限．写出一个符合条件的的值为 ． 【答案】0（答案满足均可） 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 根据一次函数的图象可知，即可得出答案． 【详解】解∶函数 (b是常数)的图象不经过第二象限， 可取． 故答案为∶0(答案不唯一，满足即可) 15．正多边形的一部分如图所示，点为正多边形中心，若，则该正多边形的边数为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了圆周角定理、圆与正多边形，熟练掌握圆与正多边形的性质是解题关键．连接，先得出是这个正多边形的外接圆，再根据圆周角定理可得，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵点为正多边形的中心， ∴是这个正多边形的外接圆， 由圆周角定理得：， ∴该正多边形的边数为， 故答案为：9． 16．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形 ． 连结并延长，交于点 ，点为的中点．若， 则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的性质，由正方形的性质以及全等三角形的性质可得，，，，，证明，由相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：由题意可得，，，，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴，即， 设， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， 故答案为：． 17．如图，直线分别交x轴、y轴于A，B，M是反比例函数的图象上位于直线上方的一点，轴交于C，交于D，，则k的值为 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，掌握反比例函数图象的性质，几何图形中线段的关系，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质等知识的综合是解题的关键． 如图所示构造辅助线，可得四边形，是矩形，可证，，是等腰直角三角形，设，可得，，在等腰直角三角形中，根据其性质可得，，结合反比例函数图象的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴，过点作轴，过点作轴于点，作轴于点，    ∴四边形，四边形都是矩形， ∴，，，， 已知直线， 令时，，则， ∴， 令时，， ∴，则， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴，，都是等腰直角三角形， ∵点在反比例函数的图象上， ∴设， ∴，， ∴在，中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵反比例函数， ∴， ∴， 故答案为：． 18．定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：的友好同轴二次函数为．已知二次函数（其中且且），其友好同轴二次函数记为，当时，函数的最大值与最小值的差为8，则的值为 ． 【答案】或3/3或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握理解友好同轴二次函数的定义是解题关键． ②分且且、两种情况，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：二次函数， 则设， 所以，解得， 所以， （Ⅰ）当且且时，抛物线的开口向上， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 则当时，取得最小值，最小值为， 当时，取得最大值，最大值为4， 所以， 解得，符合题设； （Ⅱ）当时，抛物线开口向下， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， 则当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为4， 所以， 解得，符合题设； 综上，的值为或3． 故答案为：或3． 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查实数的运算，整式的计算． （1）先算二次根式，零指数幂，绝对值，再算加减； （2）先去括号，再合并同类项． 【详解】解：（1）原式 ；...............................................4分 （2）原式 ．...............................................8分 20．（8分）解方程和不等式组． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查的是解一元二次方程和解一元一次不等式组，掌握利用公式法解一元二次方程、不等式的解法和公共解集的取法是解决此题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）分别求出两个不等式的解集，然后取公共解集即可． 【详解】（1）解：， ，；...............................................4分 （2）解：由得：， 由得：， 原不等式组的解集为：．...............................................8分 21．（10分）在平行四边形中，为上一点，点为的中点，连接并延长，交的延长线于点， (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先由平行四边形性质得到，再由平行线性质和中点定义确定相关角度与边长，再由全等三角形的判定定理即可得证； （2）由全等三角形的性质和平行四边形的性质得到，数形结合表示出即可得证． 【详解】（1）证明：在平行四边形中，， ∴， 点为的中点， ， 在和中， ；...............................................5分 （2）解：由（1）知， ， 在平行四边形中，， ， ，， ．...............................................10分 【点睛】本题考查平行四边形综合，涉及平行四边形的性质、平行线的性质、中点定义、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 22．（10分）为了让学生更多的了解中国传统的民间文学类非物质文化遗产，在某次班会上，八年级（1）班的甲、乙、丙、丁四位班干部准备从“A．白蛇传，B．女娲补天，C．阿诗玛，D．木兰辞”这四个故事传说中，各选一个进行讲解，班长做了4张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别绘制了这4个故事传说的插画，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，以所抽取卡片正面的内容进行讲解． (1)甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到白蛇传的概率是___________； (2)请用列表或画树状图的方法，求甲、乙都抽到民间叙事长诗（C，D）的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题关键． （1）根据概率公式直接求解即可； （2）利用列表法求概率即可． 【详解】（1）解：由题意，得甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到白蛇传的概率是， 故答案为：...............................................5分 （2）解：列表如下： 甲 乙 A B C D A （B， A） （C， A） （D， A） B （A， B） （C， B） （D， B） C （A， C） （B， C） （D， C） D （A， D） （B， D） （C， D） 由上表可知， 共有 12 种等可能出现的结果， 其中甲、乙都抽到民间叙事长诗的结果有 种， 所以甲、乙都抽到民间叙事长诗的概率为．...............................................10分 23．（10分）小刚家2021年和2023年的家庭总支出情况如图所示．    (1)2023年总支出比2021年增加了 万元，增加的百分比是 ； (2)2021年衣食方面支出的金额为 万元，2023年教育方面所在扇形的圆心角为 度： (3)小华说：“2021年娱乐支出占，2023年娱乐支出占，因为，所以2023年娱乐支出金额比2021年减少了”，你同意小华的说法吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1)， (2)，126 (3)不同意，见解析 【分析】本题主要考查了条形统计图，以及扇形统计图，弄清题意，利用数形结合的方法是解本题的关键． （1）2023年总支出减2021年总支出即可；由2023年总支出减2021年总支出的差除以2021年总支出即可； （2）由2021年总支出扇形统计图中衣食方面支出的占比与2021年总支出的积即可求解；2023年教育方面的占比与的积即可求解； （3）分别计算这两年的娱乐支出即可判断． 【详解】（1）解：2023年总支出比2021年增加了（万元）， 增加的百分比为：， 故答案为：，；...............................................3分 （2）解：2021年总支出衣食方面的支出为（万元）， 2023年教育方面所在扇形的圆心角为， 故答案为：，126；...............................................6分 （3）解：不同意小华的说法； 2021年娱乐支出为（万元）， 2023年娱乐支出为（万元）， 计算表明，这两年的娱乐支出相等，并没有减少．...............................................10分 24．（10分）如图，在中，． (1)求作：菱形，使菱形的顶点D落在边上；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，，求（1）中的菱形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】本题考查作图—复杂作图、勾股定理、菱形的判定与性质． （1）先作线段的垂直平分线，交于点D，再以点B为圆心，的长为半径画弧，交线段的垂直平分线于点E，连接，，即可； （2）由菱形的性质可得，设，则，中，由勾股定理得，，代入求出x的值，进而可得答案． 【详解】（1）解：如图，菱形即为所求； ...............................................5分 （2）解：由（1）得四边形是菱形， ∴，设，则， 在中，根据勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴菱形的周长为．...............................................10分 25．（10分）如图1，平行四边形的对角线交于点P，E为的中点，过E点的圆O与相切于点P，圆O与直线分别交于点F，G． (1)求证：； (2)如果 如图2．求圆O的直径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作直径，连接，由平行四边形的性质和点E是的中点得，得到，再证明，，可证得． （2）证平行四边形是菱形，则它的对角线互相垂直平分；根据勾股定理可求出菱形的边长．由于E是中点，可得，根据，可得P、O、C三点共线，为的直径，根据，，可得，得到，得到，即得⊙O的直径为． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点H，连接，则． ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． 又∵E为的中点， ∴． ∴． ∴． ∵切于P， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ...............................................5分 （2）解：∵平行四边形中，， ∴平行四边形为菱形． ∴，． ∴． ∴． ∵切于P， ∴． ∵， ∴P、O、C三点共线． ∴为的直径． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴⊙O的直径为．...............................................10分 【点睛】本题主要考查了圆与四边形综合．熟练掌握圆切线性质，平行四边形性质，菱形的判定和性质，三角形中位线判定和性质，圆内接四边形性质，直角三角形你斜边上中线的性质，相似三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 26．（10分）某村为了提高广大农户的生活水平，经过市场调查，决定推广种植某特色水果．该水果每千克成本为20元，每千克售价需超过成本，但不高于50元．某农户日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该水果的日销售利润为W元． (1)分别求出y与x，W与x之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）； (2)若该水果的日销售量不低于90千克，当售价定为多少元/千克时，每天获取的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当售价定为35元／千克时，每天获取的利润最大，最大利润是1350元 【分析】此题考查了一次函数和二次函数的应用，根据题意正确求出函数解析式是关键． （1）利用待定系数法进行解答即可； （2）先求出自变量的取值范围，再根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为． 把点代入， 得 解得 与之间的函数关系式为． ...............................................5分 （2）根据題意，得． 解得． ． ． ∴抛物线的开口向下． 对称轴为直线， 在时，随的增大而增大， 当时，取最大值，此时， 答：当售价定为35元／千克时，每天获取的利润最大，最大利润是1350元． ...............................................10分 27．（10分）【操作观察】 如图，在四边形纸片中，，，，，．折叠四边形纸片，使得点的对应点始终落在上，点的对应点为，折痕与，分别交于点，． 【解决问题】 (1)求的长以及的值； (2)当点与点重合时，求的长； (3)设直线与直线相交于点，当时，求的长（直接写结果）． 【答案】(1)10， (2)1 (3)或 【分析】（1）过点作，证明四边形为正方形，勾股定理求出的长，利用正弦的定义，求出三角函数值即可； （2）连接，设，根据旋转的性质和勾股定理列出方程进行求解即可； （3）分两种情况，当点F在上时和当点F在的延长线上时，设，，则 ，利用三个角的正切值相等表示出个线段的长度，最后利用线段的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， 在中，， ∴；...............................................3分 （2）连接， ∵翻折， ∴垂直平分，，， ∴，， 设，则：， 在中：， 在中：， ∴， ∴， 解得：； ∴；...............................................6分 （3）①如图，当点F在上时，如下图： 由(1)可知，， ∵ ∴，， 设，，则 ， 根据折叠的性质可得出：，，． ∵， ∴，， ∴在中，，， 则， 解得：， ②如图，当点F在的延长线上时， 同上， 在中， 设，，， ， 同理：在中，， 则 解得， 则， 综上：的值为：或．...............................................10分 【点睛】本题考查正方形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，折叠问题，熟练掌握相关知识点，根据题意，正确的画出图形，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线于点A，C，抛物线的顶点为D．       (1)求抛物线的表达式； (2)M是线段上一点，N是抛物线上一点，平行于y轴且交x轴于点E，当时，求点M的坐标； (3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或或或 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）求出直线的表达式为，设，则，，分情况表示出，，结合，列方程求出，即可求解； （3）画出图形，分是四边形的边和是四边形的对角线，进行讨论，利用勾股定理，相似三角形的判定与性质，函数图像的交点，平移等知识点进行解答即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线过原点， ， 将代入抛物线中，得， 解得：， ∴抛物线的表达式为；...............................................3分 （2）解：设直线的解析式为， 将代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，，其中． 当在点上方时，，． ∵， ∴． ∴， 解得：（不合题意，舍去）； 当M在N点下方时， ． ∴， 解得：（不合题意，舍去）． ∴满足条件的点M的坐标有两个．...............................................6分 （3）解：存在，满足条件的点的坐标有 4 个． 如图，若是四边形的边， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴抛物线的对称轴与直线相交于点， 联立， 解得：或（舍去）， ， 过点分别作直线的垂线交抛物线于点， ， ， ， ， ， ∴点与点重合． 当时，四边形是矩形． ∵向右平移 1 个单位，向上平移 1 个单位得到． ∴向右平移 1 个单位，向上平移 1 个单位得到， 此时直线的解析式为． ∵直线与平行且过点， ∴直线的解析式为． ∵点是直线与抛物线的交点， ∴， 解得：（舍去）． ， 当时，四边形是矩形， ∵向左平移 3 个单位，向上平移 3 个单位得到． ∴向左平移 3 个单位，向上平移 3 个单位得到． 如图，若是四边形的对角线， 当时．过点作轴，垂足为，过点作，垂足为． 可得， ， ， 设， ， ∵点不与点重合， 和， ， ， ∴如图，满足条件的点有两个． 即． 当时，四边形是矩形． ∵向左平移个单位，向下平移个单位得到． ∴向向平移个单位，向下平移个单位得到． 当时，四边形是矩形． ∵向右平移个单位，向上平移个单位得到． ∴向右平移个单位，向上平移个单位得到． 综上，满足条件的点的坐标为或或或． ...............................................10分 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求函数的解析式，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，点的平移等知识，根据题意画出符合条件的图形，进行分类讨论是解题的关键． 28 / 29 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考考前最后一卷（无锡卷） 数 学 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列四个有理数中，绝对值最小的是（　　） A． B．0 C． D．1 2．要使有意义，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．为进一步促进体教融合，引导广大学生掌握游泳技能，经研究，我市从2025届初中毕业生起，将游泳项目纳入初中学业水平考试的体育选考项目．以下是8名男生在某次训练时50米游泳时间（秒）：48，49，50，48，47，48，49，47，则这组数据的中位数和众数分别是（    ） A．47，48 B．47.5，48 C．48，48 D．48，49 4．方程组的解是（    ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．美在数学中有着它的独特之处，在丰富多彩的数学美之中，对称美、旋转美深深的震撼着我们．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 7．掀起了“人工智能”的热潮，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时．则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 8．有一组对角是直角，且另一组对角不相等的四边形叫作准矩形．有下列命题：①直角梯形是准矩形；②准矩形中，夹一个直角的两边的平方和等于夹另一个直角的两边的平方和；③准矩形的对角互补．其中，真命题有（   ）． A．①②③ B．② C．③ D．②③ 9．如图，将绕点C按顺时针方向旋转得到，点A、B的对应点分别是D、E，连接，点E恰好落在线段上．若，，则的值是（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 10．如图，已知在中，，，点E在边上，点F在的延长线上，连接，点G为的中点，连接，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．因式分解： ． 12．中科院发现“绿色”光刻胶，精度可达0.00000000014米．数字0.00000000014用科学记数法可表示为 ． 13．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的表面积是 ． 14．已知一次函数（为常数）的图象不经过第二象限．写出一个符合条件的的值为 ． 15．正多边形的一部分如图所示，点为正多边形中心，若，则该正多边形的边数为 ． 16．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形 ． 连结并延长，交于点 ，点为的中点．若， 则的长为 ． 17．如图，直线分别交x轴、y轴于A，B，M是反比例函数的图象上位于直线上方的一点，轴交于C，交于D，，则k的值为 18．定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：的友好同轴二次函数为．已知二次函数（其中且且），其友好同轴二次函数记为，当时，函数的最大值与最小值的差为8，则的值为 ． 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）（1）计算：； （2）化简：． 20．（8分）解方程和不等式组． (1)； (2)． 21．（10分）在平行四边形中，为上一点，点为的中点，连接并延长，交的延长线于点， (1)求证：； (2)求证：． 22．（10分）为了让学生更多的了解中国传统的民间文学类非物质文化遗产，在某次班会上，八年级（1）班的甲、乙、丙、丁四位班干部准备从“A．白蛇传，B．女娲补天，C．阿诗玛，D．木兰辞”这四个故事传说中，各选一个进行讲解，班长做了4张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别绘制了这4个故事传说的插画，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，以所抽取卡片正面的内容进行讲解． (1)甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到白蛇传的概率是___________； (2)请用列表或画树状图的方法，求甲、乙都抽到民间叙事长诗（C，D）的概率． 23．（10分）小刚家2021年和2023年的家庭总支出情况如图所示．    (1)2023年总支出比2021年增加了 万元，增加的百分比是 ； (2)2021年衣食方面支出的金额为 万元，2023年教育方面所在扇形的圆心角为 度： (3)小华说：“2021年娱乐支出占，2023年娱乐支出占，因为，所以2023年娱乐支出金额比2021年减少了”，你同意小华的说法吗？请通过计算说明理由． 24．（10分）如图，在中，． (1)求作：菱形，使菱形的顶点D落在边上；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，，求（1）中的菱形的周长． 25．（10分）如图1，平行四边形的对角线交于点P，E为的中点，过E点的圆O与相切于点P，圆O与直线分别交于点F，G． (1)求证：； (2)如果 如图2．求圆O的直径． 26．（10分）某村为了提高广大农户的生活水平，经过市场调查，决定推广种植某特色水果．该水果每千克成本为20元，每千克售价需超过成本，但不高于50元．某农户日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该水果的日销售利润为W元． (1)分别求出y与x，W与x之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）； (2)若该水果的日销售量不低于90千克，当售价定为多少元/千克时，每天获取的利润最大？最大利润是多少元？ 27．（10分）【操作观察】 如图，在四边形纸片中，，，，，．折叠四边形纸片，使得点的对应点始终落在上，点的对应点为，折痕与，分别交于点，． 【解决问题】 (1)求的长以及的值； (2)当点与点重合时，求的长； (3)设直线与直线相交于点，当时，求的长（直接写结果）． 28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线于点A，C，抛物线的顶点为D．       (1)求抛物线的表达式； (2)M是线段上一点，N是抛物线上一点，平行于y轴且交x轴于点E，当时，求点M的坐标； (3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前最后一卷（无锡卷） 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B C B C D B D B A 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11． 12． 13． 14．0（答案满足均可） 15．9 16． 17． 18．或3 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分） 【答案】（1）（2） 【详解】解：（1）原式 ；...............................................4分 （2）原式 ．...............................................8分 20．（8分） 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：， ，；...............................................4分 （2）解：由得：， 由得：， 原不等式组的解集为：．...............................................8分 21．（10分） 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：在平行四边形中，， ∴， 点为的中点， ， 在和中， ；...............................................5分 （2）解：由（1）知， ， 在平行四边形中，， ， ，， ．...............................................10分 【点睛】本题考查平行四边形综合，涉及平行四边形的性质、平行线的性质、中点定义、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 22．（10分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意，得甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到白蛇传的概率是， 故答案为：...............................................5分 （2）解：列表如下： 甲 乙 A B C D A （B， A） （C， A） （D， A） B （A， B） （C， B） （D， B） C （A， C） （B， C） （D， C） D （A， D） （B， D） （C， D） 由上表可知， 共有 12 种等可能出现的结果， 其中甲、乙都抽到民间叙事长诗的结果有 种， 所以甲、乙都抽到民间叙事长诗的概率为．...............................................10分 23．（10分） 【答案】(1)， (2)，126 (3)不同意，见解析 【详解】（1）解：2023年总支出比2021年增加了（万元）， 增加的百分比为：， 故答案为：，；...............................................3分 （2）解：2021年总支出衣食方面的支出为（万元）， 2023年教育方面所在扇形的圆心角为， 故答案为：，126；...............................................6分 （3）解：不同意小华的说法； 2021年娱乐支出为（万元）， 2023年娱乐支出为（万元）， 计算表明，这两年的娱乐支出相等，并没有减少．...............................................10分 24．（10分） 【答案】(1)见解析 (2)15 【详解】（1）解：如图，菱形即为所求； ...............................................5分 （2）解：由（1）得四边形是菱形， ∴，设，则， 在中，根据勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴菱形的周长为．...............................................10分 25．（10分） 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接并延长交于点H，连接，则． ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． 又∵E为的中点， ∴． ∴． ∴． ∵切于P， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ...............................................5分 （2）解：∵平行四边形中，， ∴平行四边形为菱形． ∴，． ∴． ∴． ∵切于P， ∴． ∵， ∴P、O、C三点共线． ∴为的直径． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴⊙O的直径为．...............................................10分 【点睛】本题主要考查了圆与四边形综合．熟练掌握圆切线性质，平行四边形性质，菱形的判定和性质，三角形中位线判定和性质，圆内接四边形性质，直角三角形你斜边上中线的性质，相似三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 26．（10分） 【答案】(1) (2)当售价定为35元／千克时，每天获取的利润最大，最大利润是1350元 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为． 把点代入， 得 解得 与之间的函数关系式为． ...............................................5分 （2）根据題意，得． 解得． ． ． ∴抛物线的开口向下． 对称轴为直线， 在时，随的增大而增大， 当时，取最大值，此时， 答：当售价定为35元／千克时，每天获取的利润最大，最大利润是1350元． ...............................................10分 27．（10分） 【答案】(1)10， (2)1 (3)或 【详解】（1）解：过点作， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， 在中，， ∴；...............................................3分 （2）连接， ∵翻折， ∴垂直平分，，， ∴，， 设，则：， 在中：， 在中：， ∴， ∴， 解得：； ∴；...............................................6分 （3）①如图，当点F在上时，如下图： 由(1)可知，， ∵ ∴，， 设，，则 ， 根据折叠的性质可得出：，，． ∵， ∴，， ∴在中，，， 则， 解得：， ②如图，当点F在的延长线上时， 同上， 在中， 设，，， ， 同理：在中，， 则 解得， 则， 综上：的值为：或．...............................................10分 【点睛】本题考查正方形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，折叠问题，熟练掌握相关知识点，根据题意，正确的画出图形，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 28．（10分） 【答案】(1) (2)， (3)或或或 【详解】（1）解：∵抛物线过原点， ， 将代入抛物线中，得， 解得：， ∴抛物线的表达式为；...............................................3分 （2）解：设直线的解析式为， 将代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，，其中． 当在点上方时，，． ∵， ∴． ∴， 解得：（不合题意，舍去）； 当M在N点下方时， ． ∴， 解得：（不合题意，舍去）． ∴满足条件的点M的坐标有两个．...............................................6分 （3）解：存在，满足条件的点的坐标有 4 个． 如图，若是四边形的边， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴抛物线的对称轴与直线相交于点， 联立， 解得：或（舍去）， ， 过点分别作直线的垂线交抛物线于点， ， ， ， ， ， ∴点与点重合． 当时，四边形是矩形． ∵向右平移 1 个单位，向上平移 1 个单位得到． ∴向右平移 1 个单位，向上平移 1 个单位得到， 此时直线的解析式为． ∵直线与平行且过点， ∴直线的解析式为． ∵点是直线与抛物线的交点， ∴， 解得：（舍去）． ， 当时，四边形是矩形， ∵向左平移 3 个单位，向上平移 3 个单位得到． ∴向左平移 3 个单位，向上平移 3 个单位得到． 如图，若是四边形的对角线， 当时．过点作轴，垂足为，过点作，垂足为． 可得， ， ， 设， ， ∵点不与点重合， 和， ， ， ∴如图，满足条件的点有两个． 即． 当时，四边形是矩形． ∵向左平移个单位，向下平移个单位得到． ∴向向平移个单位，向下平移个单位得到． 当时，四边形是矩形． ∵向右平移个单位，向上平移个单位得到． ∴向右平移个单位，向上平移个单位得到． 综上，满足条件的点的坐标为或或或． ...............................................10分 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求函数的解析式，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，点的平移等知识，根据题意画出符合条件的图形，进行分类讨论是解题的关键． 10 / 10 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$