专题05 平行线中的四大基本模型专项训练（5大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（湘教版2024）

专题05 平行线中的四大基本模型专项训练（5大题型+15道拓展培优） 题型一 平行线基本模型之M模型 题型二 平行线四大模型之铅笔模型 题型三 平行线四大模型之“鸡翅”模型 题型四 平行线四大模型之“骨折”模型 题型五 平行线基本模型的拓展 【经典例题一 平行基本模型之M模型】 【结论1】若AB∥CD，则∠B0C=∠B+∠C 【结论2】若∠BOC=∠B+∠C，则AB∥CD. 【结论3】如图所示，AB∥EF，则∠B＋∠D=∠C十∠E 朝向左边的角的和=朝向右边的角的和 结论3的模型也称为锯齿模型； 锯齿模型的变换解题思路 拆分成猪蹄模型和内错角 拆分成2个猪蹄模型 【例1】（23-24七年级下·湖南娄底·阶段练习）铁一陆港七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，M是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，直接写出、、三者之间的数量关系． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，利用“猪蹄模型”是解题关键． （1）如图，过作．得，故，，因此． （2）过点N作的平行线，设，则，由“猪蹄模型”可表示，再借助平行线的性质计算即可． 【详解】（1）证明：如图，过作． ， ， ，， ． （2）解：、、三者之间的数量关系：． 理由如下： 如图：过点N作的平行线． ∵， ∴由“猪蹄模型”知， 设，则， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴ ∴ 即：． ∴、、三者之间的数量关系：． 1．（23-24七年级下·湖南常德·期中）综合与实践 【探究发现】 （1）小明家有一款可折叠的护眼台灯如图1，是灯头，，是支架，是底座，连接部分可分别绕连接点B，E，D旋转，当旋转至时，图2是其平面示意图，小明发现，请证明小明的发现． 【拓展延伸】 （2）保持，当旋转到如图3所示位置时，判断，，之间的数量关系，并证明． 【学以致用】 （3）如图4，，，和的平分线相交于点P，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题考查平行线的性质及角平分线性质的应用，解题关键是通过作辅助线构造平行线，利用平行线性质找出角之间的关系，结合已知条件进行推导求解． （1）过点E作，利用平行线性质先得到，再由，推出，进而得到，最后通过等量代换证明结论． （2）作，依据得出 ，利用平行线性质得到， ，再结合周角为，即，从而证明 ． （3）先由得 ，根据角平分线性质得到， ，利用（1）论建立与的关系，再将用和表示并化简，进而求出的度数． 【详解】解：（1）证明：如图1，过点E作，    ∴，     ∵， ∴，    　 ∴， ∴．     （2）     证明：作． ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）∵， ∴，     ∵和的平分线相交于点P， ∴，， 由（1）可知，，， ∴，即， ， = ． 2．（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． (1)如图①，，为，之间一点，连接，，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由． (2)请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题： ①如图②，，线段与线段相交于点，，，平分交直线于点，求的度数． ②如图③，，线段与线段相交于点，，，过点作交直线于点，平分，平分，直接写出的度数． 【答案】(1)，见解析． (2)①，②． 【分析】（1）过E作ETAB，由ABCD，得ETABCD，即有∠B=∠BET，∠D=∠DET，即可得∠BED=∠B+∠D； （2）①同（1）方法可知：∠AEC=∠BAD+∠BCD，即知∠AEC=116°=∠BED，根据EF平分∠BED，即得答案； ②延长DH交AG于K，由DGCB，∠BCD=80°，得∠CDG=100°，而DH平分∠CDG，即得∠CDH=∠CDG=50°，又ABCD，可得∠AKD=130°，根据∠BAD=36°，AH平分∠BAD，得∠KAH=∠BAD=18°，即可得∠AHD=148°． 【详解】（1），理由如下： 如图1：过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； （2）①同（1）方法可知：， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ②延长DH交AG于K，如图3： ∵DGCB， ∴∠BCD+∠CDG=180°， ∵∠BCD=80°， ∴∠CDG=100°， ∵DH平分∠CDG， ∴∠CDH=∠CDG=50°， ∵ABCD， ∴∠CDH+∠AKD=180°， ∴∠AKD=130°， ∵∠BAD=36°，AH平分∠BAD， ∴∠KAH=∠BAD=18°， ∴∠AHK=180°-∠KAH-∠AKH=32°， ∴∠AHD=180°-∠AHK=148°， ∴ 故答案为：148． 【点睛】本题考查平行线的性质及应用，解题的关键是掌握平行线的性质定理和判定定理，并能熟练应用． 3．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过做一条直线的平行线进行转化． 例如：如图1，直线，求证： （1）把下面的解答过程补充完整，并填到相应的序号内． 解：过点作直线， ①_______， （已知），， ②_______， ③_______， ， ． （2）如图2，直线，若，，则______． 【方法运用】 （3）如图3，直线，点在的上方，，，之间有何数量关系？请说明理由． 【联想拓展】 （4）如图4，已知，的平分线和的平分线交于点，请你用含有的式子表示的度数，直接写出结果． 【答案】（1）见解析（2）（3），理由见详解（4） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的判定与性质求解即可； （2）根据平行线的判定与性质求解即可； （3）根据平行线的判定与性质求解即可； （4）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可． 【详解】（1）解：过点作直线， ， （已知），， ， ， ， ． （2）如图，过点作， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为： （3）， 理由如下：如图，过点作， ， ，， ， ， ； （4）如图所示， 由（2）知，， ， ， 的平分线和的平分线交于点， ，， ， 由（1）知：． 4．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）（1）【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的． 如图一，已知，，请说明． 解：分别过点，作，． 因为①，所以． 由②，可知，，． 由题知，所以③． 则，即④． 由⑤，可得． 请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整． （2）【迁移应用】如图二，已知，，的交点为．判断，，之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三．若，求的大小． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的性质． （1）根据平行线的判定与性质求解即可； （2）过作，得到，推出，，结合，即可求解； （3）根据规律，推出，即可求解． 【详解】解：（1）①， ②两直线平行，内错角相等； ③； ④； ⑤内错角相等，两直线平行． （2），理由如下： 如图，过作， ， ， ，， ， ； （3）如图，和的平分线交点为， ． 和的平分线交点为， ； 和的平分线，交点为， ； 以此类推，． 当时，等于． 故答案为：． 【经典例题二 平行基本模型之铅笔模型】 【结论1】如图所示，AB∥CD，则∠B+∠BOC+∠C=360° 【结论2】如图所示，∠B+∠BOC+∠C=360°，则AB∥CD. 变异的铅笔头：拐点数n,∠A+...+∠C=180°×（n+1） 拐点数：1 拐点数：2 拐点数：n 【例2】（2025七年级下·湖南株洲·模拟预测）已知直线，点P为直线，所确定的平面内的一点． 问题提出：（1）如图1，，，求的度数； 问题迁移：（2）如图2，写出，，之间的数量关系，并说明理由； 问题应用：（3）如图3，点E在射线上，过点E作，作，点G在直线上，作的平分线交于点H，若，，求的度数． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，熟练在为平行线的性质，是解题的关键： （1）过点P作，根据平行线的性质得出，根据，求出，根据，得出最后求出结果即可； （2）过点P作，根据平行线的性质得出，根据平行公理得出，求出，根据，即可得出； （3）由（2）知，，先证、，，根据可得答案． 【详解】解：（1）如图1所示，过点P作，    ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴； （2）结论：；理由如下： 如图2，过点P作，    ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）由（2）知，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ． 1．（23-24七年级下·湖南张家界·阶段练习）问题情境：如图1，，，，求度数．小明的思路是：过作，如图2，通过平行线性质来求． （1）按小明的思路，易求得的度数为______； 问题迁移： （2）如图3，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，，则、、之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你判断、、间的数量关系并证明． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）当在延长线时，；当在延长线时， 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，熟悉平行线的性质，作出合适的辅助线是解决问题的关键． （1）过作，通过平行线性质求即可； （2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （3）画出图形，根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【详解】解：（1）过点作，如图2所示， ， ， ，， ，， ，， ． （2）， 理由是：如图3，过作交于， ， ， ，， ； （3）当在延长线时，如图所示， ， ，， ． 当在延长线时，如图所示， ， ，， ． 2．（24-25七年级下·湖南岳阳·阶段练习）【阅读思考】如图①，已知，探究之间关系，小明添加了一条辅助线．解决了这道题．得到的结果是． 证明过程如下： 如图①，过点C作， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，即． (1)【理解应用】如图②，已知，求的度数； (2)【拓展探索】如图③，已知，点C在点D的右侧，平分平分所在的直线交于点E，点E在直线与之间，点B在点A的右侧，且，若，则度数为多少？（用含n的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查平行线的判定和性质 （1）过点C作，得到，推出，即可求出答案； （2）过点E作，根据角平分线定义得到，，根据平行线的性质得到，，即可求出． 【详解】解：（1）如图②，过点C作， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图③，过点E作， ∵平分平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴． 3．（24-25七年级下·湖南邵阳·阶段练习）【问题情境】（1）如图1，，，求度数． 小明的思路：过P作，通过平行线性质来求． 按小明的思路，易求得的度数为 度． 【问题迁移】（2）如图2，，点P在射线上运动．记，． 当点P在 B、D两点之间运动时，问：与，之间有何数量关系？请说明理由； ②若点P在线段或射线上运动，（不与O、B、D三点重合），请直接写出与，之间的数量关系． 【拓展创新】（3）图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，并将北斗七星分别标为A、B、C、D、E、F、G，顺次连接各点，天文小组发现线段恰好经过点G，且，，，请你根据这些信息求出的度数． 【答案】（1）110；（2） ①，理由见解析；② 或（3） 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解题时注意分类思想的运用． （1）过P作，通过平行线性质求即可； （2）①过P作交于E，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； ②分两种情况：P在延长线上；P在延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出，，即可得出答案． （3）过点C作，根据平行线的性质，得出，进而得到，即可求出的度数． 【详解】解：（1）过点P作，如图1， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：110； （2）①， 理由：如图2，过P作交于E， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图3所示，当P在延长线上时，设与交于点， ∵ ∴ 又 ∴； 如图4所示，当P在延长线上时，同理可得． （3）如图5．过点C作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 4．（23-24七年级下·湖南永州·期中）【阅读理解】 “两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想． 【建立模型】 （1）如图①已知，点E在直线之间，则___________． （2）如图②已知，点E在直线之间，请写出与之间的关系，并说明理由． 【解决问题】 （3）奥运会过后掀起一股滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，，如果人的小腿与地面的夹角，求出身体与水平线的夹角的度数． 【答案】（1）；（2）；见解析；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的性质，理解题意，熟练掌握运用平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，得，从而得，，进而求角度即可得解； （2）过点作，利用平行线的性质即可解答 （3）延长交直线于点，利用平行线的性质得出，再由两直线平行，内错角相等即可得出结果． 【详解】解：（1）如图，过点作， ，， ， ，， ， ，， ， 故答案为：； （2），理由如下： 如图②，过作直线， ， ， ， ； （3）解：如图，延长交直线于点， ， ， ， ． 【经典例题三 平行基本模型之“鸡翅”模型】 【例3】（23-24七年级下·湖南怀化·期中）已知，点M、N分别是上的点，点G在之间，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点H是延长线上一点，连接，若平分，试探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点P是下方一点，平分平分，已知，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点作，根据平行线的判定及性质即可证明； （2）过点H作，设，根据角平分线的定义得到，，结合（1）的结论得到，再由平行线的判断及性质得到，，因此，从而得出结论． （3）过作，过点P作，设，根据平行线的判定及性质得到，，由角平分线的定义得到，从而，又，因此，，即可解答． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴． （2）解：，理由如下： 过点H作，设， ∵平分， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． （3）解：过作，过点P作，设， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 1．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）已知，线段分别与、相交于点、． (1)如图①，当，，则______； (2)如图②，当点P在线段上运动时（不包括、两点），，与之间有怎样的数量关系？试证明你的结论； (3)当点P在直线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果不成立，探究，与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)当点在射线的延长线上运动时，（2）中的结论不成立，新关系为：，证明见解析；当点在射线的延长线上运动时，（2）中的结论不成立，新关系为：，证明见解析 【分析】本题考查平行线的判定及性质，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过P作，则，根据平行线的性质求出的度数即可解答； （2）过P作，则，根据平行线的性质即可得到； （3）根据点的运动轨迹，分类讨论：当点在射线上时；当点在射线上时；根据平行线的性质与判定定理讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过P作， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴； （2）解：，证明如下： 过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）解：当点在射线的延长线上运动时，（2）中的结论不成立，新关系为：，证明如下： 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 当点在射线的延长线上运动时，（2）中的结论不成立，新关系为：，证明如下： 设与相交于点，作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（24-25七年级下·湖南邵阳·阶段练习）小学阶段通过剪拼得到“三角形的内角和等于”，学了“平行线”后，小安用说理的方式说明该结论正确． 证明过程如下： 如图1：延长到点，过点作， ， ①_____，②_____， ③_____． ． (1)补全小安证明过程中①②③所缺的内容： (2)如图2，现有一锐角，在的两边上分别取点、，过点、分别作直线、，且，点在、之间， ①若点是下方一点，连接、．若平分，平分，则、、这三个角有什么关系；并说明理由． ②如图3，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，直接写出的度数． 【答案】(1)①A，②B，③． (2)①；理由见详解；② 【分析】本题主要考查了三角形内角和的证明过程，平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算． （1）利用平行线的性质以及平角的定义证明即可． （2）①过作，过点P作，设，利用平行线的性质以及角平分线的定义可得出 ． ②过作，过E作，设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得，，再根据，据此计算即可求解． 【详解】（1）证明：延长到点，过点作， ， ， ， ． ， 故答案为：①A，②B，③． （2）解：①如图2，过作，过点作，若平分，平分，则、、这三个角有什么关系；并说明理由． ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 ②如图3，过作，过作，设，， ∵交于M，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（23-24七年级下·湖南张家界·期中）综合与实践 【问题情境】平面内两直线的位置关系只有两种：相交和平行．若证明两直线相交可借助定义确定它们有一个公共点；若证明两直线与平行，无法直接利用定义说明，根据对课本知识的学习，有两种方法可以说明，如图1，引入直线，借助角的关系说明两直线平行；如图2，引入直线也可以说明两直线平行． 【问题探究】如图3，的顶点在直线与之间，若，求证：． 小红借助图1的思路，延长交于点，如图4，可以证明；小白借助图2的思路，过点作，如图5，可以证明；请你选择其中一种思路，完成证明． 【方法延伸】 若是的一个内角，，，顶点在直线上，与交于点，如图6， （1）当时，则与之间的数量关系是________________（用含的式子表示）； （2）若，且平分交于点，则与之间的数量关系是________（用含的式子表示）． 【答案】【问题探究】见详解；【方法延伸】（1）（2） 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理的推论，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键； （问题探究）根据小红的说法得到，从而求证；根据小白说法得到，进而得证； （方法延伸）（1）过点作，得到，从而得证；（2）根据四边形的内角和可知，进而求解； 【详解】解：（问题探究）小红：， ， ； 小白：， ， ， ， ， ； （方法延伸）（1）过点作； ，， ，， ， ； ， ； ； 故答案为： （2）解：平分， ， 在四边形中， ， ， ； 故答案为： 4．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）（1）【问题发现】 ①如图1，直线，，分别在，上，点为其内部一点，求证：． ②如图2，直线，点，分别在，上，点为其外部一点，猜想，，之间的数量关系是__________．（直接写出结论，不需要证明） （2）【尝试应用】 如图3，直线，点，分别在，上，，的角平分线与的角平分线交于点，求的度数． （3）【拓展延伸】 如图4，直线，点，分别在，上，点为其内部一点，，，交的延长线于点，交的延长线于点，请你探究，与的数量关系． 【答案】（1）①见解析；②；（2）；（3） 【分析】本题考查平行线的判定及性质， （1）①过点作，根据平行线的判定及性质即可证明； ②过点作，根据平行线的判定及性质即可求解； （2）根据角平分线的定义可设，，由，得到，根据平行线的性质得到，即，从而 ； （3）由（1）可得，，，设，，则，，即可得到． 【详解】（1）①证明：过点作，则， ， ， ， ， ． ②过点作，则， ， ， ， ． 故答案为：． （2）如图， 的角平分线与的角平分线交于点 设，， 则，， ， ， ， ， ，即， ， 由（1）知， ． （3）         由（1）可得， ， ， 设，， 则，， ∴，，， ∴， ． 【经典例题四 平行基本模型之“骨折”模型】 【例4】（2024七年级下·湖南娄底·模拟预测）（1）如图①，，试问与的关系是什么？并说明理由； （2）如图②，，试问与的关系是什么？请直接写出结论； （3）如图③，，试问与的关系是什么？请直接写出结论． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【分析】此题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． （1）过点作，从而推出，根据两直线平行，内错角相等，可知，，从而推出与的关系； （2）分别过点，，，作，，，从而推出，根据两直线平行，内错角相等，可推出与的关系； （3）分别过点，，，，，作，，，，，从而知道，根据两直线平行，内错角相等，可推出与的关系． 【详解】解：（1），理由如下： 如图，过点作， ，， ， ，， ； （2）同理（1）得：，理由如下： 分别过点，，，作，，， ，，， （3）同理（1）得：． 理由如下：分别过点，，，，，作，，，，， ， ， ，，，，，， ． 1．（23-24七年级下·湖南常德·期末）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． （1）平行于．如图a，点P在、的外部时，由，有，又因是的外角，故，故． （2）如图b，将点P移到、的内部，以上结论是否成立？若不成立，则之间有何数量关系？请证明你的结论； 【答案】，证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，正确作出辅助线、构造平行线成为解题的关键． 如图b：过点P作，根据两直线平行，内错角相等可得，再证明，再根据平行线的性质以及等量代换证明结论． 【详解】解：（2）． 证明：如图b，过点P作， ∴， 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 2．（24-25七年级下·湖南邵阳·阶段练习）我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图1，已知，点，分别在直线，上，点在直线，之间，设，，求证：． 证明：如图2，过点作，， ，，，， ，即． 运用以上结论解答下列问题： 【类比应用】： （1）如图3，已知，，，求的度数． 【拓展提升】： （2）如图4，已知，点在直线上，点在直线上方，连接，，则，，之间有何数量关系？请说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，添加平行线探究角之间的关系是解答的关键． （1）过P作，则，利用平行线的性质得到，，进而可求解； （2）过P作，则，利用平行线的性质得到，，进而可得结论． 【详解】解：（1）如图③，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2），理由如下： 如图④，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 3．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）综合与实践 【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，A是外一点，连接，，求的度数． 解：如图1，过点A作， ∴________，________ 又∵， ∴________ 【问题解决】 （1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】 （2）如图2，，，，，交于点E，求证：． （3）如图3，，点P在下方，求证：． 【答案】（1）;（2）见解析；（3）见解析． 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点A作，从而利用平行线的性质可得 ，，再根据平角定义可得，然后利用等量代换可得，即可解答； （2）过点作，进而得出，即可证明； （3）过点作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）如图1，过点A作， ∴，， 又∵， ∴； 故答案为：． （2）过点作， ， ， ，， ， ， ， ． （3）过点作， ， ， ， ， ， ， ． 4．（23-24七年级下·湖南永州·期末）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数． 解：过点A作， ∴_____，______， 又∵． ∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点E，，求的度数． （3）如图3，若，点P在，外部，请直接写出，，之间的关系． 【答案】（1）见解析；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键； （1）过点A作，从而利用平行线的性质可得，，再根据平角定义可得，然后利用等量代换可得，即可解答； （2）过点E作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答； （3）过点P作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）过点A作， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：；；； （2）过点E作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）， 理由：过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【经典例题五 平行线基本模型的拓展】 【例5】（23-24七年级下·湖南常德·期中）几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”． (1)导入：如图1，已知，如果，，则　　； (2)发现：如图2，直线，请判断与，之间的数量关系，并说明理由； (3)运用：如图3，已知，P在射线上运动（点P与点A、B、O三点不重合），，，请用含、的代数式表示，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）首先根据平行线的性质求出，，然后求和即可； （2）过点P作，根据平行线的性质得到，，即可得到与，之间的数量关系； （3）根据题意分点P在线段上，点P在线段上和点P在射线上三种情况讨论，求出，，然后根据角的和差求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，过点P作， ∵， ∴，， ∴； （3）解：如图所示，当点P在线段上时，作交于点Q， ∵ ∴，， ∴； 如图所示，当点P在线段上时，作交于点Q， ∵， ∴，， ∴； 如图所示，当点P在射线上时，作交于点Q， ∵， ∴，， ∴； 综上所述，或或． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线，灵活运用平行线的性质是解题的关键． 1．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）如图，，点是直线上一点，点是平行线、之间一点，连接、． 【问题提出】 （1）如图1，过点作，若，，求的度数； 【问题初探】 （2）如图2，平分，平分，与相交于点，若，求的度数； 【衍生拓展】 （3）如图3，平分，平分，与相交于点，平分，过点作，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）过点作，由平行线的性质得出，，根据，计算求解即可； （2）根据（1）中的结论先得到：，，再由角平分线的定义即可得出结论； （3）作的角平分线交于点，由邻补角的角平分线互相垂直得到，由根据两直线平行，同旁内角互补得到与的关系，再由（2）题的结论即可得出与的数量关系即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的度数为； （2）证明：由（1）得：， 同理：， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴ （3）解：如图3，作的角平分线交于点，    ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， 由（2）得：， ． 2．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）【课题学习】平行线的“等角转化”功能 如图1，已知点A是外一点，连接，，求的度数． 解：过点A作， ______，______． 又， ． 【问题解决】（1）阅读并补充上述解题过程． 【解题反思】从上面的解题过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知，，求的度数． （提示过点E作或的平行线） 【深化拓展】（3）如图3，已知，，分别平分，，且所在直线交于点F，，求的度数． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，有关角平分线的计算，熟练掌握平行线的判定和性质，利用转化思想解答是解题的关键． （1）过点A作，如图1，根据平行线的性质得到，，然后利用平角的定义得到； （2）过点E作的平行线，如图，利用平行线的性质得到，则，，然后把两式相加可得； （3）过E点作，过F点作，如图，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，设，，利用平行线的性质得到，，，，则利用，可得，然后利用求解． 【详解】解： （1）过点A作， ∴，， 又∵， ∴； 故答案为：，； （2）过点E作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）过E点作，过F点作，如图， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 设，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·湖南湘潭·期中）【学科融合】物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角i叫入射角，反射光线与法线的夹角r叫反射角（如图1）．在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】 （1）如图2，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，已知入射光线与平面镜的夹角，那么入射光线经过两次反射以后，两反射光线形成的夹角 °． （2）如图3，当两个平面镜，夹角是多少度时？可以使任何射到平面镜上的入射光线，经过平面镜，两次反射后，得到，请说明理由． 【尝试探究】 （3）人们发明了一种曲面的反射光罩，使汽车灯泡在点O处发出的光线反射后都能平行射出，在如图4所示的截面内，已知入射光线的反射光线为，．若一入射光线（点D是入射光线与反光罩的交点）经反光罩反射后沿射出，且，请求出的度数． 【答案】（1）80；（2），理由见解析；（3）或. 【分析】本题考查的是平行线的性质的应用，平行公理的应用，角的和差运算； （1）因为两面镜子平行，所以入射角等于反射角，且同位角相等．已知入射光线与平面镜的夹角，则反射角也为，那么反射光线与平面镜的夹角为，同理另一面镜子的反射光线与平面镜夹角也为，进一步可得答案． （2）设，．证明，可得，即，再进一步可得答案． （3）如图，当在的下方时，过作，如图，当在的上方时，过作，再进一步的利用平行线的性质与角的和差运算可得答案. 【详解】（1）解：由入射角反射角可得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：． 理由：设，． ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，． （3）解：如图，当在的下方时，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 如图，当在的上方时，过作， 同理可得：，， ∴， 综上：或. 4．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）【提出问题】睿睿在学习完平行线的基本模型——猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：    【分析问题】如图，已知直线，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设，，． 【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索，，之间数量的关系，并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作……”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明； 【类比探究】（2）问题二：当点P在线段外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系． ①如图2，当动点P在线段之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，，，满足什么数量关系？请给出证明； ②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形，并仿照图1，图2，标出图3中的，，，此时，，之间有何数量关系，请直接写出结论，不必说明理由． 【应用拓展】 （3）问题三：如图4所示，请直接写出图4中，，，之间的数量关系，不必说明理由． 【答案】（1），见解析， （2）①不成立，新的结论为   ②不成立，结论为:  （3） 【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键. 过点作利用两直线平行内错角相等得到，根据 得到，再利用两直线平行内错角相等，根据，等量代换即可得证； ①过点作，同理得到，根据，等量代换即可得证； ②过点作，同理得到，根据，等量代换即可得证； （）过点作，点作，得到，，，然后根据等量代换即可． 【详解】（1），理由如下： 过点作，    ， ， ， ， ， ； （2）①不成立，新的结论为 理由为： 过作，   ， ， ， ， ， ； ②不成立，如图③所示， 结论为：； 过作， ， ， ， ， ， ；    （3）， 过点作，点作， 又∵， ∴， ∴，，， 即， ∴．    1．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等得出，即可求出的度数，再根据两直线平行，内错角相等得出，即可求解． 【详解】解：， ， ∵， ， ， ， ， ， 故选：C 2．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）如图，把一张长方形纸片沿折叠，点C，D 分别落在点M，N的位置上，与相交于点 G．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，折叠的性质．作，推出，，再由折叠的性质得，据此求解即可． 【详解】解：作，如图， 由题意得， ∴， ∴，， 由折叠的性质得，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．（23-24七年级下·湖南湘潭·阶段练习）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，如图所示，过点A作，过点B作，则，由得到，则，进而得到，再根据平行线的性质得到，由此即可得到．正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点A作，过点B作， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2024七年级下·湖南株洲·模拟预测）如图，已知：，，求证：．在证明该结论时，需添加辅助线，则以下关于辅助线的作法不正确的是（    ）    A．延长交的延长线于点 B．连接 C．分别作，的平分线， D．过点作（点在点左侧），过点作（点在点左侧） 【答案】C 【分析】根据平行线的性质与判定逐一判断即可． 【详解】解：A、如图，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故此选项不符合题意； B、如图，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故此选项不符合题意； C、如图，    由平分，平分， 没有条件说明与相等，也没有条件说明与平行， ∴此辅助线的作法不能说明与平行，故此选项符合题意； D、如图，延长交于点，    ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，平行公理的推论．掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 5．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）如图，在以“探索光之奥秘”为主题的趣味物理实验中，用透明水箱模拟光线从空气射入某种液体，观察到入射角与折射角约为的比例关系．为了挑战自我，同学们进一步思考：若两条入射光线以不同角度，斜射入这种液体，液体内折射光线的夹角与，的数学关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的性质，过B，D，F分别作水平线的垂线，得，由平行线的性质结合已知条件可得出可得结论． 【详解】解：如图所示，过B，D，F分别作水平线的垂线，则， ∴， ∴， 根据题意得， ，， ∴ ∴， 故选：D． 6．（23-24七年级下·湖南常德·阶段练习）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点构造平行线． 过点D作，过点E作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点D作，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好的锻炼腹部的肌肉，如图是小美同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，，点在直线上，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数，根据平行线的性质得出，，再由角的和差计算即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）图①是某自行车的实物图，图②是图①的示意图．经测得，且都与地面平行，．有如下四个结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．在这四个结论中正确的序号为 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质定理是解题的关键． 根据平行线的判定与性质定理逐项分析判断即可． 【详解】解：， ， ， ， 故结论①正确； 当时， ， ， 又， ， ， 故结论②正确； 当时， ， ， 与不平行， 故结论③错误； 当时， 则， ， 故结论④正确； 综上，正确的结论有：， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）七年级1班的同学们在学习了平行线的性质与判定后，研究了如下4个图形，每个图形中，和的两边，．请你结合每个图形中两个角的两边的位置关系，通过观察猜想证明与之间存在的某种数量关系，写出一个真命题，并用“如果……那么……”的形式表示出来： ． 【答案】如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补是解题关键． 第1个图：根据平行线的性质，分别得到，，即可得到与的数量关系； 第2个图：根据平行线的性质，分别得到，，即可得到与的数量关系； 第3个图：连接并延长至点，分别得到，，即可得到与的数量关系； 第4个图：延长至点，与交于点，分别得到，，即可得到与的数量关系； 根据4个图所得结论归纳即可 【详解】解：第1个图： 第2个图：，理由如下： ， ， ， ， ； 第3个图：如图，，证明如下： 连接并延长至点， ， ， ， ， ； 第4个图：，证明如下： 延长至点，与交于点， ， ， ， ， ， ， ； 由4个所得结论可知，如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补． 故答案为：如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补． 10．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）为保证安全，某两段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯A，B，探照灯的光线可看作射线如图，灯A的光线从射线开始，绕点A顺时针旋转至射线上便立即回转，灯B光线从射线开始，绕点B顺时针旋转至射线便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．已知，连接，，则 ；若灯B的光线先转动，每秒转动，45秒后灯A的光线才开始转动，每秒转动，在灯B的光线第一次到达之前，灯A的光线转动 秒时，两灯的光线互相平行．    【答案】 60 45或105 【分析】根据题意及邻补角互补求出，，进而根据平行线的性质得到；由题意易得，则可设灯的光线转动时，两灯的光线互相平行，进而可分①当射线未过线段时，②射线过线段且未到达射线时，③射线到达后回转，然后根据平行线的性质进行分类求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴， ∵灯的光线先转动45秒，灯的光线才开始转动， ∴此时， 设灯的光线转动时，两灯的光线互相平行， ①当射线未过线段时，两灯的光线互相平行，则，如图所示：    ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：； ②射线过线段且未到达射线时，两灯的光线互相平行，则，如图所示：      ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：，（不符合题意，舍去）； ③射线到达后回转，两灯的光线互相平行，则，如图所示：    ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：； ∴综上所述：灯的光线转动45秒或105秒时，两灯的光线互相平行； 故答案为：60；45或105． 【点睛】本题主要考查平行线的性质及一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质及一元一次方程的应用是解题的关键． 11．（24-25七年级下·湖南永州·阶段练习）已知． (1)如图1，请确定，和之间的数量关系并证明； (2)如图2，平分，直线与的邻补角的平分线交于点．若，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，BM平分的邻补，平分，作，求的度数． 【答案】(1)，证明见解析； (2)； (3)． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作，得到，再得到，则，即可求解； （2）设，，则，由（1）得，过点作，则， 判断，得到，即可求解； （3）连接， 由，，得到，，，设，则，求得，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图1，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：设，，则， 由（1）得， 如图2，过点作，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴； （3）解：如图3，连接，     ∵，， ∴，， ∴，即， 设， 则． 由（1）得 即， ∴， ∴， ∴． 12．（23-24七年级下·湖南娄底·阶段练习）如图1，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线与之间的一点，．    (1)求证：； (2)如图2，作，与的角平分线交于点F．若，求的度数； (3)如图3，平分，平分，，已知，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟知平行线的性质是解题的关键． （1）作，根据平行线的性质得到，再由，即可证明． （2）先根据角平分线的定义得到，，再求出，根据（1）的结论推出，结合即可得到答案． （3）利用角平分线的定义可得，，再利用平行线的性质可得，从而可得，然后根据进行计算即可解答． 【详解】（1）如图，作，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）∵平分， ∴，． ∵， ∴． 由（1）可得，， ∴， ∵， ∵， ∴； （3）∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴ ． 13．（23-24七年级下·湖南张家界·期中）【问题情境】（1）如图1，，，，求度数． 【问题迁移】（2）如图2，，点P在射线上运动，（点P与点O，A，B不重合），，．直接写出，，之间的数量关系． 【拓展应用】（3）如图3，已知两条直线，点P在两平行线之间，且的平分线与的平分线相交于点Q，利用上面的结论，求的度数． 【答案】（1）；（2），，之间的数量关系为：或者或者；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并熟练应用是解题的关键． （1）利用平行线的性质解答即可； （2）分点在线段上，点在线段右侧，点在线段左侧三种情况，过点P作，根据（1）的方法，利用平行线的性质解答即可； （3）过点P作，过点Q作，利用（2）的结论和角平分线的定义解答即可． 【详解】解：（1）过点P作，则：， ， ∴． ∵，， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴． （2），，之间的数量关系为：或者或者． ①当点在线段上时，；理由如下： 如图，过点P作， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； ②当点在线段右侧时，；理由如下： 如图，过点P作， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即； ③当点在线段左侧时，；理由如下： 过点P作， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即； （3）过点P作，过点Q作，如图， 由（2）的结论可得：，， ∵的平分线与的平分线相交于点Q， ∴，． ∴ ． 14．（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）【学科融合】物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫入射角，反射光线与法线的夹角叫反射角（如图），可得规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． (1)【问题解决】如图1，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，已知入射光线与平面镜的夹角，那么入射光线经过两次反射以后，两反射光线形成的夹角________； (2)如图2，当两个平面镜，夹角是多少度时？可以使任何射到平面镜上的入射光线，经过平面镜，两次反射后，得到，请说明理由； (3)【尝试探究】两块平面镜，，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线，如图3，光线与相交于点，求的度数（结果用含的式子表示）． 【答案】(1)80 (2)∠MON=90° ，理由见解析 (3)∠BEC= 180°-2 【分析】（1）根据光的反射规律求解即可； （2）根据平行线的性质及光的反射规律求解即可； （3）根据光的反射规律及三角形内角和求解即可． 【详解】（1）解：由入射角i=反射角r可得 ∠CBN=∠1， ∵MN∥PC， ∴∠PCB=∠CBN=∠1=50°， ∴∠2=180°-2∠PCB=80°， 故答案为：80． （2）∠MON=90° 理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠DCB+∠ABC=180°， 由入射角i=反射角r可得， ∠3=∠4，∠1=∠2， 又∠3+∠4+∠DCB+∠1+∠2+∠ABC=360°， ∴2∠3+2∠2=180°， ∴∠3+∠2=90°， ∴∠MON=90°． （3）由入射角i=反射角r可得 ∠3=∠4，∠1=∠2， ∵∠MON=， ∴∠3+∠2=180°-， ∴∠ECB+∠EBC=360°-2(∠3+∠2)=2， ∴∠BEC=180°-(∠ECB+∠EBC)= 180°-2． 【点睛】本题主要考查平行线的知识，熟练掌握平面镜成像原理入射角等于反射角及平行线的性质是解题的关键． 15．（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）【感知探究】 如图①，已知，点M在上，点N在上，求证： 【类比迁移】 如图②，的数量关系为（不需要证明） 【结论应用】 如图③，已知，，则 【拓展延申】 如图④，已知，分别平分和，探究之间的关系，并说明理由 【答案】感知探究：见解析；类比迁移：；结论应用：；拓展延伸：，理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，作辅助线是解题的关键． （1）过点作，如图①根据平行线的性质可求解； （2）如图②，过作，根据平行线的性质即可得到结论； （3）如图③，过作，根据平行线的性质即可得到结论； （4）过点E作，过点F作，根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】感知探究 证明：过点作， 则， 类比迁移 ． 证明∶如图②，过作， ， ， ， ， ， 即∶． 故答案为∶； 结论应用 如图③，过作， ， ， ， ， ， 拓展延伸 理由如下： 过点E作，过点F作， 则， ， ， ， ， 平分平分， ， ， ， ， ， 即 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平行线中的四大基本模型专项训练（5大题型+15道拓展培优） 题型一 平行线基本模型之M模型 题型二 平行线四大模型之铅笔模型 题型三 平行线四大模型之“鸡翅”模型 题型四 平行线四大模型之“骨折”模型 题型五 平行线基本模型的拓展 【经典例题一 平行基本模型之M模型】 【结论1】若AB∥CD，则∠B0C=∠B+∠C 【结论2】若∠BOC=∠B+∠C，则AB∥CD. 【结论3】如图所示，AB∥EF，则∠B＋∠D=∠C十∠E 朝向左边的角的和=朝向右边的角的和 结论3的模型也称为锯齿模型； 锯齿模型的变换解题思路 拆分成猪蹄模型和内错角 拆分成2个猪蹄模型 【例1】（23-24七年级下·湖南娄底·阶段练习）铁一陆港七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，M是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，直接写出、、三者之间的数量关系． 1．（23-24七年级下·湖南常德·期中）综合与实践 【探究发现】 （1）小明家有一款可折叠的护眼台灯如图1，是灯头，，是支架，是底座，连接部分可分别绕连接点B，E，D旋转，当旋转至时，图2是其平面示意图，小明发现，请证明小明的发现． 【拓展延伸】 （2）保持，当旋转到如图3所示位置时，判断，，之间的数量关系，并证明． 【学以致用】 （3）如图4，，，和的平分线相交于点P，求的度数． 2．（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． (1)如图①，，为，之间一点，连接，，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由． (2)请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题： ①如图②，，线段与线段相交于点，，，平分交直线于点，求的度数． ②如图③，，线段与线段相交于点，，，过点作交直线于点，平分，平分，直接写出的度数． 3．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过做一条直线的平行线进行转化． 例如：如图1，直线，求证： （1）把下面的解答过程补充完整，并填到相应的序号内． 解：过点作直线， ①_______， （已知），， ②_______， ③_______， ， ． （2）如图2，直线，若，，则______． 【方法运用】 （3）如图3，直线，点在的上方，，，之间有何数量关系？请说明理由． 【联想拓展】 （4）如图4，已知，的平分线和的平分线交于点，请你用含有的式子表示的度数，直接写出结果． 4．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）（1）【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的． 如图一，已知，，请说明． 解：分别过点，作，． 因为①，所以． 由②，可知，，． 由题知，所以③． 则，即④． 由⑤，可得． 请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整． （2）【迁移应用】如图二，已知，，的交点为．判断，，之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三．若，求的大小． 【经典例题二 平行基本模型之铅笔模型】 【结论1】如图所示，AB∥CD，则∠B+∠BOC+∠C=360° 【结论2】如图所示，∠B+∠BOC+∠C=360°，则AB∥CD. 变异的铅笔头：拐点数n,∠A+...+∠C=180°×（n+1） 拐点数：1 拐点数：2 拐点数：n 【例2】（2025七年级下·湖南株洲·模拟预测）已知直线，点P为直线，所确定的平面内的一点． 问题提出：（1）如图1，，，求的度数； 问题迁移：（2）如图2，写出，，之间的数量关系，并说明理由； 问题应用：（3）如图3，点E在射线上，过点E作，作，点G在直线上，作的平分线交于点H，若，，求的度数． 1．（23-24七年级下·湖南张家界·阶段练习）问题情境：如图1，，，，求度数．小明的思路是：过作，如图2，通过平行线性质来求． （1）按小明的思路，易求得的度数为______； 问题迁移： （2）如图3，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，，则、、之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你判断、、间的数量关系并证明． 2．（24-25七年级下·湖南岳阳·阶段练习）【阅读思考】如图①，已知，探究之间关系，小明添加了一条辅助线．解决了这道题．得到的结果是． 证明过程如下： 如图①，过点C作， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，即． (1)【理解应用】如图②，已知，求的度数； (2)【拓展探索】如图③，已知，点C在点D的右侧，平分平分所在的直线交于点E，点E在直线与之间，点B在点A的右侧，且，若，则度数为多少？（用含n的代数式表示） 3．（24-25七年级下·湖南邵阳·阶段练习）【问题情境】（1）如图1，，，求度数． 小明的思路：过P作，通过平行线性质来求． 按小明的思路，易求得的度数为 度． 【问题迁移】（2）如图2，，点P在射线上运动．记，． 当点P在 B、D两点之间运动时，问：与，之间有何数量关系？请说明理由； ②若点P在线段或射线上运动，（不与O、B、D三点重合），请直接写出与，之间的数量关系． 【拓展创新】（3）图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，并将北斗七星分别标为A、B、C、D、E、F、G，顺次连接各点，天文小组发现线段恰好经过点G，且，，，请你根据这些信息求出的度数． 4．（23-24七年级下·湖南永州·期中）【阅读理解】 “两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想． 【建立模型】 （1）如图①已知，点E在直线之间，则___________． （2）如图②已知，点E在直线之间，请写出与之间的关系，并说明理由． 【解决问题】 （3）奥运会过后掀起一股滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，，如果人的小腿与地面的夹角，求出身体与水平线的夹角的度数． 【经典例题三 平行基本模型之“鸡翅”模型】 【例3】（23-24七年级下·湖南怀化·期中）已知，点M、N分别是上的点，点G在之间，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点H是延长线上一点，连接，若平分，试探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点P是下方一点，平分平分，已知，求的度数． 1．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）已知，线段分别与、相交于点、． (1)如图①，当，，则______； (2)如图②，当点P在线段上运动时（不包括、两点），，与之间有怎样的数量关系？试证明你的结论； (3)当点P在直线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果不成立，探究，与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 2．（24-25七年级下·湖南邵阳·阶段练习）小学阶段通过剪拼得到“三角形的内角和等于”，学了“平行线”后，小安用说理的方式说明该结论正确． 证明过程如下： 如图1：延长到点，过点作， ， ①_____，②_____， ③_____． ． (1)补全小安证明过程中①②③所缺的内容： (2)如图2，现有一锐角，在的两边上分别取点、，过点、分别作直线、，且，点在、之间， ①若点是下方一点，连接、．若平分，平分，则、、这三个角有什么关系；并说明理由． ②如图3，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，直接写出的度数． 3．（23-24七年级下·湖南张家界·期中）综合与实践 【问题情境】平面内两直线的位置关系只有两种：相交和平行．若证明两直线相交可借助定义确定它们有一个公共点；若证明两直线与平行，无法直接利用定义说明，根据对课本知识的学习，有两种方法可以说明，如图1，引入直线，借助角的关系说明两直线平行；如图2，引入直线也可以说明两直线平行． 【问题探究】如图3，的顶点在直线与之间，若，求证：． 小红借助图1的思路，延长交于点，如图4，可以证明；小白借助图2的思路，过点作，如图5，可以证明；请你选择其中一种思路，完成证明． 【方法延伸】 若是的一个内角，，，顶点在直线上，与交于点，如图6， （1）当时，则与之间的数量关系是________________（用含的式子表示）； （2）若，且平分交于点，则与之间的数量关系是________（用含的式子表示）． 4．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）（1）【问题发现】 ①如图1，直线，，分别在，上，点为其内部一点，求证：． ②如图2，直线，点，分别在，上，点为其外部一点，猜想，，之间的数量关系是__________．（直接写出结论，不需要证明） （2）【尝试应用】 如图3，直线，点，分别在，上，，的角平分线与的角平分线交于点，求的度数． （3）【拓展延伸】 如图4，直线，点，分别在，上，点为其内部一点，，，交的延长线于点，交的延长线于点，请你探究，与的数量关系． 【经典例题四 平行基本模型之“骨折”模型】 【例4】（2024七年级下·湖南娄底·模拟预测）（1）如图①，，试问与的关系是什么？并说明理由； （2）如图②，，试问与的关系是什么？请直接写出结论； （3）如图③，，试问与的关系是什么？请直接写出结论． 1．（23-24七年级下·湖南常德·期末）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． （1）平行于．如图a，点P在、的外部时，由，有，又因是的外角，故，故． （2）如图b，将点P移到、的内部，以上结论是否成立？若不成立，则之间有何数量关系？请证明你的结论； 2．（24-25七年级下·湖南邵阳·阶段练习）我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图1，已知，点，分别在直线，上，点在直线，之间，设，，求证：． 证明：如图2，过点作，， ，，，， ，即． 运用以上结论解答下列问题： 【类比应用】： （1）如图3，已知，，，求的度数． 【拓展提升】： （2）如图4，已知，点在直线上，点在直线上方，连接，，则，，之间有何数量关系？请说明理由． 3．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）综合与实践 【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，A是外一点，连接，，求的度数． 解：如图1，过点A作， ∴________，________ 又∵， ∴________ 【问题解决】 （1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】 （2）如图2，，，，，交于点E，求证：． （3）如图3，，点P在下方，求证：． 4．（23-24七年级下·湖南永州·期末）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数． 解：过点A作， ∴_____，______， 又∵． ∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点E，，求的度数． （3）如图3，若，点P在，外部，请直接写出，，之间的关系． 【经典例题五 平行线基本模型的拓展】 【例5】（23-24七年级下·湖南常德·期中）几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”． (1)导入：如图1，已知，如果，，则　　； (2)发现：如图2，直线，请判断与，之间的数量关系，并说明理由； (3)运用：如图3，已知，P在射线上运动（点P与点A、B、O三点不重合），，，请用含、的代数式表示，并说明理由． 1．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）如图，，点是直线上一点，点是平行线、之间一点，连接、． 【问题提出】 （1）如图1，过点作，若，，求的度数； 【问题初探】 （2）如图2，平分，平分，与相交于点，若，求的度数； 【衍生拓展】 （3） 如图3，平分，平分，与相交于点，平分，过点作，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 2．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）【课题学习】平行线的“等角转化”功能 如图1，已知点A是外一点，连接，，求的度数． 解：过点A作， ______，______． 又， ． 【问题解决】（1）阅读并补充上述解题过程． 【解题反思】从上面的解题过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知，，求的度数． （提示过点E作或的平行线） 【深化拓展】（3）如图3，已知，，分别平分，，且所在直线交于点F，，求的度数． 3．（23-24七年级下·湖南湘潭·期中）【学科融合】物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角i叫入射角，反射光线与法线的夹角r叫反射角（如图1）．在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】 （1）如图2，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，已知入射光线与平面镜的夹角，那么入射光线经过两次反射以后，两反射光线形成的夹角 °． （2）如图3，当两个平面镜，夹角是多少度时？可以使任何射到平面镜上的入射光线，经过平面镜，两次反射后，得到，请说明理由． 【尝试探究】 （3）人们发明了一种曲面的反射光罩，使汽车灯泡在点O处发出的光线反射后都能平行射出，在如图4所示的截面内，已知入射光线的反射光线为，．若一入射光线（点D是入射光线与反光罩的交点）经反光罩反射后沿射出，且，请求出的度数． 4．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）【提出问题】睿睿在学习完平行线的基本模型——猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：    【分析问题】如图，已知直线，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设，，． 【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索，，之间数量的关系，并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作……”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明； 【类比探究】（2）问题二：当点P在线段外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系． ①如图2，当动点P在线段之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，，，满足什么数量关系？请给出证明； ②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形，并仿照图1，图2，标出图3中的，，，此时，，之间有何数量关系，请直接写出结论，不必说明理由． 【应用拓展】 （3）问题三：如图4所示，请直接写出图4中，，，之间的数量关系，不必说明理由． 1．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）如图，把一张长方形纸片沿折叠，点C，D 分别落在点M，N的位置上，与相交于点 G．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·湖南湘潭·阶段练习）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024七年级下·湖南株洲·模拟预测）如图，已知：，，求证：．在证明该结论时，需添加辅助线，则以下关于辅助线的作法不正确的是（    ）    A．延长交的延长线于点 B．连接 C．分别作，的平分线， D．过点作（点在点左侧），过点作（点在点左侧） 5．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）如图，在以“探索光之奥秘”为主题的趣味物理实验中，用透明水箱模拟光线从空气射入某种液体，观察到入射角与折射角约为的比例关系．为了挑战自我，同学们进一步思考：若两条入射光线以不同角度，斜射入这种液体，液体内折射光线的夹角与，的数学关系为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·湖南常德·阶段练习）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，，则的度数为 ． 7．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好的锻炼腹部的肌肉，如图是小美同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，，点在直线上，，，则的度数为 ． 8．（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）图①是某自行车的实物图，图②是图①的示意图．经测得，且都与地面平行，．有如下四个结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．在这四个结论中正确的序号为 ． 9．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）七年级1班的同学们在学习了平行线的性质与判定后，研究了如下4个图形，每个图形中，和的两边，．请你结合每个图形中两个角的两边的位置关系，通过观察猜想证明与之间存在的某种数量关系，写出一个真命题，并用“如果……那么……”的形式表示出来： ． 10．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）为保证安全，某两段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯A，B，探照灯的光线可看作射线如图，灯A的光线从射线开始，绕点A顺时针旋转至射线上便立即回转，灯B光线从射线开始，绕点B顺时针旋转至射线便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．已知，连接，，则 ；若灯B的光线先转动，每秒转动，45秒后灯A的光线才开始转动，每秒转动，在灯B的光线第一次到达之前，灯A的光线转动 秒时，两灯的光线互相平行．    11．（24-25七年级下·湖南永州·阶段练习）已知． (1)如图1，请确定，和之间的数量关系并证明； (2)如图2，平分，直线与的邻补角的平分线交于点．若，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，BM平分的邻补，平分，作，求的度数． 12．（23-24七年级下·湖南娄底·阶段练习）如图1，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线与之间的一点，．    (1)求证：； (2)如图2，作，与的角平分线交于点F．若，求的度数； (3)如图3，平分，平分，，已知，直接写出的度数． 13．（23-24七年级下·湖南张家界·期中）【问题情境】（1）如图1，，，，求度数． 【问题迁移】（2）如图2，，点P在射线上运动，（点P与点O，A，B不重合），，．直接写出，，之间的数量关系． 【拓展应用】（3）如图3，已知两条直线，点P在两平行线之间，且的平分线与的平分线相交于点Q，利用上面的结论，求的度数． 14．（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）【学科融合】物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫入射角，反射光线与法线的夹角叫反射角（如图），可得规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． (1)【问题解决】如图1，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，已知入射光线与平面镜的夹角，那么入射光线经过两次反射以后，两反射光线形成的夹角________； (2)如图2，当两个平面镜，夹角是多少度时？可以使任何射到平面镜上的入射光线，经过平面镜，两次反射后，得到，请说明理由； (3)【尝试探究】两块平面镜，，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线，如图3，光线与相交于点，求的度数（结果用含的式子表示）． 15．（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）【感知探究】 如图①，已知，点M在上，点N在上，求证： 【类比迁移】 如图②，的数量关系为（不需要证明） 【结论应用】 如图③，已知，，则 【拓展延申】 如图④，已知，分别平分和，探究之间的关系，并说明理由 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$