专题02 平行线的性质与判定重难点题型专训（16大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（湘教版2024）

专题02 平行线的性质与判定重难点题型专训（16大题型+15道提优训练） 题型一 生活中的平移现象 题型二 图形的平移 题型三 两直线平行同位角相等 题型四 两直线平行内错角相等 题型五 两直线平行同旁内角互补 题型六 利用平移的性质求解 题型七 平移(作图) 题型八 同位角相等两直线平行 题型九 内错角相等两直线平行 题型十 利用平移解决实际问题 题型十一 根据平行线的性质探究角的关系 题型十二 根据平行线的性质求角的度数 题型十三 根据平行线判定与性质求角度 题型十四 根据平行线判定与性质证明 题型十五 同旁内角互补两直线平行 题型十六 平行线的性质在生活中的应用 知识点01 平行 1、定义：同一平面内的两条直线的位置有两种：平行或相交．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 定义中的三个要点：（1）在同一平面内；（2）不相交，即没有公共点；（3）两条直线，而不是线段或射线． 2、平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 3、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 知识点02 平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 知识点03 平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 知识点04 平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 【经典例题一 生活中的平移现象】 【例1】（23-24七年级下·湖南株洲·期中）观察下列图案，在、、、四幅图案中，能通过图案（）的平移得到的是（    ）    （） A．   B．   C．    D．   1．（23-24七年级下·湖南张家界·阶段练习）下列运动属于平移的是（   ） A．人在楼梯上行走 B．行驶的自行车的后轮 C．在游乐场荡秋千 D．坐在直线行驶的列车上的乘客 2．（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）在一矩形花园里有两条绿化带．如图所示的阴影部分，、、，、、、，且，这两块绿化带的面积分别为和，则与的大小关系是 ．    3．（2024七年级下·湖南娄底·专题练习）如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的长方形，所标尺寸如图所示． (1)若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积是否改变？　　（填“变”或“不变”）； (2)若不变，请写出图中阴影部分面积；若变，请说明理由． 【经典例题二 图形的平移】 【例2】（23-24七年级下·湖南常德·期中）下列四个选项的图形，能够由如图平移得到的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）请你从下列选项中的四个图形中，选一个小人放到图中问号的位置，最合适的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是由经过平移得到的，则点，，的对应点分别是点 ，平移的方向是 ，平移的距离是 ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图所示的是正在进行的“俄罗斯方块”游戏（网格由边长为个单位长度的小正方形组成），现有一“”形方块向下运动． (1)若该“”形方块向下平移了个单位长度，请在图中画出平移后的图形（画上阴影）； (2)为了使所有图案消除，在（）的平移基础上还需进行怎样的平移？ 【经典例题三 两直线平行同位角相等】 【例3】（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，两条平行线被第三条直线所截．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）如图，将一条两边互相平行的纸带折叠，下列正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2024·湖南益阳·一模）如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则 ． 3．（23-24七年级下·湖南常德·阶段练习）如图，中，平分，，交于点． (1)求证：； (2)若， 求的度数． 【经典例题四 两直线平行内错角相等】 【例4】（2024·湖南益阳·一模）如图，在中，．在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则等于（    ）    A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，，平分，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）如图所示，是我们生活中经常接触的小刀，刀柄外形是一个直角梯形(挖去一小半圆)，刀片上下是平行的，转动刀片时会形成、，若，则的度数为 ．    3．（23-24七年级下·湖南常德·期末）已知：，点在直线上，点在直线上． (1)如图，，． ①若，求的度数． ②试判断与的位置关系，并说明理由． (2)如图，平分，平分，试探究与的数量关系，并说明理由． 【经典例题五 两直线平行同旁内角互补】 【例5】（23-24七年级下·湖南闵行·期中）如图，将长方形沿翻折，使得点D落在边上的点G处，点C落在点H处，若，则（    ）    A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·湖南永州·期中）如图，，，，，则为(　　)      A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南怀化·期中）如图，，若，则的度数为 ．    3．（24-25七年级下·全国·课后作业）为增强学生体质，某学校将抖空竹引入“阳光体育一小时”活动．图①是某同学抖空竹时的一个瞬间，小聪把它抽象成如图②所示的示意图．已知，，，求的度数． 【经典例题六 利用平移的性质求解】 【例6】（24-25七年级下·湖南益阳·阶段练习）如图，三角形由三角形平移得到，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D．平移的最短距离为线段的长 1．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）如图，将三角形向左平移个单位长度，得到三角形若四边形的周长为个单位长度，则三角形的周长是（    ）    A．个单位长度 B．个单位长度 C．个单位长度 D．个单位长度 2．（23-24七年级下·湖南娄底·阶段练习）如图，在中，，，，，将沿着水平方向向右平移，得到，则阴影部分的周长为 cm． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在六边形中，，，，，连接，，，已知．试求六边形的面积． 【经典例题七 平移(作图)】 【例7】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在的网格中，可通过平移其中一个三角形得到另一个三角形．则下列各种平移过程，不正确的是（ ） A．将先向右平移3格，再向上平移2格得到 B．将先向上平移2格，再向右平移3格得到 C．将先向右平移3格，再向下平移2格得到 D．将先向下平移2格，再向左平移3格得到 1．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）下列图案中，可以通过其中一个基础图形平移得到的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（2024七年级·全国·竞赛）在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为、、，将向下平移2个单位长度后再向左平移6个单位长度得到，点A、、的对应点分别为点、、，连接、，则五边形的面积为 ． 3．（24-25七年级下·湖南岳阳·阶段练习）如图，在网格图中，平移使点A平移到点D，且B，C的对应点分别为E，F． (1)画出平移后的； (2)线段与的关系是_______； (3)求平移前后线段扫过的面积． 【经典例题八 同位角相等两直线平行】 【例8】（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）如图，下列条件中，能判断直线的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·湖南永州·期中）如图，点C、E、F、G在同一条直线上，下列选项不能判定的是（    ）    A． B．平分，且 C．平分，平分，且 D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线与直线分别交于点，，且．在不加辅助线的基础上，若增加一个条件使得，则这个条件可以是 ． 3．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）如图，，，，探索与的数量关系，并说明理由．    【经典例题九 内错角相等两直线平行】 【例9】（2025七年级下·湖南湘潭·专题练习）如图，下列能判定的条件有（　　） ①；②；③；④． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 1．（23-24七年级下·湖南永州·期末）如图，能够判断的条件是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）如图， ，，则 ． 3．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图，平分，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【经典例题十 利用平移解决实际问题】 【例10】（23-24七年级下·湖南常德·阶段练习）如图，有一块长方形区域，，现在其中修建两条长方形小路，每条小路的宽度均为米，若边的长为米，则图中空白区域的面积为（      ）平方米． A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·湖南张家界·期中）如图，两个形状、大小完全相同的和重叠在一起，固定不动，将向右平移，当点E和点C重合时，停止移动，连接，设交于G，结论为：①四边形的面积与四边形的面积相等；②，且，对于结论①和②，下列判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①正确，②不正确 C．①②都不正确 D．①不正确，②正确 2．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）如图，有一块长为，宽为的长方形地，中间的阴影部分是一条小路，空白部分为花圃.如果小路的宽度为，那么花圃的面积为 . 3．（23-24七年级下·湖南常德·阶段练习）某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯(含台阶的最上层)，已知这种地毯的批发价为每平方米20元，升旗台的台阶宽为3米，其侧面如图所示，请你帮助测算一下，买地毯至少需要多少元？ 【经典例题十一 根据平行线的性质探究角的关系】 【例11】（23-24七年级下·湖南娄底·期中）如图，，，则、、之间的关系是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·湖南常德·期中）如图，在以“探索光之奥秘”为主题的趣味物理实验中，用透明水箱模拟光线从空气射入某种液体，观察到入射角与折射角约为的比例关系．为了挑战自我，同学们进一步思考：若两条入射光线以不同角度，斜射入这种液体，液体内折射光线的夹角与，的数学关系为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南张家界·期中）七年级1班的同学们在学习了平行线的性质与判定后，研究了如下4个图形，每个图形中，和的两边，．请你结合每个图形中两个角的两边的位置关系，通过观察猜想证明与之间存在的某种数量关系，写出一个真命题，并用“如果……那么……”的形式表示出来： ． 3．（23-24七年级下·湖南益阳庆·期中）已知． (1)如图1，请基于实验操作，猜想并直接写出之间的数量关系． (2)证明（1）中猜想的结论． 小亮提供了以下证明思路：如图2，过点作，交的延长线于点，则，再证明． 请根据小亮的思路，写出完整的证明过程． (3)应用：如图3，点为上一点，连接，且平分，平分．若，请直接写出的度数． 【经典例题十二 根据平行线的性质求角的度数】 【例12】（23-24七年级下·湖南常德·期中）如图是某超市购物车的侧面示意图，若，，则的度数为（　　） A．75° B．55° C． D．120° 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）（教材变式）如图所示的是一段自来水管道的示意图，经过多次拐弯后，管道仍保持平行（， ）．若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）如图，，，为射线的延长线上的一点，连接，若，，则的度数为 ． 3．（24-25七年级下·湖南株洲·阶段练习）“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．“抖空竹”的一个瞬间如图1所示， 将图1抽象成一个数学问题： (1)如图2，若，求的度数． (2)【拓展延伸】已知，点为之外任意一点． ①如图3，探究与之间的数量关系，并说明理由； ②如图4，探究与之间的数量关系，请直接写出结果． 【经典例题十三 根据平行线判定与性质求角度】 【例13】（23-24七年级下·湖南株洲·期中）如图是某运动员在一次山地自行车越野赛中经过的路线，已知第一次的拐角，第三次的拐角，若第三次拐弯后的道路恰好与第一次拐弯前的道路平行，则第二次的拐角的度数为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·湖南常德·期末）如图，四边形中，，平分，，且．下列判断错误的是（    ）    A． B． C．若，则 D．若，则 2．（24-25七年级下·湖南益阳·阶段练习）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为 ． 3．（24-25七年级下·湖南湘潭·阶段练习）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月14日晚在哈尔滨圆满闭幕．在这一届亚冬会上，中国代表团以32金、27银、26铜的辉煌战绩，高居金牌榜和奖牌榜之首，书写了亚冬会历史上最为辉煌的一页．其中一个室外滑雪场地的侧面可近似看作如图所示的图形，已知，，，则直线与直线较小夹角的度数为多少？ 【经典例题十四 根据平行线判定与性质证明】 【例14】（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）如图，已知，为保证两条钢轨平行，添加的下列条件中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级下·湖南岳阳·阶段练习）如图，给出下列条件：①；②；③；④，且，其中能推出的条件为（   ） A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①③ 2．（23-24七年级下·湖南常德·湘潭）已知：直线分别与直线相交于点G，H，并且，点M在直线之间，射线是的平分线，在的延长线上取点N，连接，若， ，则的度数是 ． 3．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）已知，线段分别与、相交于点、． (1)如图①，当，，则______； (2)如图②，当点P在线段上运动时（不包括、两点），，与之间有怎样的数量关系？试证明你的结论； (3)当点P在直线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果不成立，探究，与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 【经典例题十五 同旁内角互补两直线平行】 【例15】（23-24七年级下·湖南永州·期中）如图，给出的下列条件中不能判断的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·湖南湘潭·期中）下列说法： ①在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线； ②平行于同一条直线的两条直线平行； ③两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ④同旁内角相等，两直线平行． 正确的个数有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）如图： ，（填写一个满足条件的理由，用符号表示，不得添加任何辅助线）． 3．（23-24七年级下·湖南张家界·阶段练习）如图，台球运动中母球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点，其中，．    (1)若，求的度数； (2)已知，求证：． 【经典例题十六 平行线的性质在生活中的应用】 【例16】（23-24七年级下·湖南益阳·阶段练习）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则（    ） A． B． C． D． 1．（2024湖南常德·模拟预测）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气射向水时，要发生折射．由于折射率相同，所以在空气中平行的光线， 在水中也是平行的．如图，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）如图，一条平行于凹透镜主光轴的光线（其中，为凹透镜的两个虚焦点），是入射光线经凹透镜折射后的光线，连接，若，则的度数为 度．（注：折射光线的反向延长线经过虚焦点） 3．（23-24七年级下·湖南永州·期末）去年汛期期间，防汛指挥部在某重要河流的一段危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是15度/秒，灯B转动的速度是5度/秒．假定这一带两岸河堤是平行的，即PQMN，且∠BAN=45°． (1)若灯B射线先转动4秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (2)如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若灯A射出的光束与灯B射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请直接写出其数量关系；若改变，请说明理由． 1．（24-25七年级下·湖南益阳·阶段练习）下面四个花窗图案，可看作由一个基本图形平移而成的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）如图，三个含的直角三角尺拼成一个图形，下列条件能判定的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·湖南常德 ·期中）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为，第二次拐弯的度数为，到了点后需要继续拐弯，此次拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25湖南株洲·天津·阶段练习）古代房梁建筑中多采用“四梁八柱”的设计，其中蕴含着数学知识，将房梁中的一些图形抽象出如图所示的几何模型．在三角形中，点D，E，F分别在边上，，，则下列结论错误的是（   ）    A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·湖南常德·期中）如图，某公园里有一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为米，小明沿着小路的中间，从入口到出口所走的路线（图中虚线）长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）若两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少10，则这两个角的度数分别为 ． 7．（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）如图，将一个周长为厘米的三角形沿射线方向平移后得到三角形，点、、的对应点分别是点、、．连接，已知四边形的周长为厘米，那么平移的距离是 厘米．（用含、的代数式表示结果）．    8．（23-24七年级下·全国·期中）如图所示，已知，于点B，，则下列结论一定正确的有 （填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦若，则． 9．（24-25七年级下·湖南益阳·阶段练习）如图，在同一平面内，直线上有两点A、C，分别引两条射线、．，与在直线异侧．若，射线、分别绕A点，C点以每秒1度和每秒6度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线转动一周的时间内，当与平行时，时间t的值为 ． 10．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）为保证安全，某两段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯A，B，探照灯的光线可看作射线如图，灯A的光线从射线开始，绕点A顺时针旋转至射线上便立即回转，灯B光线从射线开始，绕点B顺时针旋转至射线便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．已知，连接，，则 ；若灯B的光线先转动，每秒转动，45秒后灯A的光线才开始转动，每秒转动，在灯B的光线第一次到达之前，灯A的光线转动 秒时，两灯的光线互相平行．    11．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的顶点A平移到顶点D，请用两种不同的方法，在图中作出平移后的图形． 12．（23-24七年级下·湖南永州·期中）如图，在三角形中，点D，F在边上，点E在边上，点G在边上，连接，，，延长与交于点H，，． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，且，求的度数． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，仔细观察，并回答下列问题： (1)图、图的周长有什么关系？请用平移的知识解释你的结论． (2)图、图的周长有什么关系？请用学过的数学知识解释你的结论． (3)结合你的认识，画一个图（记为图），使图的周长与图的周长相等． 14．（23-24七年级下·湖南湘潭·期中）学习《相交线与平行线》一章后，“睿思”小组准备研究如下问题：如图，直线，点，分别是，上的点，是，之间的一条折线，且． (1)【操作发现】如图①，小组成员小兰通过量角器测得，后，直接就得出______；小组成员在探讨交流后，发现，，之间满足数量关系______．（此关系在下面可直接使用，不需证明） (2)【问题探究】小组成员小芳在直线，之间、折线的左侧取一点，并画出，使的一边与平行，另一边与平行，其余条件不变，得到两种情况，如图②和图③所示．请你帮小芳同学探究，，之间满足的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】组内其他同学也都继续探究，若的一边与垂直，另一边与平行，请直接写出，，之间满足的数量关系． 15．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）阅读材料，解决问题： 【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律． （1）在图1中，证明； 【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，． （2）请问和有什么关系？并说明理由； （3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜，的位置，并给出建议（合理即可）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平行线的性质与判定重难点题型专训（16大题型+15道提优训练） 题型一 生活中的平移现象 题型二 图形的平移 题型三 两直线平行同位角相等 题型四 两直线平行内错角相等 题型五 两直线平行同旁内角互补 题型六 利用平移的性质求解 题型七 平移(作图) 题型八 同位角相等两直线平行 题型九 内错角相等两直线平行 题型十 利用平移解决实际问题 题型十一 根据平行线的性质探究角的关系 题型十二 根据平行线的性质求角的度数 题型十三 根据平行线判定与性质求角度 题型十四 根据平行线判定与性质证明 题型十五 同旁内角互补两直线平行 题型十六 平行线的性质在生活中的应用 知识点01 平行 1、定义：同一平面内的两条直线的位置有两种：平行或相交．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 定义中的三个要点：（1）在同一平面内；（2）不相交，即没有公共点；（3）两条直线，而不是线段或射线． 2、平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 3、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 知识点02 平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 知识点03 平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 知识点04 平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 【经典例题一 生活中的平移现象】 【例1】（23-24七年级下·湖南株洲·期中）观察下列图案，在、、、四幅图案中，能通过图案（）的平移得到的是（    ）    （） A．   B．   C．    D．   【答案】B 【分析】根据平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】解：、属于旋转所得到，故错误； B、属于平移变换，故正确； 、属于旋转所得到，故错误； 、属于旋转所得到，故错误； 故选：． 【点睛】此题考查了图形的平移，解题的关键是熟记图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小． 1．（23-24七年级下·湖南张家界·阶段练习）下列运动属于平移的是（   ） A．人在楼梯上行走 B．行驶的自行车的后轮 C．在游乐场荡秋千 D．坐在直线行驶的列车上的乘客 【答案】D 【分析】根据平移的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】A. 人在楼梯上行走，不属于平移，故此选项错误 B. 行驶的自行车的后轮，不属于平移，故此选项错误 C. 在游乐场荡秋千，不属于平移，故此选项错误 D. 坐在直线行驶的列车上的乘客，符合平移定义，属于平移，故本选项正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了平移定义，平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等． 2．（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）在一矩形花园里有两条绿化带．如图所示的阴影部分，、、，、、、，且，这两块绿化带的面积分别为和，则与的大小关系是 ．    【答案】 【分析】设矩形花园的宽，根据题意可知，两条绿化地的面积都相当于长为，宽为的长方形的面积． 【详解】解：设矩形花园的宽， 根据题意可知，两条绿化地的面积都相当于长为，宽为的长方形的面积， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了生活中的平移，根据平移确定绿化带的长和宽是解题的关键． 3．（2024七年级下·湖南娄底·专题练习）如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的长方形，所标尺寸如图所示． (1)若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积是否改变？　　（填“变”或“不变”）； (2)若不变，请写出图中阴影部分面积；若变，请说明理由． 【答案】(1)不变 (2)不变，51 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及生活中的平移现象，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据平移的性质，可得出平移后阴影部分面积不会改变； （2）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形，根据图中给定的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用阴影部分的面积＝大长方形的面积小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】（1）解：若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积不会改变． 故答案为：不变． （2）设小长方形的长为x，宽为y， 依题意得：， 解得：， ∴． 答：图中阴影部分面积为51． 【经典例题二 图形的平移】 【例2】（23-24七年级下·湖南常德·期中）下列四个选项的图形，能够由如图平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用平移设计图案．根据平移的性质即可得到结论，解决本题的关键是掌握图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小、方向，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，以致选错． 【详解】解：观察图形可知C中的图形是平移得到的． 故选：C． 1．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）请你从下列选项中的四个图形中，选一个小人放到图中问号的位置，最合适的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据已知图形得出变化规律，三个小人依次向左移动，最前面的移到最后面，移动的同时，每个小人手上的动作，以上中下的顺序循环变化进而得出答案，根据已知图形得出图形的变与不变是解题的关键． 【详解】解：如图所示，小人的移动规律是三个小人依次向左移动，最前面的移到最后面，移动的同时，每个小人手上的动作，以上中下的顺序循环变化， 故选一个小人放到图中问号的位置最合适的是： 故选：． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是由经过平移得到的，则点，，的对应点分别是点 ，平移的方向是 ，平移的距离是 ． 【答案】 射线（或）的方向 线段的长（或的长） 【分析】本题考查了平移的方向、距离、性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据平移的方向、距离、性质等知识点解答即可． 【详解】解：是由经过平移得到的，则点，，的对应点分别是点， 平移的方向是射线（或）的方向，平移的距离是线段的长（或的长）， 故答案为：；射线（或）的方向；线段的长（或的长）． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图所示的是正在进行的“俄罗斯方块”游戏（网格由边长为个单位长度的小正方形组成），现有一“”形方块向下运动． (1)若该“”形方块向下平移了个单位长度，请在图中画出平移后的图形（画上阴影）； (2)为了使所有图案消除，在（）的平移基础上还需进行怎样的平移？ 【答案】(1)画图见解析 (2)先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 【分析】本题考查了平移的定义及性质，掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据平移的定义及性质即可解答； （2）根据平移的定义及性质，俄罗斯方块的规则即可解答； 【详解】（1）解：∵该“”形方块向下平移了个单位长度， ∴平移后的图形如图所示： （2）解：为了使所有图案消除，在（）的平移基础上还需先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度． 【经典例题三 两直线平行同位角相等】 【例3】（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，两条平行线被第三条直线所截．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质、对顶角相等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由对顶角相等得到，再由平行线的性质即可解答． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵两条平行线a，b被第三条直线c所截， ∴． 故选：B． 1．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）如图，将一条两边互相平行的纸带折叠，下列正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质和折叠的性质，先根据已知条件画出图形，再根据平行线的性质证出，再由折叠性质证出，最后按照证出的和的关系式，根据各个选项的中的已知条件，求出∠1的度数，进行判断即可.解题关键是正确识别图形，找出角与角的关系. 【详解】如图， 由平行线的性质可得：， 由折叠性质可得：，即， ∴, ∴ 、若，则，，此选项错误，不符合题意； 、若，则，，此选项错误，不符合题意； 、若，则，，此选项错误，不符合题意； 、若，则，，此选项正确，符合题意； 故选：． 2．（2024·湖南益阳·一模）如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则 ． 【答案】 【分析】根据两直线平行同位角相等可得到，再利用与互余关系即可求出． 【详解】解：如图所示， 直尺两边互相平行， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了平行线的性质，互余角关系，掌握相关知识是解题关键． 3．（23-24七年级下·湖南常德·阶段练习）如图，中，平分，，交于点． (1)求证：； (2)若， 求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的性质和角平分线的定义， （1）根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，即可得证； （2）根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，即可得出答案； 掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴的度数是． 【经典例题四 两直线平行内错角相等】 【例4】（2024·湖南益阳·一模）如图，在中，．在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质，旋转中心为点A，B与，C与分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角，，再利用平行线的性质得，把问题转化到等腰中，根据内角和定理求． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵C、为对应点，点A为旋转中心， ∴，即为等腰三角形， ∴， 故选：D． 1．（23-24七年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，，平分，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质得到，求出，再利用角平分线计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴, ∴， 故选：A． 2．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）如图所示，是我们生活中经常接触的小刀，刀柄外形是一个直角梯形(挖去一小半圆)，刀片上下是平行的，转动刀片时会形成、，若，则的度数为 ．    【答案】/30度 【分析】根据题意，作出图形，平行公理的推论和平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：如图所示：过点C作，    由题意可知，， ∴， ， ∴， 又∵， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查利用平行线的性质求角度，平行公理的推论，数形结合是解决问题的关键． 3．（23-24七年级下·湖南常德·期末）已知：，点在直线上，点在直线上． (1)如图，，． ①若，求的度数． ②试判断与的位置关系，并说明理由． (2)如图，平分，平分，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识． （1）①根据两直线平行，内错角相等可得的度数；②说明，可证； （2）由平分，得，由平分，得，则，从而证明结论． 【详解】（1）①，， ， ， ， ， ， ； ②，理由如下： ， ， ，，，， ， （2），理由如下： 平分， ， 平分， ， ， 即， ， ， ． 【经典例题五 两直线平行同旁内角互补】 【例5】（23-24七年级下·湖南闵行·期中）如图，将长方形沿翻折，使得点D落在边上的点G处，点C落在点H处，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠的性质和平行线的性质，可以得到的度数和，从而可以得到的度数． 【详解】解：由题意可得，， ∵，， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， 故选：D．    【点睛】本题考查平行线的性质、折叠的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 1．（23-24七年级下·湖南永州·期中）如图，，，，，则为(　　)      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过E作，过H作，利用平行线的性质解答即可． 【详解】解：过E作，过H作， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 同理∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． 故选：B．    【点睛】此题考查平行线的性质和平行公理的推论，关键是作出辅助线，利用平行线的性质解答． 2．（23-24七年级下·湖南怀化·期中）如图，，若，则的度数为 ．    【答案】/210度 【分析】根据平行线的性质，数形结合找准各个角度之间的关系即可得到答案． 【详解】解：， ，， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质求角度，熟记两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补是解决问题的关键． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）为增强学生体质，某学校将抖空竹引入“阳光体育一小时”活动．图①是某同学抖空竹时的一个瞬间，小聪把它抽象成如图②所示的示意图．已知，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质及平行公理的推论，如图，过点作，利用平行线的性质得，，正确的作出辅助线是解题关键． 【详解】解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 【经典例题六 利用平移的性质求解】 【例6】（24-25七年级下·湖南益阳·阶段练习）如图，三角形由三角形平移得到，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D．平移的最短距离为线段的长 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，解题的关键在于正确掌握平移的性质．根据平移的性质进行判断求解，即可解题． 【详解】解：三角形由三角形平移得到， ，， A，B，C，说法正确，不符合题意； C的对应点为F， 平移的最短距离为线段的长， 则，D选项说法错误，符合题意； 故选：D． 1．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）如图，将三角形向左平移个单位长度，得到三角形若四边形的周长为个单位长度，则三角形的周长是（    ）    A．个单位长度 B．个单位长度 C．个单位长度 D．个单位长度 【答案】A 【分析】由平移的性质可知，将四边形的周长转化为个单位长度即可． 【详解】解：由平移的性质可知，，，，个单位长度， ∵四边形的周长为个单位长度，即个单位长度， ∴个单位长度， ∴个单位长度，即三角形的周长是个单位长度． 故选：A． 【点睛】本题考查平移的性质，掌握平移前后对应线段的数量和位置关系是解决本题的关键． 2．（23-24七年级下·湖南娄底·阶段练习）如图，在中，，，，，将沿着水平方向向右平移，得到，则阴影部分的周长为 cm． 【答案】16 【分析】本题考查平移的性质，解题的关键是掌握平移变换的性质． 利用平移变换的性质得，，从而得，即可由周长公式计算即可． 【详解】解：由平移可得：，， ∴ ∴阴影部分的周长 故答案为：16． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在六边形中，，，，，连接，，，已知．试求六边形的面积． 【答案】432 【分析】本题考查了平移，熟知平移的性质是关键． 根据平移的性质将不规则图形转化为规则图形，然后根据面积公式求解即可． 【详解】解：如图，平移使点与重合，再平移使点与重合， ∵，，，， ∴和重合，和重合，和重合，，， 又∵， ∴六边形可转化成以为长，宽的长方形， ∴六边形的面积为． 【经典例题七 平移(作图)】 【例7】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在的网格中，可通过平移其中一个三角形得到另一个三角形．则下列各种平移过程，不正确的是（ ） A．将先向右平移3格，再向上平移2格得到 B．将先向上平移2格，再向右平移3格得到 C．将先向右平移3格，再向下平移2格得到 D．将先向下平移2格，再向左平移3格得到 【答案】C 【分析】本题考查图形变换−平移，根据所给图形，得出平移的方式，对所给选项依次进行判断即可解决问题，根据平移前后的图形，确定平移方式即可求解． 【详解】解：由图可得，将先向右平移3格，再向上平移2格得到， 将先向下平移2格，再向左平移3格得到， 只有选项C不符合题意， 故选：C． 1．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）下列图案中，可以通过其中一个基础图形平移得到的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据旋转变换，平移变换，轴对称变换对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A．可以由一个“基本图形”旋转得到，故此选项不符合题意； B．可以由一个“基本图形”旋转得到，故此选项不符合题意； C．可以由一个“基本图形”平移得到，故此选项符合题意； D．可以由一个“基本图形”旋转得到，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查利用平移设计图案，仔细观察各选项图形是解题的关键． 2．（2024七年级·全国·竞赛）在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为、、，将向下平移2个单位长度后再向左平移6个单位长度得到，点A、、的对应点分别为点、、，连接、，则五边形的面积为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了作图-平移变换及平面直角坐标系中多边形面积的求法，解决本题的关键是根据平移的性质准确画出图形． 根据平移的性质即可在图中画出，五边形，即可求出面积． 【详解】    如图所示， ， 故答案为：30． 3．（24-25七年级下·湖南岳阳·阶段练习）如图，在网格图中，平移使点A平移到点D，且B，C的对应点分别为E，F． (1)画出平移后的； (2)线段与的关系是_______； (3)求平移前后线段扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)28 【分析】本题考查作图平移变换，平移得性质，解决本题的关键是掌握平移的不变性． （1）根据平移的性质即可画出平移后的三角形； （2）连接、，可得线段与的关系； （3）用如图所示的长方形的面积减去四个直角三角形的面积，即可求解 【详解】（1）解：如图即为平移后的； （2）解：线段与的关系是：，． 故答案为：，． （3）解：如图： 线段扫过的面积为： ． 【经典例题八 同位角相等两直线平行】 【例8】（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）如图，下列条件中，能判断直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键．平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一直线的两条直线互相平行；同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行． 根据平行线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：∵或或， ∴， 故选：D． 1．（23-24七年级下·湖南永州·期中）如图，点C、E、F、G在同一条直线上，下列选项不能判定的是（    ）    A． B．平分，且 C．平分，平分，且 D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定方法进行判断即可． 【详解】解：A∵，∴，故选项A能判定，不符合题意； B.∵平分，∴又，∴，∴，故选项B能判定，不符合题意； C.∵平分，平分，∴∵，∴∴∴，∴，故选项C能判定，不符合题意； D.由无法判断出，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解答本题的关键． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线与直线分别交于点，，且．在不加辅助线的基础上，若增加一个条件使得，则这个条件可以是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键，即①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行． 根据平行线的判定，可利用同位角相等，两直线平行得出答案． 【详解】解：增加一个条件：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）． 3．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）如图，，，，探索与的数量关系，并说明理由．    【答案】，理由见解析． 【分析】题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】解：． 理由：，， ． ． ． ， ． ． ． 【经典例题九 内错角相等两直线平行】 【例9】（2025七年级下·湖南湘潭·专题练习）如图，下列能判定的条件有（　　） ①；②；③；④． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键； 根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】 解：①∵， ∴，故①符合题意； ②∵， ∴，故②不符合题意； ③∵， ∴，故③符合题意； ④∵， ∴，故④符合题意； ∴有①③④3个符合． 故选：D． 1．（23-24七年级下·湖南永州·期末）如图，能够判断的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定，解题的关键是掌握：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此分析即可作出判断． 【详解】解：A．∵， ∴，故此选项不符合题意； B．∵， ∴，故此选项符合题意； C．∵， ∴，故此选项不符合题意； D．∵， ∴，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）如图， ，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，由得出，再根据平行线的性质即可得解．解题的关键是掌握：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图，平分，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)70度 【分析】该题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的性质和判定． （1）利用角平分线的性质可得，由，等量代换得出，由平行线的判定定理得出结论； （2）由，可得的度数，由平行线的性质易得． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴ ． 【经典例题十 利用平移解决实际问题】 【例10】（23-24七年级下·湖南常德·阶段练习）如图，有一块长方形区域，，现在其中修建两条长方形小路，每条小路的宽度均为米，若边的长为米，则图中空白区域的面积为（      ）平方米． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，矩形的面积，利用平移的性质得出空白区域为一个矩形，矩形的长为米，宽为米，根据矩形面积公式计算即可求解，解题的关键是读懂题意，利用平移把空白区域可以拼成一个矩形． 【详解】解：由平移的性质知，空白区域为一个矩形，矩形的长为米，宽为米， ∴空白区域的面积（平方米）， 故选：． 1．（23-24七年级下·湖南张家界·期中）如图，两个形状、大小完全相同的和重叠在一起，固定不动，将向右平移，当点E和点C重合时，停止移动，连接，设交于G，结论为：①四边形的面积与四边形的面积相等；②，且，对于结论①和②，下列判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①正确，②不正确 C．①②都不正确 D．①不正确，②正确 【答案】B 【分析】根据平移的性质可得，，，即可得出结果． 【详解】解：由平移可得：， ∴，即，故①正确； 由平移的性质可得：，，故②错误， 故选：B． 【点睛】本题考查平移的性质，熟练掌握把一个图形整体沿某一直线移动，会得到一个新图形，新图形与原图形的形状和大小完全一样是解题的关键． 2．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）如图，有一块长为，宽为的长方形地，中间的阴影部分是一条小路，空白部分为花圃.如果小路的宽度为，那么花圃的面积为 . 【答案】80 【分析】本题考查了利用平移解决实际问题，长方形的面积计算，根据被小路公开的两部分可以重新组合成一个长方形即花圃的面积，根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：被小路公开的两部分可以重新组合成一个长方形， 花圃的面积， 故答案为： 80． 3．（23-24七年级下·湖南常德·阶段练习）某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯(含台阶的最上层)，已知这种地毯的批发价为每平方米20元，升旗台的台阶宽为3米，其侧面如图所示，请你帮助测算一下，买地毯至少需要多少元？ 【答案】840元 【分析】利用线段平移的性质结合地毯面积的计算公式求解． 【详解】解： (元) 【点睛】此题考查了学生对线段平移的应用，掌握平移线段的性质是解题的关键． 【经典例题十一 根据平行线的性质探究角的关系】 【例11】（23-24七年级下·湖南娄底·期中）如图，，，则、、之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键； 作，，可得，，进而求解； 【详解】解：作，，如图所示； ， ， ， ， ， ， ， 则； 故选：C 1．（23-24七年级下·湖南常德·期中）如图，在以“探索光之奥秘”为主题的趣味物理实验中，用透明水箱模拟光线从空气射入某种液体，观察到入射角与折射角约为的比例关系．为了挑战自我，同学们进一步思考：若两条入射光线以不同角度，斜射入这种液体，液体内折射光线的夹角与，的数学关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的性质，过B，D，F分别作水平线的垂线，得，由平行线的性质结合已知条件可得出可得结论． 【详解】解：如图所示，过B，D，F分别作水平线的垂线，则， ∴， ∴， 根据题意得， ，， ∴ ∴， 故选：D． 2．（23-24七年级下·湖南张家界·期中）七年级1班的同学们在学习了平行线的性质与判定后，研究了如下4个图形，每个图形中，和的两边，．请你结合每个图形中两个角的两边的位置关系，通过观察猜想证明与之间存在的某种数量关系，写出一个真命题，并用“如果……那么……”的形式表示出来： ． 【答案】如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补是解题关键． 第1个图：根据平行线的性质，分别得到，，即可得到与的数量关系； 第2个图：根据平行线的性质，分别得到，，即可得到与的数量关系； 第3个图：连接并延长至点，分别得到，，即可得到与的数量关系； 第4个图：延长至点，与交于点，分别得到，，即可得到与的数量关系； 根据4个图所得结论归纳即可 【详解】解：第1个图： 第2个图：，理由如下： ， ， ， ， ； 第3个图：如图，，证明如下： 连接并延长至点， ， ， ， ， ； 第4个图：，证明如下： 延长至点，与交于点， ， ， ， ， ， ， ； 由4个所得结论可知，如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补． 故答案为：如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补． 3．（23-24七年级下·湖南益阳庆·期中）已知． (1)如图1，请基于实验操作，猜想并直接写出之间的数量关系． (2)证明（1）中猜想的结论． 小亮提供了以下证明思路：如图2，过点作，交的延长线于点，则，再证明． 请根据小亮的思路，写出完整的证明过程． (3)应用：如图3，点为上一点，连接，且平分，平分．若，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． （1）根据平行线的性质进行判断即可； （2）根据平行线的性质得出，，从而证明，得出即可； （3）根据角平分线定义得出，，根据解析（1）可知：，求出，根据平行线的性质得出，即可得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：之间的数量关系为：，证明见解析（2）； （2）证明：过点作，交的延长线于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵平分，平分， ∴，， 根据解析（1）可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【经典例题十二 根据平行线的性质求角的度数】 【例12】（23-24七年级下·湖南常德·期中）如图是某超市购物车的侧面示意图，若，，则的度数为（　　） A．75° B．55° C． D．120° 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据两直线平行，同旁内角互补进行作答，根据，可得，然后即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A； 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）（教材变式）如图所示的是一段自来水管道的示意图，经过多次拐弯后，管道仍保持平行（， ）．若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质求解即可，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）如图，，，为射线的延长线上的一点，连接，若，，则的度数为 ． 【答案】/105度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．先根据平行线的性质可得，，再根据角的和差可得，然后根据平行线的性质求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·湖南株洲·阶段练习）“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．“抖空竹”的一个瞬间如图1所示， 将图1抽象成一个数学问题： (1)如图2，若，求的度数． (2)【拓展延伸】已知，点为之外任意一点． ①如图3，探究与之间的数量关系，并说明理由； ②如图4，探究与之间的数量关系，请直接写出结果． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解决此题的关键． （1）过点作，则，根据平行线的性质可知，，进而可求解； （2）①过点作，则，根据平行线的性质可得，进而得到结果； ②过点作，则，根据平行线的性质可得，进而得到结论． 【详解】（1）解：过点作， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴， 即， 故答案为：． （2）①， 理由如下：过点作，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②， 理由如下：过点作，则， ∴ ∵ ∴ ∴． 【经典例题十三 根据平行线判定与性质求角度】 【例13】（23-24七年级下·湖南株洲·期中）如图是某运动员在一次山地自行车越野赛中经过的路线，已知第一次的拐角，第三次的拐角，若第三次拐弯后的道路恰好与第一次拐弯前的道路平行，则第二次的拐角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，过点作直线，根据平行线的性质得到，再得到，得出，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如解图，过点作直线， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 1．（23-24七年级下·湖南常德·期末）如图，四边形中，，平分，，且．下列判断错误的是（    ）    A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】此题考查了角平分线，平行线的判定与性质，根据平行线的判定及性质即可解得．解题的关键是利用已知条件求得直线平行． 【详解】∵，， ∴， ∴AB∥CD， ∴A项正确；    ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴B项正确； ∵， ∴， ∴， ∴C项正确； ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 而，则与不平行， ∴D项不正确， 故选：D． 2．（24-25七年级下·湖南益阳·阶段练习）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为 ． 【答案】/57度 【分析】本题考查了平行线判定和性质，平行公理的推论．过点作，可得，即得，，根据求出即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴与所成锐角的度数为为， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·湖南湘潭·阶段练习）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月14日晚在哈尔滨圆满闭幕．在这一届亚冬会上，中国代表团以32金、27银、26铜的辉煌战绩，高居金牌榜和奖牌榜之首，书写了亚冬会历史上最为辉煌的一页．其中一个室外滑雪场地的侧面可近似看作如图所示的图形，已知，，，则直线与直线较小夹角的度数为多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，延长于点M，与的延长线交于点H．由已知条件得出，进而可得出，根据角度的和差关系可得出，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，延长于点M，与的延长线交于点H． ∵，， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， 即CE与FD较小夹角的度数为． 【经典例题十四 根据平行线判定与性质证明】 【例14】（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）如图，已知，为保证两条钢轨平行，添加的下列条件中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法逐一分析即可，掌握平行线的判定是解题的关键． 【详解】解：A、和是邻补角，，不能直接保证两条钢轨平行，故选项符合题意； B、和是同旁内角，，两条钢轨平行，故选项不符合题意； C、和是同位角，，两条钢轨平行，故选项不符合题意； D、和是内错角，，两条钢轨平行，故选项不符合题意； 故选：A． 1．（24-25七年级下·湖南岳阳·阶段练习）如图，给出下列条件：①；②；③；④，且，其中能推出的条件为（   ） A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①③ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．根据内错角相等、两直线平行可得条件①符合题意；根据同位角相等，两直线平行可得条件③符合题意；先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据同位角相等，两直线平行可得条件④符合题意；条件②不能推出，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴，条件①符合题意； ∵， ∴，不能推出，条件②不符合题意； ∵， ∴，条件③符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，条件④符合题意； 综上，能推出的条件为①③④， 故选：B． 2．（23-24七年级下·湖南常德·湘潭）已知：直线分别与直线相交于点G，H，并且，点M在直线之间，射线是的平分线，在的延长线上取点N，连接，若， ，则的度数是 ． 【答案】/60度 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定定理和性质定理．过点作，先证明，从而可得，根据平行线的性质可求，设，，，过点作，可得，，进而求解． 【详解】解：过点作， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴． ∵平分 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， 过点作， 则， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ 解得 ． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）已知，线段分别与、相交于点、． (1)如图①，当，，则______； (2)如图②，当点P在线段上运动时（不包括、两点），，与之间有怎样的数量关系？试证明你的结论； (3)当点P在直线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果不成立，探究，与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)当点在射线的延长线上运动时，（2）中的结论不成立，新关系为：，证明见解析；当点在射线的延长线上运动时，（2）中的结论不成立，新关系为：，证明见解析 【分析】本题考查平行线的判定及性质，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过P作，则，根据平行线的性质求出的度数即可解答； （2）过P作，则，根据平行线的性质即可得到； （3）根据点的运动轨迹，分类讨论：当点在射线上时；当点在射线上时；根据平行线的性质与判定定理讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过P作， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴； （2）解：，证明如下： 过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）解：当点在射线的延长线上运动时，（2）中的结论不成立，新关系为：，证明如下： 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 当点在射线的延长线上运动时，（2）中的结论不成立，新关系为：，证明如下： 设与相交于点，作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【经典例题十五 同旁内角互补两直线平行】 【例15】（23-24七年级下·湖南永州·期中）如图，给出的下列条件中不能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定：1、同位角相等，两直线平行；2、内错角相等，两直线平行；3、同旁内角互补，两直线平行；熟练掌握平行线的判定是解题关键．根据平行线的判定逐项判断即可得． 【详解】解：A、，根据同位角相等，两直线平行能判断，则此项不符合题意； B、，根据同旁内角互补，两直线平行能判断，则此项不符合题意； C、，根据内错角相等，两直线平行能判断，则此项不符合题意； D、，根据同位角相等，两直线平行能判断，不能判断，则此项符合题意； 故选：D． 1．（23-24七年级下·湖南湘潭·期中）下列说法： ①在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线； ②平行于同一条直线的两条直线平行； ③两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ④同旁内角相等，两直线平行． 正确的个数有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据平行线的判定与性质、平行公理及推论判断求解即可． 【详解】解：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故①错误，不符合题意； ②平行于同一条直线的两条直线平行，故②正确，符合题意; ③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故③错误，不符合题意； ④同旁内角互补，两直线平行，故④错误，不符合题意； 只有一个正确； 故选：A． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，熟练掌握平行线的判定与性质；平行公理及推论是解题的关键． 2．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）如图： ，（填写一个满足条件的理由，用符号表示，不得添加任何辅助线）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键； 根据平行线的判定，即可求解； 【详解】解：， ； 故答案为： 3．（23-24七年级下·湖南张家界·阶段练习）如图，台球运动中母球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点，其中，．    (1)若，求的度数； (2)已知，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，平角的定义： （1）根据题意先得到，再由平角的定义求解即可； （2）根据题意得到，再由平角的定义得到，，由此可得，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【经典例题十六 平行线的性质在生活中的应用】 【例16】（23-24七年级下·湖南益阳·阶段练习）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，如图所示，过点A作，过点B作，则，由得到，则，进而得到，再根据平行线的性质得到，由此即可得到．正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点A作，过点B作， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 1．（2024湖南常德·模拟预测）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气射向水时，要发生折射．由于折射率相同，所以在空气中平行的光线， 在水中也是平行的．如图，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线性质的实际应用，根据平行线的性质可得，，再结合计算即可． 【详解】如图， ∵在空气中平行的光线， 在水中也是平行的 ∴，， ∵ ∴，， ∴， 故选：B． 2．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）如图，一条平行于凹透镜主光轴的光线（其中，为凹透镜的两个虚焦点），是入射光线经凹透镜折射后的光线，连接，若，则的度数为 度．（注：折射光线的反向延长线经过虚焦点） 【答案】20 【分析】由折射光线的反向延长线经过虚焦点得到，根据平行线的性质，即可求解， 本题考查了，平行线的性质，解题的关键是：得到． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：20． 3．（23-24七年级下·湖南永州·期末）去年汛期期间，防汛指挥部在某重要河流的一段危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是15度/秒，灯B转动的速度是5度/秒．假定这一带两岸河堤是平行的，即PQMN，且∠BAN=45°． (1)若灯B射线先转动4秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (2)如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若灯A射出的光束与灯B射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请直接写出其数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】(1)2秒或17秒 (2)不变， 【分析】（1）设A灯转动x秒时两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：①在灯A射线转到AN之前；②在灯A射线转到AN之后．分别求得x的值即可． （2）设灯A转动的时间为x秒，根据角的和差关系分别用含x的代数式表示出∠BAC和∠BCD，即可得到两角的数量关系． 【详解】（1）设A灯转动x秒时两灯的光束互相平行， ①当0＜x＜12时， 15x＝(x＋4)×5， 解得x＝2； ②12＜x＜24时， 180−15(x−12)＝(4＋x)×5， 解得x＝17； ③24＜x＜32时， 15(x−24)＝(4＋x)×5， 解得x＝38， 38＞32，不符合题意，舍去． 综上所述，当A灯转动2秒或17秒时两灯的光束互相平行． （2）设灯A转动的时间为x秒， 则∠MAC＝15x，∠PBC＝5x． ∴∠CAN＝180°−15x， ∴∠BAC＝45°−（180°−15x）＝15x−135°， ∵PQ∥MN， ∴∠BCA＝∠PBC＋∠CAN＝180°−10x． ∵∠ACD＝90°， ∴∠BCD＝90°−∠BCA＝10x−90°＝10（x−9°）， ∵∠BAC＝15x−135°＝15（x−9°）， ∴∠BAC：∠BCD＝3：2， 即2∠BAC＝3∠BCD． 【点睛】本题考查了平行线的性质及角的和差关系，分类讨论是解题的关键． 1．（24-25七年级下·湖南益阳·阶段练习）下面四个花窗图案，可看作由一个基本图形平移而成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． 根据平移的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、不是由一个基本图形平移而成，故A选项不符合题意； B、不是由一个基本图形平移而成，是由一个基本图形旋转而成，故B选项不符合题意； C、是由一个基本图形平移而成，故C选项符合题意； D、不是由一个基本图形平移而成，是由一个基本图形旋转而成，故D选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）如图，三个含的直角三角尺拼成一个图形，下列条件能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键； 根据平行线的判定定理，逐一判定选项即可求解 【详解】A、， ，不满足题意； B、， ，满足同意； C、， ，不满足题意； D、， ，不满足题意； 故选：B 3．（23-24七年级下·湖南常德 ·期中）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为，第二次拐弯的度数为，到了点后需要继续拐弯，此次拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，过点作，进而得到，利用平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：过点作， 由题意，得：， ∴， ∴，， ∴； 故选B． 4．（24-25湖南株洲·天津·阶段练习）古代房梁建筑中多采用“四梁八柱”的设计，其中蕴含着数学知识，将房梁中的一些图形抽象出如图所示的几何模型．在三角形中，点D，E，F分别在边上，，，则下列结论错误的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据，可得，由，等量代换得到，进而推出，再结合平行线的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∴，故选项B正确，不符合题意； ∴， ∴，故选项C正确，不符合题意； ∴， ∵与不一定相等， ∴不一定等于，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 5．（23-24七年级下·湖南常德·期中）如图，某公园里有一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为米，小明沿着小路的中间，从入口到出口所走的路线（图中虚线）长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了平移，根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向进行分析，横向距离等于，纵向距离等于，相加即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由图可得，横向距离等于，纵向距离等于， ∴从到需要走的距离为：米， 故选：． 6．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）若两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少10，则这两个角的度数分别为 ． 【答案】，，或，． 【分析】此题考查了平行线的性质，解题的关键是注意由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补，注意分类讨论思想的应用． 由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补，可设其中一个角为，由其中一个角比另一个角的3倍少10，分别从这两个角相等或互补去分析，即可列方程，解方程即可求得这两个角的度数即可解决问题． 【详解】解：如图1，， ， ， ， ． 如图2，， ， ， ， 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 设其中一个角为，则另一个角位 其中一个角比另一个角的3倍少10， ①若这两个角相等，则， 解得：， 这两个角的度数分别为，， ②若这两个角互补，则， 解得：， 这两个角的度数分别为，； 故答案为，，或，． 7．（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）如图，将一个周长为厘米的三角形沿射线方向平移后得到三角形，点、、的对应点分别是点、、．连接，已知四边形的周长为厘米，那么平移的距离是 厘米．（用含、的代数式表示结果）．    【答案】 【分析】本题考查平移性质，根据平移性质得到，，再根据已知图形的周长求得即可． 【详解】解：由平移性质得：，， ∵三角形的周长为厘米， ∴， ∵四边形的周长为厘米， ∴，即， ∴， 即平移的距离是， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·全国·期中）如图所示，已知，于点B，，则下列结论一定正确的有 （填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦若，则． 【答案】①②③⑤⑦ 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的性质和判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴；故①正确； ∴；故③正确； ∴；故②正确； ∴；故⑥错误； ∵，， ∴， ∴；故⑤正确； 若，则：， ∴；故⑦正确； 条件不足，无法得到；故④错误； 故答案为：①②③⑤⑦． 9．（24-25七年级下·湖南益阳·阶段练习）如图，在同一平面内，直线上有两点A、C，分别引两条射线、．，与在直线异侧．若，射线、分别绕A点，C点以每秒1度和每秒6度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线转动一周的时间内，当与平行时，时间t的值为 ． 【答案】6或42秒 【分析】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论．分情况讨论：①与在的两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得： 如图①，与在的两侧时，   ，， ，， 要使，则， 即， 解得：； 此时， ； ②旋转到与都在的右侧时，   ，， 要使，则， 即， 解得：， 综上所述，当时间的值为6秒或42秒时，与平行． 故答案为：6或42秒 10．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）为保证安全，某两段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯A，B，探照灯的光线可看作射线如图，灯A的光线从射线开始，绕点A顺时针旋转至射线上便立即回转，灯B光线从射线开始，绕点B顺时针旋转至射线便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．已知，连接，，则 ；若灯B的光线先转动，每秒转动，45秒后灯A的光线才开始转动，每秒转动，在灯B的光线第一次到达之前，灯A的光线转动 秒时，两灯的光线互相平行．    【答案】 60 45或105 【分析】根据题意及邻补角互补求出，，进而根据平行线的性质得到；由题意易得，则可设灯的光线转动时，两灯的光线互相平行，进而可分①当射线未过线段时，②射线过线段且未到达射线时，③射线到达后回转，然后根据平行线的性质进行分类求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴， ∵灯的光线先转动45秒，灯的光线才开始转动， ∴此时， 设灯的光线转动时，两灯的光线互相平行， ①当射线未过线段时，两灯的光线互相平行，则，如图所示：    ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：； ②射线过线段且未到达射线时，两灯的光线互相平行，则，如图所示：      ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：，（不符合题意，舍去）； ③射线到达后回转，两灯的光线互相平行，则，如图所示：    ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：； ∴综上所述：灯的光线转动45秒或105秒时，两灯的光线互相平行； 故答案为：60；45或105． 【点睛】本题主要考查平行线的性质及一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质及一元一次方程的应用是解题的关键． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的顶点A平移到顶点D，请用两种不同的方法，在图中作出平移后的图形． 【答案】见解析 【分析】本题涉及平移的知识．熟练掌握平移的定义是关键． 方法一：过点B作且使，过点C作且使，然后顺次连接D、E、F即可； 方法二：过点D作且使，过点D作且使，然后顺次连接D、E、F即可． 【详解】解：方法一，如图1； 方法2，如图2． 12．（23-24七年级下·湖南永州·期中）如图，在三角形中，点D，F在边上，点E在边上，点G在边上，连接，，，延长与交于点H，，． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)与平行，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，根据平行线的性质求角的度数等知识． （1）先根据已知条件得出，由平行线的性质得出，结合已知条件可得出，进而可得出． （2）由（1）可得出，，由平行线的性质得出，根据角的和差关系以及角的等量代换可得出，进而可得出答案． 【详解】（1）解：与平行，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ （2）解∶由（1）得． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得：， ∴． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，仔细观察，并回答下列问题： (1)图、图的周长有什么关系？请用平移的知识解释你的结论． (2)图、图的周长有什么关系？请用学过的数学知识解释你的结论． (3)结合你的认识，画一个图（记为图），使图的周长与图的周长相等． 【答案】(1)图、图的周长相等，理由：将图的横纵线段分别平移，可得到边长为的正方形 (2)图的周长小于图的周长，理由：两点之间，线段最短； (3)见解析 【分析】本题考查了平移的性质，两点之间，线段最短，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据平移的性质，不规则图形的周长正好等于边长为的正方形的周长； （2）利用平移的性质结合两点之间，线段最短得出图、图的周长关系； （3）画出一个图形只要经过平移能得到边长为的正方形即可． 【详解】（1）解：图、图的周长相等， 理由：将图的横纵线段分别平移，可得到边长为的正方形； （2）解：图的周长小于图的周长， 理由：两点之间，线段最短； （3）解：如图所示： ． 14．（23-24七年级下·湖南湘潭·期中）学习《相交线与平行线》一章后，“睿思”小组准备研究如下问题：如图，直线，点，分别是，上的点，是，之间的一条折线，且． (1)【操作发现】如图①，小组成员小兰通过量角器测得，后，直接就得出______；小组成员在探讨交流后，发现，，之间满足数量关系______．（此关系在下面可直接使用，不需证明） (2)【问题探究】小组成员小芳在直线，之间、折线的左侧取一点，并画出，使的一边与平行，另一边与平行，其余条件不变，得到两种情况，如图②和图③所示．请你帮小芳同学探究，，之间满足的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】组内其他同学也都继续探究，若的一边与垂直，另一边与平行，请直接写出，，之间满足的数量关系． 【答案】(1)46， (2)或，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质，平角的定义，正确的作出图形是解题的关键． （1）图1，过P作直线a，根据平行线的性质得到，于是得到结论； （2）如图2，延长交直线b与点E，可知，可得到得到，根据平角的定义即可得到结论； （3）由垂直的定义得到，由平行线的性质得到，根据平角的定义得到结论． 【详解】（1）解：如图，过P作直线a， ， ， ； ， 故答案为：46，； （2）如图，延长交直线b与点E， ， ， ， ； 即或； （3）如图，，， ， ， ， ， ， ， 即或． 15．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）阅读材料，解决问题： 【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律． （1）在图1中，证明； 【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，． （2）请问和有什么关系？并说明理由； （3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜，的位置，并给出建议（合理即可）． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）调整平面镜，使得两面镜子达到平行（合理即可） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． （1）根据等角的余角相等解答即可； （2）根据平行线的性质求解即可； （3）根据潜望镜的原理，平行线的性质进行分析即可． 【详解】（1）证明：， ，， ； （2），理由如下： ，，， ， ， ； （3）因为潜望镜它是根据光的折射，而潜望镜是要改变光的传播方向的，光线无法顺利通过，说明没有与光线平行，需要调整平面镜，的位置，使得两面镜子，达到平行（合理即可）． 学科网（北京）股份有限公司 $$