【专项练】全等手拉手模型-鲁教版五四制七年级下册期末专项（初中数学）

学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 全等手拉手模型 基础题 1. 小明同学发现这样一个规律;两个顶角相等的等腰三角形,如果具有公共的顶角的顶点, 并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形,小明把具有这个规律的图形称为“手 拉手图形. 图1 图2 (1)【问题发现】如图1,若△ABC和△ADE均是顶角为40·的等腰三角形,BC,DE分别是底边. 从图中找出一对全等三角形并说明理由 (2)【拓展探究】如图2,若△ABC和△ADE和均为等边三角形,点B、D、E在同一条直线上,连 接CE,求2BEC的度数. 2.“手拉手模型是几何世界中常见的模型之一,两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形组成 的图形就是典型的“手拉手模型,只要细心观察,你就可以从中找到全等三角形 如图,CA=CB,CD=CE,LACB=乙DCE=a. 图① 图② (1)求证:△ACD=△BCE; (2)如图②,当a=90时,取AD的中点P,BE的中点O,判断△CPo的形状并给出证明 学科同·照子学 www.zxxk.com 让学习更高效 为 等题 3. 【阅读材料】 小明同学发现一个规律:两个共顶点目顶角相等的等腰三角形,底角顶点连起来,在相对位置 变化的同时,始终存在一对全等三角形,小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型” B 图2 阁1 图3 【材料理解】(1)如图1,△ABC与△ADE都是等腰三角形,AB=AC,AD=AE,且乙BAC=2DAE, 则有△ABD:__;线段BD和CE的数量关系是__. 【深入研究】(2)如图2.△ABC与△ADE都是等腰三角形,AB=AC,AD=AE,目 BAC=2DAF= 90{*. 请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系,并说明理由 【深化模型】(3)如图3,AB=BC, ABC=2BDC=60*,求证:AD+CD=BD$ 4. 阅读学习“手拉手模型:如图1, #72 C(右1) 图1 图2 条件:(1)△ABC和△ADE都是等腰三角形; (2)BAC=2DAE(顶角相等) 结论:△ABD:△ACE. 解题思路:左手拉左手(B连D),右手拉右手(C连E),易证:BAD=2CAE,利用边角 边证得△ABD:△ACE 解决问题:如图2,△ABC和△ECD都是等边三角形,B,C,D三点共线,AD与BE相交于点O AD与CE交于点F,AC与BE交于点G 学科同·照子学 www.zxxk.com 让学习更高效 (1)找出图中的一对全等三角形,并说明理由 (2)求2BOD的度数 5. 综合实践 在学习全等三角形的知识时,数学兴趣小组发现这样一个模型:它是由两个共顶点且顶角相等 的等腰三角形构成的,在相对位置变化的同时,始终存在一对全等三角形,兴趣小组成员经过 研讨给出定义:如果两个等腰三角形的顶角相等,且顶角的顶点互相重合,则称此图形为“手 拉手全等模型”.因为顶点相连的四条边,可以形象地看作两双手,所以通常称为“手拉手模型” 如图1,△ABC与△ADE都是等腰三角形,其中2BAC=2DAE,则△ABD=△ACE(SAS). 图2 图3 图1 图4 【初步把握】如图2:△ABC与△ADE都是等腰三角形,AB=AC,AD=AE,且乙BAC=2DAE 请直接写出图中的一对全等三角形 【深入研究】如图3,已知△ABC,以AB、AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE,BE、CD 交于点O.求2DOB的大小,并证明:BE=CD 【拓展延伸】如图4. 在两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中,AB=AC,AF=AD,2BAC= DAF三90*},连接BD,CE,交于点P,请判断BD和CE的关系,并说明理由 6. 在学习全等三角形的知识时,数学兴趣小组发现这样一个模型:它是由两个共顶点且项角 相等的等腰三角形构成.在相对位置变化时,始终存在一对全等三角形,通过查询资料,他们 得知这种模型称为“手拉手模型”,兴趣小组进行了如下操作 (1)观察猜想 如图1.在△ABC中,分别以AB,AC为边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE,2BAD=2CAE= 90”,连接BE,CD,则BE与CD的数量关系为__,位置关系为__; (2类比探究 如图2,在△ABC中,分别以AB,AC为边作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE,2BAD=2CAE=90* 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 点D,E,C在同一直线上,AM为△ACE中CE边上的高,猜想DC,BC,AM之间的数量关系并说明 理由; ③)解决问题 运用(1)(2)中所积累的经验和知识,完成下题:如图3,要测量池塘两岸相对的两点D,C 的距离,已经测得 ACB=45^*}, DAB=90*,AB=AD,AC=15V2米,BC=40米,$CD的长为米$ ## 图1 图2 图3 困难题 7. 在学习全等三角形知识时,数学兴趣小组发现这样一个模型:模型是由两个顶角相等目有 公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形,如果把它们的底角顶点连接起来,则在相对位置变化 的过程中,始终存在一对全等三角形,我们把这种模型称为手拉手模型”,这个数学兴趣小组 进行了如下操作: B # 图1 图2 图3 (1)如图1,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE, BAC= DAE=40”(AB>AD),连接BD,CE 当点落在AB边上,且D,E,C三点共线时,则在这个“手拉手模型”中,和△ABD全等的三角形 是 ,_BDc的度数为 (2)如图2.已知△ABC,分别以AB、AC为直角边向△ABC两侧作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD 其中2BAE=2CAD=90*,连接CE、BD,线段CE和BD交于点0 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 ①证明:CE=BD且CE1BD; ②若DC与BC在同一直线上,如图3,延长DA与CE交于点F,连接BF并延长,BF的延长线与边AE 交于点G,且AF=AG,若△ABE和△ACD的面积之和为20,△ABG的面积为6,求线段EG的长多学科网·短子学 www.2x×k.c0m 让学习更商效 全等手拉手模型 基础题 1.(1)△ABD≌△ACE,理由见解析 (2)60 【难度】0.85 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、等边对等角 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，熟练掌握全等三角 形的判定方法是解本题的关键 (1)先判断出∠BAD=∠CAE,进而利用SAS判断出△ABD≌△ACE,即可得出结论； (2)同(1)的方法判断出△BAD=△CAE,得出AD=BE,∠ADC=∠BEC=120°，最后用角的差 ∠AEB=∠BEC-∠CED,即可得出结论； 【详解】（1)解：△ABD兰△ACE. 理由如下： :△ABC和△ADE均是顶角为40的等腰三角形 ÷AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=40 ∴LBAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=LCAE. △ABD兰△ACE. (2):△ABC为等边三角形，点B、D、E在同一条直线上， ∠ADE=60 ∠ADB=120°. 由(1)知△ABD兰△ACE, ÷∠BDA=∠AEC=120° :△ADE为等边三角形 ÷∠AED=60 ∠CEB=LAEC-∠AED=120°-60°=60°. 2.(1)见解析 (2)△CPQ为等腰直角三角形，见解析 【难度】0.85 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、等腰三角形的定义 多学科同·短子学 wWww.2x×k.c0m 让学习更商效 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定 方法，ASA,ASA,SSS,SAS,HL, (1)根据SAS证明△ACD≌△BCE; (2)根据△ACD≌△BCE得出LDAC=∠EBC,AD=BE,证明△PAC≌△QBC,得出LACP=∠BCQ,CP= CQ,求出PCQ=90°，即可得出答案 【详解】(1)证明：：∠ACB=∠DCE=a, ÷∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD, 即LACD=∠BCE, 在△ACD和△BCE中，CA=CB,∠ACD=∠BCE,CD=CE, △ACD兰△BCE (2)解：△CPQ为等腰直角三角形.证明如下： 由(1)知，△ACD兰△BCE ÷∠DAC=LEBC,AD=BE, :P,Q分别为AD,B的中点， .AP=AD.BQ =BE, ÷AP=BQ, 在△PAC和△QBC中，AP=BQ,∠DAC=∠EBC,CA=CB ÷△PAC兰△QBC. ÷∠ACP=∠BCQ,CP=CQ. ∠ACB=a=90°， .∠ACP+∠BCP=90°， ∠BCQ+∠BCP=90°， 即∠PCQ=90°， △CPQ为等腰直角三角形， 中等题 3.(1)△ACE,BD=CE;(2)BD=CE,BD⊥CE,证明见解析；(3)见解析 【难度】0.65 多学科同·短子学 Www.2x×k.C0m 让学习更离效 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、等边三角形的判定和性质、三角形的外角的定 义及性质 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等边三角形的判定与性质， 理解题中“手拉手模型"，熟练掌握全等三角形的性质，利用类比方法证明是解答的关键， (1)先得到∠BAD=∠CAE,再证明△ABD≌△ACE(SAS,然后利用全等三角形的对应边相等可 得结论： (2)同理先得到∠CAE=∠BAD,再证明△ABD≌△ACE(SAS,得到BD=CE,∠ABD=∠ACE,进 而利用三角形的外角性质得到∠BPC=∠BAC=90即可证得结论； (3)作∠DBH=∠ABC=60°，BD=BH,连接DH,证明△BDH是等边三角形，得到DH=BD,∠BDH= 60°，进而得到D、C、H三点共线，则BD=DH=CH+CD,然后证明△ABD兰△CBH(SAS得到AD= CH即可证的结论， 【详解】解：(1)，∵∠BAC=∠DAE, ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, 即∠BAD=∠CAE, 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE ..△ABD=△ACE(SAS), ∴.BD=CE, 故答案为：△ACE;BD=CE; (2)BD=CE,BD⊥CE,理由如下： .'∠BAC=∠DAE=90, .∴·∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE, 即∠CAE=∠BAD, 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE ,∴.△ABD≌△ACE(SAS), ,∴.BD=CE,∠ABD=∠ACE, ∴.'∠BPC+∠ABD=∠BAC+∠ACE, 多学科同·假子学 WwW.2××k.C0m 让学习更商效 .∴.∠BPC=∠BAC=90°， ∴.BD⊥CE. (3)证明如图，作∠DBH=∠ABC=60,BD=BH,连接DH, H ∴.△BDH是等边三角形， .DH=BD,∠BDH=60, .‘∠BDC=60, ∴D、C、H三点共线， ∴.BD=DH=CH+CD, .LABC-LDBC LDBH-LDBC, .∠ABD=∠CBH,又AB=BC,BD=BH, ,∴.△ABD兰△CBH(SAS, .AD CH, ∴.AD+CD=BD. 4.(I)△BCE兰△ACD,详见解析 (2)120° 【难度】0.65 【知识点】三角形的外角的定义及性质、用SAS证明三角形全等(SAS)、等边三角形的性 质 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质： (1)根据等边三角形的性质，结合SAS证明△BCE≌△ACD即可， (2)全等三角形的性质，结合三角形的外角，得到∠A0B=∠ACB=60°，利用平角的定义，即 可求出B0D的度数， 多学科同·短子学 Www.2××k.C0m 让学习更商效 【详解】(1)解：△BCE兰△ACD 理由：，△ABC和△ECD都是等边三角形， ∴.BC=AC,CE=CD,∠BCA=∠ECD=∠BAC=60°， ,∴，∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE, ∴.LBCE=LACD, BC=AC 在△BCE和△ACD中， ∠BCE=∠ACD, CE=CD ∴.△BCE≌△ACD(SAS). (2).'△BCE≌△ACD .∴.∠CAD=∠CBE, .'∠OGC=∠CAD+∠AOB=∠DBE+LACB, .∴.∠A0B=∠ACB=60, ,∴.∠B0D=180°-∠A0B=120 5.初步把握]△ABD兰△ACE;深入把握]上DQB=60°，证明见解析；[拓展延伸]BD=CE,BD⊥CE, 理由见解析 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、三角形的外角的定义及性质、等边三角形的性 质 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是找出对应边 和对应角，准确理解“手拉手模型“。 初步把握根据SAS证明△BAD兰△CAE即可 深入把握根据SAS证明△ACD兰△AEB,再由全等的性质得到 拓展延伸根据SAS证明△EAC兰DAB,由全等的性质可得BD=CE,∠ACE=∠ABD,进而可证BD⊥ CE 【详解】初步把握] 证明：：∠BAC=∠DAE ÷∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD ÷∠BAD=∠CAE 在△BAD和△CAE中， 命学科同·假子学 Www.2××k.C0m 让学习更商效 AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE ÷△BAD≌△CAE. 深入把握] 证明：：△ABD和△ACE都是等边三角形， ·AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠CAE=60°， ÷∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC. 即∠DAC=∠BAE, AB=AD 在△ABE和△ADC中， ∠BAE=∠DAC, AE=AC ÷△ABE兰△ADC(SAS), BE=CD;∠ADC=∠ABE. '∠BQD+LABE=∠BAD+LADC, ∠DQB=∠DAB=60°. 拓展延伸] 解：BD=CE,BD⊥CE,理由如下： :∠BAC=LDAE=90°， ∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE, 即∠CAE=LBAD, AB=AC 在△ABD和△ACE中， LBAD=∠CAE AD=AE △ABD兰△ACE(SAS) ÷BD=CE,∠ABD=∠ACE, '∠BPC+∠ABD=∠BAC+∠ACE ∠BPC=∠BAC=90°， BD⊥CE. 6.(1)BE=CD;BE⊥CD; (2)DC=BC+2AM,理由见解析： (3)50米. 【难度】0.65 多学科同·短子学 Www.2x×k.c0m 让学习更离效 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、用勾股定理解三角形 【分析】(1)证△CAD兰△EAB(SAS即可证出BE=CD,再根据8字型得∠C0F=∠CAE=90; (2)先证△ACB兰△AED(SAS,再证EM=AM,最后通过线段和差即可得证； (3)按照前问思路构造“手拉手模型全等，作AM⊥AC,使AM=AC,连接BM、CM,则△ACM 为等腰直角三角形，证明△BAM≌△DAC(SAS,则CD=BM,最后利用勾股定理求BM即可： 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等内容，熟练掌 握相关知识和添加合适的辅助线是解题关键 【详解】(1)解：，△ABD和△AC都是等腰直角三角形 ∴.AB=AD,AC=AE, ∠BAD=∠CAE=90, ∴.∠BAD+∠CAB=∠CAE+∠CAB,即∠BAE=∠CAD, 在△CAD和△EAB中， AB=AD LBAE=∠CAD, AE=AC ,∴.△CAD≌△EAB(SAS, ,.CD=BE,∠ACD=∠AEB, 设BE与CD交于点O,AC与BE交于点F, D ,'∠AFE=∠OFC, ∴.∠C0F=∠CAE=90°， ∴.BE⊥CD: 故答案为：BE=CD,BE⊥CD; (2)DC=BC+2AM,理由如下： “.'△ABD和△ACE均为等腰直角三角形， ∴.AB=AD,AC=AE, ∴，'∠BAD=∠CAE=90 多学科同·假子学 Www.2××k.C0m 让学习更商效 ∴.∠BAD-∠BAE=∠CAE-∠BAE, ∴.∠CAB=∠EAD, 在△ACB和△AED中， AC=AE ∠CAB=∠EAD, AB=AD ∴.△ACB≌△AED(SAS), .'DE=BC, .AC=AE,AM⊥CE, ∴.EC=2ME, △ACE为等腰直角三角形，AM⊥CE, ∴.LAEM=∠EAM=45°， ,∴.EM=AM, ,∴.EC=2AM, .∴.DC=DE+EC=BC+2AM: (3)如图，作AM⊥AC,使AM=AC,连接BM、CM,则△ACM为等腰直角三角形， 同(2)同理可证：△BAM≌△DAC(SAS), ∴.BM=CD, .∵△ACM是等腰直角三角形， ∴.∠ACM=45, .∠ACB=45°， ∴.∠BCM=90°， '.'AC=15v2 AM, ∴.CM=VAM+AC=30, 在Rt△BCM中，BC=40, ∴.BM=vBC2+CM亚=50（米）， 多学科网·短子学 Www.2××k.C0m 让学习更离效 .CD=50米， 故答案为：50. 困难题 7.(1)△ACE,40 (2)①证明见解析；②4 【难度】0.4 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合(SAS)、完全平方式在几 何图形中的应用、等腰三角形的定义 【分析】(1)利用SAS证明△DAB≌△EAC,得出∠ABD=∠ACE,结合三角形外角的性质即可得 出∠BDC=∠BAC,即可求解； (2)①利用SAS证明△CAE兰△DAB,得出CE=BD,LACE=LADB,然后利用三角形外角的性 质即可得出CE⊥BD; ②利用①中△CAE兰△DAB,得出∠ACE=∠D=45°，则可求∠CFD=∠ACE,利用等角对等边得出 AF=AC,可得出AG=AC,由△ABG的面积可求AB·AG=12,由△ABE和△ACD的面积之和为20， 可求AB2+AC2=40,利用完全平方公式变形求出AB+AC=8,|AB-AC1=4,求出AB、AC,进 而求出AG,即可求解 【详解】(1)解：如图1中， E B 图1 在△DAB和△EAC中， AD=AE ∠DAB=∠EAC AB=AC △DAB≌△EAC(SAS), 多学科同·短子学 Www.2××k.C0m 让学习更商效 ∴∠ABD=LACE, :∠DEB=AEC, ÷∠BDC=∠BAC=40°， 故答案为：△ACE,40; (2)解：①：△ABE和△ACD均为等腰直角三角形，∠BAE=LCAD=90°， :AB=AE,AC=AD, Y∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC, ÷∠CAE=∠BAD 在△CAE和△DAB中， AC=AD ∠CAE=∠DAB AB=AE ÷△CAE≌△DAB(SAS), ÷CE=BD,∠ACE=∠ADB, ∴∠DOE=∠DCE+∠BDC =∠CDB+∠ACE+∠ACD =∠CDB+∠ADB+∠ACD =∠ADC+∠ACD=90°， ∴CE⊥BD; ②：△ABE和△ACD的面积之和为20，△ABE和△ACD均为等腰直角三角形， ÷AB2+AC2=40,∠ACD=∠D=45°，∠BAE=∠CAD=90°，AB=AE,AC=AD, ÷∠CAF=180°-90°=90°， H△CAE兰△DAB, ∠ACE=∠D=45°， ∠DCE=∠ACD+∠ACE=45°+45°=90°， ∠CFD=90°-∠D=45°， ·∠CFD=LACE, ÷AF=AC, AF=AG, ∴AG=AC, :△ABG的面积为6，∠BAG=90°，