【专项练】全等三角形的存在性问题-鲁教版五四制七年级下册期末专项（初中数学）

学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 全等三角形的存在性问题 基础题 1. 如图,在Rt△ABC中,2C=90”,AC=12cm,BC=6cm,一条线段PQ=AB,P,Q两点分别 在线段AC和AC的垂线Ax上移动,若以A、B、c为顶点的三角形与以A、P、0为顶点的三角形全 等,则Ap的值为() A. 6cm B. 12cm C. 12cm或6cm D.以上答案都不对 2. 如图, A=4B=90*},AB=60,E、F分别为线段AB和射线BD上的一点,若点E从点B出 发向点4运动,同时点F从点B出发向点D运动,二者速度之比为3:7, 运动到某时刻同时 停止,在射线AC上取一点G,使△AEG与△BEF全等,则AG的长为() C D dB A. 18 B.70 C. 88或62 D.18或70 3. 如图,在长方形ABCD中,AB=4,AD=6,延长BC到点E,使CE=2,连接DE,动点P从 点B出发,以每秒2个单位的速度沿BC→CD→DA向终点A运动,设点P的运动时间为:秒 当:的值为()秒时,△ABP与△DCE全等 A.1 C.1或7 B.1或3 D.3或7 4. 题目:如图,AB=7cm,AC=5cm,2CAB=2DBA=60*,点P在线段AB上以2cm/s的速度由 点A向点B运动,同时,点O在射线BD上运动速度为xcm/s,它们运动的时间为t(s)(当点P 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 运动结束时,点O运动随之结束).当点P,O运动到某处时,有△ACP与△BPO全等,求相 应的x,r的值,其答案为:轩轩的答案:x=2,t=1;笑笑的答案x-20,t-;丽丽的答案: A. 只有轩轩的答案正确 B. 轩轩和笑笑的答案合在一起才完整 C. 丽丽与轩轩的答案合在一起才完整 D. 三人答案合在一起才完整 中等题 5. 如图,CA1AB,垂足为点A,射线BM1AB,垂足为点B,AB=15cm,AC=6cm.动点E 从4点出发以3cm/s的速度沿射线AN运动,动点D在射线BM上,随着F点运动而运动,始终 保持ED=CB.若点E的运动时间为:秒(t>0),则当t三秒时,△DEB与△BCA全等 __ 6. 如图,AB=4cm,BC=6cm,2B=zC,如果点P在线段BC上以2cm/秒的速度由B点向C 点运动,同时,点O从C点出发沿射线CD运动,若经过:秒后,△ABP与△C0P全等,则:的 值是 7. 如图,在四边形ABCD中, B=2C=120*,AB=8cm,BC=12cm,CD=16cm,点P在线段BC 上以4cm/s的速度由点B向点c运动,同时点o在线段cD上由点C向点D匀速运动,若△BAP与 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 △C0P在某一时刻全等,则点o运动速度为 cm/s D 8. 如图,在Rt△ABC中,2ACB=90*,BC=8cm,AC=22cm,CD为AB边上的高,直线CD上一 点F满足cF=AB,点E从点B出发在直线BC上以2cm/s的速度移动,设运动时间为t秒,当t= 秒时,能使△ABC与以点C、F、E为项点的三角形全等 9. 如图,在△ABC中,AB=AC=28cm,2B=2C,BC=24cm,点D为AB的中点,点P在线段BC 上以6cm/s秒的速度由B点向C点运动.同时,点0在线段CA上由C点向A点运动,当点0的运动速 度为_cm/s时,能够在某一时刻使△BPD与△coP全等. 10. 如图,在长方形ABCD中,AB=6cm,AD=4cm,点P从点A出发,以1cm/s的速度沿AE 边向点B运动,到达点B停止,同时,点O从点B出发,以vcm/s的速度沿BC边向点C运动 到达点C停止,规定其中一个动点停止运动时,另一个动点也随之停止运动.当v为cm/s 时,存在某一时刻,△ADP与△BPO全等. 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 11. 如图,已知长方形ABCD的边长AB=30cm,BC=24cm,点E在边AB上,AE=14cm,如果点 P从点B出发在线段BC上以4cm/s的速度向点C运动,同时,点o在线段cD上从点c向点D运动.则 当点o的运动速度为 cm/s时,能够使△BPE与△CPQ全等. E B P 12. 如图,在四边形ABCD中,ADlIBC,AD=6cm,BD=10cm,BC>8cm.动点P以1cm/s的 速度从点4出发沿边AD向点D匀速移动,动点O以2cm/s的速度从点B出发沿边BC向点C匀 速移动,动点M从点B出发沿对角线BD向点D匀速移动,三点同时出发.连接PM,QM,当 动点M的速度为 cm/s时,存在某个时刻,使得以P、D、M为顶点的三角形与△0BA 全等. B 13. 已知,在△ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上,BDA=2AEC= BAC En 图① 图② 图③ (1)如图①,若AB1AC,则BD与AE的数量关系为_,BD,CE与DE的数量关系为__; (2)如图②,当AB不垂直于AC时,(1)中的结论是否成立?请说明理由 (3)如图③,若只保持zBDA=2AEC.BD=EF=7cm.DE=10cm点A在线段DE上以2cm/s的速度 由点D向点E运动,同时,点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动,它们运动的 时间为t(s),是否存在x,使得△ABD与△EAC全等?若存在,直接写出x的值;若不存在,请 说明理由. 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 困难题 14. 已知AB=4cm,AC=BD=3cm.点P在AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动,同时点 O在BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为t(s) 1D 图① 图② (1)如图①,AC1AB,BD1AB,若点O的运动速度与点P的运动速度相等,当t=1时,△ACP 与ABPO是否全等,请说明理由,并判断此时线段PC和线段PO的位置关系 (2)如图②,将图①中的“AC1AB,BD1AB”改为“ZCAB= DBA=60*”,其他条件不变.设点C 的运动速度为xcm/s,是否存在实数x,使得AACP与ABP0全等?若存在,求出相应的x、(的 值;若不存在,请说明理由 15. 综合与探究 如图,在长方形ABCD中, DAB= B= C= D=90*,AB=DC=12cm,AD=BC=16cm,点E 在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动,同时点F在线段cD上由点C向点D运动,它 们运动的时间为t(s) D (1)EC=__cm(用含:的代数式表示); (2)若点F的运动速度与点E的运动速度相同,当t三2时,判断线段AE和EF的数量关系和位置 关系,并说明理由; (3)若点F的运动速度为vcm/s,是否存在v的值,使得△ABE与△ECF全等?若存在直接写出) 的值;若不存在,请说明理由多学科同·短子学 Www.2x×k.c0m 让学习更高效 全等三角形的存在性问题 基回题 1.C 【难度】0.94 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形的性质是解题的关键.先根据题 意得到∠BCA=∠PAQ=90°，则以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等， 只有△ACB兰△QAP和△ACB≌△PAQ两种情况，由此利用全等三角形的性质求解即可. 【详解】解：，AX是AC的垂线， ∴.∠BCA=∠PAQ=90°， “,·以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，只有△ACB兰△QAP和△ACB≌△ PAQ两种情况， 当△ACB兰△QAP, ,∴.AP=BC=6cm; 当△ACB≌△PAQ, ∴.AP=AC=12cm, 故选：C 2.D 【难度】085 【知识点】全等三角形的性质 【分析】设BE=3t,则BF=7t,使△AEG与△BEF全等，由∠A=∠B可知，分两种情况：当BE= AG,BF=AE时，当BE=AE,BF=AG时，列方程即可求解.本题主要考查了全等三角形的性质， 利用分类讨论思想是解答此题的关键， 【详解】解：设BE=3t,则BF=7t, .∠A=LB=90°， ∴.△AEG屿△BEF全等，可分两种情况： 情况一：当BE=AG,BF=AE时， .BF=AE,AB=60, ∴.7t=60-3t, 多学科同·假子学 Www.2××k.C0m 让学习更商效 解得：t=6, ,∴.AG=BE=3t=3X6=18; 情况二：当BE=AE,BF=AG时， “,'BE=AE,AB=60, ∴.3t=60-3t, 解得：t=10, .∴.AG=BF=7t=7×10=70, 综上所述，AG=18或70. 故选：D. 3.C 【难度】0.85 【知识点】几何问题（一元一次方程的应用）、全等的性质和SAS综合(SAS) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质.根据题意，分两种情况进行讨论，根据题意得 出BP=2t=2和AP=16-2t=2即可求得 【详解】解：由题意得：AB=CD,∠ABP=∠DCE=90° 若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2, 根据SAS证得△ABP≌△DCE, ÷BP=2t=2,银即t=1, 若∠BAP=∠DCE=90,AP=CE=2, 根据SAS证得△BAP≌△DCE, ÷AP=16-2t=2,即t=7. :当t的值为1或7秒时.△ABP与△DCE全等： 故选：C 4.B 【难度】0.85 【知识点】全等三角形的性质、代入消元法 【分析】分△ACP≌△BPQ,△ACP≌△BQP两种情况进行讨论，求出x、t的值，即可得出答案 【详解】解：根据题意得：AP=2t,BP=7-2t,BQ=t, 当△ACP≌△BPQ时，AP=BQ,AC=BP, 多学科同·假子学 Www.2××k.C0m 让学习更商效 ,2 解得：任子， 当△ACP≌△BQP时，AP=BP,AC=BQ, 是20 解得： x 7 (t= 综上分析可知，轩轩与笑笑的答案合在一起才完整，故B正确， 故选：B 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质、解二元一次方程组，解题的关键是熟记全等三角 形的性质，并注意分类讨论 中等题 5.3或7或10 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和HL综合(HL) 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，学会分类是解题的关键.分情况，当E 在线段AB上，或当E在线段AB延长线上，由HL即可求解. 【详解】解：，'CA⊥AB,BM⊥AB, ∴.∠CAB=∠DBE=90°， '.ED CB, 当E在线段AB上时， 若BE=AC, ,∴.Rt△DEB≌Rt△BCA(HL), .'AE =3tcm, .'BE AB-AE =(15-3t)cm, ..15-3t=6, ∴.t=3; 多学科同·假子学 Www.2××k.C0m 让学习更商效 若BE=AB, ,∴，Rt△DEB兰Rt△CBA(HL), .AE=0, .t=0(舍去)， 当E在线段AB延长线上时， 若BE=AC, ,∴.Rt△DEB≌Rt△BCA(HL), .AE=3t=AB+BE=15+6=21(cm), ∴.t=7, 若BE=AB, ∴.Rt△DEB≌Rt△CBA(HL), .'AE=3t=AB+BE=15+15=30(cm), ∴.t=10, ∴.当t=3或7或10秒时，△DEB与△BCA全等 故答案为：3或7或10 6.1或 【难度】0.65 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答： ①当△ABP≌△PCQ和②当△ABP≌△QCP时，利用全等三角形对应边相等，列出方程即可求解， 利用全等三角形对应边相等，列出方程是解题的关键， 【详解】解：由题意知，BP=2t(cm),PC=(6-2t)cm, AB =4cm, ①当△ABP≌△PCQ时， ∴.BA=CP, ÷6-2t=4, ÷t=1: ②当△ABP≌△QCP时， .∴.BP=CP=3cm, 多学科同·假子学 Www.2x×k.c0m 让学习更商效 2t=3, t=影 综上，当t的值是1或时，能够使△A8P与△CQP全等， 故答案为：1或 7.4或9 【难度】0.65 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动时间为t秒，点Q运动速度为vcm/s, 则BP=4tcm,CQ=vtCm,根据∠B=∠C=120°，可得△BAP兰△CQP或△BAP兰△CPQ,再根据全 等三角形的性质，即可求解 【详解】解：设点P运动时间为t秒，点Q运动速度为vcm/s,则BP=4tcm,cQ=vtcm, .∴.CP=(12-4t)cm, .∠B=∠C=120°， .△BAP兰△CQP或△BAP≌△CPQ, 当△BAP≌△CQP时，CQ=AB=8cm,BP=CP=BC=6cm, 4t=6,解得：t= v=8, 解得：v=cm/s 当△BAP≌△CPQ时，CQ=BP,BP=CQ=vtcm, ∴.4t=t,解得：v=4cm/s; 综上所述，点Q运动速度为4cm/s或普cm/s. 故答案为：4或号 8.7或15 【难度】0.65 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，分两种情况讨论，BE=CE-BC或BE=CE+BC,进而 多学科同·假子学 Www.2x×k.c0m 让学习更商效 求得的值，即可求解. 【详解】解：：CD为AB边上的高， ÷∠BDC=90°， :∠A+∠ABC=90°，∠DBC+∠BCD=90°， &∠A=∠BCD, CF AB, 当CE=AC时，△CFE兰△ABC(SAS), ÷CE=AC=22cm, ÷BE=CE-BC=22-8=14(cm)或BE=CE+BC=22+8=30(cm), “t=号=7或t=碧=15， 即当t=7或15秒时，能使△ABC与以点C、F. 故答案为：7或15. 9.6或7 【难度】0.65 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，设点P、Q的运动时间为ts,Q的运动速度为acm/s,则 BP=6tcm,CQ=atcm,PC=(24-6t)cm,再根据全等三角形的性质分①当△BDP≌△CPQ时， BD=PC,BP=CQ和②当△BDP兰△CQP时，BD=CQ,BP=CP两种情况讨论即可，熟练掌握全 等三角形的性质及分类讨论思想是解题的关键 【详解】：AB=28cm,点D为AB的中点， 8D=AB=5×28=14cm, 设点P、Q的运动时间为ts,Q的运动速度为acm/s,则BP=6tcm,CQ=atcm, 多学科同·短子学 Www.2××k.C0m 让学习更商效 BC=24cm, ÷PC=(24-6t)cm, :∠B=∠C, △BPD与△CQP全等共有两种情况： ①当△BDP≌△CPQ时，则有BD=PC,BP=CQ, 14=24-6t,6t=at, t=号 a=6,故点Q的运动速度为6cm/s; ②当△BDP兰△CQP时，则有BD=CQ,BP=CP, .14=at,6t=24-6t, t=2, ·a=7,故点Q的运动速度为7cms, 综上所述：点的运动速度为6或7cm/s. 10.1或 【难度】0.65 【知识点】几何问题（一元一次方程的应用）、全等三角形的性质 【分析】主要考查了全等三角形的性质，一元一次方程的几何应用，解本题的关键是熟练掌握 全等三角形的判定与性质.可分两种情况：①△DAP兰△PBQ得到AP=BQ,AD=BP,②△DAP兰△ QBP得到AD=BQ,AP=BP,然后分别计算出的值，进而得到的值. 【详解】解：①当AP=BQ,AD=BP时，△DAP≌△PBQ, AD =4cm, ÷PB=4cm, ÷AP=6-4=2(cm), ∴BQ=2cm, 1t=2,解得：t=2, ·2w=2, ÷v=1, ②当AD=BQ,AP=BP时，△DAP兰△QBP, :AP=BP=3cm, 多学科同·假子学 WwW.2x×k.C0m 让学习更商效 1t=3,解得：t=3, AD BQ =4cm, ÷vX3=4, 解得：= 综上所述，当v=1或时，存在某一时刻，△ADP与△BPQ全等， 故答案为：1或 11.4或9 【难度】0.65 【知识点】全等三角形的性质 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，分别利用：①当EB=PC,BP=QC时，△BPE兰△ CQP;②当BP=CP,BE=QC时，△BPE≌△CPQ,进行求解即可，关键是掌握三边对应相等的 两个三角形全等。 【详解】①当EB=PC,BP=QC时，△BPE≌△CQP, AB =30cm,AE =14cm, .BE =16cm, ÷PC=16cm, BC=24cm, .QC=BP BC-PC=8cm, :点P从点B出发在线段BC上以4cm/s的速度向点C向运动， 时间为：8÷4=2(s), 点Q的运动速度为8÷2=4(cm/s): ②当BP=CP,BE=QC时，△BPE≌△CPQ, 设秒时，BP=CP, 由题意得：4x=24-4x, 解得：x=3, .QC BE =16cm 16+3=5(cm/s, 故答案为：4或始 多学科同·假子学 Www.2x×k.C0m 让学习更商效 12.0.5或2.5 【难度】0.65 【知识点】全等三角形的性质、几何问题（二元一次方程组的应用） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，解二元一次方程组，设运动的时 间为ts,动点M的速度为cm/s,则AP=tcm,BQ=2tcm,BM=vtcm,进而得到PD=(6- t)cm,DM=(10-vt)cm,再分当△DPM兰△BMQ时，当△DPM兰△BQM时，两种情况根据全等三 角形对应边相等建立方程组求解即可」 【详解】解：设运动的时间为ts,动点M的速度为cm/s 由题意得，AP=tcm,BQ=2tcm,BM=vtcm, .PD=(6-t)cm,DM=(10-vt)cm. .AD II BC, ∴.∠ADB=∠DBC. 当△DPM兰△BMQ时，则DP=BM,DM=BQ, .∴.6-t=vt,10-t=2t, 解得t=4, .6-4=4, 解得v=0.5. 当△DPM兰△BQM时，则DP=BQ,DM=BM, ∴.6-t=2t,10-vt=t, 解得t=2, ∴.10-2v=2p, 解得v=2.5. 综上所述，动点M的速度为0.5cm/s或2.5cm/s, 故答案为：0.5或25. 13.(1)BD AE.BD CE DE (2)成立，理由见解析 (6)存在，t=x=2或t=x=普 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA(AAS)综合（ASA或者AAS) 多学科同·短子学 Www.2x×k.c0m 让学习更离效 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、平角的定义以及分类讨论 等知识，证明三角形全等是解题的关键 (1)由平角的定义和三角形内角和定理得∠CAE=∠ABD,再由AAS证明△ABD≌△CAE,得BD= AE,CE=AD,即可解决问题； (2)同(1)得△ABD兰△CAE(AAS,得BD=AE,CE=AD,即可得出结论： (3)分△DAB兰△ECA或△DAB兰△EAC两种情形，分别根据全等三角形的性质求出t的值，即 可解决问题 【详解】（1)解：.AB⊥AC, ∴.∠BAC=90 .∴.∠BDA=∠AEC=∠BAC=90° .'∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90 .∴.∠CAE=∠ABD. '.'AB=CA, .∴.△ABD≌△CAE(AAS, ,∴，BD=AE,AD=CE, '.AE +AD DE, ∴.BD+CE=DE, 故答案为：BD=AE,BD+CE=DE: (2)解：成立，理由如下： ∴，'∠BDA=LAEC=∠BAC,∠BAD+LCAE+∠BAC=∠BAD+LABD+∠BDA=180°， ∴·LBAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD, ,.∠CAE=∠ABD ∴，'∠BDA=LAEC,AB=CA, ∴.△ABD≌△CAE(AAS, .∴.BD=AEAD=CE, .'AE +AD DE, ∴.BD+CE=DEi (3)存在，理由如下： 当△DAB≌△ECA时，AD=CE,BD=AE=7cm, .AD AE DE =10cm,