【专项练】截长补短模型-鲁教版五四制七年级下册期末专项（初中数学）

扇学科同·艇子学 www,z××k.c0m 让学习更高效 截长补短模型 基础题 1.如图，△ABC中，∠B=2∠4，∠ACB的平分线CD交AB于点D,已知AC-16,BC=9,则 BD的长为() B D A.6 B.7 C.8 D.9 中等题 2.如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC,若∠DAB的平分线AE交CD于E,连接BE,且 BE恰好平分∠ABC,则AB的长与AD+BC的大小关系是() B A.AB>AD+BC B.AB<AD+BCC.AB=AD+BCD.无法确定 3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠B=2∠ADB,AB=5,CD=6,则AC的长为() D A.3 B.9 C.11 D.15 扇学科同·服子学 www,z××k.c0m 让学习更高效 4.如图，△ABC是等边三角形，F是AC的中点，D在线段BC上，连接DF,以DF为边在D的右侧 作等边△DF,连接EC,若存在实数k,使得Ct为定值a,则和a分别是（） A.k=3a=1B.k=3a=1C.k=1,a= D.k=2,a=3 二、填空题 5.如图，∠A=2C,BD平分∠ABC,BC=10,AB=6,则AD=一 B 6.如图，△ABC与△ADC有一条公共边AC,且AB=AD,∠ACB=∠ACDx,则∠BAD=.(用 含有x的代数式表示) B 7.如图，已知AABC中，∠A=60°，D为AB上一点，且AC=2AD+BD,∠B=4∠ACD,则∠DCB的度 数是 函学科同·腰子学 www,z××k.c0m 让学习更高效 B 8.如图，△ABC为等边三角形，若∠DBC=∠DAC=a(0°<&<60)，则∠BCD= (用含a 的式子表示) 9.如图，△ABC中，E在BC上，D在BA上，过E作EF1AB于F,∠B=∠1+∠2，AE=CD,BF= 则AD的长为 2 E 10.在四边形A8CD中，AB=AD,LA8C与LADC互补，点E、F分别在射线CB、DC上，且LEAF=∠BAD, 当BC=4,DC=7,CF=1时，△CEF的周长等于 高学科网·短子学 www,z××k.c0m 让学习更高效 11.如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M N,使△AN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数是 12.如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE,BF相交于点O,AE交BC于E,BF交AC于F, 过点0作0D1BC于D,下列四个结论：①LA0B=90°+C;②当C=60时，AF+BE=AB;③ 若0D=a,AB+BC+CA=2b,则S。ABc=ab.其中正确的是 (填写正确的序号) B E万 困难题 13.(1)阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC,∠A+∠C=180°.求 证：DA=DC 思考：“角平分线+对角互补可以通过“截长、补短等构造全等去解决问题， 方法1：在BC上截取BM=BA,连接DM,得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长BA到点N,使得BN=BC,连接DN,得到全等三角形，进而解决问题. 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明 (2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接AC,当∠DAC=60时，探究线段AB,BC,BD 之间的数量关系，并说明理由； (3)问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，DA=DC,过点D作DE1BC,垂足 为点E,请写出线段AB、CE、BC之间的数量关系， 高学科同·服子学 www,z××k.c0m 让学习更高效 B B D 图1 图2 图3 14.课堂上，老师提出了这样一个问题： E D D 图1 图2 A D B D 图3 图4 如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D,且AB+BD=AC,求证：∠ABC=2∠ACB,小明 的方法是：如图2，在AC上截取AE,使AB=AB,连接DE,构造全等三角形来证明. (1y小天提出，如果把小明的方法叫做截长法”，那么还可以用“补短法通过延长线段A构造全 等三角形进行证明.辅助线的画法是：延长AB至F,使F=,连接DF请补全小天提出的 辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线： (2小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题： 如图3，点D在△ABC的内部，AD,BD,CD分别平分∠BAC,∠ABC,∠ACB,且AB+BD=AC.求 证：∠ABC=2LACB.请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）； 高学科网·短子学 www.2×Xk.c0m 让学习更高效 (3y小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下： 如果在△ABC中，∠ABC=2∠ACB,点D在边BC上，AB+BD=AC,那么AD平分∠BAC小东判断这 个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的.请你利用图4对这个命题进行证明， 15.如图1：在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E,F分别是BC,CD 上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系， 图1 图2 图3 (Iy小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE兰△ADG, 再证明△AEF兰△AGF,可得出结论，他的结论应是 ；(直接写结论，不需证明) (2如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADF=180°，E,F分别是BC、CD上的点，且∠EAF= 4BAD,(1)中结论是否仍然成立，并说明理由： (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，E,F分别是边BC、CD延长线上的 点，且EAF=∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它 们之间的数量关系，并证明，多学科网·短子学 www.2x×k.c0m 让学习更离效 截长补短模型 基回题 1.B 【难度】0.85 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、根据等角对等边证明边相等 【分析】如图，在CA上截取CW=CB,连接DN,证明△CBD兰△CWD利用全等三角形的性质证明 BD=ND,求解CW=9,AN=7,再证明DN=AN,从而可得答案. 【详解】解：如图，在CA上截取CW=CB.连接DN, :CD平分LACB. ·∠BCD=∠NCD. CDCD, △CBD≌△CND(SAS). BD=ND,∠B=∠CND, D :BC=9,AC=16. .CN =9,AN=AC-CN =7, '∠CND=∠NDA+LA :∠B=∠NDA+LA, ∠B=2∠A, ÷∠A=∠NDA, 2.ND NA. :BD AN =7. 故选：B。 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的 关键. 多学科同·假子学 Www.2××k.C0m 让学习更高效 中等题 2.C 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】在AB上截取AF=AD,连接EE,易得∠AEB-90°和△ADE≌△AFE,再证明 △BCE2△BFE,利用全等三角形对应边相等即可得出三条线段之间的关系 【详解】解：如图所示，在AB上截取AF=AD,连接EF, .AD∥BC, ∴.∠ABC+∠DAB=180 又'.BE平分∠ABC,AE平分∠DAB ·∠ABE+∠EAB-(LABC+∠DAB)=90, .∠AEB=90即∠2+∠4=90°， 在△ADE和△AFE中， AD=AF ∠DAE=∠FAE AE=AE .△ADE2△AFE(SAS), 所以∠1=∠2， 又∠2+∠4=90°，∠1+∠3=90°， 所以∠3=∠4， 在△BCE和△BFE中， (CBE=∠FBE BE=BE ∠3=∠4 ∴.△BCE2△BFE(ASA), 所以BC=BF, 所以AB=AF+BF=AD+BC: 多学科同·假子学 WwW.2x×k.C0m 让学习更商效 故选C 【点晴】本题考查全等三角形的判定和性质，截长补短是证明线段和差关系的常用方法 3.C 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】在AC上截取AE=AB,连接DE,证明△ABD≌△AED,得到∠B=∠AED,AB=AE, 再证明CD=CE,进而代入数值解答即可. 【详解】在AC上截取AE=AB,连接DE E .'AD平分∠BAC, .∠BAD=∠DAC 在△ABD和△AED中， AE=AB {∠BAD=∠DAC, AD=AD ∴.△ABD≌△AED(SAS), ∴，∠B=∠AED,∠ADB=∠ADE,AB=AE, 又∠B=2∠ADB ∴.∠AED=2∠ADB,∠BDE=2∠ADB, .'∠AED=∠C+∠EDC=2∠ADB,∠BDE=∠C+∠DEC-2∠ADB, ∴.∠DEC=∠EDC, ∴.CD=CE, AB=5,CD=6, ..AC=AE+CE=AB+CD=5+6=11. 故选：C 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质；利用了全等三角形中常用辅助线截长补短法构 造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握， 4.A 多学科同·假子学 Www.2x×k.C0m 让学习更离效 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、等边三角形的判定和性质 【分析】在BC上截取CG=CF,连接FG,通过证明△DFG≌△EFC,可得DG=EC,即可求解. 【详解】解：如图，在BC上截取cG=CF,连接FG, :△ABC是等边三角形， ÷∠ACB=60°， :F是AC的中点， CF=CG=AB=BC △FCG是等边三角形， ÷∠GFC=60°，FG=CF, :△DFE是等边三角形， ÷FD=FE,DFE=60°， ÷LDFG=∠EFC, 在△DFG与△EFC中， FD=EF ∠DFG=LEFC, FG=CF ∴△DFG≌△EFC(SAS). ÷DG=EC, :CF +EC=CD, BC+EC=CD, :2c4c=1, CD k=分a=1: 多学科同·假子学 Www.2x×k.C0m 让学习更高效 故选：A. 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，本题的 难点是作出辅助线，构成全等三角形 5.4 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】在BC上截取BE=AB,利用“边角边"证明△ABD2△EBD,根据全等三角形对应边 相等可得DE=AD,由全等三角形对应角相等可得∠BED=∠A,然后求出∠C=∠CDE,根 据等角对等边可得CE=DE,等量代换得到EC=AD,则BC=BE+EC=AB+AD即可求出AD 长 【详解】解：(1)在BC上截取BE=BA,如图， B ,BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠EBD, 在△ABD和△BED中， BE=BA ∠ABD=∠EBD, BD=BD ∴.△ABD≌△EBD(SAS), ∴.DE=AD,∠BED=∠A 又.∵∠A=2∠C, ∴.∠BED=∠C+∠EDC=2∠C, .∴.∠EDC=∠C ∴.ED=EC, .'.EC=AD, ,∴.BC=BE+EC=AB+AD, .BC=10,AB=6, 多学科同·假子学 Www.2x×k.c0m 让学习更高效 .∴.AD=10-6=4: 故答案为：4. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 的和的性质，等角对等边的性质，作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键。 6.180°-2x 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题、根据等边对等角证明、正多边形的内角问题 【分析】在CD上截取CE-CB,证明△ABC2△AEC得AE=AB,∠B=∠AEC,可进一步证明 ∠D+∠B=180°，再根据四边形内角和定理可得结论. 【详解】解：在CD上截取CE=CB,如图所示， B 在△ABC和△AEC中， CE=CB ∠ACE=∠ACB AC=AC .∴.△ABC2△AEC(SAS) .∴.AE=AB,∠B=∠AEC '.'AB=AD, ∴.AD=AE, .∠D=∠AED, .'∠AED+∠AEC=180, ∴.∠D+∠B=180 .'∠DAB+∠ABC+∠BCDH∠CDA=360° ,.∠DAB+∠BCD=360°-∠ABC∠CDA=360°-180-180°， .'∠BCD=∠ACB+∠ACDx+x=2x .∠DAB=180°-∠BCD=180°-2x 多学科网·短子学 WwW.2x×k.C0m 让学习更高效 故答案为：180°-2x 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及四边形的内角和等知识， 作辅助线构造全等三角形是解答此题的难点， 7.20° 【难度】0.65 【知识点】其他模型（全等三角形的辅助线问题）、等边三角形的判定和性质 【分析延长AB至点E使BE=AD,连接CE,证明△AEC是等边三角形，设LACD=x,则∠ABC=4x, 再证明△ADC兰△EBC(SAS),即可得到结果 【详解】解：如图，延长AB至点E使BE=AD,连接CE. ..AE=AD+DB+BE=2AD+BD, .AC=2AD+BD, ∴.AE=AC ∠A=60 ∴.△AEC是等边三角形， .∴.∠E=∠ACE=60, LABC=4∠ACD, ∴.设LACD=x,则∠ABC=4x.在△ADC与△EBC中， (AD =BE LA=∠E, (AC=EC ∴.△ADC兰△EBC(SA), ∴.LACD=LECB=x. '∠ABC=LE+LBCE, ∴.4x=60°+x ∴.x=20, .∴.∠BCD=60°-20°-20°=20°. 故答案是20°. 金学科同·短子学 Www.2x×k.C0m 让学习更离效 E 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，准确分析计算 是解题的关键， 8.120°-a/-a+120° 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、等边三角形的判定和性质 【分析】在BD上截取BE=AD,连结CE,可证得△BEC兰△ADC,从而得到CE-=CD, ∠DCE=∠ACB-60°，从而得到△DCE是等边三角形，进而得到∠BDC=60°，则有∠BCE=60°-a, 即可求解 【详解】解：如图，在BD上截取BE=AD,连结CE, ,△ABC为等边三角形， .∴.BC=AC,∠BAC=∠ABC=∠ACB-60°， ,∠DBC=∠DAC=a,BE=AD, ,∴.△BEC兰△ADC, ∴.CE=CD,∠BCE=∠ACD, .∠BCE+∠ACE=∠ACDH∠ACE, 多学科网·子学 WwW.2x×k.C0m 让学习更高效 ∴.∠DCE=∠ACB-60°， CE=CD, .△DCE是等边三角形， ∴.∠BDC-60°， .∴.∠BCD=180°-60°-a=120°-a. 故答案为：120°-a 【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是做 出辅助线构造全等三角形是解题的关键 9.月 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的 性质 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质等 知识点，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造出全等三角形.在FA上取一点T,使得FT=BF, 连接ET,在CB上取一点K,使得CK=ET,连接DK.证明AT=DK,DK=BD,推出BD=AT,推 出T=AD即可解决问题. 【详解】解：在FA上取一点T,使得FT=BF,连接ET,在CB上取一点K,使得CK=ET,连接DK. .EF⊥AB,FT=BF, ,∴.EB=ET, ∴.∠B=∠ETB, .∵∠ETB=∠1+∠AET,∠B=∠1+∠2， ∴.∠AET=∠2， AE CD,ET=CK, .∴.△AET≌△DCK(SAS), ∴.DK=AT,∠ATE=∠DKC, ∴.∠ETB=∠DKB, 多学科同·假子学 Www.2××k.C0m 让学习更商效 ∴.∠B=∠DKB, ∴.DB=DK, ∴.BD=AT, .'.AD=BT, :87=28F=号 六AD=多 故答案为：》 10.13 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键. 在DF上截取DG=BE,先证△ADG兰△ABE,再证△AFG兰△AEF,可得EF=FG,再由△CEF的周 长EF+CF+CE=FG+BE+BC+CF=DF+BC+CF即可解答. 【详解】解：在DF上取点G,使DG=BE, .∠ABE+∠ABC=180°，∠ABC+∠ADC=180°， ∴.∠D=LABE, 在△ADG与△ABE中 （AB=AD ∠ABE=∠D, BE=DG .△ABE兰△ADG (SAS), .AG=AE,∠EAB=∠DAG, ∴.∠EAB+∠GAB=∠DAG+∠GAB,即∠EAG=∠BAD, LEAF=LBAD,