【专项练】对角互补模型-鲁教版五四制七年级下册期末专项（初中数学）

学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 对角互补模型 中等题 1.(1)360^; (2见解析 (③)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】角平分线的判定定理、同等角的余(补)角相等的应用、三角形内角和定理的证明。 多边形内角和问题 【分析】(1)根据四边形的内角和定理即可求解; (2)由“互补四边形”的性质可得2A+2BCD=180*,再由2DCE+2BCD=180*,通过等角的补 角相等即可求证 (3)由AD1CD,则2D=90*,由“互补四边形”的性质可得2B=90*,又点E到AB,AD的距离相 等,则AE平分2BAD,由CF平分zDCE和zDCE=ZBAD,得2ECF+ AEB=90*,最后由三角形的 内角和定理即可求解 【详解】(1)解:由四边形的内角和为(4-2)x180*=360* 故答案为:360”; (2)解:补全证明过程如下: ..A+BCD-360*-180*=180* “.'2DCE+2BCD=180*, ..DCE-A; (3)证明:.:AD1CD, ..乙D-90", “. B+ BAD+ D+ DCB=360*, BAD+ DCB=180* ..B=90", ..EAB+ AEB=180*-90*-90*, .点E到AB,AD的距离相等 .AE平分BAD. .EAB--_BAD, ":CF平分DCE, 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 '. ECF=2DCE, 由(2)知, DCE= BAD '.EAB= ECF ..ECF+2AFB-90* .. CFE=180*-(乙ECF+乙AEB)=90”, .'.AE1CF. 【点晴】本题考查了三角形的内角和定理,角平分线的判定,等角的补角相等,角平分线的有 关计算,四边形的内角和,补角的定义等知识,熟练掌握知识点的应用是解题的关键 2. (1)证明见解析;(2)AB+BC=BD;理由见解析 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定 和性质 【分析】(1)根据题意,采用截取等长的方法,在BC上截BM=BA,构造AABDAMBD,再利 用等腰三角形的性质求解; (2)巧妙利用(1)的结论和方法进行延伸,延长cB,结合等边三角形的性质,同时构造两个 全等三角形,进而找到边长关系 【详解】 图1 解: (1)方法1:在BC上截BM=BA,连接DM,如图 "BD平分乙ABC ..乙ABD=ZCBD. BD=BD 在AABD和AMBD中, f_ABD=ZMBD, BA-BM .'.AABDAMBD,LA=乙BMD,AD=MD. .' BMD+ CMD=180*,2C+ A=180*. 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 '. C= CMD,DM=DC, ..DA=DC. 图1 方法2:延长BA到点N,使得BN=BC,连接DN,如图, .BD平分乙ABC. .. NBD=ZCBD. BD-BD 在ANBD和ACBD中, NBD= CBD. BN=BC '.ANBDACBD, BND= C, DN=DC$ . NAD+ BAD=180 , C+ BAD=18 0*$ ..BND=乙NAD. ..DN-DA, ..DA=DC. (2)AB、BC、BD之间的数量关系为;AB+BC=BD. D 图2 如图2所示,延长CB到点P,使BP=BA,连接AP 由(1)可知AD=CD. .乙DAC=60* '.AADC为等边三角形,AC=AD,2ADC=60*$$ “.BCD+ BAD=180*. 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 '. ABC=360$-18 0$-6 0*=$1 0$$, PBA=$180*- ABC=$ 0 . BP-BA, '.AABP为等边三角形 '. PAB=60*,AB=AP$ .'乙DAC=60*. '.PAB+ BAC= DAC+ BAC,即 PAC= BAD$$ PA-BA 在APAC和ABAD中,[2PAC=乙BAD, AC=AD ..APAC=ABAD,PC-BD, “.PC=BP+BC=AB+BC. .'.AB+BC-BD 【点晴】本题考查了全等三角形的判断与性质,等腰三角形、等边三角形关系与性质,关键是 要采用截长补短的方法,添加适当的辅助线构造出全等三角形 3.(1)①见解析;②等腰直角三角形;③45 (2见解析 (3)zDAE+zDBC-180*,理由见解析 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合(sAS)、等边三角形的判定和性质、三角形的外角的定 义及性质 【分析】(1)①按题意画出图形即可; ②证明△CAD△MAB,由全等三角形的性质得出zCAD=ZMAB.AC=AM,可得出zCAM=90* 则可得出答案; ③由等腰三角形的性质可得出答案 (2)延长CB至M,使得BM=CD,连AM,证明△CAD△MAB,得出zCAD=ZMAB.AC=AM, 证明△ACM为等边三角形,则可得出答案 (3)延长CD至M,使得DM=CB,连AM.AC,延长BA至F. 证明△ABC:△ADM,得出AC=AM 则 M=乙ACB= ACD,证明△ACD△ACE,由全等三角形的性质得出AD=AB=AE,得出 2DAE=22DBE,则可得出答案. 【详解】(1)①如图1. 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 B M 图1 ②'.'ADC+ ABC=180{*$<ABM+ ABC=18 0* ..乙ADC=乙ABM .AD=AB, '.△CAD=△MAB(SAS). .'. CAD= MAB.AC=AM . CAD+ CAB=90* ..MAB+ CAB=90*$ 即2CAM-90*, ·.AMAC为等腰直角三角形; 故答案为:等腰直角三角形 ③:△MAC为等腰直角三角形 .'.2ACB=45*. 故答案为:45*; (2)如图2,延长CB至M,使得BM=CD,连AM M 图2 .' ADC+ ABC=180*$, ABM+ ABC=18 0*$ ..乙ADC=乙ABM '.'AD=AB '.△CAD△MAB(SAS). 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 '. CAD= MAB.AC=AM, '.CAM= MAB+ CAB= CAD+CAB= BAD=6 0 '.△ACM为等边三角形 .'.CA=CM=CB+BM=CB+CD (3)2DAE+ DBC=180*.理由如下 证明:如图3.延长CD至M,使得DM=CB,连AM.AC,延长BA至F 飞 E # 图3 则乙ADM=乙ABC AB-AD, ..△ABC=△ADM(SAS). '.AC=AM, .'.M=乙ACB=乙ACD CD=CE.CA=CA, ..△ACD:△ACE(SAS), ..AD=AB=AE, . DAF=2ABD,乙EAF=2 ABE .'.DAE-22DBE .'乙DBE+ZDBC=180*} .: DAE+ DBC-180. 【点晴】本题考查了等边三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质 以及三角形外角的性质等知识,添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键 困 难 题 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 4.(1)2B=135*, (2)①BAN的度数为120或75*; ②3mm 1 【难度】0.4 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、角平分线的有关计算、多边形内 角和问题 【分析】(1)根据四边形ABCD是“对角互补四边形”,求得2B+2D=180*,根据题意列方程即 可得到结论; (2)①根据“对角互补四边形的定义得到2ABC=120*,根据角平分线的定义得到zB0C= B0A=30*,当2BC0=2B0C=30*时,求得 CB0=120{*}=2ABC(不符合题意,舍去),当2 CB0=$$ BOC=30*时,求得2BAN=120*;当2CB0= 0CB时,求得 BAN=75*;$ ②如图②.过点B作BG1ON于G.BH1OM于H.根据已知条件得到OC:0A=n.根据四边形C0AB 是“对角互补四边形”,求得2ABC=120{,根据全等三角形的性质得到CH=AG,解方程即可得 到结论. 【详解】(1)解::四边形ABCD是“对角互补四边形” ..乙B+zD=180*. .'B-3D. .B+乙B=180, ..2B=135*; (2)①:四边形coAB是“对角互补四边形,2MoN-60*, ..乙ABC-120”, .OB平分乙MON. '.乙B0C=乙B0A-30*; 当2BC0=2B0C=30*时. '.2CB0=180*-30*-30*=120*=2ABC(不符合题意,舍去) 当2CB0=2B0C-30*时. ..乙AB0=120*-30*=90* ..BAN=2B0A+ AB0=120*; 当2CBO=2OCB时, '. 0BC=(180*-30”)-75*,AB0=120*-75*-45*, 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 '.BAN= B0A+ AB0=75 综上所述:2BAN的度数为120*或75 ②如图②,过点B作BG1ON于G.BH1OM于H # 图② '.' B0C= B0A=30*, .Ssoc:S△soA=(C·BH):(OA·BG)=n ..OC:0A=n. :四边形COAB是“对角互补四边形” '. ABC=180*- M0N=120* “.' BBH0= BG0=90*$$$ '. HBG=180*- M0N=12 0*$$$ .._CBH=ZABG, 在△CBH与△ABG中. (乙BHC= BGA _CBH= ABG, BH=BG ..△CBH=△ABG(AAS) '.CH-AG, '.0C+CH=0A-AG, .0C+2CH--OC, .(-1)oc=2CH, .CH-oc. . OH=OC+CH. 学科同·幅子学 www.zxxk.com 让学习更高效 .oC+oc一m 【点晴】本题是四边形是综合题,考查了全等三角形的判定和性质,直角三角形的性质,勾股 定理的应用,角平分线的性质,新定义“对角互补四边形,正确地找出辅助线是解题的关键壶学科同·短子学 www.Z×Xk.c0m 让学习更高效 对角互补模型 中等题 1.阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务. 关于“互补四边形的研究报告 研究对象：互补四边形 研究方法：观察（测量，实验）一猜想一推理证明 教材知识：四边形的内角和为▲· 研究内容： 【一般概念】互补四边形是一种特殊的几何图形，有一组对角和为180的四边 形叫“互补四边形. 【性质探究】如图1，在“互补四边形ABCD"中，∠B+∠D=180°，∠DCE是四边 形ABCD的一个外角.试判断∠DCE与∠BAD的数量关系，并说明理由. 猜想：∠DCE=LA. 证明：，‘∠B+∠D+∠A+∠BCD=360°，∠B+∠D=180°， D B 图1 任务： (1)材料“▲"处的内容为 (2)补全材料中“处的证明过程 (3如图2，在“互补四边形ABCD中，∠BAD+∠DCB=180°，AD⊥CD,E为BC延长线上的一点， 且点E到AB和AD的距离相等，连接AE,交∠DCE的平分线于点F.求证：AF⊥CF. 扇学科网·短子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 D B 图2 2.(1)阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC,∠A+∠C=180°.求 证：DA=DC. 思考：“角平分线+对角互补可以通过截长、补短等构造全等去解决问题 方法1：在BC上截取BM=BA,连接DM,得到全等三角形，进而解决问题， 方法2：延长BA到点N,使得BN=BC,连接DN,得到全等三角形，进而解决问题. 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明 (2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接AC,当∠DAC=60时，探究线段AB,BC,BD 之间的数量关系，并说明理由： D D 图1 图2 3.四边形ABCD若满足∠A+∠C=180°，则我们称该四边形为“对角互补四边形 C 8 B D 图1 图2 图3 (I)如图1，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足∠BAD=90°，AB=AD,求LACB的度数.小 云同学是这么做的：延长CB至M,使得BM=CD,连AM,可证明△CAD≌△MAB,通过判断△MAC 的形状，可以得出结论， 扇学科网·短子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 ①在图1中按要求完成作图： ②△MAC的形状为 ③∠ACB=I (2)如图2，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足∠BAD=60°，AB=AD,试证明：CA=CB+CD: (3)如图3，等腰△ABD、等腰△CDE的顶角分别为∠BAD、∠C,点B在线段CE上，且∠BAD与∠C 互补.请你判断∠DAE与∠DBC的数量关系并证明 困难题 4.【问题背景】如图①，在四边形ABCD中，∠A和∠C称为它的对角，若这个四边形满足：∠A+∠C= 180°，则这个四边形叫做为“对角互补四边形" 图① 图② 【问题解决】 (1)若四边形ABCD是“对角互补四边形，且∠B=3∠D,求∠B的度数： (2)如图②，∠MON=60°，OB平分∠MON,A是射线0N上一动点，C是射线0M上的动点，且四 边形C0AB是“对角互补四边形. ①若△COB是等腰三角形，求∠BAN的度数： ②若0B=m,若Sa8oc:5a8o4=n,求0C的长（用含m、n的代数式表示）.