【专项练】等腰（边）三角形的判定性质综合-鲁教版五四制七年级下册期末专项（初中数学）

多学科同·短子学 Www.2x×k.c0m 让学习更离效 等腰（边）三角形的判定性质综合 基础题 1.C 【难度】0.94 【知识点】等腰三角形的性质和判定、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】先得出∠CAD=∠BAD,再根据等腰三角形的判定得出AD=DB,推出∠B=∠EAD,进而 得出∠CAD=∠EAD=∠B,根据∠CAD+∠EAD+∠B=90°，即可得出答案， 【详解】解：，∠BAC=2∠BAD,∠BAC=∠BAD+∠CAD, .∠CAD=∠BAD ,DE是∠ADB的平分线，DE⊥AB, .'AD=DB, .∠B=∠EAD, ∴.∠CAD=∠EAD=LB, .∠CAD+∠EAD+∠B=90, ∴.∠B=30, 故选：C 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，正确理解题意是解决问题的关键 2.A 【难度】0.94 【知识点】等腰三角形的性质和判定 【分析】等腰三角形的周长为20，一边长为5，分类讨论，是腰长是5或者底边长是5，再根 据构成三角形的三边的关系判断是否符合，由此即可求解 【详解】解：①周长为20，腰长为5， ∴.三角形的底边长是20-5-5=10，即三角形的两条腰长为5，底边长是10，根据构成三角 形的三边的关系可知，不能构成三角形，更不可以构成等腰三角形，不符合题意； ②周长为20，底边长为5， “三角形的腰长是=7.5，即三角形的两条腰长为75，底边长是5，根据构成三角形的三边 的关系可知，可以构成等腰三角形，符合题意， 故选：A 金学科同·随子学 Www.2x×k.c0m 让学习更离效 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，构成三角形的三边的关系，理解和掌握等腰三角形 的性质是解题的关键 3.D 【难度】0.94 【知识点】等边三角形的判定和性质 【分析】根据等边三角形的判定、轴对称的性质即可判断 【详解】解：①三条边都相等的三角形是等边三角形，此选项符合题意： ②有一个角为60的等腰三角形是等边三角形，此选项符合题意. ③有两个角为60的三角形是等边三角形，此选项符合题意 ④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形，此选项 符合题意。 故选：D. 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、轴对称等知识， 解题的关键是熟练掌握基本知识， 4.B 【难度】0.85 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、两直线平行同位角相等、三角形内角和定理的应用、 等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键熟记平行线的性质两直线平行，同位角相等； 先求出三角形是等边三角形利用外角的定义可求得BCD=120°，再利用三角形内角和求出 ∠D=36°，再由平行线的性质可得∠2=36° 【详解】解：如图 三角形是等腰三角形，∠A=60° 三角形是等边三角形 ÷∠ACF=60°， ÷∠ACD=120°， '∠1=∠CBD=24, 多学科同·假子学 WwW.2x×k.C0m 让学习更离效 ÷∠D=180°-120°-24°=36°. 太阳光线平行照射在放置于地面的正三角形上， ÷∠2=∠D=36°. 故选：B. 5.C 【难度】0.85 【知识点】等边三角形的判定和性质、折叠问题、三角形内角和定理的应用 【分析】题目主要考查折叠问题及等边三角形的判定和性质，三角形纳角和定理，理解题意， 得出△BCC为等边三角形是解题关键， 根据题意，分两种情况：当点A与点C重合时，当点A与点F重合时，分别利用等边三角形的 判定和性质，结合图形求解即可. 【详解】解：如图所示： 当点A与点c重合时， ',·三角形△BCF沿着B折叠后，点C的对应点为点C,若此时点C恰好落在底边BC的高所在的直 线上， ∴.BC=BC ,等腰三角形△ABC,AD⊥BC, ∴.AD垂直平分BC, ∴.BC'=CC, ∴.△BCC为等边三角形， .∴.∠BCC'=∠CBC'=∠BCC=60°， .∴.∠BCA=∠ABC>60°， 多学科同·假子学 Www.2x×k.C0m 让学习更离效 .∴.∠BCA+∠ABC>120°， ,∴.0°<∠BAC<60°， 当点A与点C重合时，∠BAC=60°， ∴.0°<∠BAC≤60： 当点A与点F重合时，如图所示： ,·三角形△BCF沿着BF折叠后，点C的对应点为点C,若此时点C恰好落在底边BC的高所在的直 线上， .'BC=BC, .等腰三角形△ABC,AD⊥BC, ∴.AD垂直平分BC, ∴.BC=CC ∴.△BCC为等边三角形， .∴.∠BCC'=∠CBC'=∠BCC=60°， ,∴.∠BCA=∠ABC=30°， .∴.∠BCA+∠ABC=60, .∴.∠BAC=120, ∴.当点A与点F重合时，∠BAC=120°， 综上可得：0·<∠BAC≤120· 故选：C 多学科同·短子学 Www.2××k.C0m 让学习更高效 中等题 6.12 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角的形定义，全等三角形的判定和性质，先证明△ACD兰△CBE,得 到CD=BE,即可求解 【详解】解：，∵等腰直角三角形ABC,∠ACB=90°， ,.AC=BC,∠ACD+∠ECB=90°， ,∠ADE=∠BED=90, ∴.∠ACD+CAD=90°， .∴.∠CAD=∠BCE, 又，'AC=BC,∠ADE=∠BED=90°， ∴.△ACD兰△CBE(SAS, ∴.CD=BE=7cm, .'DE DC+CE=7+5=12cm 故答案为：12. 7.2a-90° 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质 等知识点，先由垂直平分线的性质得AB=BM,由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得 ∠ABD=∠MBD=90°-a,由∠ABD=∠CBM,可推出∠ABC=3(90°-a)=270°-3a,最后由三角 形的内角和定理即可得解，熟练掌握其三角形的内角和定理，垂直平分线的性质，等腰三角形 的判定和性质的综合应用是解决此题的关键 【详解】解：DM=AD,BD⊥AC于点D, .'AB=BM, ∴.∠ABD=∠MBD=90°-a4, ,'LABD=∠CBM, .∴.∠ABD=∠MBD=∠CBM=90°-a, 多学科同·假子学 Www.2x×k.c0m 让学习更高效 .∴.∠ABC=3(90°-a)=270°-3a, .∴.∠C=180°-(LA+∠ABC)=180°-(a+270°-3a)=2a-90°， 故答案为：2a-90°. 8.1 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)、等边三角形的判定和性质、 两直线平行内错角相等 【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质， 关键在于正确地作出辅助线，熟练运用相关的性质、定理，认真地进行计算.过P做C的平行 线至AC于F,通过求证△PFD和△QCD全等，推出FD=CD,再通过证明△APF是等边三角形和PE⊥ AC,推出AE=EF,即可推出AE+DC=EF+FD,可得ED=AC,即可推出ED的长度. 【详解】解：过P做BC的平行线至AC于F, D 卫.∠Q=FPD, 等边△ABC, ∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°， △APF是等边三角形， :AP=PF, AP =CQ, :PF=CQ, 在△PFD和△QCD中， ∠FPD=LQ ∠PDF=∠QDC, PF=CQ ÷△PFD兰△QCD(AAS), :FD=CD, :PE⊥AC于E,△APF是等边三角形， :AE=EF, 多学科同·假子学 Www.2××k.C0m 让学习更离效 .AE+DC=EF +FD, ED=AC, :AC=2, DE=1. 故答案为1. 9.5 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、三角形的外角的定义及性质、 等边对等角 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角性质：连接 AD,AF,先根据等腰三角形的性质求出∠B=∠C=30°，再根据线段垂直平分线的性质得到BF= AF,CD=AD,求出∠DAF=60°，∠AFD=60,∠ADF=60°，进而求出BF=CD=DF,即可求解. 【详解】解：连接AD,AF,如图， G B .AB=AC,∠A=120°， ∴.∠B=∠C=30°， “,'AB的垂直平分线交AB于点E,AC的垂直平分线交AC于点G, .BF=AECD=AD,则∠B=∠BAF=30°，∠DAC=∠C=30, ∴.∠DAF=60°，∠AFD=60°，∠ADF=60°， .'AD=AF=DF, ,∴.BF=CD=DF, '.'BC =15cm, .DF=BC =5cm, 故答案为：5. 10. 【难度】0.65 多学科同·短子学 wWww.2x×k.c0m 让学习更高效 【知识点】全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)、含30度角的直角三角形 等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30的直角三角 形的性质等知识，过D作DH⊥AB于H,证明△ADH兰△ADF(AAS),得出AH=AF,可得BH=EF, 利用含30的直角三角形的性质可得BD=2BH=2EF,则可求BC=6EF,证明△ABC是等边三角 形，得出AB=BC=6EF,即可求解 【详解】解：过D作DH⊥AB于H, :AD平分∠BAE, ∴.∠HAD=∠FAD, 又∠DHA=∠DFA=90°，AD=AD, ,∴.△ADH兰△ADF(AAS), ∴.AH=AF, .AB AC,AC=AE, ,∴AB=AE, ∴.AB-AH=AE-AF,即BH=EF, ,'∠BAC=60,∠BHD=90°， .∠BDH=30°， .'BD =2BH =2EF, 又CD=4EF, .∴.BC=BD+CD=6EF, .AB=AC,∠BAC=60°， .△ABC是等边三角形， ,∴.AB=BC=6EF, 多学科网·子学 Www.2x×k.C0m 让学习更离效 故答案为： 11.相等 【难度】0.65 【知识点】用SAS证明三角形全等(SAS)、折叠问题、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了翻折变换，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握翻 折变换的性质、证明三角形全等是解题的关键.由翻折知，EF垂直平分AB,则AG=BG;又由 翻折知，AB=AG,∠GAM=∠BAM;从而得△ABG是等边三角形，则得∠GAM=30°；再证明△AEG兰 △AHB得LABH=LAGE=30°，即可得两角的关系， 【详解】解：由第一次翻折知，EF垂直平分AB, AG=BG,LAGE=LAGB: 又由第二次翻折知，AB=AG,∠GAM=∠BAM; ·AG=BG=AB, ÷△ABG是等边三角形， ÷∠BAG=∠AGB=60, LGAM=30°，∠AGE=LAGB=30; :点的对应点为点H, :AE=AH; :∠GAM=∠BAM,AB=AG, ∴△AEG≌△AHB, ÷∠ABH=∠AGE=30°， ∠ABH=∠GAM=30°. 故答案为：相等 12.①②③⑤ 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题、内错角相等两直线平行、等边三角形的判定和性质 【分析】此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质 和应用、平行线的判定，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.① 根据全等三角形的判定方法，证出△ACD≌△BCE,即可得出AD=BE;③先证明△ACP≌△BCQ, 即可判断出CP=CQ,③正确：②根据∠PCQ=60°，可得△PCQ为等边三角形，证出∠PQC=∠DCE= 多学科同·短子学 Www.2××k.C0m 让学习更离效 60°，得出PQAE,②正确.④设有条件证出B0=OE,得出④错误；⑤∠A0B=∠DAE+∠AE0= ∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，⑤正确；即可得出结论 【详解】解：：△ABC和△CDE都是等边三角形， ÷AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°， ∴LACB+LBCD=∠DCE+∠BCD, ∴LACD=LBCE, 在△ACD和△BCE中， AC=BC LACD=∠BCE, CD=CE ·△ACD≌△BCE(SAS), ·AD=BE,结论①正确， △ACD≌△BCE, :LCAD LCBE, 又：∠ACB=∠DCE=60°， ÷∠BCD=180°-60°-60°=60°， ÷LACP=∠BCQ=60°， 在△ACP和△BCQ中， LCAP=∠CBQ ∠ACP=∠BCQ, AC=BC ÷△ACP≌△BCQ(AAS), ·CP=CQ,结论③正确： 又：PCQ=60°， :△PCQ为等边三角形， ÷∠PQC=∠DCE=60°， ·PQII AE,结论②正确， Y△ACD≌△BCE, ÷∠ADC=∠AEO, ÷∠AOB=∠DAE+∠AE0=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，结论⑤正确. 没有条件证出B0=OE,④错误； 综上，可得正确的结论有4个：①②③⑤高学科同·短子学 www,z×Xk.c0m 让学习更高效 等腰（边）三角形的判定性质综合 基础题 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=2∠BAD,过点D作DE⊥AB,垂足为E,DE恰好是∠ADB 的平分线，则B的度数为(） B D A.45° B.60° C.30 D.75 2.已知等腰三角形的周长为20，一边长为5，则此等腰三角形的底边长是() A.5 B.7.5 C.5或10 D.5或7.5 3.下列说法中，正确的个数是() ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②有一个角为60的等腰三角形是等边三角形： ③有两个角为60的三角形是等边三角形： ④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等腰三角形上，若∠A=60°，∠1=24°，则∠2 的度数为() A.24° B.36 C.48 D.56 5.如图，已知等腰三角形△ABC中，AB=AC,腰AC上存在一点F,连接BF,将三角形△BCF 沿着BF折叠后，点C的对应点为点C,若此时点C恰好落在底边BC的高所在的直线上，则∠BAC 的度数的取值范围为() 金学科同·艇子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 A.0·<∠A≤60； B.∠A>60; C.0。<∠A≤120； D.600≤∠A≤120。 中等题 6.如图把一块等腰直角三角形零件ABC(LACB=90)放置在一凹槽内，J顶点A、B、C分别落 在凹槽内壁上，∠ADE=∠BED=90°，测得AD=5cm,BE=7cm,则该零件中DE为cm. B D 7.如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D,点M是AC上一点，DM=AD,MN⊥BC于点N,且∠ABD=∠CBM, 若LA=a,则用表示C的度数为一· B 8.如图，过边长为2的等边△ABC的边AB上点P作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一点，当PA=CQ 时，连PQ交AC边于D,则DE长为 扇学科网·短子学 www,z××k.c0m 让学习更高效 9.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，EF为AB的垂直平分线，交AB于点E,交BC于点F, DG为AC的垂直平分线，交AC于点G,交BC于点D.若BC=15cm,则DF= cm A G B 10.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=60°，点D在BC边上，AC=AE,连接CE,且AD平分∠BAE, 过点D作DF1AE于点E,若cD=4EE,则需的值为 11.如图，将长方形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF;折叠纸片，使 点B落在EF上，并使折痕经过点A,得到折痕AM,点B,E的对应点分别为G,H,展平纸片， 连结BG,BH,则∠ABH与∠GAM的关系是 M 12.如图，C为线段AE上一动点（不与A、重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE, AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ,以下五个结论：①AD=BE; ②PO IAE;③CP=CQ;④∠A0B=60°，一定成立的有（填序号） 扇学科网·短子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 13.将两个等腰直角三角板如图1放置，点D是BC边中点. G D G 图1 图2 (I)试判断HD与GD的数量关系，并说明理由. (2)若将三角板如图2摆放，使得点A,重合，且点E,D,C三点共线，连接BE.求证：BE1CE. 困难题 14.在△ABC中，AB=AC,∠BAC=a,作射线AP,点C关于直线AP的对称点为D,连接AD, 直线DC,DB,分别交AP于点E,F,连接CF, (图1) (图2) (备用图) (1)如图1，射线AP在△ABC的外部，当a=40时，求∠BDC的度数； (2)如图2，射线AP的一部分落在△ABC内部，当a=60时 ①直接写出∠BDC的度数： ②求证：AF=BF+CF. (3)当a=60时，若△DBC是等腰三角形，直接写出∠CAD的度数 高学科同·艇子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 15.已知△ABC为等边三角形，过点A的射线AM在△ABC的外部，D为射线AM上的一点，E为平 面内的一点，满足BE=BD 女 图1 图2 图3 备用图 (1)如图1，连接CD,若点E恰好在CD上，且∠DBE=60°，求LADC的度数； (2如图2，连接DE交BC于点F,若∠DBE=120,且F恰为BC的中点，求证：DF=AD+EF: (3)如图3，若∠BAM=38°，∠DBE=120°，连接CE,当线段CE的长度最小时，在射线CE上截取 点H,在边BC上截取一点I,使CH=BL,连接AH,AI,则当AH+AI的值最小时，请直接写出∠HAB 的度数.