专题10：计数原理在古典概率中的应用 （强基篇）讲义-2024-2025学年高二下学期数学沪教版（2020）选择性必修第二册

2024-2025学年沪教版2020选择性必修第二册同步培优课程（强基篇） 专题10 计数原理在古典概率中的应用 1、基本事件的特点 （1）任何两个基本事件是互斥的；（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和； 2、古典概型 （1）古典概型的定义 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性；②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性； （2）古典概型概率公式： P(A)＝＝. 【说明】一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特征的概率模型才是古典概型；正确的判断试验的类型是解决概率问题的关键； 3、排列组合的综合应用 排列组合问题的一些解题技巧： ①特殊元素优先安排； ②合理分类与准确分步； ③排列、组合混合问题先选后排； ④相邻问题捆绑处理； ⑤不相邻问题插空处理； ⑥定序问题除法处理； ⑦分排问题直排处理； ⑧“小集团”排列问题先整体后局部； ⑨构造模型； ⑩正难则反、等价转化． 对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑： ①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； ③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数． 题型1：古典概型的再认识 【方法点拨】判断一个试验是不是古典概型的步骤 (1)明确试验及其结果；(2)判断所有结果(即样本点)是否有限； (3)判断有限个结果是否等可能出现，这需要有日常生活的经验．另外，题目中“完全相同”“任取”等是表述等可能的语言．　　　　 1.下列试验中，是古典概型的为 (　　) A.种下一粒花生，观察它是否发芽 B.向正方形ABCD内，任意投掷一点P，观察点P是否与正方形的中心O重合 C.从1，2，3，4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率 D.在区间内任取一点，求此点小于2的概率 【解析】选C.对于A，发芽与不发芽的概率一般不相等，不满足等可能性；对于B，正方形内点的个数有无限多个，不满足有限性；对于C，满足有限性和等可能性，是古典概型；对于D，区间内的点有无限多个，不满足有限性. 2.下列关于古典概型的说法中正确的是 (　　) ①试验中所有可能出现的样本点只有有限个; ②每个事件出现的可能性相等; ③每个样本点出现的可能性相等; ④若样本点总数为n,随机事件A包含其中的k个样本点,则P(A)=. A.②④ B.③④ C.①④ D.①③④ 【答案】D　②中所说的事件不一定是样本点,所以②不正确;根据古典概型的特征及计算公式可知①③④正确.故选D. 题型2：数字计数中的古典概率 3．【2019年上海卷10】某三位数密码，每位数字可在0﹣9这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是　 　． 【答案】方法一、（直接法）某三位数密码锁，每位数字在0﹣9数字中选取， 总的基本事件个数为1000， 其中恰有两位数字相同的个数为CC270， 则其中恰有两位数字相同的概率是； 方法二、（排除法）某三位数密码锁，每位数字在0﹣9数字中选取， 总的基本事件个数为1000， 其中三位数字均不同和全相同的个数为10×9×8+10＝730， 可得其中恰有两位数字相同的概率是1． 故答案为：． 4．【2022年上海卷09】为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为　 　． 【答案】 【解答】解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测， 则每一类都被抽到的方法共有 种， 而所有的抽取方法共有种， 故每一类都被抽到的概率为， 故答案为：． 5．（2023·上海金山·统考一模）从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取两个不同的数，则所抽到的两个数的和大于6的概率为 （结果用数值表示）． 【答案】/0.4 【分析】求出所有的基本事件个数以及符合题意的基本事件个数，利用古典概型求概率即可. 【详解】根据题意，从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取两个不同的数共有， 所抽到两个数的和大于6共有，，，共4种， 所以所抽到的两个数的和大于6的概率为. 故答案为： 6．【2021年上海卷10】已知花博会有四个不同的场馆A，B，C，D，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为 　 　． 【答案】 【解答】解：甲选2个去参观，有6种，乙选2个去参观，有6种，共有6×6＝36种， 若甲乙恰有一个馆相同，则选确定相同的馆有4种，然后从剩余3个馆种选2个进行排列，有6种，共有4×6＝24种， 则对应概率P， 故答案为：． 7．（2023上·上海浦东新·高三统考期末）在100件产品中有90件一等品、10件二等品，从中随机抽取3件产品，则恰好含1件二等品的概率为 （结果精确到0.01）． 【答案】0.25 【分析】由题意先求出事件总数，再求出恰好有一件二等品的事件，结合古典概型的概率公式计算即可求解. 【详解】从这批产品中抽取3件，则事件总数为， 其中恰好有一件二等品的事件有， 所以恰好有一件二等品的概率为. 故答案为：0.25 8. 三张卡片上分别写有字母E，E，B，将三张卡片随机排成一行，恰好排成BEE的概率为________． 【解析】　记写有E的两张卡片分别为E1，E2，画树状图如下： 故样本空间Ω＝{E1E2B，E1BE2，E2E1B，E2BE1，BE1E2，BE2E1}，共6个样本点，记事件A为“恰好排成BEE”，则A＝{BE1E2，BE2E1}，共包含2个样本点，故P(A)＝＝. 【答案】　 9．（2022春·上海金山·高一华东师范大学第三附属中学校考期末）定义：如果三位数满足且，则称这样的三位数为“”型三位数，试求由0，1，2，3，4这5个数字组成的所有三位数中任取一个恰为“”型三位数的概率是___________. 【答案】##0.15 【分析】根据分步乘法原理，计算所有三位数的个数，利用列举法，求得符合题意个数，根据古典概型计算公式，可得答案. 【详解】由0，1，2，3，4这5个数字组成三位数，百位不能为零，则有4种情况，十位与个位各自有5种情况，则所组成的所有三位数个数为， 其中“”型三位数的有，，，，，，，，，，，，，，，共15个， 则概率为. 故答案为：. 10.（24-25高三上·上海浦东新·期中）将5个人排成一排，则甲和乙须排在一起的概率是 .（用数字作答） 【答案】/0.4 【知识点】全排列问题、相邻问题的排列问题、计算古典概型问题的概率 【分析】应用排列数求5个人排成一排、甲和乙须排在一起的排法数，应用古典概型的概率求法求概率. 【详解】由题设，5个人排成一排有种，甲和乙须排在一起有种， 所以甲和乙须排在一起的概率是. 故答案为： 11．（2022·上海·模拟预测）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为___________； 【答案】 【分析】由题意，利用古典概型的计算公式，计算求得结果． 【详解】解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测， 则每一类都被抽到的方法共有种， 而所有的抽取方法共有种， 故每一类都被抽到的概率为＝＝， 故答案为：． 12．（24-25高三上·上海·阶段练习）若某天上午安排语文、数学、英语、物理和体育各一节课，则数学和体育不连排的概率是 【答案】/ 【知识点】全排列问题、不相邻排列问题、计算古典概型问题的概率 【分析】根据古典概型，先求出基本事件的总数，再运用插空法，先安排好语文，英语，物理，再插入数学和体育，求出事件的个数，即可求解. 【详解】上午安排语文、数学、英语、物理和体育各一节课，共有种方法， 记事件：上午安排语文、数学、英语、物理和体育各一节课，且数学和体育不连排， 则事件共有种排法，所以数学和体育不连排的概率是， 故答案为：. 13.在大小、质地完全相同的6个球中，2个是红球，4个是白球，若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是多少？ 【解】　设白球标号为1，2，3，4，红球标号为5，6，从6个球中任选3球的样本空间Ω＝{(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，2，6)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，3，6)，(1，4，5)，(1，4，6)，(1，5，6)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，3，6)，(2，4，5)，(2，4，6)，(2，5，6)，(3，4，5)，(3，4，6)，(3，5，6)，(4，5，6)}，共20个样本点，用事件A表示“至少有1个红球”，则A＝{(1，2，5)，(1，2，6)，(1，3，5)，(1，3，6)，(1，4，5)，(1，4，6)，(1，5，6)，(2，3，5)，(2，3，6)，(2，4，5)，(2，4，6)，(2，5，6)，(3，4，5)，(3，4，6)，(3，5，6)，(4，5，6)}，共包含16个样本点． 故所选3个球中至少有1个红球的概率P(A)＝＝. 题型3：分组分配中古典概率 14．【2014年上海理科10】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是　　　　（结果用最简分数表示）． 【答案】解：在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况， 其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，分别是（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6）， （5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10）， ∴选择的3天恰好为连续3天的概率是， 故答案为：． 15．【2018年上海09】有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是　　　　（结果用最简分数表示）． 【答案】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个， 从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况， 所有的事件总数为：10， 这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个， 所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：， 故答案为：． 16.【2023浦东二模9】某医院需要从4名男医生和3名女医生中选出3名医生去担任“中国进博会”三个不同区域的核酸检测服务工作，则选出的3名医生中，恰有1名女医生的概率是 .【答案】 【提示】 17．（2023上·上海松江·高三统考期末）有名同学报名参加暑期区科技馆志愿者活动，共服务两天，每天需要两人参加活动，则恰有人连续参加两天志愿者活动的概率为 ． 【答案】 【分析】由分布乘法计数原理的知识结合古典概型的概率公式可解. 【详解】每天从5名同学中抽取2名参加志愿者活动，一共有种方式， 恰有一人连续参加两天志愿者活动有种方式， 由古典概型的概率公式可得恰有1人连续参加两天志愿者活动的概率为， 故答案为：. 18．（2022·上海浦东新·统考一模）某医院需要从4名男医生和3名女医生中选出3名医生去担任“中国进博会”三个不同区域的核酸检测服务工作，则选出的3名医生中，恰有1名女医生的概率是______. 【答案】 【分析】先求出从4名男医生和3名女医生中选出3名医生的所有组合，再求出选出的3名医生中，恰有1名女医生的组合，古典概型概率公式求概率. 【详解】从4名男医生和3名女医生中选出3名医生的所有组合有种，再求出选出的3名医生中恰有1名女医生的组合有种，所以事件恰有1名女医生的概率. 故答案为： 19．（2022·上海宝山·统考一模）从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有______种.（结果用数值表示） 【答案】96 【分析】若甲不参与测温，可先在其他４人中先选取一人进行测温工作，再从４人中选取３人参与其他工作. 【详解】从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有种. 故答案为：96 20．（2024·上海黄浦·二模）某校高三年级举行演讲比赛，共有5名选手参加.若这5名选手甲、乙、丙、丁、戊通过抽签来决定上场顺序，则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为 . 【答案】/0.6 【分析】求出甲、乙两位选手上场顺序不相邻的场数和抽签总共的可能场数，即可得出甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率. 【详解】由题意， 若甲第一个上场，乙则可以第3,4,5个上场，有种， 若甲第二个上场，乙则可以第4,5个上场，有种， 若甲第三个上场，乙则可以第1,5个上场，有种， 若甲第四个上场，乙则可以第1,2个上场，有种， 若甲第五个上场，乙则可以第1,2,3个上场，有种， 共有种， 而所有的上场顺序有种， ∴甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率：, 故答案为：. 21．（2023·上海嘉定·统考一模）已知11个大小相同的球，其中3个是红球，3个是黑球，5个是白球，从中随机取出4个形成一组，其中三种颜色都有的概率为 ． 【答案】 【分析】4个球有三个颜色，肯定有两个球同色，按同色的球的颜色分情况讨论，再结合古典概型概率的计算公式可求答案. 【详解】从11个球中随机取出4个球的取法有：. 又4个球有三种颜色，所以必定有且只有两个球同色. 若同色的两个球为红色，满足条件的取法有：； 若同色的两个球为黑色，满足条件的取法有：； 若同色的两个球为白色，满足条件的取法有：. ∴取出的4个球中三种颜色都有的概率为： 故答案为： 22.将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球，那么甲盒中恰好有3个小球的概率为(　　) A． B． C． D． 【解析】（1）将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球有C种放法，甲盒中恰好有3个小球有C种放法，结合古典概型的概率计算公式得所求概率为＝；故选C； 23.生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为(　　) A． B． C． D． 【解析】当“数”排在第一节时，礼和乐相邻有4种情况，礼和乐顺序有2种，其他剩下的有P种情况，由间接法得到满足条件的情况有P－CPP；当“数”排在第二节时，礼和乐相邻有3种情况，礼和乐顺序有2种，其他剩下的有P种，由间接法得到满足条件的情况有P－CPP.则共有P－CPP＋P－CPP种情况，不考虑限制因素，总数有P种，故满足条件的事件的概率为＝，故选C. 【说明】求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择； 题型4：几何图形中的古典概率 24．【2016年上海理科14】如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2…A8的中心，A1（1，0）任取不同的两点Ai，Aj，点P满足，则点P落在第一象限的概率是　　　　． 【答案】解：从正八边形A1A2…A8的八个顶点中任取两个，基本事件总数为． 满足，且点P落在第一象限，对应的Ai，Aj，为： （A4，A7），（A5，A8），（A5，A6），（A6，A7），（A5，A7）共5种取法． ∴点P落在第一象限的概率是， 故答案为：． 25．如图，A，B，C，D为四个不同的区域，现有红、黄、蓝、黑4种颜色，对这四个区域进行涂色，要求相邻区域涂不同的颜色（A与C不相邻，B与D不相邻），则使用2种颜色涂色的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由排列组合以及分类加法计数原理求解个数，即可由古典概型概率公式求解. 【详解】使用4种颜色给四个区域涂色，有种涂法； 使用3种颜色给四个区域涂色，共有种涂法； （使用3种颜色给四个区域涂色有两类情况：①区域A与区域C涂同一种颜色，区域B与区域D涂另外2种颜色； ②区域B与区域D涂同一种颜色，区域A与区域C涂另外2种颜色） 使用2种颜色给四个区域涂色，共有种不同的涂法． 所以所有的涂色方法共有（种），故使用2种颜色给四个区域涂色的概率为． 故选：B 26．（2024·上海浦东新·模拟预测）如图为正六棱柱，若从该正六棱柱的个侧面的条面对角线中，随机选取两条，则它们共面的概率是 ．    【答案】 【分析】 根据题意，相交时分为：在侧面内相交，两个相邻面相交于一个点，相隔一个面中相交于对角线延长线上，分别分析几种情况下对角线共面的个数，再利用古典概型的概率计算公式，计算结果即可． 【详解】 由题意知，若两个对角线在同一个侧面，因为有个侧面，所以共有组， 若相交且交点在正六棱柱的顶点上，因为有个顶点，所以共有组， 若相交且交点在对角线延长线上时，如图所示，连接，，，，，    先考虑下底面，根据正六边形性质可知，所以， 且，故共面，且共面， 故，相交，且，相交，故共面有组， 则正六边形对角线所对应的有组共面的面对角线， 同理可知正六边形对角线，所对的分别有两组，共组， 故对于上底面对角线，，同样各对两组，共组， 若对面平行，一组对面中有组对角线平行，三组对面共有组， 所以共面的概率是． 故答案为：． 27．（24-25高二上·上海·期末）从边长为1的正八边形的顶点中随机选3个点作为三角形的顶点，从棱长为2的正方体的顶点中随机选3个点作为三角形的顶点，则为直角三角形的概率是为等腰三角形的概率的 倍． 【答案】2 【知识点】几何组合计数问题、利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率 【分析】先求出八边形中的等腰三角形的个数，从而由组合知识得到为等腰三角形的概率为，再求出不是直角三角形的情况，得到为直角三角形的概率为，得到答案. 【详解】在八边形中，以为顶点的等腰三角形有3个， 分别为， 故为等腰三角形的情况数共个， 故为等腰三角形的概率为， 从棱长为2的正方体的顶点中随机选3个点作为三角形的顶点， 不是直角三角形的情况，如下图中的等边三角形，这样的等边三角形共8个， 分别为，，，，，，，， 所以为直角三角形的概率为， 由于， 故为直角三角形的概率是为等腰三角形的概率的2倍. 故答案为：2 28. 【奉贤9】从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率是__________.（结果用最简分数表示）. 【答案】 【解析】从正方体个顶点中任取个，有个结果， 这个点在同一个平面有个，故所求概率 29. 【静安6】现有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9（单位：cm），从中任取3根，能搭成一个三角形的概率是________. 【答案】 【提示】共有种，符合条件有 3种 题型5：其他排列组合计数模型 30．回文是一种修辞手法，数学中的“回文数”是指从左到右读和从右到左读都一样的正整数，例如，则从五位数字的回文数中任取一个恰好取到奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算出五位数字的回文数的个数和五位数字的回文数的奇数的个数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】根据题意可知，五位数字的回文数中，首位有种选择，千位和百位都有种选择， 所以，五位数字的回文数的个数为个， 其中，五位数字的回文数的奇数，首位有种选择，千位和百位都有种选择， 所以，五位数字的回文数的奇数的个数为个， 因此，从五位数字的回文数中任取一个恰好取到奇数的概率为. 故选：A. 31.【黄浦10】现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为 . 【答案】 【提示】 32.【虹口8】第5届中国国际进口博览会在上海举行，某高校派出了包括甲同学在内的4名同学参加了连续5天的志愿者活动. 已知甲同学参加了2天的活动，其余同学各参加了1天的活动，则甲同学参加连续两天活动的概率为_________.（结果用分数表示） 【答案】 【提示】 33.【普陀8】“青山”饮料厂推出一款新产品——“绿水”，该厂开展促销活动，将罐“绿水”装成一箱，且每箱均有罐可以中奖.若从一箱中随机抽取罐，则能中奖的概率为 .（结果用最简分数表示） 【答案】 【解析】法一：（排除法）；法二：（直接法） 34．（2023·上海青浦·统考一模）2023年10月25日至11月12日，青浦曲水园推出以“曲水流觞·花趣水乡”为主题的菊花展．花展结束后，园方挑选数百盆菊花免费赠送给市民．其中有红色、黄色、橙色菊花各盆，分别赠送给甲、乙、丙三人，每人盆，则甲没有拿到橙色菊花的概率是 ． 【答案】 【分析】根据题意甲、乙、丙三人拿到橙色菊花概率相等，都为，进而求出甲没有拿到橙色菊花的概率. 【详解】设事件甲拿到橙色菊花， 根据题意有红色、黄色、橙色菊花各盆，分别赠送给甲、乙、丙三人，每人盆， 甲、乙、丙三人拿到橙色菊花概率相等，都为， 所以，则甲没有拿到橙色菊花的概率. 故答案为： 35．（23-24高三下·上海松江·阶段练习）已知甲同学从学校的2个科技类社团、4个艺术类社团、3个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团，则在有一个是艺术类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率为 . 【答案】 【分析】根据题意，结合组合的知识分别求得事件与事件的概率，从而利用条件概率公式即可得解. 【详解】依题意，设事件为“所报的两个社团中有一个是艺术类”， 事件为“所报的两个社团中有一个是体育类”， 则， 所以. 故答案为：. 36．上古时代神话传说中，伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出了“八卦”，而龙马身上的图案就叫作“河图”（如图1），河图把一到十这十个数字分成五组，其口诀为：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中，现从这十个数中随机抽取六个数，则能成为三组的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型结合组合数运算求解. 【详解】从一到十这十个数中随机抽取六个数，基本事件总数， 能成为三组的基本事件个数， 则能成为三组的概率． 故选：C． 题型6：古典概型与其它数学知识的交汇 37. 【青浦8】若函数的定义域和值域分别为和，则是单调函数的概率是 . 【答案】 【提示】（枚举法）①严格增：112，122；②严格减：221，211；共2+2=4种 38.从集合{2，3，4，5}中随机抽取一个数a，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b，则向量＝(a，b)与向量＝(1，－1)垂直的概率为(　　) A. B． C． D． 【解析】由题意可知＝(a，b)有：(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共12种情况．因为⊥，即·＝0，所以a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b，满足条件的有(3,3)，(5,5)，共2个，故所求的概率为； 39.若a，b是从集合{－1，1，2，3，4}中随机选取的两个不同元素，则使得函数f(x)＝x5a＋xb是奇函数的概率为(　　) A. B． C． D． 【解析】从集合{－1，1，2，3，4}中随机选取两个不同元素，共有P＝20种，要使得函数f(x)＝x5a＋xb是奇函数，必须a，b都为奇数，共有P＝6种，则函数f(x)＝x5a＋xb是奇函数的概率为P＝＝，故选B； 【说明】解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算。 40.一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同；随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c； （1）求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率； （2）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率。 【解析】（1）∵有放回地抽取3次，∴总的结果有：3×3×3＝27种， 设“抽取卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)共3种， ∴概率P(A)＝＝. （2）设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种，∴P(B)＝1－P()＝1－＝，因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为. 41.为振兴旅游业，四川省面向国内发行总量为2 000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜景区旅游，其中是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡； （1）在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率； （2）在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率． 【解析】（1）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡．设事件A为“采访该团2人，恰有1人持银卡”，则P(A)＝＝，所以采访该团2人，恰有1人持银卡的概率是； （2）设事件B为“采访该团2人，持金卡与持银卡人数相等”，可以分为事件B1为“采访该团2人，持金卡0人，持银卡0人”，或事件B2为“采访该团2人，持金卡1人，持银卡1人”两种情况； 则P(B)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝， 所以采访该团2人，持金卡与持银卡人数相等的概率是； 【说明】复杂的古典概型问题：（1）将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解；（2）先求其对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式求解； 第1页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年沪教版2020选择性必修第二册同步培优课程（强基篇） 专题10 计数原理在古典概率中的应用 1、基本事件的特点 （1）任何两个基本事件是互斥的；（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和； 2、古典概型 （1）古典概型的定义 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性；②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性； （2）古典概型概率公式： P(A)＝＝. 【说明】一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特征的概率模型才是古典概型；正确的判断试验的类型是解决概率问题的关键； 3、排列组合的综合应用 排列组合问题的一些解题技巧： ①特殊元素优先安排； ②合理分类与准确分步； ③排列、组合混合问题先选后排； ④相邻问题捆绑处理； ⑤不相邻问题插空处理； ⑥定序问题除法处理； ⑦分排问题直排处理； ⑧“小集团”排列问题先整体后局部； ⑨构造模型； ⑩正难则反、等价转化． 对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑： ①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； ③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数． 题型1：古典概型的再认识 【方法点拨】判断一个试验是不是古典概型的步骤 (1)明确试验及其结果；(2)判断所有结果(即样本点)是否有限； (3)判断有限个结果是否等可能出现，这需要有日常生活的经验．另外，题目中“完全相同”“任取”等是表述等可能的语言．　　　　 1.下列试验中，是古典概型的为 (　　) A.种下一粒花生，观察它是否发芽 B.向正方形ABCD内，任意投掷一点P，观察点P是否与正方形的中心O重合 C.从1，2，3，4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率 D.在区间内任取一点，求此点小于2的概率 2.下列关于古典概型的说法中正确的是 (　　) ①试验中所有可能出现的样本点只有有限个; ②每个事件出现的可能性相等; ③每个样本点出现的可能性相等; ④若样本点总数为n,随机事件A包含其中的k个样本点,则P(A)=. A.②④ B.③④ C.①④ D.①③④ 题型2：数字计数中的古典概率 3．【2019年上海卷10】某三位数密码，每位数字可在0﹣9这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是　 　． 4．【2022年上海卷09】为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为　 　． 5．（2023·上海金山·统考一模）从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取两个不同的数，则所抽到的两个数的和大于6的概率为 （结果用数值表示）． 6．【2021年上海卷10】已知花博会有四个不同的场馆A，B，C，D，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为 　 　． 7．（2023上·上海浦东新·高三统考期末）在100件产品中有90件一等品、10件二等品，从中随机抽取3件产品，则恰好含1件二等品的概率为 （结果精确到0.01）． 8. 三张卡片上分别写有字母E，E，B，将三张卡片随机排成一行，恰好排成BEE的概率为________． 9．（2022春·上海金山·高一华东师范大学第三附属中学校考期末）定义：如果三位数满足且，则称这样的三位数为“”型三位数，试求由0，1，2，3，4这5个数字组成的所有三位数中任取一个恰为“”型三位数的概率是___________. 10.（24-25高三上·上海浦东新·期中）将5个人排成一排，则甲和乙须排在一起的概率是 .（用数字作答） 11．（2022·上海·模拟预测）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为___________； 12．（24-25高三上·上海·阶段练习）若某天上午安排语文、数学、英语、物理和体育各一节课，则数学和体育不连排的概率是 13.在大小、质地完全相同的6个球中，2个是红球，4个是白球，若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是多少？ 题型3：分组分配中古典概率 14．【2014年上海理科10】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是　　　　（结果用最简分数表示）． 15．【2018年上海09】有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是　　　　（结果用最简分数表示）． 16. 【2023浦东二模9】某医院需要从4名男医生和3名女医生中选出3名医生去担任“中国进博会”三个不同区域的核酸检测服务工作，则选出的3名医生中，恰有1名女医生的概率是 . 17．（2023上·上海松江·高三统考期末）有名同学报名参加暑期区科技馆志愿者活动，共服务两天，每天需要两人参加活动，则恰有人连续参加两天志愿者活动的概率为 ． 18．（2022·上海浦东新·统考一模）某医院需要从4名男医生和3名女医生中选出3名医生去担任“中国进博会”三个不同区域的核酸检测服务工作，则选出的3名医生中，恰有1名女医生的概率是______. 19．（2022·上海宝山·统考一模）从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有______种.（结果用数值表示） 20．（2024·上海黄浦·二模）某校高三年级举行演讲比赛，共有5名选手参加.若这5名选手甲、乙、丙、丁、戊通过抽签来决定上场顺序，则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为 . 21．（2023·上海嘉定·统考一模）已知11个大小相同的球，其中3个是红球，3个是黑球，5个是白球，从中随机取出4个形成一组，其中三种颜色都有的概率为 ． 22.将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球，那么甲盒中恰好有3个小球的概率为(　　) A． B． C． D． 23.生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为(　　) A． B． C． D． 题型4：几何图形中的古典概率 24．【2016年上海理科14】如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2…A8的中心，A1（1，0）任取不同的两点Ai，Aj，点P满足，则点P落在第一象限的概率是　　　　． 25．如图，A，B，C，D为四个不同的区域，现有红、黄、蓝、黑4种颜色，对这四个区域进行涂色，要求相邻区域涂不同的颜色（A与C不相邻，B与D不相邻），则使用2种颜色涂色的概率为（    ） A． B． C． D． 26．（2024·上海浦东新·模拟预测）如图为正六棱柱，若从该正六棱柱的个侧面的条面对角线中，随机选取两条，则它们共面的概率是 ．    27．（24-25高二上·上海·期末）从边长为1的正八边形的顶点中随机选3个点作为三角形的顶点，从棱长为2的正方体的顶点中随机选3个点作为三角形的顶点，则为直角三角形的概率是为等腰三角形的概率的 倍． 28. 29. 【奉贤9】从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率是__________.（结果用最简分数表示）. 30. 【静安6】现有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9（单位：cm），从中任取3根，能搭成一个三角形的概率是________. 题型5：其他排列组合计数模型 30．回文是一种修辞手法，数学中的“回文数”是指从左到右读和从右到左读都一样的正整数，例如，则从五位数字的回文数中任取一个恰好取到奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 31. 【黄浦10】现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为 . 32.【虹口8】第5届中国国际进口博览会在上海举行，某高校派出了包括甲同学在内的4名同学参加了连续5天的志愿者活动. 已知甲同学参加了2天的活动，其余同学各参加了1天的活动，则甲同学参加连续两天活动的概率为_________.（结果用分数表示） 33.【普陀8】“青山”饮料厂推出一款新产品——“绿水”，该厂开展促销活动，将罐“绿水”装成一箱，且每箱均有罐可以中奖.若从一箱中随机抽取罐，则能中奖的概率为 .（结果用最简分数表示） 34．（2023·上海青浦·统考一模）2023年10月25日至11月12日，青浦曲水园推出以“曲水流觞·花趣水乡”为主题的菊花展．花展结束后，园方挑选数百盆菊花免费赠送给市民．其中有红色、黄色、橙色菊花各盆，分别赠送给甲、乙、丙三人，每人盆，则甲没有拿到橙色菊花的概率是 ． 35．（23-24高三下·上海松江·阶段练习）已知甲同学从学校的2个科技类社团、4个艺术类社团、3个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团，则在有一个是艺术类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率为 . 36．上古时代神话传说中，伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出了“八卦”，而龙马身上的图案就叫作“河图”（如图1），河图把一到十这十个数字分成五组，其口诀为：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中，现从这十个数中随机抽取六个数，则能成为三组的概率是（    ） A． B． C． D． 题型6：古典概型与其它数学知识的交汇 37. 【青浦8】若函数的定义域和值域分别为和，则是单调函数的概率是 . 38.从集合{2，3，4，5}中随机抽取一个数a，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b，则向量＝(a，b)与向量＝(1，－1)垂直的概率为(　　) A. B． C． D． 39.若a，b是从集合{－1，1，2，3，4}中随机选取的两个不同元素，则使得函数f(x)＝x5a＋xb是奇函数的概率为(　　) A. B． C． D． 40.一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同；随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c； （1）求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率； （2）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率。 41.为振兴旅游业，四川省面向国内发行总量为2 000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜景区旅游，其中是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡； （1）在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率； （2）在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$