专题09：组合（强基篇）讲义-2024-2025学年高二下学期数学沪教版（2020）选择性必修第二册

2024-2025学年沪教版2020选择性必修第二册同步培优课程（强基篇） 专题09 组合 知识点一、组合 1、组合的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合. 2、组合概念的理解 ①组合的概念中有两个要点：要求n个元素是不同的；“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关， 无序性是组合的特征性质. ②两个组合相同：只要两个组合中的元素完全相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合. 知识点二、组合数的性质 1、性质1：= 2、性质2：=+ 知识点三、组合数与组合数公式 组合数的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 组合数的表示 (n，m∈N，m≤n) 组合数公式 乘积式 C＝＝ 阶乘式 ＝ 规定 ①n，m∈N*且m≤n，②规定：C＝1 三大性质 C＝，C＝，= 两个重要的裂项公式 1！＋2×2！＋3×3！＋…＋n×n！ 知识点四、排列与组合的联系与区别 有序排列，无序组合. 名称 排列 组合 相同点 都是从n个不同元素中取m(m≤n)个元素，元素无重复 不同点 1.排列与顺序有关； 2．两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同 1.组合与顺序无关； 2．两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同 联系 P＝CP 题型1：组合问题的判断 【例1】下列四个问题属于组合问题的是（   ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 【跟踪训练】 1．下列选项中，属于组合问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 题型2：组合数的计算与证明 【例2】下列等式不正确的是（ ） A． B． C． D． 【例3】若，则的值为（   ） A．286 B．285 C．219 D．218 【例4】化简：； 【例5】式子的值为（    ） A．27 B．127 C．5160 D．与的取值有关 【跟踪训练】 1.下列四个组合数公式：对，约定，有 （1）（）； （2）（）； （3）（）； （4）（）； 其中正确公式的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.化简（    ） A．315 B．330 C．345 D．360 3.计算：________． 4.设、，，求证：； 5. 设，且，求证：； 22．求证：. 题型3：组合数方程和不等式 【例6】，求正整数x的值. 【例7】若，则 ． 【例8】解不等式：. 【跟踪训练】 1.若，则 . 2.（1）解不等式； （2）解方程. 3.解关于正整数的不等式:，其中是给定的正整数. 题型4：组合计数问题 【方法点拨】 (1)特殊元素问题：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素及有多少特殊元素作为分类依据. (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外的元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理. 【例9】一个口袋内装有大小相同的6个白球和2个黑球，从中取3个球，则共有（　　）种不同的取法 A． B． C． D． 【例10】为参加校园文化节，某班推荐2名男生3名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分别为：乐器1人，舞蹈2人，演唱2人，每人只参加一个项目，并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加，则不同的推荐方案的种数为（　　） A．12 B．36 C．24 D．48 【例11】高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动. （1）其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？ （2）其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？ （3）恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？ （4）至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？ （5）至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？ 【跟踪训练】 1．现有16张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且绿色卡片至多1张，则不同的取法种数为（ ） A．484 B．472 C．252 D．232 2.从7名男生和5名女生中选4人参加夏令营，规定男、女同学至少各有1人参加，则选法总数应为（　　） A． B． C． D． 3.在∠AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点（均除O点外），连同O点共m+n+1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有（　　） A． B． C． D． 4．在第33届夏季奥运会期间，中国中央电视台体育频道在某比赛日安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天A，B，C三个比赛场地的现场报道，且每个场地至少安排一人，甲不在A场地的不同安排方法数为（    ） A．32 B．24 C．18 D．12 5.在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训.在下列条件下，有多少种不同的选法？ （1）任意选5人； （2）甲、乙、丙三人必需参加； （3）甲、乙、丙三人不能参加； （4）甲、乙、丙三人只能有1人参加. 6.课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？（用数字做答） （1）至少有一名队长当选． （2）至多有两名女生当选． （3）既要有队长，又要有女生当选． 题型5：分组分配问题 【方法点拨】 分组问题(分成几堆，无序)有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n堆(组)必须除以，如果有m堆（组）元素个数相同，必须除以． 完全均匀分组:每组的元素个数均相等,最后务必除以组数的阶乘. 部分均匀分组:注意不要重复,有 组均匀,最后必须除以 (或除以 ) 完全非均匀分组: 这种分组不必考虑重复现象. 【例12】从7人中选派5人到10个不同岗位中的5个参加工作，则不同的选派方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【例13】疫情期间，上海某医院安排5名专家到3个不同的区级医院支援，每名专家只去一个区级医院，每个区级医院至少安排一名专家，则不同的安排方法共有（ ） A．60种 B．90种 C．150种 D．240种 【例14】甲、乙等5人去三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人游览，若甲、乙两人不去同一景区游览，则不同的游览方法的种数为（    ） A．112 B．114 C．132 D．160 【例15】提高新农村的教育水平，某地选派4名优秀的教师到甲、乙、丙三地进行为期一年的支教活动，每人只能去一个地方、每地至少派一人，则不同的选派方案共有　　 A．18种 B．12种 C．72种 D．36种 【例16】《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一部数学专著，该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即算筹）､太乙算､两仪算､三才算､五行算､八卦算､九宫算､运筹算､了之算､成数算､把头算､龟算､珠算､和计数.某学习小组有甲､乙､丙3人，该小组要收集九宫算､运筹算､了之算､成数算､把头算､珠算6种算法相关资料，要求每种算法只能一人收集，每人至少收集其中一种，则不同的分配方案种数为（ ） A．240 B．300 C．420 D．540 【跟踪训练】 1.甲、乙、丙、丁、戊5个文艺节目在A，B，C三家电视台播放，要求每个文艺节目只能独家播放，每家电视台至少播放其中的一个，则不同的播放方案的种数为（　　） A．150 B．210 C．240 D．280 2．某市政工作小组就民生问题开展社会调研，现派遣三组工作人员对市内甲、乙、丙、丁四区的居民收人情况进行抽样调査，若每区安排一组工作人员调研，且每组工作人员至少负责一个区调研，则不同的派遣方案共有（   ） A．12种 B．36种 C．48种 D．72种 3.某高校要在假期安排甲、乙等名大学生到、、三个公司进行社会实践，要求每个公司都要有大学生去，且甲和乙都不能去公司，则不同的安排方式有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 题型6：放球问题 【例17】7个相同的小球放入，，三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（       ）种不同的放法． A．60种 B．36种 C．30种 D．15种 【例18】将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（       ） A．720种 B．420种 C．120种 D．15种 【例19】方程的非负整数解有（       ） A．组 B．136组 C．190组 D．68组 【例20】（1）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （2）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （3）把6个不同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （4）把6个不同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ 【跟踪训练】 1.某单位订阅了30份《光明日报》发给3个部门，每个部门至少发放9份报纸，问一共有多少种不同的发放方法（       ） A．7 B．9 C．10 D．12 2．展开式为多项式，则其展开式经过合并同类项后的项数一共有（       ） A．12项 B．24项 C．39项 D．78项 3．若方程，其中，则方程的正整数解的个数为 A．10 B．15 C．20 D．30 4.将4个编号分别为1，2，3，4的小球放入4个编号分别为1，2，3，4的盒子中． （1）有多少种放法？ （2）每盒至多一球，有多少种放法？ （3）恰好有一个空盒，有多少种放法？ （4）每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？ （5）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ 5.有标号为1，2，3，4，5，6的6个小球和标号为1，2，3，4的4个盒. （1）从6个小球中选出4个放入4个盒中，每盒只放1个小球. ①求奇数号盒只放奇数号小球的不同放法种数； ②求奇数号小球必须放在奇数号盒中的不同放法种数. （2）若不许空盒且将6个小球都放入4个盒中，求所有不同的放法种数. 6.（1）本不同的书，分为三份，一份1本，一份2本，一份3本，有多少种不同的选法？ （2）本不同的书，分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的选法？ 7.平面内有10个点，其中任意3个点不共线. （1）以其中任意2个点为端点的线段有多少条？ （2）以其中任意2个点为端点的有向线段有多少条？ （3）以其中任意3个点为顶点的三角形有多少个？ 题型7：排列、组合综合 【例21】现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人； (2)名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； (3)名老师之间必要有男女学生各人． 【跟踪训练】 1.某医疗小组有4名男性，2名女性共6名医护人员，医护人员甲是其中一名． (1)若从中任选2人参加A，两项救护活动，每人只能参加其中一项活动，每项活动都要有人参加，求医护人员甲不参加项救护活动的选法种数； (2)这6名医护人员将去3个不同的地方参与医疗支援，每人只能去一地，每地有2人前往，若2名女性不能去往同一个地方，求不同的分配方案种数． 2.某学校举行男子乒乓球团体赛，决赛比赛规则采用积分制，两支决赛的队伍依次进行三场比赛，其中前两场为男子单打比赛，第三场为男子双打的比赛，每位出场队员在决赛中只能参加一场比赛. 某进入决赛的球队共有五名队员，现在需要提交该球队决赛的出场阵容，即三场比赛的出场的队员名单. (1)一共有多少种不同的出场阵容？ (2)若队员A因为技术原因不能参加男子双打比赛，则一共有多少种不同的出场阵容？ 3.从，，等8人中选出5人排成一排. （1）必须在内，有多少种排法？ （2），，三人不全在内，有多少种排法？ （3），，都在内，且，必须相邻，与，都不相邻，都多少种排法？ （4）不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法？ 一、填空题 1．（22-23高二下·上海长宁·期末）若，则正整数 . 2．（2023复兴高级中学月考） ． 3．（21-22高二上·上海黄浦·阶段练习）方程的解集为 . 4．（23-24高二上·上海·阶段练习）方程的解是 ． 5.（2022·上海·高二专题练习）已知则x＝______. 6．（2023金山区高二期末）6件产品中有4件正品，2件次品，现一次取三件产品，至少有2件正品的概率为 . 7.（2024·上海松江·二模）因新冠肺炎疫情防控需要，某医院呼吸科准备从5名男医生和4名女医生中选派3人前往隔离点进行核酸检测采样工作，选派的三人中至少有1名女医生的概率为 . 8．（2021·上海市控江中学高三阶段练习）甲､乙､丙三位同学各自在周六､周日两天中任选一天参加公益活动，则周六､周日都有同学参加公益活动的概率是___________. 9．（2021·上海崇明·一模）第24届冬季奥林匹克运动会计划于2022年2月4日在北京开幕，北京冬奥会的顺利举办将成为人类摆脱和超越疫情的标志性事件，展现人类向更美好的末来进发的期望和理想.组织方拟将4名志愿者全部分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作（每个场馆至少分配一名志愿者)，不同的分配方案有_______种. 10．（2021·上海闵行·一模）某学校为落实“双减”政策，在每天放学后开设拓展课程供学生自愿选择，开学第一周的安排见如表.小明同学要在这一周内选择编程､书法､足球三门课，不同的选课方案共___________种. 周一 周二 周三 周四 周五 演讲､绘画､舞蹈､足球 编程､绘画､舞蹈､足球 编程､书法､舞蹈､足球 书法､演讲､舞蹈､足球 书法､演讲､舞蹈､足球 注：每位同学每天最多选一门课，每一门课一周内最多选一次 11．（2021·上海嘉定·一模）四名志愿者参加某博览会三天的活动，若每人参加一天，每天至少有一人参加，其中志愿者甲第一天不能参加，则不同的安排方法一共有____________种（结果用数值表示） 12．（2021·上海市控江中学高二阶段练习）从正方体的八个顶点中随机选取3个点，这3个点可以构成直角三角形的概率为___________ 13．（2021·上海市控江中学高二阶段练习）将写有1、2、…、9这9个数的卡片（6不可视作9）随机分给甲、乙、丙三人，每人三张，则“每人手中卡片上的三个数都能满足：其中一个数为其他两个数的平均数”的概率为____________ 14.（2021·上海杨浦·一模）某市高考新政规定每位学生在物理､化学､生物､历史､政治､地理中选择三门作为等级考试科目，则甲､乙两位学生等级考试科目恰有一门相同的不同选择共有___________种.（用数字作答） 二、选择题 15（2022·高二课时练习）以下四个问题，属于组合问题的是（ ） A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地 16.（23-24七宝中学高二下期中）已知，则（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 17. （高二下·上海浦东新·期末）下列四个组合数公式:对，约定,有 （1） （2） （3） （4） 其中正确公式的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 18. （23-24大同中学高二下期中）8个人分成3人、3人、2人三组，共有（  ）种不同的分组方法. A．1120 B．840 C．560 D．280 19.（2021位育中学阶段练习）在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，社区有5名医务人员到某学校的高一、高二、高三3个年级协助防控和宣传工作.若每个年级至少分配1名医务人员，则不同的分配方法有（　　） A．25种          B．50种         C．300种         D．150种 21.（2024上海交大附中月考）阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统．学生李华计划在高一年级每周一至周五每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》《三国演义》《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有 种．（用数字作答） 22. （24-25格致中学高三阶段练习）某学校拟派2名语文老师、3名数学老师和3名体育老师共8人组成两个支教分队，平均分到甲、乙两个村进行义务支教，其中每个分队都必须有语文老师、数学老师和体育老师，则不同的分配方案有（    ） A．72种 B．36种 C．24种 D．18种 23．（2021·上海市大同中学高二期末）人分乘两辆不同的车，每辆车最多坐人，则不同的乘车方法数为（ ） A． B． C． D． 24．（2021·上海师大附中高二期中）从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组，则按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为（ ） A． B． C． D． 三、解答题 25.（2023全国高二课时练习）（1）方程的根为______． （2）已知 求的值构成的集合 26．（2024上海市大同中学高二期中）从5个男生和3个女生中选5人担任5门不同学科的课代表，分别求符合下列条件的选法种数． （1）女生人数少于男生人数； （2）某女生一定选中且担任语文课代表，某男生也必须选中且不担任数学课代表． 27．（2023上海市延安中学高二期末）一个口袋中有9个球，白球4个，黑球5个，现从中取出3个球，求下列事件的概率． （1）取出的三个球均为黑球； （2）取出的三个球中两个是白球，另一个是黑球． 28．（2023上海市大同中学高二期末）（1）某外商计划在个城市投资个不同的项目，且在同一城市投资的项目不超过个，求该外商不同的投资方案有多少种？（用数字作答） （2）某单位安排位员工在10月1日至10月7日值班，每天人，每人值班天，求员工甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日的概率． 29. 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种. (1)其中某一种假货必须在内，不同取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同取法有多少种？ (3)恰有2种假货在内，不同取法有多少种？ (4)至少有2种假货在内，不同取法有多少种？ (5)至多有2种假货在内，不同取法有多少种？ 30．（2024·全国·高二课时练习）（1）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （2）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （3）把6个不同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （4）把6个不同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年沪教版2020选择性必修第二册同步培优课程（强基篇） 专题09 组合 知识点一、组合 1、组合的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合. 2、组合概念的理解 ①组合的概念中有两个要点：要求n个元素是不同的；“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关， 无序性是组合的特征性质. ②两个组合相同：只要两个组合中的元素完全相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合. 知识点二、组合数的性质 1、性质1：= 2、性质2：=+ 知识点三、组合数与组合数公式 组合数的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 组合数的表示 (n，m∈N，m≤n) 组合数公式 乘积式 C＝＝ 阶乘式 ＝ 规定 ①n，m∈N*且m≤n，②规定：C＝1 三大性质 C＝，C＝，= 两个重要的裂项公式 1！＋2×2！＋3×3！＋…＋n×n！ 知识点四、排列与组合的联系与区别 有序排列，无序组合. 名称 排列 组合 相同点 都是从n个不同元素中取m(m≤n)个元素，元素无重复 不同点 1.排列与顺序有关； 2．两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同 1.组合与顺序无关； 2．两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同 联系 P＝CP 题型1：组合问题的判断 【例1】下列四个问题属于组合问题的是（   ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 【答案】C 【分析】根据排列和组合的概念可确定选项. 【详解】A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. B. 从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. C. 从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式，与顺序无关，是组合问题. D. 从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题.故选：C. 【跟踪训练】 1．下列选项中，属于组合问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【答案】B 【分析】根据排列、组合的定义判断即可. 【详解】对于A：从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，因为学科不一样，且学生各不相同，所以为排列问题，故A错误； 对于B：有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，可分为四组，三人一组无先后顺序，属于组合问题，故B正确； 对于C：从，，，中任取两个数进行指数运算，底数与指数有顺序，所以为排列问题，故C错误； 对于D：从，，，中任取两个数作为点的坐标，横、纵坐标与顺序有关，所以为排列问题，故D错误.故选：B 题型2：组合数的计算与证明 【例2】下列等式不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据组合数的性质可知，，故AD正确； 根据排列数与组合数的关系可知,故B不正确； ∵， ， ∴,故C正确.故选:B. 【例3】若，则的值为（   ） A．286 B．285 C．219 D．218 【答案】B 【分析】利用组合数性质计算可得答案. 【详解】由，得或， 解得（舍）或， 则 . 故选：B. 【例4】化简：； 【详解】（1） 【例5】式子的值为（    ） A．27 B．127 C．5160 D．与的取值有关 【答案】A 【分析】根据组合数的性质和运算公式进行求解即可. 【详解】由题中组合数的形式可知：， 所以. 故选：A 【跟踪训练】 1.下列四个组合数公式：对，约定，有 （1）（）； （2）（）； （3）（）； （4）（）； 其中正确公式的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】则题意利用组合数公式逐个分析判断即可 【详解】解：由于对，约定，由排列的定义有， 所以（），所以（1）正确， 因为 所以（），所以（2）正确， 因为， 所以所以（）所以（3）正确， 因为，， 所以（），所以（4）正确， 故选：D 2.化简（    ） A．315 B．330 C．345 D．360 【解题思路】根据组合数的性质即可求解. 【解答过程】． 故选：A. 3.计算：________． 【答案】124 【解析】由已知，得需满足，即，∴， ∴原式． 4.设、，，求证：； 详解】证：（1）； 5. 设，且，求证：； 【详解】（1），得证. 22．求证：. 【解析】， 所以等式成立. 题型3：组合数方程和不等式 【例6】，求正整数x的值. 【答案】或. 【分析】根据组合数的性质，得到方程，即可求得答案． 【详解】由可得或， 解得或 ，经验证，符合题意， 故正整数x的值是或. 【例7】若，则 ． 【答案】5 【分析】将排列数、组合数按照公式展开，即可解出x的值. 【详解】因为，， 所以，由可得，3(x-1)=2(x+1) 解得，x=5. 故答案为：5. 【例8】解不等式：. 【解析】由得 ⇒又n∈N*. ∴该不等式的解集为{6,7,8,9}. 【跟踪训练】 1.若，则 . 【答案】 【分析】借助排列数与组合数的计算公式计算即可得. 【详解】由题意可得，且， 故，即. 故答案为：. 2.（1）解不等式； （2）解方程. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用组合数的性质可得答案； （2）利用组合数性质、排列数公式计算可得答案. 【详解】（1）根据组合数公式，原不等式可化为.化简可得. 进一步变形为. 根据阶乘的性质，则. 约分后得到，解这个不等式得. 又因为且（组合数中的取值范围要求），即且， 综合可得或，故不等式解集为. （2）原方程可化为，即， ∴，∴， ∴，解得或，经检验：是原方程的解. 故方程解集为 3.解关于正整数的不等式:，其中是给定的正整数. 解：因为，所以， 所以，所以，所以解集为：. 【点睛】本题考查求不等式的解集，难度一般. 题型4：组合计数问题 【方法点拨】 (1)特殊元素问题：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素及有多少特殊元素作为分类依据. (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外的元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理. 【例9】一个口袋内装有大小相同的6个白球和2个黑球，从中取3个球，则共有（　　）种不同的取法 A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，要求从8个球中任取3个，由组合数公式分析可得答案． 【解答过程】解：根据题意，一个口袋内装有大小相同的6个白球和2个黑球，共8个球， 从中取3个球，有C83种取法， 故选：D． 【例10】为参加校园文化节，某班推荐2名男生3名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分别为：乐器1人，舞蹈2人，演唱2人，每人只参加一个项目，并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加，则不同的推荐方案的种数为（　　） A．12 B．36 C．24 D．48 【解题思路】由题意可知不同的推荐方案的种数分为以下两种： 一种方案是：有两名女生参加舞蹈与演唱项目中的一个，剩下的一名女生参加另一个，再从2名男生中选一名参加另一个项目，剩下的男生参加乐器项目．另一种方案是：有两名女生分别参加舞蹈、演唱项目中的一个，两名男生也分别参加舞蹈、演唱项目中的一个，剩下的一名女生参加乐器项目．再利用排列组合的有关知识即可得出． 【解答过程】解：由题意可知不同的推荐方案的种数分为以下两种： 一种方案是：有两名女生参加舞蹈与演唱项目中的一个，剩下的一名女生参加另一个，再从2名男生中选一名参加另一个项目，剩下的男生参加乐器项目，共有种，即12种． 另一种方案是：有两名女生分别参加舞蹈、演唱项目中的一个，两名男生也分别参加舞蹈、演唱项目中的一个，剩下的一名女生参加乐器项目，共有种，即12种． 综上可知：满足条件的不同的推荐方案的种数＝12+12＝24． 故选：C． 【例11】高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动. （1）其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？ （2）其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？ （3）恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？ （4）至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？ （5）至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？ 【答案】（1）561种；（2）5 984种；（3）2 100种；（4）2 555种；（5）6 090种. 【解析】（1）从余下的34名学生中选取2名，有＝561(种).∴不同的取法有561种； （2）从34名可选学生中选取3名，有种；或者(种).∴不同的取法有5984种； （3）从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有(种).∴不同的取法有2100种； （4）选取2名女生有种，选取3名女生有种，共有选取方式＋＝2100＋455＝2555种； ∴不同的取法有2555种. （5）选取3名的总数有，因此选取方式共有－＝6545－455＝6090(种).∴不同的取法有6090种. 【跟踪训练】 1．现有16张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且绿色卡片至多1张，则不同的取法种数为（ ） A．484 B．472 C．252 D．232 【答案】B 【解析】根据题意，不考虑限制，从16张卡片中任取3张，共有种取法， 如果取出的3张为同一种颜色，则有种情况， 如果取出的3张有2张绿色卡片，则有种情况， 故所求的取法共有种.故选：B. 2.从7名男生和5名女生中选4人参加夏令营，规定男、女同学至少各有1人参加，则选法总数应为（　　） A． B． C． D． 【解题思路】利用间接法，没有限制条件是选法，排除只选男生和只选女生的选法，即可得出结论 【解答过程】解：利用间接法，没有限制条件是选法有，只选男生的选法有，只选女生的选法有， 故男、女同学至少各有1人参加，则选法总数有， 故选：C． 3.在∠AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点（均除O点外），连同O点共m+n+1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有（　　） A． B． C． D． 【解题思路】利用加法原理求解． 【解答过程】解：第一类办法：从OA边上（不包括O）中任取一点与从OB边上（不包括O）中任取两点， 可构造一个三角形，有个； 第二类办法：从OA边上（不包括O）中任取两点与OB边上（不包括O）中任取一点， 与O点可构造一个三角形，有C个； 第三类办法：从OA边上（不包括O）任取一点与OB边上（不包括O）中任取一点， 与O点可构造一个三角形，有个． 由加法原理共有N个三角形． 故选：C． 4．在第33届夏季奥运会期间，中国中央电视台体育频道在某比赛日安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天A，B，C三个比赛场地的现场报道，且每个场地至少安排一人，甲不在A场地的不同安排方法数为（    ） A．32 B．24 C．18 D．12 【答案】B 【分析】按照A场地安排人数分类讨论，结合分类加法原理，利用排列组合知识求解即可. 【详解】按照A场地安排人数，可以分以下两类： 第一类，A场地安排1人，共种安排方法， 第二类，A场地安排2人，共种安排方法， 由分类加法计数原理得，共有（种）不同安排方法. 故选：B 5.在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训.在下列条件下，有多少种不同的选法？ （1）任意选5人； （2）甲、乙、丙三人必需参加； （3）甲、乙、丙三人不能参加； （4）甲、乙、丙三人只能有1人参加. 【答案】（1）792种；（2）36种；（3）126种；（4）378种. 【解析】（1）从中任取5人是组合问题，共有种不同的选法； （2）甲、乙、丙三人必须参加，则只需从另外9人中选2人，是组合问题，共有种不同的选法； （3）甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有种不同的选法； （4）甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分为两步：选从甲、乙、丙中选1人，有种选法，再从另外9人中选4人，有种选法，共有种不同的选法. 6.课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？（用数字做答） （1）至少有一名队长当选． （2）至多有两名女生当选． （3）既要有队长，又要有女生当选． 【答案】（1）825；（2）966；（3）790. 【解析】（1）至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有种．或采用排除法有种． （2）至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有种． （3）分两种情况：第一类：女队长当选，有种；第二类：女队长不当选，有种．故共有种． 题型5：分组分配问题 【方法点拨】 分组问题(分成几堆，无序)有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n堆(组)必须除以，如果有m堆（组）元素个数相同，必须除以． 完全均匀分组:每组的元素个数均相等,最后务必除以组数的阶乘. 部分均匀分组:注意不要重复,有 组均匀,最后必须除以 (或除以 ) 完全非均匀分组: 这种分组不必考虑重复现象. 【例12】从7人中选派5人到10个不同岗位中的5个参加工作，则不同的选派方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】利用分步计数原理结合排列组合求解即可. 【详解】第一步，选出5人，共有种不同选法； 第二步，选出5个岗位，共有种不同选法； 第三步，将5人分配到5个岗位，共有种不同选法. 由分步乘法计数原理，知不同的选派方法有（种）.故选：D. 【例13】疫情期间，上海某医院安排5名专家到3个不同的区级医院支援，每名专家只去一个区级医院，每个区级医院至少安排一名专家，则不同的安排方法共有（ ） A．60种 B．90种 C．150种 D．240种 【答案】C 【解析】5名专家到3个不同的区级医院，分为1，2，2和1,1,3两种情况； 分为1，2，2时安排有;分为1，1，3时安排有 所以一共有 【例14】甲、乙等5人去三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人游览，若甲、乙两人不去同一景区游览，则不同的游览方法的种数为（    ） A．112 B．114 C．132 D．160 【解题思路】先分组再分配，先将 5人分成 3 组，有 、 两种分组可能，求出所有游览方法总数，根据题意再减去甲乙去同一景区的方法总数即可. 【解答过程】去 三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人去游览，因此先分组再分配， 5个人可以分为3组，分别是、， 当为时，有种组合， 当为时，有种组合， 再分配到三个不同的景区，有种； 以上情况包含甲乙去同一景区，需要再减去此种情况， 将甲乙捆绑起来作为一个元素，此时有四个元素去三个不同的景区，此时只有这种组合，因此有种组合，再分配给三个不同的景区，有种； 因此满足题意的有：种. 故选: B. 【例15】提高新农村的教育水平，某地选派4名优秀的教师到甲、乙、丙三地进行为期一年的支教活动，每人只能去一个地方、每地至少派一人，则不同的选派方案共有　　 A．18种 B．12种 C．72种 D．36种 【解答】解：将4名教师分成3个组有种分法，再将3个组的教师分到甲、乙、丙三地共有种分法，所以共有36种选派方案， 【例16】《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一部数学专著，该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即算筹）､太乙算､两仪算､三才算､五行算､八卦算､九宫算､运筹算､了之算､成数算､把头算､龟算､珠算､和计数.某学习小组有甲､乙､丙3人，该小组要收集九宫算､运筹算､了之算､成数算､把头算､珠算6种算法相关资料，要求每种算法只能一人收集，每人至少收集其中一种，则不同的分配方案种数为（ ） A．240 B．300 C．420 D．540 【答案】D 【分析】根据题意，结合分组分配问题，结合排列组合，即可求解. 【详解】根据题意，将6种算法分成3组，有1，1，4一组，有1，2，3一组，以及2，2，2一组， 然后将这3组分配给甲乙丙三个人， 所以不同的分配方案有. 【跟踪训练】 1.甲、乙、丙、丁、戊5个文艺节目在A，B，C三家电视台播放，要求每个文艺节目只能独家播放，每家电视台至少播放其中的一个，则不同的播放方案的种数为（　　） A．150 B．210 C．240 D．280 【解题思路】先将甲、乙、丙、丁、戊5个文艺节目分成3组，再将这3组分给A，B，C三家电视台，然后利用分步原理求解即可． 【解答过程】解：先将甲、乙、丙、丁、戊5个文艺节目分成3组，有两种情况，分别为2组各2个节目、1组一个节目和2组各1个节目，1组3个节目，共有25种不同的分法； 再将这3组分给A，B，C三家电视台，则不同的播放方案的种数为25150， 故选：A． 2．某市政工作小组就民生问题开展社会调研，现派遣三组工作人员对市内甲、乙、丙、丁四区的居民收人情况进行抽样调査，若每区安排一组工作人员调研，且每组工作人员至少负责一个区调研，则不同的派遣方案共有（   ） A．12种 B．36种 C．48种 D．72种 【答案】B 【分析】按照分组分配问题先将四个区分为三组，再分配到三组工作人员中去即可. 【详解】先将甲、乙、丙、丁四个区分成三组，即任意选两个成为一组，剩余两个各自一组，共种， 再将分好的三组不同的区分配给三组工作人员，共有种分配方法； 因此共种. 故选：B 3.某高校要在假期安排甲、乙等名大学生到、、三个公司进行社会实践，要求每个公司都要有大学生去，且甲和乙都不能去公司，则不同的安排方式有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】对公司去的学生人数进行分类讨论，结合分类和分步计数原理可得结果. 【详解】因为甲和乙都不能去公司，对公司去的学生人数进行分类讨论： 若去公司只有个人，有种情况，然后将剩余人分为两组，再将这两组分配给、两个公司， 此时有种不同的安排方式； 若去公司有人，有种情况，然后将剩余人分为两组，再将这两组分配给、两个公司， 此时有种不同的安排方式； 若去公司有人，只需将甲、乙两人分配给、公司即可，每个公司个人， 此时有种不同的安排方式. 由分类加法计数原理可知，不同的安排方式种数为种. 题型6：放球问题 【例17】7个相同的小球放入，，三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（       ）种不同的放法． A．60种 B．36种 C．30种 D．15种 【解析】将7个小球分成三组即可，可采用插空法，7个小球有6个空，则有种不同的方法. 故选：D. 【例18】将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（       ） A．720种 B．420种 C．120种 D．15种 【解析】先从10本书中拿出3本，分给每人一本书， 再将余下7本书采用“隔板法”分给3个人，分法种数为15， 故选: D 【例19】方程的非负整数解有（       ） A．组 B．136组 C．190组 D．68组 【解析】根据题意，对于方程， 将“18”看成18个“1”， 18个“1”共有19个空， 从19个空中选两个空进行隔板，或从19个空中选1个空插2个隔板， 即可以将18个“1”分为三组，每组对应“1”的数目依次为的数值， 则有. 方程的非负整数解有190组. 故选：C 【例20】（1）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （2）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （3）把6个不同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （4）把6个不同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ 【答案】（1）2；（2）10；（3）65；（4）1560. 【解析】（1）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子至少放1个小球，每个箱子先放入1个小球，还剩下2个小球， 则余下2个小球放在1个箱子中，或分开放在2个箱子中， 所以共有2种放法； （2）6个相同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少放1个小球，将6个相同的小球排成一列，在形成的中间5个空隙中插入3块隔板， 所以不同的放法种数为； （3）6个不同的小球放入4个相同的箱子，每个箱子至少放1个小球，先把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组， 每一种分法的4组小球分别放入4个箱子满足要求，一种分组方法即为一种放法， 所以不同的放法种数为； （4）6个不同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少放1个小球，先把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组， 每一种分法的4组小球全排列，得到的每一个排列的4组小球分别放入4个箱子满足要求，所以不同的放法种数为． 【跟踪训练】 1.某单位订阅了30份《光明日报》发给3个部门，每个部门至少发放9份报纸，问一共有多少种不同的发放方法（       ） A．7 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】先给每个部门发8份《光明日报》，将剩余6份《光明日报》分给3个部门，每个部门至少一份，用挡板法即可. 【详解】根据题意，先给每个部门发8份《光明日报》，将剩余6份《光明日报》分给3个部门，每个部门至少一份即可.将6份《光明日报》看成6个元素，排成一排，中间有5个空位，在其中任选2个，插入挡板，可以将6份《光明日报》分为3组，对应分给3个部门即可，则有种不同的发放方法. 故选:C. 2．展开式为多项式，则其展开式经过合并同类项后的项数一共有（       ） A．12项 B．24项 C．39项 D．78项 【解析】展开之后必有形如的式子出现，其中，且. 构造14个完全一样的小球模型，分成3组，每组至少一个，利用隔板法，共有分法种； 每组去掉一个小球的数目分别为的展开式中各字母的次数； 小球分组模型与各项的次数是一一对应的，故的展开式中，合并同类项之后的项数为项. 故选：D 3．若方程，其中，则方程的正整数解的个数为 A．10 B．15 C．20 D．30 【解析】方程，其中， 则 将其转化为有6个完全相同的小球，排成一列，利用挡板法将其分成3组， 第一组小球数目为 第二组小球数目为 第三组小球数目为 共有种方法 故方程的正整数解的个数为10 故选 4.将4个编号分别为1，2，3，4的小球放入4个编号分别为1，2，3，4的盒子中． （1）有多少种放法？ （2）每盒至多一球，有多少种放法？ （3）恰好有一个空盒，有多少种放法？ （4）每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？ （5）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ 【答案】（1）256；（2）24；（3）144；（4）8；（5）12. 【解析】（1）根据题意，每个小球有4种放法，则4个小球有44＝256种放法， （2）根据题意，每盒至多一球，即每个盒子都只能放1个球，有＝24种放法， （3）根据题意，分2步进行分析：在4个球中任选2个，放入1个盒子中，有＝24种放法， 在剩下的3个盒子中，任选2个，放入剩下2个两个小球，有＝6种放法，则有6×24＝144种放法； （4）根据题意，分2步进行分析：在4个小球中任选1个，放入编号相同的盒子中，有＝4种放法， 剩下3个小球放入编号不同的盒子中，有2种放法，则有4×2＝8种不同的放法， （5）根据题意，在4个盒子中选出1个，放入2个小球，有4种选法， 在剩下的3个盒子中，任选2个，分别放入1个小球，有＝3中选法，则有4×3＝12种不同的放法． 5.有标号为1，2，3，4，5，6的6个小球和标号为1，2，3，4的4个盒. （1）从6个小球中选出4个放入4个盒中，每盒只放1个小球. ①求奇数号盒只放奇数号小球的不同放法种数； ②求奇数号小球必须放在奇数号盒中的不同放法种数. （2）若不许空盒且将6个小球都放入4个盒中，求所有不同的放法种数. 【答案】（1）①种；②种；（2）种. 【解析】（1）①因为奇数号盒只放奇数号小球，每盒只放一个小球，所以先从3个奇数号小球中任取2个放入奇数号盒中，有种放法；再将剩余的4个小球中的2个放入余下的2个盒中，有种放法.从而不同的放法种数为. ②因为奇数号小球必须放在奇数号盒中，每盒只放一个小球，所以分两类讨论： 第一类，取1个奇数号小球和3个偶数号小球放入盒中，共有种放法； 第二类，取2个奇数号小球和2个偶数号小球放入盒中，共有种放法. 从而不同的放法种数为. （2）由于不许空盒且将6个小球都放入盒中，所以考虑对6个小球先进行分组再放入盒中，分两类： 第一类，将6个小球分成1，1，2，2四组的不同分法种数为，再放入4个盒中，有种放法； 第二类，将6个小球分成1，1，1，3四组的不同分法种数为，再放入4个盒中，有种放法. 从而所有不同的放法种数为. 6.（1）本不同的书，分为三份，一份1本，一份2本，一份3本，有多少种不同的选法？ （2）本不同的书，分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的选法？ 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据题意分三步：先选1本有种选法；再从余下的本中选本有种选法； 最后余下本全选有种方法，由分步乘法计数原理故可知：共有种； （2）由于甲、乙、丙是不同的三人，在（1）分组的基础上将组全排列，共有种. 7.平面内有10个点，其中任意3个点不共线. （1）以其中任意2个点为端点的线段有多少条？ （2）以其中任意2个点为端点的有向线段有多少条？ （3）以其中任意3个点为顶点的三角形有多少个？ 【答案】（1）45；（2）90；（3）120． 【解析】（1）求线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的组合数， 共有，即以10个点中的任意2个点为端点的线段共有45条； （2）所求有向线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的排列数，共有(条)， 即以10个点中的任意2个点为端点的有向线段共有90条. （3） 所求三角形的个数，即为从10个元素中任选3个元素的组合数，共有(个)． 题型7：排列、组合综合 【例21】现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人； (2)名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； (3)名老师之间必要有男女学生各人． 【解题思路】（1）根据特殊元素优先安排求解即可. （2）利用插空法，先排老师和女学生，再排男学生甲，最后排剩余的名男学生即可. （3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，再排老师，最后利用捆绑法排列即可. 【解答过程】（1）由题意可得共种不同的站法． （2）先排老师和女学生共有种站法，再排男学生甲有种站法， 最后排剩余的名男学生有种站法， 所以共有种不同的站法． （3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，有种站法， 两老师的站法有种， 再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的4个人进行全排列有种， 所以共有种不同的站法． 【跟踪训练】 1.某医疗小组有4名男性，2名女性共6名医护人员，医护人员甲是其中一名． (1)若从中任选2人参加A，两项救护活动，每人只能参加其中一项活动，每项活动都要有人参加，求医护人员甲不参加项救护活动的选法种数； (2)这6名医护人员将去3个不同的地方参与医疗支援，每人只能去一地，每地有2人前往，若2名女性不能去往同一个地方，求不同的分配方案种数． 【解题思路】（1）分类，按甲是否参加活动分两类； （2）分步，第一步按排两名女性，第二步按排与女性同去的男性，第三步剩余的两名男性． 【解答过程】（1）分两类：①甲参加项救护活动，再从其余5人中选一人参加A，选法数为， ②甲不参加救护活动，则从其余5人中任选两人参加救护活动，选法数为， 所以共有选法种数为20+5=25； （2）分三步：第一步先安排两名女性医护人员有：， 第二步：安排两名女医护人员同去的男医护人员有：， 第三步：剩余两名男性医护人员去另外一地有： ， 所以共有不同的分配方案数为：． 2.某学校举行男子乒乓球团体赛，决赛比赛规则采用积分制，两支决赛的队伍依次进行三场比赛，其中前两场为男子单打比赛，第三场为男子双打的比赛，每位出场队员在决赛中只能参加一场比赛. 某进入决赛的球队共有五名队员，现在需要提交该球队决赛的出场阵容，即三场比赛的出场的队员名单. (1)一共有多少种不同的出场阵容？ (2)若队员A因为技术原因不能参加男子双打比赛，则一共有多少种不同的出场阵容？ 【解题思路】（1）根据分步计数原理，先安排前两场比赛人员，再安排第三场的比赛人员； （2）从队员A上场和不上场来分类，分别求解，再利用分类加法原理可得答案. 【解答过程】（1）出场阵容可以分两步确定： 第1步，从5名运动员中选择2人，分别参加前两场男单比赛，共有种； 第2步，从剩下的3名运动员中选出两人参加男双比赛，共有种， 根据分步乘法计数原理，不同的出场阵容种数为. （2）队员A不能参加男子双打比赛，有两类方案： 第1类方案是队员A不参加任务比赛，即除了队员A之外的4人参加本次比赛，只需从4人中选出两人，分别取参加前两场单打比赛，共有种，剩余人员参加双打比赛； 第2类方案是队员A参加单打比赛，可以分3个步骤完成： 第1步，确定队员A参加的是哪一场单打比赛，共2种； 第2步，从剩下4名队员中选择一名参加另一场单打比赛，共4种； 第3步，从剩下的3名队员中，选出两人参加男双比赛，共有种， 根据分步乘法计数原理，队员A参加单打比赛的不同的出场阵容有种； 根据分类加法计数原理，队员A不参加男子双打比赛的不同的出场阵容种数为. 3.从，，等8人中选出5人排成一排. （1）必须在内，有多少种排法？ （2），，三人不全在内，有多少种排法？ （3），，都在内，且，必须相邻，与，都不相邻，都多少种排法？ （4）不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法？ 【解题思路】（1）只需从余下的7人中选4人出来排列即可； （2）采用间接法； （3）先从余下5人中选2人有种不同结果，由于，必须相邻，与，都不相邻，利用捆绑法、插空法即可解决； （4）分所选的5人无A、B，有A、无B，无A、有B，有A、B四种情况讨论即可. 【解答过程】（1）由题意，先从余下的7人中选4人共有种不同结果，再将这4人与A进行全排 列有种不同的排法，故由乘法原理可知共有种不同排法； （2）从8人中任选5人排列共有种不同排法，，，三人全在内有种不同排 法，由间接法可得，，三人不全在内共有 种不同排法； （3）因，，都在内，所以只需从余下5人中选2人有种不同结果，，必须 相邻，有种不同排法，由于与，都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有 种不同排法，再将A、B这个整体与C插入到选出的2人所产生的3各空位中有种不同 排法，由乘法原理可得共有种不同排法； （4）分四类： 第一类：所选的5人无A、B，共有种排法； 第二类：所选的5人有A、无B，共有种排法； 第三类：所选的5人无A、有B，共有种排法； 第四类：所选的5人有A、B，若A排中间时，有种排法， 若A不排中间时，有种排法，共有种排法； 综上，共有4440种不同排法. 一、填空题 1．（22-23高二下·上海长宁·期末）若，则正整数 . 【答案】8 【分析】利用排列数和组合数公式求解. 【详解】解：因为， 所以 ， 解得 ， 故答案为：8 2．（2023复兴高级中学月考） ． 【答案】1330 【分析】根据已知中，我们可得，由组合数性质公式，我们可求出最终结果. 【详解】原式； 记，数列的前19项和即为所求． 记数列的前项和为； 注意到， ∴ ； 故答案为：1330. 【点睛】本题考查的知识点是数列求和以及组合数公式，考查了学生的观察能力，属于中档题. 3．（21-22高二上·上海黄浦·阶段练习）方程的解集为 . 【答案】 【分析】利用排列数和组合数公式可得出关于的等式，即可得解. 【详解】因为，则，，且，即，解得. 故原方程的解集为. 故答案为：. 4．（23-24高二上·上海·阶段练习）方程的解是 ． 【答案】 【分析】由排列数和组合数的公式代入求解即可. 【详解】由可得：， 即，则， 所以或（舍去）， 将检验，是原方程的解. 故答案为：. 5.（2022·上海·高二专题练习）已知则x＝______. 【答案】5 【解析】由可得x＝2x（舍去）或x＋2x＝n，所以， 所以，即， 化简得， 即，解得n＝15（n＝0舍去），所以x＝5,故答案为:5 6．（2023金山区高二期末）6件产品中有4件正品，2件次品，现一次取三件产品，至少有2件正品的概率为 . 【答案】/0.8 【分析】根据古典概型的概率公式，即可求得答案. 【详解】由题意6件产品中有4件正品，2件次品， 一次取三件产品，共有（种）取法， 其中至少有2件正品的取法有（种）， 故至少有2件正品的概率为， 故答案为： 7.（2024·上海松江·二模）因新冠肺炎疫情防控需要，某医院呼吸科准备从5名男医生和4名女医生中选派3人前往隔离点进行核酸检测采样工作，选派的三人中至少有1名女医生的概率为 . 【答案】 【分析】利用古典概型的概率公式求解即可． 【详解】某医院呼吸科准备从5名男医生和4名女医生中选派3人前往隔离点进行核酸检测采样工作， 基本事件总数， 选派的三人中至少有1名女医生包含的基本事件总数， ∴选派的三人中至少有1名女医生的概率. 故答案为：. 8．（2021·上海市控江中学高三阶段练习）甲､乙､丙三位同学各自在周六､周日两天中任选一天参加公益活动，则周六､周日都有同学参加公益活动的概率是___________. 【答案】 【分析】求出不加限制条件的参加方法，再按分组分配方法求得两天都有人参加活动的方法数，然后计算概率． 【详解】甲､乙､丙三位同学各自在周六､周日两天中任选一天参加公益活动的所有方法数为， 周六､周日都有同学参加公益活动的方法娄得， 所以周六､周日都有同学参加公益活动的概率是． 故答案为：． 9．（2021·上海崇明·一模）第24届冬季奥林匹克运动会计划于2022年2月4日在北京开幕，北京冬奥会的顺利举办将成为人类摆脱和超越疫情的标志性事件，展现人类向更美好的末来进发的期望和理想.组织方拟将4名志愿者全部分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作（每个场馆至少分配一名志愿者)，不同的分配方案有_______种. 【答案】36 【分析】把4名志愿者分为3组，选出2人作为一组，然后将3组全排列即可. 【详解】首先把4名志愿者分为3组，则有一个组有2人，共有种分法，再把分好的3组分到不同的3个场馆，则有种分法，所以共有种分法 故答案为：36. 10．（2021·上海闵行·一模）某学校为落实“双减”政策，在每天放学后开设拓展课程供学生自愿选择，开学第一周的安排见如表.小明同学要在这一周内选择编程､书法､足球三门课，不同的选课方案共___________种. 周一 周二 周三 周四 周五 演讲､绘画､舞蹈､足球 编程､绘画､舞蹈､足球 编程､书法､舞蹈､足球 书法､演讲､舞蹈､足球 书法､演讲､舞蹈､足球 注：每位同学每天最多选一门课，每一门课一周内最多选一次 【答案】15 【分析】应用分类分步计算方法，首先考虑编程选在周二或周三，再确定书法的时间，最后确定足球的时间，即可得到总的选课方案. 【详解】1、周二选编程，则选课方案有种； 2、周三选编程，则选课方案有种； 综上，不同的选课方案共15种. 故答案为：15. 11．（2021·上海嘉定·一模）四名志愿者参加某博览会三天的活动，若每人参加一天，每天至少有一人参加，其中志愿者甲第一天不能参加，则不同的安排方法一共有____________种（结果用数值表示） 【答案】 【分析】由题意，先分组再分配，先将四名志愿者分为三组，然后按照特殊元素优先考虑再进行分配，从而求解出不同安排方法种数. 【详解】由题意，将四名志愿者先分为三组，有种，因为志愿者甲第一天不能参加，所以有种分配方式，所以不同的安排方法一共有种. 故答案为： 12．（2021·上海市控江中学高二阶段练习）从正方体的八个顶点中随机选取3个点，这3个点可以构成直角三角形的概率为___________ 【答案】 【分析】求出基本事件的总数，考虑表面和对角面求出可以构成三角形的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解. 【详解】从正方体的八个顶点中随机选取3个点，共有， 正方体有个面和个对角面都是正方形或矩形，每个图形中都有个直角三角形， 所以有个直角三角形， 所以所求的概率为， 故答案为：. 13．（2021·上海市控江中学高二阶段练习）将写有1、2、…、9这9个数的卡片（6不可视作9）随机分给甲、乙、丙三人，每人三张，则“每人手中卡片上的三个数都能满足：其中一个数为其他两个数的平均数”的概率为____________ 【答案】 【分析】确定三个数中一个数是其他两个数的平均数的数组，然后得出事件“每人手中卡片上的三个数都能满足：其中一个数为其他两个数的平均数”的个数后可得概率．用列举法写出． 【详解】9张卡片随机分给3个人，每人三张，总方法数是 9个数分成三组，每组3个数中都有一个是其他两个数的平均数，我们从最小的平均数开始计数（第二组也从较小平均数开始）： （123）（345）（678），（123）（357）（468），（135）（246）（789），（234）（159）（678），（147）（258）（369），分给三人，方法数为， 所以所求概率为． 故答案为：． 14.（2021·上海杨浦·一模）某市高考新政规定每位学生在物理､化学､生物､历史､政治､地理中选择三门作为等级考试科目，则甲､乙两位学生等级考试科目恰有一门相同的不同选择共有___________种.（用数字作答） 【答案】180 【分析】用分步乘法原理完成这件事：先选一门科目为两相同科目，然后让其中一人从剩下的5科中选2门，另一人再在剩下的3门中选2门即可得． 【详解】由分步乘法原理知不同选择方法为． 故答案为：180． 二、选择题 15（2022·高二课时练习）以下四个问题，属于组合问题的是（ ） A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地 【答案】C 【解析】只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题， 而A,B,D均与顺序有关.故选：C. 16.（23-24七宝中学高二下期中）已知，则（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【解题思路】根据组合数的性质计算可得. 【解答过程】因为，所以， 又，所以，所以，解得. 故选：B. 17. （高二下·上海浦东新·期末）下列四个组合数公式:对，约定,有 （1） （2） （3） （4） 其中正确公式的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】分别将组合数和排列数写成阶乘的形式，计算每个等式的两边并判断等式是否成立. 【详解】A．，等式成立； B．，， 所以成立； C．， ，所以成立； D． ，所以成立. 故选A. 【点睛】本题考查排列数、组合数公式的运算化简，难度一般.注意排列组合中两个计算公式的使用：. 18. （23-24大同中学高二下期中）8个人分成3人、3人、2人三组，共有（  ）种不同的分组方法. A．1120 B．840 C．560 D．280 【答案】D 【分析】根据平均分组求法即可求解. 【详解】根据题意，分组方法数为种 19.（2021位育中学阶段练习）在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，社区有5名医务人员到某学校的高一、高二、高三3个年级协助防控和宣传工作.若每个年级至少分配1名医务人员，则不同的分配方法有（　　） A．25种          B．50种         C．300种         D．150种 【答案】D 【分析】首先分析将5个人分为三小组且每小组至少有一人，则可能分法有：两种情况，每种情况利用分步计数原理计算情况数，最后相加即可. 【详解】当5个人分为2，2，1三小组，分别来自3个年级，共有种； 当5个人分为3，1，1三小组时，分别来自3个年级，共有种. 综上，选法共有. 21.（2024上海交大附中月考）阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统．学生李华计划在高一年级每周一至周五每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》《三国演义》《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有 种．（用数字作答） 【答案】240 【分析】根据分步乘法原理结合组合数及排列数计算即可求解. 【详解】 将周一至周五分为4组，每组至少1天，共有种分组方法； 将四大名著安排到4组中，每组1种名著，共有种分配方法， 由分步乘法计数原理可得不同的阅读计划共有（种）． 22. （24-25格致中学高三阶段练习）某学校拟派2名语文老师、3名数学老师和3名体育老师共8人组成两个支教分队，平均分到甲、乙两个村进行义务支教，其中每个分队都必须有语文老师、数学老师和体育老师，则不同的分配方案有（    ） A．72种 B．36种 C．24种 D．18种 【答案】B 【分析】先分配语文老师，再把数学体育老师按1，2和2，1分配，或2，1和1，2分配即可求解； 【详解】两名语文老师由种分配方程； 数学老师按1，2分，则体育老师按2，1分， 或数学老师按2，1分，则体育老师按1，2分，共有, 所以不同的分配方案有 23．（2021·上海市大同中学高二期末）人分乘两辆不同的车，每辆车最多坐人，则不同的乘车方法数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分配两辆汽车的人数：42，33，再选排，根据加法原理求结果即可. 【详解】若两辆汽车人数分别为4人与2人，先分组有种，再排序有种，故总共有种； 若两辆汽车人数分别为3人与3人，先分组有种，再排序有种，故总共有种.因此不同的乘车方法数为种. 故选：C. 24．（2021·上海师大附中高二期中）从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组，则按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分层抽样求出抽取的男女生人数，然后由分步计数原理得出抽取的方法数，再求出总抽取方法数后计算概率． 【详解】总体中男女生人数比为，因此抽取的6人中男生数为，女生数为2， 所以所求概率为． 故选：A． 三、解答题 25.（2023全国高二课时练习）1。方程的根为______． 【答案】11 【解析】因为，所以， 所以，解得或， 又，所以．故答案为：11. 2.已知 求的值构成的集合 【答案】 【解析】依题意，，，解得， 则的值为6，7，8，9， 所以的值构成的集合为. 26．（2024上海市大同中学高二期中）从5个男生和3个女生中选5人担任5门不同学科的课代表，分别求符合下列条件的选法种数． （1）女生人数少于男生人数； （2）某女生一定选中且担任语文课代表，某男生也必须选中且不担任数学课代表． 【答案】（1）5520；（2）360． 【分析】（1）先确定从8人种选择5人全排，得到总的选法，再求出女生人数多于男生人数对应的选法，作差即可得出结果； （2）先从剩余的6人种选三人，再排指定的男生，之后排剩余三人，即可得出结果. 【详解】（1）从5个男生和3个女生中选5人担任5门不同学科的课代表，共有种情况， 若女生人数多于男生人数，则有3个女生和2个男生担任课代表，共有种情况，则女生人数少于男生人数的选法有：种； （2）先从剩余的6人种选三人，共有种情况， 因为某女生一定选中且担任语文课代表，某男生也必须选中且不担任数学课代表， 所以该男生有种选择， 因此共有种选法. 【点睛】本题主要考查排列组合的应用，属于常考题型. 27．（2023上海市延安中学高二期末）一个口袋中有9个球，白球4个，黑球5个，现从中取出3个球，求下列事件的概率． （1）取出的三个球均为黑球； （2）取出的三个球中两个是白球，另一个是黑球． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用组合数算出答案即可； （2）利用组合数算出答案即可. 【详解】（1）取出的三个球均为黑球的概率为 （2）取出的三个球中两个是白球，另一个是黑球的概率为 28．（2023上海市大同中学高二期末）（1）某外商计划在个城市投资个不同的项目，且在同一城市投资的项目不超过个，求该外商不同的投资方案有多少种？（用数字作答） （2）某单位安排位员工在10月1日至10月7日值班，每天人，每人值班天，求员工甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意，分两种情况讨论，一是在两个城市分别投资1个项目、2个项目，二是在三个城市各投资1个项目，分别计算其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案． （2）首先求出基本事件总数，再利用分类加法计数原理与分步乘法计数原理求出员工甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日的事件数，再根据古典概型概率公式计算可得； 【详解】解：（1）某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则有两种情况， 一是在两个城市分别投资1个项目、2个项目， 此时有种方案， 二是在三个城市各投资1个项目，有种方案， 共计有种方案， （2）依题意某单位安排位员工在10月1日至10月7日值班，每天人，每人值班天，则基本事件总数为种； 则员工甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，分以下两类： ①甲乙相邻排在1、2日，则有种排法； ②甲乙相邻不排在1日，首先从其余4人中选一人排在10月1日，有种，再排其余人有种，按照分步乘法计数原理可知一共有种排法， 故满足员工甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日的排法一共有种排法，故员工甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日的概率 29. 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种. (1)其中某一种假货必须在内，不同取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同取法有多少种？ (3)恰有2种假货在内，不同取法有多少种？ (4)至少有2种假货在内，不同取法有多少种？ (5)至多有2种假货在内，不同取法有多少种？ 【解析】(1)从余下的34种商品中， 选取2种有＝561(种)取法， 所以某一种假货必须在内的不同取法有561种. (2)从34种可选商品中，选取3种， 有种或者－＝＝5 984(种)取法. 所以某一种假货不能在内的不同取法有5 984种. (3)从20种真货中选取1种， 从15种假货中选取2种有＝2 100(种)取法. 所以恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种. (4)选取2种假货有种，选取3种假货有种， 共有选取方式＋＝2 100＋455＝2 555(种). 所以至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种. (5)法一：(间接法) 选取3种商品的总数为，因此共有选取方式 －＝6 545－455＝6 090(种). 所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种. 法二：(直接法) 共有选取方式＋＋＝6 090(种). 所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种. 4．（2021·江苏苏州·高二期中）六元一次方程的正整数解有________组． 【答案】126 【分析】利用隔板法可求正整数解的组数. 【详解】的正整数解的组数为， 故答案为：. 30．（2024·全国·高二课时练习）（1）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （2）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （3）把6个不同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （4）把6个不同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ 【答案】（1）2；（2）10；（3）65；（4）1560. 【解析】（1）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子至少放1个小球，每个箱子先放入1个小球，还剩下2个小球， 则余下2个小球放在1个箱子中，或分开放在2个箱子中， 所以共有2种放法； （2）6个相同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少放1个小球，将6个相同的小球排成一列，在形成的中间5个空隙中插入3块隔板， 所以不同的放法种数为； （3）6个不同的小球放入4个相同的箱子，每个箱子至少放1个小球，先把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组， 每一种分法的4组小球分别放入4个箱子满足要求，一种分组方法即为一种放法， 所以不同的放法种数为； （4）6个不同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少放1个小球，先把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组， 每一种分法的4组小球全排列，得到的每一个排列的4组小球分别放入4个箱子满足要求， 所以不同的放法种数为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$