专题08：排列（强基篇）讲义-2024-2025学年高二下学期数学沪教版（2020）选择性必修第二册

2024-2025学年沪教版2020选择性必修第二册同步培优课程（强基篇） 专题08 排列 知识点一、排列 1、排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2、排列概念的理解 ①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列. ②两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同. ③定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，这一点要特别注意. 3、排列的判断 判断一个问题是不是排列问题的关键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同的元素中任取m(mn，n,m∈)个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有变化，就与顺序无关，就不是排列问题. 知识点二、排列数排列数公式 排列数的定义 从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数用符号表示。 排列数的表示 A(n，m∈N，m≤n) 排列 数公式 乘积式 ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) 阶乘式 ＝ 阶乘 P＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝n！ 规定 0！＝1，A＝1 性质 P＋mA＝A [提示] 排列与排列数的区别 “排列”与“排列数”是两个不同的概念，“排列”是指“从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列，它不是数，而是具体的一件事；而“排列数”是上述完成这件事所有不同的排列个数，它是一个数． 知识点三、排列应用问题的分类与求解思路 1、有限制条件的排列问题：对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在 实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法. 2、相邻问题：对相邻问题采用捆绑法；相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，注意捆绑元素的 内部排列. 3、不相邻问题：不相邻问题采用插空法；先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面 元素排列的空档中. 题型1：排列问题的判断 【例1】下列问题是排列问题的是（    ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线 D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 【答案】B 【详解】对于A，8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误； 对于B，“入座问题”，与顺序有关，是排列问题，B正确； 对于C，确定直线不涉及顺序问题，不是排列问题，C错误； 对于D，4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序问题，不是排列问题，D错误． 故选：B 【跟踪训练】 1．下列问题不属于排列问题的是（   ） A．从10个人中选2人分别去种树和扫地 B．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 C．从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表 D．从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数 【答案】B 【分析】根据排列的定义判断即可. 【详解】对于A，从10个人中选2人分别去种树和扫地，因为工作内容不一样，故有顺序，属于排列问题，故A不满足题意； 对于B，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，没有顺序，所以不属于排列问题，故B满足题意； 对于C，从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表，因为科目不相同，故有顺序，属于排列问题，故C不满足题意； 对于D，从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数，数字所在位置有顺序，属于排列问题，故D不满足题意. 故选：B 2．下列问题是排列问题的是（    ） A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？ 【答案】B 【分析】排列问题是与顺序有关的问题，据此对四个选项进行判断即可解决. 【详解】选项A：从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，选出的2人并未排序， 因而不是排列问题，不合题意； 选项B：10个人互相通信一次，选出2人要分出寄信人和收信人， 是排列问题，适合题意； 选项C：平面上有5个点，任意三点不共线，从中任选2个点 即可确定1条直线，这2个点不分顺序. 因而不是排列问题，不合题意； 选项D：从1，2，3，4四个数字中，任选两个数字相加即得1个结果， 这2个数字不分顺序，因而不是排列问题，不合题意. 故选：B． 3．下列问题不是排列问题的为（    ） A．高二（1）班选名班干部去学校礼堂听团课 B．某班名同学在假期互发微信 C．从1，2，3，4，5中任取两个数字相除 D．10个车站，站与站间的车票 【答案】A 【解析】对于A：不存在顺序问题，不是排列问题； 对于B：存在顺序问题，是排列问题； 对于C：两个数相除与这两个数的顺序有关，是排列问题； 对于D：车票使用时有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题．故选：BCD 题型2：排列数的计算与证明 【例2】对于满足的正整数，（ ） A． B． C． D． 【例3】已知，则n的值为 ． 【答案】3 【分析】根据排列数公式直接计算即可得解. 【详解】由得， 化简得，解得（舍去）或. 故答案为：3. 【例4】解不等式： 【详解】由，得， 化简得，解之得，① 又，可得，② 由①②及得. 【例5】求证： 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】 =得证。 【跟踪训练】 1．（2022春·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期末）___________. 【答案】120 【分析】根据排列数的计算求解即可 【详解】 故答案为：120 2.解方程：． 【难度】★★ 【答案】6 【解析】， ， ， ，或（负舍）。 3.已知n为正整数，且，则 ． 【答案】8 【分析】利用排列数公式，列式求解作答. 【详解】依题意，n为正整数，， 因为，则有，解得， 所以. 故答案为：8 4.与的大小关系是（ ） A． B． C． D．大小关系不确定 【难度】★★ 【答案】D 【解析】，知当时，大于，当时，小于，故选D 5.证明：. （2） ， 因此，. 题型3：无限制条件的排列问题 【例6】2名男生和3名女生站成一排照相，不同的站法为（    ） A．10种 B．12种 C．24种 D．120种 【答案】D 【解析】根据题意，2名男生和3名女生站成一排拍照，不同的站法为种.故选：D. 【例7】今年中秋和国庆共有连续天小长假，某单位安排甲、乙、丙三名员工值班，每天都需要有人值班．任选两名员工各值天班，剩下的一名员工值天班，且每名员工值班的日期都是连续的，则不同的安排方法数为 ． 【答案】 【分析】先确定值班天的人，有种选择，再将三个人全排即可，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】三人值班的天数分别为、、，先确定值班天的人，有种选择， 再将三个人全排即可，所以，不同的排法种数为种. 故答案为：. 【跟踪训练】 1.将4本不同的书分配给8名同学，每名同学最多分到1本书，那么不同的分配方式共有（    ） A．70种 B．256种 C．1680种 D．4096种 【答案】C 【解析】不同的分配方法数为．故选：C． 2.甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A、B、C三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学，则甲、乙两人被分在同一个社区的情况有 种． 【答案】6 【分析】运用捆绑法进行求解即可. 【详解】把甲、乙两人捆绑一起，与丙、丁两同学一起排列在一起符合题意， 所以有种不同的情况， 故答案为：6 题型4：元素（位置）有限制的排列问题 【例8】甲、乙等5人排成一行，则甲不站在5人正中间位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有（     ）种. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】采用间接法，先5人全排有种，去掉甲在中间的有种，乙在最左端的有种，然后加上甲在中间和乙在最左端的有种. 【详解】采用间接法，先5人全排有种，去掉甲在中间的有种，乙排最左端的有种， 然后加上甲在中间和乙在最左端的有种， 则共有种排法. 故选：D. 【例9】（多选）某单位安排7名员工周一到周日为期一周的值日表，每名员工值日一天且不重复值班，其中甲不排在周一，乙不排在周三，则不同的安排方案种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】直接法：若乙安排在周一，则有种不同的排法； 若乙不安排在周一，则甲、乙可以安排在除周一和周三外的任何位置，有种不同的排法． 故所有符合题意的方法共有种，所以选项D正确． 间接法：（1）不管条件限制共有种不同的排法． 当甲安排在周一或乙安排在周三时，有种不同的排法； 当甲安排在周一且乙安排在周三时，有种排法． 故所有符合题意的方法共有种，所以选项B正确． （2）从周一到周日的七天位置来看，周一不安排甲共有种不同的排法， 其中周三安排乙共有种排法，是不符合题意的， 故所有符合题意的方法共有种，所以选项A正确.故选：ABD 【跟踪训练】 1.某单位五一放假，安排甲、乙等五人值班五天，每人值班一天．若甲、乙都不能值第三天，则不同的值班安排共有（    ） A．60种 B．66种 C．72种 D．78种 【答案】C 【解析】先安排甲、乙，从剩余的4天选择两天，安排甲和乙，有种方法， 再安排其他3个人，有种选择，故不同的值班安排共有种故选：C 2．5个人站成一排，甲、乙两人中间恰有一人的不同站法有（    ）. A．288种 B．72种 C．36种 D．24种 【答案】C 【分析】根据题意，甲、乙两人中间恰有一人，把这三个人看做一个整体，利用“捆绑”法，再与其他的2个人进行排列. 【详解】由题意，甲、乙两人中间恰有一人，把这三个人看做一个整体，则有种， 所以，5个人站成一排，且甲、乙两人中间恰有一人的站法有：种. 故选：C. 【点睛】本题主要考查排列与组合及两个基本原理，排列数公式、组合数公式的应用，相邻问题用“捆绑”法，属于基础题. 3. 某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6节课的课表，要求数学课排在上午但不能是第一节，体育课排在下午，则不同的排法种数有（    ） A．720 B．288 C．144 D．48 【答案】C 【解析】数学课排在上午（不是第一节）有3种排法， 体育课排在下午有2种排法， 剩下的4门课全排列，有种排法， 所以不同的排法共有种.故选：C 题型5：相邻问题与不相邻问题 【例10】3个男孩和3个女孩站成一排做游戏，3个女孩不相邻的站法种数为 . 【答案】144 【分析】利用插空法求解即可. 【详解】先将3个男孩站成一排，有种方法， 将3个女孩插入3个男孩形成的4个空位中，有种方法， 故一共有：种. 故答案为：144 【例11】名男生和名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相邻，女生与女生也互不相邻，则不同的排法共有 种． 【答案】 【分析】首先将名男生排成一排，再把名女生插入到名男生中间的空中，按照分步乘法计数原理计算可得. 【解析】依题意，首先把名男生排成一排，有种排法， 再把名女生插入到名男生中间的空中，有种排法， 利用乘法原理得不同排法种数有：种． 故答案为： 【例12】现有5人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，则不同的站法有（    ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【答案】C 【解析】甲、乙相邻捆绑作为一全元素，丙、丁不相邻用插入法． 由题意不同站法数为：．故选：C. 【跟踪训练】 1.四名男生和两名女生排一行进行合影，若要求男生甲与男生乙不相邻，且女生A和女生B相邻，则不同排法的种数有（    ） A．288种 B．144种 C．96种 D．72种 【答案】B 【分析】利用插空法和捆绑法求解即可. 【详解】第一步：先对2名女生进行排队，有种排法； 第二步：将除甲和乙之外的人进行排队，有种排法； 第三步：甲、乙采用插空的方式，有种排法．所以共有种． 故选：B. 2. 春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（    ） A．240种 B．188种 C．144种 D．120种 【答案】D 【分析】先将“相声”与“小品”排在一起再与其它4个节目排序，最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样,即可得出答案. 【详解】先将“相声”与“小品”排在一起，有种排法，再与其它4个节目排序，有种排法， 最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样，所以有种． 故选：D. 3．（24-25高二下·全国·课后作业）一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（    ） A．5760 B．5660 C．5642 D．5472 【答案】D 【分析】计算出所有情况后减去《大学》和《春秋》相邻的情况即可得. 【详解】四书、五经必须分别排在一起，共有种， 若《大学》和《春秋》相邻，则不符合条件，共有种， 则共有种． 故选：D. 4．（2024·四川成都·模拟预测）象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则同色棋子不相邻的排列方式有（    ） A．120种 B．24种 C．36种 D．12种 【答案】D 【分析】先排红色棋子，再将黑色棋子插空，求出答案. 【详解】先将3个红色的“将”“车”“马”棋子进行全排列，有种选择， 3个红色棋子中间有2个空，将2个黑色的“将”“车”棋子进行插空，有种选择， 则同色棋子不相邻的排列方式有种. 故选：D 5．（23-24高二下·安徽安庆·期末）某寝室4名室友拍毕业照，4位同学站成一排，其中甲乙两位同学必须相邻，且甲在乙的右边，则不同的排法种数有（    ） A．24种 B．12种 C．8种 D．6种 【答案】D 【分析】先排甲乙，再根据全排列结合分步乘法公式计算. 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①甲，乙必须相邻且甲在乙的右边，将甲乙看成一个整体，有1种顺序， ②将甲乙整体与丙丁全排列，有种情况， 则有种排法. 故选：D 6.有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的是（    ） A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法 B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法 C．如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法 D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有720种不同排法 【答案】C 【解析】A：如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，形成一个“大元素”， 此时，共有种不同的排法，故A错误； B：如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，形成一个“大元素”， 此时，共有种不同的排法种数，故B错误； C：如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制， 此时，共有种不同的排法种数，故C正确； D：如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的5个空中， 此时，共有种不同的排法种数，故D错误.故选：C． 题型6：排列中定序问题 【例13】小张一次买了三串冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，一串有三颗冰糖葫芦，一串有五颗冰糖葫芦.若小张每次随机从其中一串中吃一颗，每一串只能从上往下吃，那么不同的吃完的顺序有 种.（结果用数字作答） 【答案】2520 【解析】由题，记三串冰糖葫芦从上往下依次为，，， 则因为每一串只能从上往下吃， 所以在前被吃，在前而在前被吃，即它们被吃的相对位置是已定的， 同理被吃的相对位置也是已定的， 所以根据排列中定序问题可得不同的吃完的顺序有种. 【例14】在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干接连下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需要加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（    ）种 A．72 B．36 C．12 D．6 【答案】C 【解析】将香菌、新笋、豆腐干看成一个元素，且顺序一定，茄子净肉和鸡胸肉顺序一定， 所以不同的排序方法有种方法.故选：C 【跟踪训练】 1.某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为 （用数字作答） 【答案】 【解析】由题意可知，与相邻，则将与捆绑， 然后要求在的左边，在的右边， 由捆绑法和倍缩法可知，不同的排法种数为种. 故答案为：. 2.如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数为 .（结果用数字表示） 【答案】60 【详解】依题意，6串香蕉任意收取共有种方法， 考虑在收取最右边一列时有种取法，收取中间一列时有种取法， 而从下往上收取只是其中的一种，故按照从下往上的收取方法，不同取法数是种. 故答案为：60. 3.A，B，C，D，E五个字母排成一排，字母A排在字母B的左边（但不一定相邻）的排法种数为（    ）. A．24 B．12 C．60 D．120 【答案】C 【分析】利用定序相除法求解：即先求5个字母全排列，再除顺序数. 【详解】先5个字母全排列，由于字母A不是排在字母B的左边，就是排在字母B的右边两种情况，且这两种情况排列数相等，所以所求排列数为. 故选：C. 【点睛】本题考查排列组合的实际应用，考查带有限制条件的元素的排列问题，考查运算求解能力，是基础题. 题型7：其他排列模型 【例15】甲、乙等6人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同的排法共有（ ） A．6种 B．12种 C．24种 D．48种 【答案】D 【分析】将甲、乙两人看成一个人，根据n个不同元素围成的环状共有 种排法求解. 【详解】因为由于环状排列没有首尾之分，将n个不同元素围成的环状排列剪开看成n个元素排成一排，即共有种排法， 由于n个不同元素共有n种不同的剪法，则环状排列共有 种排法. 甲、乙两人相邻而坐，可将此2人当作1人看，即5人围一圆桌，有种坐法， 又因为甲、乙2人可换位，有2!种坐法，故所求坐法为种. 故选：D 【例16】 8人排成前后两排，每排4人，其中有2个女生要排在前排，另有2个因个子高要排在后排，问共有 __________种不同的排法？（用数字作答） 【答案】3456 【跟踪训练】 1．5个女孩与6个男孩围成一圈，任意2个女孩中间至少站1个男孩，则不同排法有______种（填数字）． 【答案】86400 【解析】因为任意2个女孩中间至少站1个男孩，则有且仅有2个男孩站在一起， 先把5个女孩排成一个圈，这是个圆形排列，因此排法共有(种)， 把6个男孩按2，1，1，1，1分成5组有种分法， 最后把5组男孩放入5个女孩构成圆排列的5个间隔中有种方法，而站在一起的两个男孩有顺序性，有2种站法， 所以，由分步乘法计数原理得，不同的排法共有(种). 故答案为：86400 2.A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（     ） A．60种 B．48种 C．30种 D．24种 【答案】B 【解析】首先，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子， 考虑B、C两人的情况，只能选择相邻的两个座位，位置可以互换， 根据排列数的计算公式，得到，，接下来，考虑其余三人的情况， 其余位置可以互换，可得种，最后根据分步计数原理，得到种， 故选B. 3.五一假期期间，一家6人（4名大人和2名小孩）在某风景名胜区拍照留念.要求站成前后两排，每排各三人；每列站在后排的人比站在前排的人高，并且两名小孩都站在前排.已知6人的身高各不相同，任何一名大人都比任何一名小孩高，则不同的排法共有（    ） A．48种 B．72种 C．90种 D．108种 【答案】B 【解析】设4名大人按身高由小到大依次为，可知前排大人不能为， 若前排大人为，则任意排列均可，则不同的排法有种； 若前排大人为，则身后不能为，则不同的排法有种； 若前排大人为，则身后只能为，则不同的排法有种； 综上所述：不同的排法共有种.故选：B. 4.10名学生分坐两行，要求面对面坐下，但其中甲、乙两个同学不可相邻也不可面对面，有多少种坐法？ 【答案】2580480 5.某校高三（5）班班主任准备从2名男生和4名女生中选取3人担任数学、物理、化学学科课代表，每学科安排1人，且至少有1名男生，则不同的选取方法有 （请用数字作答） 【答案】96 【详解】方法一：间接法 先求出从名男生和名女生共人中选人担任学科代表的所有情况，再减去所选人都是女生的情况，即可得到至少有名男生的情况. 从个不同元素中取出个元素的排列数记为，其计算公式为. 从人中选人进行全排列，安排到数学、物理、化学三个学科， 方法数为种. 从名女生中选人进行全排列，安排到三个学科， 方法数为种. 用总的选法数减去人都是女生的选法数，可得至少有名男生的选法有种. 方法二：直接法 分两种情况讨论：选名男生名女生和选名男生名女生，然后分别计算这两种情况的选法数，最后将它们相加. 情况一：选名男生名女生 从名男生中选名男生的选法有种，从名女生中选名女生的选法有种， 然后将这人进行全排列安排到三个学科，方法数为种. 根据组合数公式，可得，. 则这种情况下的选法有种. 情况二：选名男生名女生 从名男生中选名男生的选法有种，从名女生中选名女生的选法有种， 然后将这人进行全排列安排到三个学科，方法数为种. ，. 则这种情况下的选法有种. 将两种情况的选法数相加，可得至少有名男生的选法有种. 故答案为： 6.某校要从校广播站3名男同学和2名女同学中选出两人，分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，则至少有1名女同学被选中的不同安排方法有（    ） A．14种 B．16种 C．18种 D．20种 【答案】A 【详解】从3名男同学和2名女同学中选出两人分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，共有种情况， 若从3名男生选出两人分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，共有种情况， 故至少有1名女同学被选中的不同安排方法有种， 故选：A 一、填空题 1．（24-25高二上·上海·期末）关于正整数的方程是，则 ． 【答案】5 【分析】根据排列数的计算公式即可求解. 【详解】由得，， ∴，即，解得或， ∵，∴. 故答案为：5. 2．（2021·上海师范大学第二附属中学高二期末）已知，则自然数的值为______． 【答案】4 【分析】由排列公式直接求解即可 【详解】因为， 所以， 故答案为：4 3．（2021·上海·闵行中学高二期末）已知，则m=__________. 【答案】3 【分析】根据排列数公式求解即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：3 4．（2021·上海师范大学第二附属中学高二阶段练习）的个位数为___________. 【答案】 【分析】由，结合能被整除，从而得出的个位数与的个位数相同. 【详解】 因为都含有，所以能被整除 即的个位数与的个位数相同，故的个位数为 故答案为： 5．（2021·上海松江·一模）第24届冬奥会将于2022年2月4日20日在北京-张家口举行，某大学从7名志愿者中选出4人分别从事对外联络､场馆运行､文化展示､赛会综合这四项服务中的某一项工作，则不同的选派方案共有___________种. 【答案】840 【分析】根据题意可知不同安排方法为种，即可求解. 【详解】根据题意，由7人选4人从事不同工作，是排列问题， 故不同的选派方案共有， 故答案为：840 6．（2021·上海市复旦中学高三阶段练习）将甲、乙、丙、丁、戊5位同学排成一横排，要求甲、乙均在丙的同侧，且丙丁不相邻，则不同的排法共有__________种．(用数字作答) 【答案】48 【分析】根据题意，分3步进行分析：①先安排甲乙丙，②将戊安排在3人的空位中，③最后安排丁，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分3步进行分析： 安排甲乙丙，要求甲、乙均在丙的同侧，有种情况； 将戊安排在3人的空位中，有4种情况； 4人排好后，有5个空位，由于丙丁不相邻，则丁的安排方法有3种； 则有种不同的排法， 故答案为：48． 7．（2020·上海·南汇县泥城中学高三阶段练习）把本书随意地放在书架上，则其中指定的本书放在一起的概率为___________. 【答案】 【分析】首先利用全排列求出基本事件总数，然后利用捆绑法求出指定的本书放在一起的基本事情数，最后利用古典概型的概率公式即可求解. 【详解】由排列可知，本书随意地放在书架上共有种情况， 其中指定的本书放在一起共有种情况， 故其中指定的本书放在一起的概率为. 故答案为：. 8（23-24高二下·上海宝山·期末）7个人站成一排，若甲和乙不能相邻排列，则不同的排法有 种． 【答案】3600 【知识点】不相邻排列问题 【分析】不相邻问题用“插空法”即可. 【详解】先将除了甲和乙外的5人全排列，有种排法， 这5人排成一排，形成6个空，让甲乙去“插空”有种方法， 故7人站成一排，甲和乙不能相邻有种不同的排法. 故答案为：3600. 二、选择题 9.（24-25高三·上海月考）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，则不同的安排方案共有（    ） A．1440种 B．1360种； C．720种 D．960种 【答案】A 【知识点】相邻问题的排列问题 【分析】运用捆绑法，结合排列定义进行求解即可. 【详解】把甲、乙捆绑在一起，相当于一个人，再与剩下的五人一起全排列， 所以不同的安排方案共有种， 故选：A 10.（24-25高三·上海·课堂例题）要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的节目演出单，要求任意两个舞蹈节目不相邻，则不同的排法种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】不相邻排列问题 【分析】利用插空法进行求解, 【详解】先安排6个歌唱节目，共有4个空，再将4个舞蹈节目进行插空，故有种排法. 故选：B 11.现有5人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，则不同的站法有（ ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【答案】C 【分析】根据捆绑法和插入法即可得到答案. 【详解】甲、乙相邻捆绑作为一全元素，丙、丁不相邻用插入法． 由题意不同站法数为：． 故选：C. 12.有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的是（   ） A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法 B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法 C．如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法 D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有720种不同排法 【答案】C 【分析】根据捆绑法、特殊位置的排列和插空法计算，依次判断选项即可. 【详解】A：如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，形成一个“大元素”， 此时，共有种不同的排法，故A错误； B：如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，形成一个“大元素”， 此时，共有种不同的排法种数，故B错误； C：如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制， 此时，共有种不同的排法种数，故C正确； D：如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的5个空中， 此时，共有种不同的排法种数，故D错误. 故选：C． 13．（23-24高二下·全国·课后作业）身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法不正确的是（ ） A．A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法 B．A与同学不相邻，共有种站法 C．A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法 D．A不在排头，B不在排尾，共有504种站法 【答案】C 【分析】由定序排列即可判断A；由插空法即可判断B；由捆绑法即可判断C；分类讨论A的位置即可判断D． 【详解】对于A，将三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有种站法， 故A正确； 对于B，先排，共有种站法，A与同学插空站，有种站法， 故共有种站法，故B正确； 对于C，将三位同学捆绑在一起，且A只能在C与D的中间，有2种情况， 捆绑后有种站法，故共有种站法，故C错误； 对于D，当在排尾时，随意站，则有种站法； 当不在排头也不在排尾时，有种，有种，剩下同学随意站有种， 共有种， 故A不在排头，B不在排尾，共有种站法，故D正确； 故选：C． 14.已知4位身高各不相同的男生和3位女生站成一排，则排法不正确的（    ） A．共有种不同的排法 B．若女生互不相邻，共1440种不同的排法 C．若男生站一起、女生站一起，共144种不同的排法 D．若男生从左到右身高逐渐增加，共有210种不同的排法 【答案】C 【分析】利用排列计数问题，结合相邻与不相邻、定序逐项分析列式即可. 【详解】对于A，7个人全排列，共有种不同的排法，A正确； 对于B，先排男生，再把女生插入空隙，有种，B正确； 对于C，分别把男生、女生视为一个整体排列，共有种，C错误； 对于D，7个人全排列，而男生的排列方法只占，共有种，D正确. 答案：C 15． （23-24高二下·上海·期中）某宿舍6名同学排成一排照相，其中甲与乙必须相邻的不同排法有（    ） A．120种 B．240种 C．216种 D．256种 【答案】B 【分析】先将甲乙看作一个元素，再和其余4人一起排列. 【详解】先将甲、乙两名同学“捆绑”在一起看成一个元素，有种方法， 再与其余的个元素(同学)一起进行全排列有种方法， 所以这样的排法一共有种方法. 故选：B 16．（24-25高二上·上海·期末）行知中学高二年级有10位同学在某竞赛中获奖，现排成两排拍照，每排5人，则不同的排列种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用全排列列式即得. 【详解】依题意，10位同学排成两排，每排5人拍照，相当于10个人到10个位置就坐， 所以不同排法种数是. 故选：B 17.下列问题是排列问题的是（    ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？ B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？ C．集合的含有三个元素的子集有多少个？ D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？ 【答案】D 【分析】根据排列的定义逐个选项辨析即可. 【详解】A中握手次数的计算与次序无关，不是排列问题； B中线段的条数计算与点的次序无关，不是排列问题； C中子集的个数与该集合中元素的次序无关，不是排列问题； D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此是排列问题． 故选：D 18．现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有（       ）． A．6种 B．8种 C．12种 D．16种 【答案】B 【解析】先安排甲，其选座方法有种，由于甲、乙不能相邻，所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有种，所以共有坐法种数为种． 故选：B． 三、解答题 19．（24-25高二上·上海·阶段练习）（1）解不等式： （2）证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据排列数的公式，将原不等式化简为，求解，再根据，即可求出结果； （2）由排列数的公式将左边化简整理，即可得出结果. 【详解】（1）由，得， 化简得，解之得，① 又，可得，② 由①②及得. （2） ， 因此，. 20（22-23高二下·上海长宁·期中）班级迎新晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单； (1)3个中唱歌节目要排在一起，有多少种排法？ (2)相声节目不排在第一个节目，魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用捆绑法可求解即可； （2）根据相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目等价于用6个节目的全排列减去相声节目排在第一个节目的排列数和魔术节目排在最后一个节目的排列数，再加上相声节目排在第一个节目并且魔术节目排在最后一个节目的排列数即可求解． 【详解】（1）将3个唱歌节目捆绑在一起，看成1个节目有种，与其余3个节目一起排， 则共有种不同排法． （2）若相声节目排在第一个节目，则有种不同排法， 若魔术节目排在最后一个节目，则有种不同排法， 若相声节目排在第一个节目，并且魔术节目排在最后一个节目，则有种不同排法， 则相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目等价于用6个节目的全排列减去相声节目排在第一个节目的排列数和魔术节目排在最后一个节目的排列数， 再加上相声节目排在第一个节目并且魔术节目排在最后一个节目的排列数， 所以共有种不同排法． 21．（23-24大同中学高二月考）用0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？（列式并计算） (1)六位数； (2)六位奇数； (3)能被5整除的六位数； (4)组成的六位数按从小到大顺序排列，第265个数是多少？ (5)六位数中数字1，2始终相邻的数 【答案】(1)600；(2)288；(3)216；(4)310245；(5)192 【解析】（1）先排首数，有种，最后排其它有种， 根据分步计数原理得，六位数有种； （2）先排个位数，有种， 因为0不能在首位，再排首位有4种，最后排其它有种， 根据分步计数原理得，六位奇数有个； （3）能被5整除的六位数，则个位数是0或5， 个位数是0，则有种， 个位数是5，先排首位，0不作为首位， 则有种排法，其余位置有种排法，故共有个． （4）首位数字不能为0，首位数字为1有种， 首位数字为2，有种， 首位数字为3，万位数字上为0，有种，此时所有6位数有个， 故第264个数是，第265个数是. （5）先将1,2捆绑看做一个元素，有种方法，再排首位，除0外均可，有种， 再排其它位有种， 故共有个数. 22．（23-24格致中学高二下期中）将2个男生和4个女生排成一排： (1)男生不相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答） (2)男生不相邻且不在头尾的排法有多少种？（列式并用数字作答） (3)2个男生都不与女生甲相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答） (4)4个女生顺序一定的排法有多少种？（列式并用数字作答） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】(1)先对女生排列再用插空法可得答案； (2)先对女生排列根据插空法选择中间3个位置中的两个排列即可求得结果； (3)根据间接法总的减去对立面可求得结果； (4)先确定4个女生顺序，再排一个男生根据插空法，然后根据插空法排另外一个男生可求得结果. 【详解】（1）先对女生排列有种方法，再用插空法排列有种方法，则总计有种方法； （2）先对女生排列有种方法，男生不相邻且也不排到两头，可根据去掉头尾两空的插空法排列有,则总计有种方法； （3）6个人全排列有种方法，一个男生和甲相邻有种方法， 另外一个男生和甲相邻有种方法，两个男生都和甲相邻有种方法， 所以两个男生都不和甲相邻的排法有 种； （4）先确定4个女生顺序，则有5个空根据插空法第一个男生有种， 然后根据插空法排另外一个男生有种，则总计有种方法. 23．（23-24闵行七宝中学高二·期中）2024龙年春节档新片《热辣滚烫》是一部充满正能量，讲述感人故事的电影，影片通过主人公杜乐莹的成长历程，让我们感受到了奋斗和坚持的力量，激励着每个人在面对困难时勇敢向前．现有4名男生和2名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生互不相邻的坐法有多少种？ (2)若甲不坐最左端，乙不坐最右端，则不同排列方式共有多少种？ (3)若甲不坐在两端，乙和丙相邻，则不同排列方式共有多少种？ 【答案】(1)480 (2)504 (3)144 【分析】（1）插空法求解不相邻问题； （2）直接法及间接法计算特殊位置问题； （3）直接法及间接法计算相邻问题. 【详解】（1）不相邻问题插空法，先排4个男生共有种方法，把2个女生插空有种方法，所以不同排列方式共有种： （2）方法一：“间接法”，不同排列方式共有种 方法二：“直接法”，一类甲坐最右端，有种坐法：另一类甲坐中间四个位置中的一个，有种坐法．故有种不同坐法． （3）方法一：共有6个位置，因为甲不坐在两端，所以甲有4种坐法， 当甲确定时，要求乙和丙相邻，共有3种可能， 所以不同排列方式共有种． 方法二：第一步乙、丙相邻共有种方法，第二步乙、丙与余下的三人全排列共有种方法，第三步把甲插入到中间的3个空挡，有种方法，故共有种不同的坐法． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年沪教版2020选择性必修第二册同步培优课程（强基篇） 专题08 排列 知识点一、排列 1、排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2、排列概念的理解 ①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列. ②两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同. ③定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，这一点要特别注意. 3、排列的判断 判断一个问题是不是排列问题的关键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同的元素中任取m(mn，n,m∈)个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有变化，就与顺序无关，就不是排列问题. 知识点二、排列数排列数公式 排列数的定义 从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数用符号表示。 排列数的表示 A(n，m∈N，m≤n) 排列 数公式 乘积式 ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) 阶乘式 ＝ 阶乘 P＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝n！ 规定 0！＝1，A＝1 性质 P＋mA＝A [提示] 排列与排列数的区别 “排列”与“排列数”是两个不同的概念，“排列”是指“从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列，它不是数，而是具体的一件事；而“排列数”是上述完成这件事所有不同的排列个数，它是一个数． 知识点三、排列应用问题的分类与求解思路 1、有限制条件的排列问题：对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在 实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法. 2、相邻问题：对相邻问题采用捆绑法；相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，注意捆绑元素的 内部排列. 3、不相邻问题：不相邻问题采用插空法；先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面 元素排列的空档中. 题型1：排列问题的判断 【例1】下列问题是排列问题的是（    ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线 D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 【跟踪训练】 1．下列问题不属于排列问题的是（   ） A．从10个人中选2人分别去种树和扫地 B．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 C．从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表 D．从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数 2．下列问题是排列问题的是（    ） A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？ 3．下列问题不是排列问题的为（    ） A．高二（1）班选名班干部去学校礼堂听团课 B．某班名同学在假期互发微信 C．从1，2，3，4，5中任取两个数字相除 D．10个车站，站与站间的车票 题型2：排列数的计算与证明 【例2】对于满足的正整数，（ ） A． B． C． D． 【例3】已知，则n的值为 ． 【例4】解不等式： 【例5】求证： 【跟踪训练】 1．（2022春·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期末）___________. 2.解方程：． 3.已知n为正整数，且，则 ． 4.与的大小关系是（ ） A． B． C． D．大小关系不确定 题型3：无限制条件的排列问题 【例6】2名男生和3名女生站成一排照相，不同的站法为（    ） A．10种 B．12种 C．24种 D．120种 【例7】今年中秋和国庆共有连续天小长假，某单位安排甲、乙、丙三名员工值班，每天都需要有人值班．任选两名员工各值天班，剩下的一名员工值天班，且每名员工值班的日期都是连续的，则不同的安排方法数为 ． 【跟踪训练】 1.将4本不同的书分配给8名同学，每名同学最多分到1本书，那么不同的分配方式共有（    ） A．70种 B．256种 C．1680种 D．4096种 2.甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A、B、C三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学，则甲、乙两人被分在同一个社区的情况有 种． 题型4：元素（位置）有限制的排列问题 【例8】甲、乙等5人排成一行，则甲不站在5人正中间位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有（     ）种. A． B． C． D． 【例9】（多选）某单位安排7名员工周一到周日为期一周的值日表，每名员工值日一天且不重复值班，其中甲不排在周一，乙不排在周三，则不同的安排方案种数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.某单位五一放假，安排甲、乙等五人值班五天，每人值班一天．若甲、乙都不能值第三天，则不同的值班安排共有（    ） A．60种 B．66种 C．72种 D．78种 2．5个人站成一排，甲、乙两人中间恰有一人的不同站法有（    ）. A．288种 B．72种 C．36种 D．24种 3. 某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6节课的课表，要求数学课排在上午但不能是第一节，体育课排在下午，则不同的排法种数有（    ） A．720 B．288 C．144 D．48 题型5：相邻问题与不相邻问题 【例10】3个男孩和3个女孩站成一排做游戏，3个女孩不相邻的站法种数为 . 【例11】名男生和名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相邻，女生与女生也互不相邻，则不同的排法共有 种． 【例12】现有5人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，则不同的站法有（    ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【跟踪训练】 1.四名男生和两名女生排一行进行合影，若要求男生甲与男生乙不相邻，且女生A和女生B相邻，则不同排法的种数有（    ） A．288种 B．144种 C．96种 D．72种 2. 春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（    ） A．240种 B．188种 C．144种 D．120种 3．（24-25高二下·全国·课后作业）一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（    ） A．5760 B．5660 C．5642 D．5472 4．（2024·四川成都·模拟预测）象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则同色棋子不相邻的排列方式有（    ） A．120种 B．24种 C．36种 D．12种 5．（23-24高二下·安徽安庆·期末）某寝室4名室友拍毕业照，4位同学站成一排，其中甲乙两位同学必须相邻，且甲在乙的右边，则不同的排法种数有（    ） A．24种 B．12种 C．8种 D．6种 6.有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的是（    ） A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法 B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法 C．如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法 D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有720种不同排法 题型6：排列中定序问题 【例13】小张一次买了三串冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，一串有三颗冰糖葫芦，一串有五颗冰糖葫芦.若小张每次随机从其中一串中吃一颗，每一串只能从上往下吃，那么不同的吃完的顺序有 种.（结果用数字作答） . 【例14】在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干接连下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需要加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（    ）种 A．72 B．36 C．12 D．6 【跟踪训练】 1.某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为 （用数字作答） 2.如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数为 .（结果用数字表示） 3.A，B，C，D，E五个字母排成一排，字母A排在字母B的左边（但不一定相邻）的排法种数为（    ）. A．24 B．12 C．60 D．120 题型7：其他排列模型 【例15】甲、乙等6人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同的排法共有（ ） A．6种 B．12种 C．24种 D．48种 【例16】 8人排成前后两排，每排4人，其中有2个女生要排在前排，另有2个因个子高要排在后排，问共有 __________种不同的排法？（用数字作答） 【跟踪训练】 1．5个女孩与6个男孩围成一圈，任意2个女孩中间至少站1个男孩，则不同排法有______种（填数字）． 2.A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（     ） A．60种 B．48种 C．30种 D．24种 3.五一假期期间，一家6人（4名大人和2名小孩）在某风景名胜区拍照留念.要求站成前后两排，每排各三人；每列站在后排的人比站在前排的人高，并且两名小孩都站在前排.已知6人的身高各不相同，任何一名大人都比任何一名小孩高，则不同的排法共有（    ） A．48种 B．72种 C．90种 D．108种 4.10名学生分坐两行，要求面对面坐下，但其中甲、乙两个同学不可相邻也不可面对面，有多少种坐法？ 5.某校高三（5）班班主任准备从2名男生和4名女生中选取3人担任数学、物理、化学学科课代表，每学科安排1人，且至少有1名男生，则不同的选取方法有 （请用数字作答） 6.某校要从校广播站3名男同学和2名女同学中选出两人，分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，则至少有1名女同学被选中的不同安排方法有（    ） A．14种 B．16种 C．18种 D．20种 一、填空题 1．（24-25高二上·上海·期末）关于正整数的方程是，则 ． 2．（2021·上海师范大学第二附属中学高二期末）已知，则自然数的值为______． 3．（2021·上海·闵行中学高二期末）已知，则m=__________. 4．（2021·上海师范大学第二附属中学高二阶段练习）的个位数为___________. 5．（2021·上海松江·一模）第24届冬奥会将于2022年2月4日20日在北京-张家口举行，某大学从7名志愿者中选出4人分别从事对外联络､场馆运行､文化展示､赛会综合这四项服务中的某一项工作，则不同的选派方案共有___________种. 6．（2021·上海市复旦中学高三阶段练习）将甲、乙、丙、丁、戊5位同学排成一横排，要求甲、乙均在丙的同侧，且丙丁不相邻，则不同的排法共有__________种．(用数字作答) 7．（2020·上海·南汇县泥城中学高三阶段练习）把本书随意地放在书架上，则其中指定的本书放在一起的概率为___________. 8（23-24高二下·上海宝山·期末）7个人站成一排，若甲和乙不能相邻排列，则不同的排法有 种． 二、选择题 9.（24-25高三·上海月考）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，则不同的安排方案共有（    ） A．1440种 B．1360种； C．720种 D．960种 10.（24-25高三·上海·课堂例题）要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的节目演出单，要求任意两个舞蹈节目不相邻，则不同的排法种数是（    ） A． B． C． D． 11.现有5人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，则不同的站法有（ ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 12.有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的是（   ） A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法 B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法 C．如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法 D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有720种不同排法 13．（23-24高二下·全国·课后作业）身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法不正确的是（ ） A．A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法 B．A与同学不相邻，共有种站法 C．A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法 D．A不在排头，B不在排尾，共有504种站法 14.已知4位身高各不相同的男生和3位女生站成一排，则排法不正确的（    ） A．共有种不同的排法 B．若女生互不相邻，共1440种不同的排法 C．若男生站一起、女生站一起，共144种不同的排法 D．若男生从左到右身高逐渐增加，共有210种不同的排法 15． （23-24高二下·上海·期中）某宿舍6名同学排成一排照相，其中甲与乙必须相邻的不同排法有（    ） A．120种 B．240种 C．216种 D．256种 16．（24-25高二上·上海·期末）行知中学高二年级有10位同学在某竞赛中获奖，现排成两排拍照，每排5人，则不同的排列种数是（    ） A． B． C． D． 17.下列问题是排列问题的是（    ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？ B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？ C．集合的含有三个元素的子集有多少个？ D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？ 18．现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有（       ）． A．6种 B．8种 C．12种 D．16种 三、解答题 19．（24-25高二上·上海·阶段练习）（1）解不等式： （2）证明：. 20（22-23高二下·上海长宁·期中）班级迎新晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单； (1)3个中唱歌节目要排在一起，有多少种排法？ (2)相声节目不排在第一个节目，魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？ 21．（23-24大同中学高二月考）用0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？（列式并计算） (1)六位数； (2)六位奇数； (3)能被5整除的六位数； (4)组成的六位数按从小到大顺序排列，第265个数是多少？ (5)六位数中数字1，2始终相邻的数 22．（23-24格致中学高二下期中）将2个男生和4个女生排成一排： (1)男生不相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答） (2)男生不相邻且不在头尾的排法有多少种？（列式并用数字作答） (3)2个男生都不与女生甲相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答） (4)4个女生顺序一定的排法有多少种？（列式并用数字作答） 23．（23-24闵行七宝中学高二·期中）2024龙年春节档新片《热辣滚烫》是一部充满正能量，讲述感人故事的电影，影片通过主人公杜乐莹的成长历程，让我们感受到了奋斗和坚持的力量，激励着每个人在面对困难时勇敢向前．现有4名男生和2名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生互不相邻的坐法有多少种？ (2)若甲不坐最左端，乙不坐最右端，则不同排列方式共有多少种？ (3)若甲不坐在两端，乙和丙相邻，则不同排列方式共有多少种？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$