专题06：第5章导数章节复习提升（强基篇）讲义-2024-2025学年高二下学期数学沪教版（2020）选择性必修第二册

2024-2025学年沪教版2020选择性必修第二册同步培优课程（强基篇） 专题06 第5章导数章节复习提升 题型01：平均速度与瞬时速度 【例1】（2025-2026上海高三单元测试）函数在区间上的平均变化率等于（    ） A．4 B． C． D． 【例2】（24-25上海高二月考）物体运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中正确的是（   ） A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度 B．18m/s是物体从3s到这段时间内的速度 C．18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度 D．18m/s是物体从3s到这段时间内的平均速度 【例3】（2024·上海静安·一模）已知物体的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系，则该物体在时刻的瞬时速度为 . 【例4】（2024徐汇区校级月考）若曲线与，恰有2条公切线，则（   ） A． B． C． D． 【例5】（22-23高二下·上海浦东新·阶段练习）若直线是曲线和的公切线，则实数k的值是（    ） A． B． C．0 D．1 题型02：导数的定义 【例6】（23-24高二下·上海·期中）若则 【例7】（24-25普陀高二上期末）已知函数，则（   ） A．1 B．0 C．－1 D． 【例8】（2023·上海青浦·统考一模）若函数在处的导数等于，则的值为（    ）. A． B． C． D． 题型03：导数的运算 【方法点拨】导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元 【例9】（24-25闵行区高二下期中）下列函数求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【例10】（24-25高二下·上海·阶段练习）求下列函数的导数： (1)； (2)． 题型04：导数的切线问题 【方法点拨】求曲线切线方程的步骤 （1）求出函数y＝f（x）在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的斜率； （2）由点斜式方程求得切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）·（x－x0）. （3）　“过”与“在”：曲线y＝f（x）“在点P（x0，y0）处的切线”与“过点P（x0，y0）的切线”的区别：前者P（x0，y0）为切点，而后者P（x0，y0）不一定为切点 【例11】（24-25上海高二下课时练习）曲线在处的切线方程为 ． 【例12】（24-25松江高二下期末）已知函数，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【例13】（24-25松江高二下阶段练习）过点且曲线相切的直线的方程为 . 【例14】（2025七宝中学高三月考）曲线过点的切线方程为 . 【例15】（24-25宝山区高二·期末）已知点是曲线上的任意一点，曲线在点处的切线的倾斜角为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例16】（2023高三·全国·专题练习）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则 . 题型05：求函数的单调区间 【方法点拨】（1）确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开． （2）①研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． ②划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点 【例17】（2023上·上海松江·高三统考期末）函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【例18】（23-24高三下·上海·阶段练习）若函数在上为减函数，则实数的取值范围是 ． 【例19】（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处切线的斜率； (2)当时，讨论的单调性． 【例20】（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）已知函数过点，函数在点处的切线斜率为4，且为函数的一个驻点（即导数的零点）． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间； 【例21】（24-25上海高二下期末）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性． 题型06：已知函数的单调性求参数 【方法点拨】（1）若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立． （2） 若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解． （3）已知函数在给定区间上不单调，等价于函数在所给区间上有极值点 【例22】（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例23】（24-25上海高二春月考）函数在上单调，则的取值范围是 . 题型07：求函数的极值 【方法点拨】(1)先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值 【例24】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知是函数的导函数，且的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【例25】（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知函数，其导函数的图像如图所示，则下列对函数表达不正确的是（    ）    A．在处取极小值 B．在处取极小值 C．在上为减函数 D．在上为增函数 【例26】（22-23高二下·上海普陀·期末）已知函数，其导函数的图像如图所示．以下四个选项中，可能表示函数图像的是（    ）      A．    B．  C．  D．   【例27】（23-24高二下·上海·阶段练习）函数的极大值为 ． 【例28】（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知函数，. (1)求的值，并写出该函数在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 题型08：已知极值求参数 【方法点拨】根据函数的极值(点)求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； (2)验证：求解后验证根的合理性 【例29】（24-25青浦区高二期末）若函数在内无极值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例30】（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）已知函数在处取得极值，则实数 . 【例31】（24-25高三课时练习）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例32】（2024·上海徐汇·一模）设，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为 . 题型09：求函数的最值 【方法点拨】利用导数求给定区间上的最值的步骤 （1）求函数f（x）的导数f'（x）； （2）利用f'（x）＝0求f（x）在给定区间上所有可能极值点的函数值； （3）求f（x）在给定区间上的端点值； （4）将f（x）的各极值与f（x）的端点值进行比较，确定f（x）的最大值与最小值 【例33】（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知奇函数，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例34】（2024·上海·三模）若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是 ． 【例35】（22-23高二下·上海虹口·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为28，则实数的取值范围为 ． 【例36】（24-25上海高三阶段练习）若函数在上不存在最值，则实数的取值范围为 ． 【例37】（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知，． (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)是否存在实数，使在区间的最小值是5，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 题型10：不等式恒（能）成立问题 【例38】（24-25黄浦共高三上月考）若存在，使得成立，则实数的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【例39】（24-25高二下·河南郑州·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的极值点； (2)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围. 【例40】（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）函数. (1)当时，求函数的极值； (2)若恒成立，求的取值范围. 【例40】（2024高三·全国·专题练习）关于的不等式在有解，则的取值范围为 ． 题型11：导数与函数的零点问题 【解题必备】 导函数处理零点个数问题较复杂综合，涉及单调性、特殊位置函数值符号、隐零点探索、参数分类讨论等多类特征，需整合多种基本方法、思想和技能，常通过极值与单调性判断走势，分类讨论不可或缺。 【例41】（24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求a的值； (2)讨论的零点个数． 【例42】（24-25高二下·江苏南京·开学考试）已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例43】（24-25高二上·云南昆明·期末）已知函数在处有极值1． (1)求函数的单调区间 (2)若函数恰有3个零点，求实数的取值范围． 【例44】（24-25高二上·湖南·期末）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若有两个零点，求的取值范围． 题型12：利用导数证明不等式 【例45】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：. 题型13：导数新定义问题 【例46】（2023·上海长宁·统考一模）若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数的“约束函数”.已知函数是函数的“约束函数”. (1)若，判断函数的奇偶性，并说明理由： (2)若，求实数的取值范围； (3)若为严格减函数，，且函数的图像是连续曲线，求证：是上的严格增函数. 【例47】（2024·上海奉贤·一模）若函数的图象上存在个不同点、、、处的切线重合，则称该切线为函数的一条点切线，该函数具有点切线性质． (1)判断函数，的奇偶性并写出它的一条点切线方程（无需理由）； (2)设，判断函数是否具有点切线性质，并说明理由； (3)设，证明：对任意的，，函数具有点切线性质，并求出所有相应的切线方程． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年沪教版2020选择性必修第二册同步培优课程（强基篇） 专题06 第5章导数章节复习提升 题型01：平均速度与瞬时速度 【例1】（2025-2026上海高三单元测试）函数在区间上的平均变化率等于（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【知识点】平均变化率 【分析】代入即可化简求解. 【详解】， 故选：B 【例2】（24-25上海高二月考）物体运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中正确的是（   ） A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度 B．18m/s是物体从3s到这段时间内的速度 C．18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度 D．18m/s是物体从3s到这段时间内的平均速度 【答案】C 【分析】由瞬时变化率的物理意义判断． 【详解】是物体在这一时刻的瞬时速度，是物体从到这段时间内的平均速度的极限值，即是是物体在这一时刻的瞬时速度. 故选：C 【例3】（2024·上海静安·一模）已知物体的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系，则该物体在时刻的瞬时速度为 . 【答案】2 【分析】由瞬时速度的意义，求出函数在时的导数值即可. 【详解】函数，求导得，则， 所以所求瞬时速度为2. 故答案为：2 【例4】（2024徐汇区校级月考）若曲线与，恰有2条公切线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】设在曲线上的切点为，求出切线方程，设该切线方程与曲线相交于点，由此可得，再利用导数研究函数的性质，结合题意即可得出答案． 【详解】设在曲线上的切点为， 由，可得过点的切线斜率为， 此时切线方程为，即， 设切线与曲线相交于点，， 则， 消去，可得， 依题意，直线与函数的图象有两个不同的交点， 令， 解得或， 令，解得， 则函数在，上单调递增，在上单调递减， 故，且恒成立，当且仅当时等号成立，当时，， 要使直线与函数的图象有两个不同的交点， 则需，解得． 故选：B． 【点睛】方法点睛：利用导数的几何意义，分别写出两曲线的切线方程，让两切线方程的系数相等，得到方程组，消去一个变量后，问题转化为方程的根的个数问题，构造函数，利用导数研究其性质，即可得结论． 【例5】（22-23高二下·上海浦东新·阶段练习）若直线是曲线和的公切线，则实数k的值是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、导数的运算法则、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】设直线与曲线、分别相切于点、，利用导数求出曲线在点处的切线方程，以及曲线在点处的切线方程，可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得的值． 【详解】设直线与曲线、分别相切于点、， 对函数求导得，则， 曲线在点处的切线方程为，即， 对函数求导得，则， 曲线在点处的切线方程为，即， 所以，，化简可得． 故选：D. 题型02：导数的定义 【例6】（23-24高二下·上海·期中）若则 【答案】 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导函数的定义可得答案. 【详解】令， 因为 . 所以. 故答案为：. 【例7】（24-25普陀高二上期末）已知函数，则（   ） A．1 B．0 C．－1 D． 【答案】C 【分析】根据求导公式计算. 【详解】由题意得， 故． 故选：C. 【例8】（2023·上海青浦·统考一模）若函数在处的导数等于，则的值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的定义式化简求值. 【详解】由已知得 ， 故选：C. 题型03：导数的运算 【方法点拨】导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元 【例9】（24-25闵行区高二下期中）下列函数求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本初等函数的求导公式以及导数的四则运算求解即可. 【详解】，A错误； ，B正确； ，C错误； ，D错误. 故选：B. 【例10】（24-25高二下·上海·阶段练习）求下列函数的导数： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【知识点】基本初等函数的导数公式、简单复合函数的导数、导数的运算法则 【分析】（1）由两函数积的导数公式求解即可； （2）由三角函数、指数函数及复合函数的求导方法，求解即可. 【详解】（1）解：因为， 所以 （2）解：因为， 所以 . 题型04：导数的切线问题 【方法点拨】求曲线切线方程的步骤 （1）求出函数y＝f（x）在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的斜率； （2）由点斜式方程求得切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）·（x－x0）. （3）　“过”与“在”：曲线y＝f（x）“在点P（x0，y0）处的切线”与“过点P（x0，y0）的切线”的区别：前者P（x0，y0）为切点，而后者P（x0，y0）不一定为切点 【例11】（24-25上海高二下课时练习）曲线在处的切线方程为 ． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】求得，得到，且，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】由函数，可得， 所以，且， 所以在处的切线方程为，即． 故答案为：. 【例12】（24-25松江高二下期末）已知函数，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对求导，得，利用导数的几何意义得到切线的斜率，再利用点斜率式，即可求解. 【详解】因为， 则， 所以， 又，所以的图象在处的切线方程为，即， 故选：A. 【例13】（24-25松江高二下阶段练习）过点且曲线相切的直线的方程为 . 【答案】或 【知识点】求过一点的切线方程、导数的加减法 【分析】设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，求出的值，即可得出所求切线的方程. 【详解】设切点为，对函数求导得，则切线斜率为， 所以，曲线在点处的切线方程为， 因为切线过点，则有，整理可得， 即， 当时，切线斜率为，切线方程为，即； 当时，切线斜率为，切线方程为，即. 故答案为：或. 【例14】（2025七宝中学高三月考）曲线过点的切线方程为 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程 【分析】求导，根据点斜式求解直线方程，代入即可求解，进而可求解. 【详解】设切点为，则， 故切线方程为， 将代入可得，解得， 故切线方程为，即， 故答案为： 【例15】（24-25宝山区高二·期末）已知点是曲线上的任意一点，曲线在点处的切线的倾斜角为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，求出原函数的导函数，依题得到，由二次函数的性质和正切函数的图象性质即得的取值范围. 【详解】设点，由求导得， 依题意，， 因，故得，又，故得. 故选：B. 【例16】（2023高三·全国·专题练习）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则 . 【答案】1 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】易知点在曲线上，求出函数的导函数，由两直线垂直斜率之积为，得到，即可得到方程，解得即可. 【详解】易知点在曲线上， 令，则， 所以，又该切线与直线垂直， 所以，解得. 故答案为： 题型05：求函数的单调区间 【方法点拨】（1）确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开． （2）①研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． ②划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点 【例17】（2023上·上海松江·高三统考期末）函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断的符号，由此求得不等式的解集. 【详解】由图象可知，在区间上， 在区间上， 所以不等式的解集为. 故选：C 【例18】（23-24高三下·上海·阶段练习）若函数在上为减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】； 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】利用函数在某区间上为减函数等价于导函数在该区间上恒不大于0,再利用分离参变量来研究不等式恒成立，就可解得结果. 【详解】由可得：， 由在上为减函数，可得在上恒有， 即，整理得：， 因为，所以，则. 故答案为：. 【例19】（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处切线的斜率； (2)当时，讨论的单调性． 【答案】(1) (2)在上单调递增，在上单调递减. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求导并将代入，即可求出曲线在点处切线的斜率； （2）求导并将带入，利用导数即可得出单调性. 【详解】（1）由题意， 在中，， 中， 当时， ，， 中，， ∴曲线在点处切线的斜率为 （2）由题意及（1）得， 在中，， 当时， ， ∴即，此时， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， ∴函数在上单调递增，在上单调递减. 【例20】（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）已知函数过点，函数在点处的切线斜率为4，且为函数的一个驻点（即导数的零点）． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间； 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求出函数的导数，由题设可得关于参数的方程组，求出其解后可得函数解析式； （2）求出函数的导数，根据导数的符号可判断函数的单调性. 【详解】（1），故， 因为为函数的一个驻点，故， 故，故. 而，故， 所以. （2）由（1）可得，故， 当或时，，当时，， 故的单调递增区间为，，单调递减区间为. 【例21】（24-25上海高二下期末）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性． 【答案】(1) (2)当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【分析】（1）根据在点处的切线方程为即可求解； （2）由题意有，根据的范围分类讨论即可. 【详解】（1）当时，， ， ，，所以切点为， 切线方程即． （2）的定义域为，， 当时，由可得或；由可得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，恒成立，函数的单调递增区间为； 当时，由可得或；由可得 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 题型06：已知函数的单调性求参数 【方法点拨】（1）若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立． （2） 若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解． （3）已知函数在给定区间上不单调，等价于函数在所给区间上有极值点 【例22】（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知在上有解，整理可得，构建，利用导数求最值即可得结果. 【详解】由题意可知：， 因为函数在上存在单调递减区间， 则在上有解，可得， 所以． 令，则， 显然，可知函数单调递增，则， 即，所以实数的取值范围是. 故选：C． 【例23】（24-25上海高二春月考）函数在上单调，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据在上单调递增得到恒成立，然后分和分析得到，最后再结合端点处的函数值列不等式求解即可. 【详解】由题意可知时，时，； 因为在上单调递增， 所以时，恒成立，即，可得， 当，时，，在上单调递增，成立， 又，可得，综上可得，的取值范围是. 故答案为：. 题型07：求函数的极值 【方法点拨】(1)先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值 【例24】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知是函数的导函数，且的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数图像的识别、函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据给定的导函数图象，确定函数的单调性及单调性，进而确定其图象. 【详解】由函数的图象，得当或时，；当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，选项ABC错误，D正确. 故选：D 【例25】（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知函数，其导函数的图像如图所示，则下列对函数表达不正确的是（    ）    A．在处取极小值 B．在处取极小值 C．在上为减函数 D．在上为增函数 【答案】A 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数极值点的辨析 【分析】根据图象可得的符号，进而可得的单调性和极值，逐项分析判断即可. 【详解】由导函数的图像可知：当或时，；当或时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故C、D正确； 函数在处取到极大值，在处取到极小值， 故A不正确，B正确； 故选：A. 【例26】（22-23高二下·上海普陀·期末）已知函数，其导函数的图像如图所示．以下四个选项中，可能表示函数图像的是（    ）      A．     B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据图象，以及导数的几何意义，即可求解． 【详解】从的图象可以看出，在区间,内，导函数大于0，且在区间,内， 导函数单调递增，在区间,内，导函数单调递减， 所以函数在区间,内单调递增，且的图象在区间内,越来越陡峭， 在区间,内越来越平缓，故选项符合题意． 故选：B． 【例27】（23-24高二下·上海·阶段练习）函数的极大值为 ． 【答案】 【知识点】求已知函数的极值、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】利用导数求函数的极大值. 【详解】函数 ， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则的极大值为． 故答案为： 【例28】（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知函数，. (1)求的值，并写出该函数在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值是，最小值是1. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值 【分析】（1）求出，根据导数的几何意义得出切线的斜率，求出，即可得出答案； （2）根据导函数得出导函数的单调性，结合端点值，即可得出函数的最值. 【详解】（1）由已知可得，所以， 则根据导数的几何意义可知，函数在点处的切线的斜率为. 又，所以函数在点处的切线的方程为. （2）当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 所以，在处取得唯一极小值，也是最小值. 又，， 所以，函数在区间上的最大值是，最小值是1. 题型08：已知极值求参数 【方法点拨】根据函数的极值(点)求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； (2)验证：求解后验证根的合理性 【例29】（24-25青浦区高二期末）若函数在内无极值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出导数，再由导函数在内无变号零点，结合函数的单调性确定最小值和最大值的范围即可求解. 【详解】由函数在内无极值，得在内无变号零点， 而函数在上单调递增，则或，解得或， 所以实数a的取值范围是. 故选：C 【例30】（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）已知函数在处取得极值，则实数 . 【答案】/ 【知识点】根据极值点求参数 【分析】由题有，可得的可能值，再代入题中验证可确定答案. 【详解】由题，有.则. 又时，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 则在处取得极值. 故答案为： 【例31】（24-25高三课时练习）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，问题化为至少有两个变号零点，导数求的极值并列不等式求参数范围. 【详解】由题设，令， 则， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减， ，且时趋向，时趋向， 要使函数既有极大值又有极小值， 即至少有两个变号零点，所以至少有两个变号零点， 所以. 故选：A 【例32】（2024·上海徐汇·一模）设，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】函数存在两个不同的极值点等价于在内有两个异号零点，进而转化为在内有两个不等根即可求解. 【详解】解：易知函数的定义域为， ， 因为函数存在两个不同的极值点， 所以在内有两个不等根， 设，， 则只需，即， 所以，则的取值范围为. 故答案为： 题型09：求函数的最值 【方法点拨】利用导数求给定区间上的最值的步骤 （1）求函数f（x）的导数f'（x）； （2）利用f'（x）＝0求f（x）在给定区间上所有可能极值点的函数值； （3）求f（x）在给定区间上的端点值； （4）将f（x）的各极值与f（x）的端点值进行比较，确定f（x）的最大值与最小值 【例33】（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知奇函数，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数解析式利用函数奇偶性可求得，再由导函数求出其单调性可得最小值为. 【详解】由可知，所以， 又因为是奇函数，所以， 即可得时，，即； 则，令可得， 所以当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 即在处取得极小值，也是最小值为. 故选：C. 【例34】（2024·上海·三模）若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、已知函数最值求参数 【分析】根据题意，函数的极小值点在内，再结合即可求出实数的取值范围. 【详解】因为，所以， 令得，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，有极小值， 因为函数在上存在最小值， 又， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 【例35】（22-23高二下·上海虹口·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为28，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】已知函数最值求参数 【分析】利用导函数求函数的极值，再结合条件即求. 【详解】∵， ∴ ， 令＝0，得＝-3，＝1， 当x变化时及的变化情况如下表． x (-∞，-3) -3 (-3，1) 1 (1，+∞) + 0 - 0 + ↗ 28 ↘ -4 ↗ 当x＝-3时，取极大值28； 当x＝1时，取极小值-4. 而f(2)＝3<f(-3)＝28， 如果在区间[k，2]上的最大值为28， 则k≤-3. 故答案为：k≤-3 【例36】（24-25上海高三阶段练习）若函数在上不存在最值，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】已知函数最值求参数、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】求导，然后分类讨论和两种情况即可确定实数的取值范围. 【详解】由题可得， 当时，，函数在上单调递减，不存在最值； 当时，令，可得， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 若函数在上不存在最值，则，即， 综上所述，实数的取值范围为. 故答案为：. 【例37】（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知，． (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)是否存在实数，使在区间的最小值是5，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在,. 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、已知函数最值求参数 【分析】（1）利用导函数与函数的单调性的关系求解； （2）利用导函数与函数单调性的关系，讨论含参数的函数的单调性，并根据单调性与最值的关系求解. 【详解】（1）, , 因为在上单调递减， 所以在恒成立， 即在恒成立， 因为函数在单调递减， 所以， 所以， 所以的取值范围为. （2）， 若，则在恒成立， 则函数在区间单调递减， 所以，解得，不符合题意； 若，由解得， 由解得， （i）若，即， 则函数在单调递减，单调递增， 所以，解得，满足题意； （ii）若，即， 则函数在单调递减， 所以，解得，不满足题意； 综上，. 题型10：不等式恒（能）成立问题 【例38】（24-25黄浦共高三上月考）若存在，使得成立，则实数的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】化简可得，构造函数，然后利用导数求出函数的最小值即可. 【详解】不等式等价于，即. 令，由可知， 在上为增函数， ，，则， 令，，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以结合题意可知，即实数的最小值为1. 故选：B 【例39】（24-25高二下·河南郑州·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的极值点； (2)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)是函数的极小值点； (2). 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、求已知函数的极值点 【分析】（1）利用导数求出函数的极值点. （2）分离参数并构造，再利用导数求出最大值即可. 【详解】（1）当时，函数的定义域为，求导得， 由，得，当时，；当时，， 所以是函数的极小值点. （2）当时，不等式， 设，依题意，，， 求导得，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，，则， 所以实数的取值范围是. 【例40】（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）函数. (1)当时，求函数的极值； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）先求出函数的导函数，根据导函数正负得出函数单调性，进而得出函数极值； （2）先根据不等式应用参数分离得出，再构造函数，根据导函数得出函数最大值即可得出参数范围. 【详解】（1）依题意，，定义域为， ， 令得， 当时，，所以函数在上单调递减，； 当时，，所以函数在上单调递增. 故函数有极小值，极小值为，无极大值. （2）因为，即恒成立， 令， 则. 令， 则，即在上单调递减. 又，故当时，，所以函数在上单调递增； 当时，所以函数在上单调递减， 所以， 又恒成立，即， 所以的取值范围是. 【例40】（2024高三·全国·专题练习）关于的不等式在有解，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】利用导数研究能成立问题 【分析】根据对数的运算性质，分离参数，将问题转化成在有解问题，然后求不等式右边的最小值即可. 【详解】先证明，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 故，即，当且仅当时等号成立； 当，两边取对数可得，，当且仅当时等号成立. 由题设有，又由题设可得在有解， 故在有解， 而，，当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故函数的最小值为，故，故. 故答案为： 题型11：导数与函数的零点问题 【解题必备】 导函数处理零点个数问题较复杂综合，涉及单调性、特殊位置函数值符号、隐零点探索、参数分类讨论等多类特征，需整合多种基本方法、思想和技能，常通过极值与单调性判断走势，分类讨论不可或缺。 【例41】（24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求a的值； (2)讨论的零点个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】已知切线（斜率）求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）根据导数的几何意义，函数在某点处的切线斜率等于该点处的导数值，通过求导并代入已知条件可求出的值. （2）先根据零点概念计算得到或．再构造函数， 对进行分类讨论，借助导数研究函数单调性和最值，分析函数的零点情况即可. 【详解】（1）由题意可得，则，解得． （2）令，解得或． 设函数． 当时，恒成立，没有零点，则有唯一的零点． 当时，易证是R上的增函数， 因为，，所以有唯一的零点，则有两个零点． 当时，． 由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 故． 当时，，所以没有零点，则有唯一的零点； 当时，，所以有一个零点，则有两个零点； 当时，， 因为，， 所以有两个小于0的零点，则有三个零点． 综上，当时，有唯一的零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点． 【例42】（24-25高二下·江苏南京·开学考试）已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为与曲线有三个不同的交点，利用导数研究函数的性质，从而结合图象即可求得实数的范围； 【详解】令，即得，即方程有三个零点， 即直线与曲线有三个不同的交点， 可得， 所以当或时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，有极小值为， 当时，有极大值为， 当时，，且当时，， 所以作出函数的图象如图所示， 所以数形结合可知，即实数的取值范围为, 故选：A 【例43】（24-25高二上·云南昆明·期末）已知函数在处有极值1． (1)求函数的单调区间 (2)若函数恰有3个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为； (2) 【分析】（1）求出函数的导数，由题意列出方程组，求出的值，再结合导数与单调性的关系，即可求得答案. （2）结合（1）求出函数的极大值极小值，结合零点与函数图象交点的关系，即可求得答案. 【详解】（1）由，得， 故，解得， 故， 令，得或；令，得， 故的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）， 由（1）可得的极大值为，极小值为， 当x趋向于正无穷大和负无穷大时，也分别趋向于正无穷大和负无穷大， 故函数恰有3个零点，即的图象有3个交点， 故. 【例44】（24-25高二上·湖南·期末）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)函数的单调增区间为，单调减区间为. (2) 【分析】（1）求该函数的定义域，求导，根据导数判断函数的单调性； （2）分离参数，并构造函数，利用导数得出的大致图像，进而由与的图象有两个交点结合图像得出所求范围. 【详解】（1）函数的定义域为，， 令，即，解得. 当时，，则，函数在上单调递增； 当时，，则，函数在上单调递减； 综上，函数的单调增区间为，单调减区间为. （2）由题意在上有两个不同的根. 可化为， 令，则问题转化为与的图象有两个交点. , 令，则，. 当时，，则，函数在上单调递增； 当时，，则，函数在上单调递减； 所以在处取得极大值，也是最大值，， 当时，，则， 当时，的增长速度远慢于的增长速度，所以. 因为与的图象有两个交点，所以. 综上，的取值范围为. 题型12：利用导数证明不等式 【例45】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因为， 所以， 苦，则在上单调递增， 若，由，得， 由得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上得，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）证明：法一：要证，即证， 即证， 由（1）知，时在上单调递增，在上单调递减， 所以， 取得，即， 令，则， 当时，；当时，， 所以当时，取得极小值， 所以，即， 所以， 所以. 法二：要证，即证， 令，则， 易知在区间上单调递减，又， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以，即， 所以得证. 【点睛】方法点睛：证明不等式，一般转化为，令，由证明. 题型13：导数新定义问题 【例46】（2023·上海长宁·统考一模）若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数的“约束函数”.已知函数是函数的“约束函数”. (1)若，判断函数的奇偶性，并说明理由： (2)若，求实数的取值范围； (3)若为严格减函数，，且函数的图像是连续曲线，求证：是上的严格增函数. 【答案】(1)是偶函数；理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意结合偶函数的定义分析证明； （2）根据题意结合的单调性分析可得，，设，，可知与均为上的严格增函数，利用导数分析求解； （3）根据题意分析可得任意，都有，利用反证法先证当时，，再明当时，，即可得结果. 【详解】（1）因为，故对任意的都有． 又因为函数是函数的“约束函数”， 则对任意，都有， 取，可得恒成立， 即对任意的成立，故是偶函数； （2）因为是上的严格增函数，则是上的严格增函数， 设，则， 进而， 可得，， 所以，， 设，， 则与均为上的严格增函数， 因为，恒成立， 对于恒成立， 因为，，当且仅当时，等号成立， 所以，解得得， 当时，恒成立， 所以实数的取值范围为. （3）设，因为是严格减函数，所以，即， 而，所以， 所以对任意，都有， ①首先证明：当时，， 假设存在，且， 设，则，， 所以存在，使得， 得，与结论对任意，矛盾， 所以不存在，使得， 同理可得：也不存在，使得， 所以当时，. ②再证明：当时，， 假设存在，使得，则， 设，则，， 所以存在，使得， 得，与结论对任意，矛盾， 所以假设不成立，即对任意，都有 所以是上的严格增函数. 【点睛】关键点睛：“新定义”题型的关键是根据新定义的概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解，（3）中也结合反证法分析求解. 【例47】（2024·上海奉贤·一模）若函数的图象上存在个不同点、、、处的切线重合，则称该切线为函数的一条点切线，该函数具有点切线性质． (1)判断函数，的奇偶性并写出它的一条点切线方程（无需理由）； (2)设，判断函数是否具有点切线性质，并说明理由； (3)设，证明：对任意的，，函数具有点切线性质，并求出所有相应的切线方程． 【答案】(1)偶函数，一条点切线方程为 (2)没有，理由见解析 (3)证明见解析，切线方程为和 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义可得出函数的奇偶性，数形结合可得出该函数的一条点切线方程； （2）求出，分析函数的单调性，即可得出结论； （3）取点、、，利用导数求出曲线在三处的切线方程，利用这三条切线重合可得出，然后对、、的关系进行讨论，即可求出对应的切线方程. 【详解】（1）令，其中，则， 所以，函数为偶函数，且，如下图所示： 由图可知，函数的一条点切线方程为. （2）因为，该函数的定义域为，且， 令，其中，则， 所以，函数在上为增函数， 因此，不可能存在、且，使得， 因此，函数不具有点性质. （3）取点、、， 因为，则， 所以，曲线在点处的切线方程为， 即， 曲线在点处的切线方程为， 曲线在点处的切线方程为， 由题意可知，这三条切线重合， 则， 由上得，则，，， （i）若，，， 则，所以，， 因为，则（舍去）； （ii）若，，中至少有一个成立， 不妨设，则， 若，则（舍去），所以，， 故或. 综上所述，点切线方程为和. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问题考查点切线的新定义，解题的关键就是利用切线重合得出，通过分析、、之间的关系来求解. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$