专题06 分式50道压轴题型专训（10大题型）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版2024）

专题06 分式50道压轴题型专训（10大题型） 题型一 分式的求值 题型二 分式规律性计算 题型三 分式值为整数时的求值问题 题型四 分式混合运算压轴 题型五 分式中的最值问题 题型六 解分式方程压轴 题型七 分式方程解的情况求值压轴 题型八 分式方程的实际应用 题型九 分式的新定义问题 题型十 分式方程综合运算 【经典例题一 分式的求值】 1．（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）已知，则分式的值为（     ） A．8 B． C． D．4 【答案】A 【分析】由，得，．代入所求的式子化简即可． 【详解】解：由，得， ． 故选：A． 【点睛】本题解题关键是用到了整体代入的思想． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）若满足,则的值为（     ） A．1或0 B． 或0 C．1或 D．1或 【答案】D 【详解】令,则 则且,则k=1，当k=1则；当k=-1，. 故选D. 3．（23-24·福建·单元测试）已知非零实数x，y满足，则的值等于 ． 【答案】4 【分析】由条件变形得，x-y=xy，把此式代入所求式子中，化简即可求得其值． 【详解】由得：xy+y=x，即x-y=xy ∴ 故答案为：4 【点睛】本题是求代数式的值，考查了整体代入法求代数式的值，关键是根据条件，变形为x-y=xy，然后整体代入． 4．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）实数，满足，则分式的值是 ． 【答案】 【分析】先把已知等式的两边去括号，移项变形，化成 ，利用非负性得到，代入分式即可求值． 【详解】解：， ． ． ，． ，． 原式 ． 故答案为： 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是把已知的等式变性后利用非负性质求得，． 5．（2017·北京石景山·二模）已知，且，求代数式的值． 【答案】，原式． 【分析】先将分式化简，再利用完全平方公式求得x与y的关系，代入化简后的代数式即可解决问题. 【详解】原式, ∵， ∴． ∴， ∴原式． 【点睛】本题考查了分式的化简以及完全平方公式，难点在于利用完全平方公式求得x与y的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键. 【经典例题二 分式规律性计算】 6．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）已知：，，，，……，若（a、b为正整数）符合前面式子的规律，则a+b的值是（    ）． A．109 B．218 C．326 D．436 【答案】A 【分析】通过观察已知式子可得分子与第一个加数相同，分母等于分子的平方减1，即可求解． 【详解】解：由，，，，……，可知分子与第一个加数相同，分母等于分子的平方减1， ∴在中，b＝10，a＝102－1＝99， ∴a＋b＝109， 故选：A． 【点睛】本题考查数字的变化规律；能够通过所给例子，找到式子的规律是解题的关键． 7．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”． (1)已知分式，试说明是的“关联分式”； (2)小聪在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为，则， ∴，∴． 请你仿照小聪的方法求分式的“关联分式”． (3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：______． ②若是的“关联分式”，则的值为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）根据“关联分式”的定义进行判断即可； （2）仿照小聪的方法进行求解即可； （3）①根据解析（2）找规律求出的关联分式即可； ②根据关联分式分子，分母规律可知，，然后整理求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴是的关联分式． （2）解：设的关联分式是，则：， ∴， ∴， ∴． （3）解：①根据解析（2）可知，的关联分式为： ； 故答案为：； ②∵是的“关联分式”， ∴， 由①得， 由②得：， 即， 把代入得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是找出关联分式中分子、分母的规律，得出． 8．（23-24八年级下·河南南阳·期中）阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”． 例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得 ，依据题意，得，解得，所以请你适用上面所学到的方法，解决下面的问题： (1)将分式表示成部分分式； (2)按照（1）的规律，求的值． 【答案】(1)，见解析． (2)． 【分析】（1）模仿阅读材料可得答案； （2）根据（1）的规律变形，再计算即可． 【详解】（1）解：设， ∴， ∴， ∴． （2） ； 【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是读懂题意，能把一个分式化为部分分式． 9．（23-24八年级上·湖南怀化·期中）探究题：观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题： (1)计算：若n为正整数，猜想=___________ (2) (3)若，求的值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知等式得到拆项规律，写出即可 （2）根据已知等式得到拆项规律，写出即可 （3）根据绝对值的性质，分别计算即可 【详解】（1） （2） （3）∵， ∴，， ∴，， ∴ 【点睛】本题主要考查了数字类题目，分式的运算，解决问题的关键是掌握数字的变化规律 10．（23-24八年级上·山东淄博·期中）仔细观察下面的变形规律：，，，……解答下面的问题： (1)总结规律：已知为正整数，请将和写成上面式子的形式； (2)类比发现： 计算与的结果； (3)知识迁移：解关于（为正整数）的分式方程： ； (4)规律应用：化简． 【答案】(1)； (2)； (3) (4) 【分析】（1）根据题目中的规律，写出结果即可； （2）利用解析（1）中得出的规律进行计算即可； （3）先化简方程左边的式子，然后解分式方程即可； （4）利用解析（1）中的规律进行变形计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， ，…… ∴， ； （2）解： ； ． （3）解：方程变为， 即：， 去分母得：， 解得：， 检验：因为为正整数，原方程分母不会为零； 所以原方程的根式． （4）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的规律题，解分式方程，解题的关键是根据题意找出题目中的规律，注意解分式方程要进行检验． 【经典例题三 分式值为整数时的求值问题】 11．（23-24八年级上·广东广州·期末）已知，关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，求b的值． 【答案】(1) (2) (3)3、29、55、185 【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可； （2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可； （3）将a=3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值． 【详解】（1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 解得：， 检验：把代入， ∴原分式方程的解为：． （2）解：把a=1代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， ①当时，即，原分式方程无解； ②当时，得， Ⅰ.时，原分式方程无解， 即时， 此时b不存在； Ⅱ.x=5时，原分式方程无解， 即时， 此时b=5； 综上所述，时，分式方程无解． （3）解：把a=3b代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， ， 解得：， ∵b为正整数，x为整数， ∴10+ b必为195的因数，10+b≥11， ∵195=3×5×13， ∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195， ∵1、3、5都小于11， ∴10十b可以取13、15、39、65、195这五个数， 对应地，方程的解x=3、5、13、15、17， 又x=5为分式方程的增根，故应舍去， 对应地，b只可以取3、29、55、185， ∴满足条件的b可取3、29、55、185这四个数． 【点睛】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握． 12．（23-24八年级上·福建福州·期末）阅读下列材料： 材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设x+2＝t，则x＝t﹣2． ∴原式＝ ∴ 这样，分式就拆分成一个整式（x﹣5）与一个分式的和的形式． 材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：当a＞0，b＞0时，∵ ∴当，即a＝b时，有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)参照以上资料，试将分式拆分成整式的真分式的和的形式； (2)已知分式的值为整数，求整数x的值； (3)当﹣1＜x＜1时，求代数式的最大值 　 　． 【答案】(1) (2)0或1 (3)-1 【分析】（1）仿照题意求解即可； （2）先仿照题意求出，再根据分式的值为整数进行求解即可； （3）设，则，仿照题意得到原分式，据此仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：设，则， ∴ ， ∴； （2）解：设，则， ∴ ， ∴， ∵的值为整数， ∴的值为±4或±2或±1， 又∵x为整数， ∴x的值为0或1； （3）解：设，则， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当，即时，的最小值为2， ∴原分式的最大值为， 故答案为：-1． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，完全平方公式的应用，正确理解题意是解题的关键． 13．（23-24八年级上·北京昌平·期中）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． (1)下列分式：①；②；③，其中是“和谐分式”的是 　　（填写序号即可）； (2)若为整数，且为“和谐分式”，写出满足条件的的值为 　　； (3)在化简时，小明和小娟分别进行了如下三步变形： 小明：原式， 小娟：原式， 你比较欣赏谁的做法？先进行选择，再根据你的选择完成化简过程，并说明你选择的理由． 【答案】(1)② (2)或5 (3)我欣赏小娟的做法，见解析 【分析】（1）根据和谐分式的定义判断即可得出答案； （2）根据完全平方公式和十字相乘法即可得出答案； （3）小娟利用了和谐分式，通分时找到了最简公分母，完成化简即可． 【详解】（1）解：①分子或分母都不可以因式分解，不符合题意； ②分母可以因式分解，且这个分式不可约分，符合题意； ③这个分式可以约分，不符合题意； 故答案为：②； （2）解：将分母变成完全平方公式得：，此时； 将分母变形成，此时； 故答案为：或5； （3）我欣赏小娟的做法， 原式 ， 理由：小娟利用了和谐分式，通分时找到了最简公分母． （3）解：我欣赏小娟的做法， 原式 ， 理由：小娟利用了和谐分式，通分时找到了最简公分母． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握在分式的混合运算中，能因式分解的多项式要分解因式，便于约分． 14．（23-24八年级上·重庆北碚·开学考试）阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数.例如：类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：． （1）参考上面的方法，将下列分式化为带分式：　 　.　 　． （2）解分式方程：； （3）当x取什么整数值时，分式的值为整数． （4）一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍，另一个两位数n．十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同，若这个三位数的平方能整除这个两位数，求满足条件的三位数m． 【答案】（1），；（2）；（3）x=0；（4）m=366 【分析】（1）两式根据材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式利用材料中的方法变形化简方程即可求解； （3）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时，整数x的值； （4）设三位数的百位数字为x，十位数字为y，然后表示出m，n的表达式，再计算，然后利用材料中的方法变形，进行讨论即可． 【详解】解：（1） （2） ∴x2-x-6=x2-4x+4， ∴3x=10， ∴ 经检验：是原方程的解； （3） ∴当x=0时，原式=2为整数； （4）设三位数的百位数字为x，十位数字为y，则个位数字为2x，n=10x+y，m=100x+10y+2x=102x+10y， ∵2x＜10， ∴x＜5， ∵是整数， ∴为整数， ∵0＜x＜5且x为整数，0＜y＜10且y为正整数， 当x=3，y=6时，为正整数， ∴m=366． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 15．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分数”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：像，，……这样的分式是假分式；像，，……这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如：；； （1）分式是 分式（填“真”或“假”） （2）将分式化为整式与真分式的和的形式 （3）如果分式的值为整数，求的整数值 【答案】（1）真；（2）1；（3）x=2或0． 【分析】（1）根据所给定义进行判定即可； （2）根据题意把分式化成整式和真分式和的形式，即可求出结论； （3）根据题中所给的例子把原分式化为整式和真分式和的形式，再根据分式的值为整数即可求出x的值． 【详解】解：（1）因为分子次数小于分母次数，我们称之为真分数，分式分子零次，分母1次，所以分式是真分式； 故答案为：真； （2）=； （3）=； ∵分式的值为整数，且x为整数， ∴x-1=±1， ∴x=2或x=0 ∴x的整数值为2或0． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答关键． 【经典例题四 分式混合运算压轴】 16．（23-24八年级下·江苏南京·期中）在数学课上，老师出了一道题，让甲、乙、丙、丁四位同学进行“接力游戏”，规则如下：每位同学可以完成化简分式的一步变形，即前一位同学完成一步后，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步化简变形，直至将该分式化简完毕． 请根据如表的“接力游戏”完成两个任务： 接力游戏 老师：化简： 甲同学：原式 乙同学： 丙同学： 丁同学：． (1)【任务一】 ①在“接力游戏”中，丁同学是依据______进行变形的． A．等式的基本性质 B．不等式的基本性质 C．分式的基本性质 D．乘法分配律 ②在“接力游戏”中，从______同学开始出现错误． (2)【任务二】 ①该“接力游戏”正确的化简结果是______； ②从2，，1这三个数中选取一个合适的数代入化简结果中求值． 【答案】(1)①C；②乙 (2)①；②4 【分析】本题主要考查分式的混合运算． （1）①利用分式的相应的运算法则进行分析即可； ②根据去括号的法则解答即可； （2）①利用分式的运算法则进行分析即可； ②取解答即可． 【详解】（1）解：①丁同学是依据是分式的基本性质进行变形的， 故选：C； ②从乙同学开始出现错误， 故答案为：乙； （2）解：任务二：原式 ， 故答案为：； ②不能取2和， 故取， 原式． 17．（24-25八年级上·福建福州·期中）阅读下面的材料，并解答后面的问题： 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 解：由分母为，可设． 因为， 所以， 所以，解得，所以． 这样，分式就被拆分成了一个整式与一个分式的和的形式， 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)如果分式的值为整数，则满足条件的整数的值为_________； (2)若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求的值； (3)利用分离常数法，求分式的取值范围． 【答案】(1)、、、； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了分式的运算、阅读理解能力，解决本题的关键是读懂材料中的解题方法，仿照材料中提供的思路解题． 根据分离常数法，可得：，根据分式值为整数，可得为整数，所以可得或，分情况求出的值即可； 首先把拆成，根据拆成的形式为，可得，，把、用含的代数式表示出来，然后再整体代入求值即可； 首先利用分离常数法把分离成，根据平方的非负性可得，根据不等式的性质可得． 【详解】（1）解：由分离常数法可得：， 若分式值为整数，即为整数，亦即为整数， 故或， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 即可取、、、； （2）解：， ，， ，， 故答案为：； （3）解： ， ， ， ， 即． 18．（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）定义：如果一个分式能化成的形式（m，n都是常数，A是整式），那么称这个分式为系数为m的分式．如，所以是系数为1的分式；，所以是系数为2的分式． (1)请你再写出一个系数为2的分式（写最简分式，不能与相同） (2)将化成的形式（m，n都是常数，A是整式）． (3)当分式的值为整数，且x也是整数时，求所有x的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)1或0或4或 【分析】（1）答案不唯一，根据题意解答即可． （2）根据解答即可． （3）根据题意，得，根据分式的值为整数，且x也是整数，得或或或，解答即可． 本题考查了分式的新定义，熟练掌握新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：答案不唯一，根据题意， 故分式为． （2）解：原式． （3）解：根据题意，得， 由分式的值为整数，且x也是整数， 得或或或， 解得或或或． 19．（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“分裂分式”．如与，因为，所以是的“分裂分式”． (1)填空：分式___________分式的“分裂分式”（填“是”或“不是”）； (2)分式是分式的“分裂分式”．求整数为何值时，分式的值是正整数，并写出分式的值． (3)若关于的分式是关于的分式的“分裂分式”，求的值． 【答案】(1)是 (2)时，；时，；时， (3) 【分析】（1）根据“分裂分式”的定义进行判断即可； （2）先根据“分裂分式”的定义列式求得分式A的表达式；再根据整除的定义进行求解即可； （3）设关于的分式的“分裂分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“分裂分式”，得出，求出即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式是分式的“分裂分式”； 故答案为：是； （2）解：∵分式是分式A的“分裂分式”， ∴， ∴， ∴ ； ∵整数使得分式A的值是正整数，， ∴时，， 时，， 时，； （3）解：设关于的分式的“分裂分式”为M，则： ， ∴ ， ∵关于的分式是关于的分式的“分裂分式”， ∴， 整理得：， 解得：． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 20．（24-25八年级上·广东汕头·期末）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“关联分式”．如与，因为，， 所以是的“关联分式”． (1)请判断分式与分式是否为“关联分式”，并说明理由； (2)小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为N，则， ∴，∴． 请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”； (3)①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________； ②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数m，n的值． 【答案】(1)与分式是“关联分式”，理由见解析 (2) (3)①；② 【分析】本题属于创新探究类试题，主要考查了分式的混合运算、解不等式组等知识点，理解“关联分式”的定义是解决本题的关键． （1）根据关联分式的定义进行判断即可； （2）仿照题目中给到的方法进行求解即可； （3）①根据（1）（2）找规律求解；②由①推出的结论列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：是的“关联分式”，理由如下： ∵，， ∴是的“关联分式”． （2）解：设的“关联分式”为N，则， ∴，即， ∴，即． （3）解：①设的“关联分式”为N，则， ∴，即， ∴，即． 故答案为：； ②由题意，可得， 整理得，解得． 【经典例题五 分式中的最值问题】 21．（23-24八年级上·北京·期中）张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子的最小值是”．其推导方法如下：在面积是的矩形中设矩形的一边长为，则另一边长是，矩形的周长是；当矩形成为正方形时，就有，解得，这时矩形的周长最小，因此的最小值是．模仿张华的推导，你求得式子的最小值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】模仿题中推导过程进行即可． 【详解】由于= x+，则在面积是4的矩形中，设矩形的一边长为x，则另一边是，矩形的周长是2（x+），当矩形成为正方形时，就有x=，解得x=2，这时矩形的周长2（x+）=8最小，因此x+的最小值是4，所以的最小值是4． 故选：B． 【点睛】本题关键在于理解已知结论的推导过程． 22．（23-24八年级下·四川巴中·期末）请仔细阅读下面两则材料，然后解决问题： 材料1：小学时我们学过，任何一个假分数都可以化为一个整数与一个真分数的和的形式，同样道理，任何一个分子次数不低于分母次数的分式都可以化为一个整式与另一个分式的和（或差）的形式，其中分式的分子次数低于分母次数. 如：. 材料2：对于式子，利用换元法，令，.则由于，所以反比例函数有最大值，且为3.因此分式的最大值为5. 根据上述材料，解决下列问题： （1）把分式化为一个整式与另一个分式的和的形式，其中分式的分子次数低于分母次数. （2）当的值变化时，求分式的最大（或最小）值. 【答案】（1）；（2）最小值为. 【分析】（1）根据题意将分式变形即可； （2）根据题意将分式变形，即可确定出最小值． 【详解】（1）原式= ； （2）原式=， ∵(x−1)2⩾0,即(x−1)2+2⩾2， 则原式最小值为4−. 【点睛】此题考查分式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则进行变形. 23．（23-24九年级·上海·自主招生）为的各位数字之和，例． （1）当时，求的最小值； （2）当时，求的最小值； （3）当时，求的最小值． 【答案】（1）1.9，见解析；（2），见解析；（3），见解析． 【分析】（1）设两位数的十位数字为，个位数字为，则，要使最小，则为最大，然后求值即可； （2）设这个三位数的百位数字是，十位数字是，个位数字为，根据（1）中的方法进行求值即可； （3）设这个四位数的千位数字是，百位数字是，十位数字为，个位数字是，参照（1）中的方法进行求解即可． 【详解】解：（1）设两位数的十位数字为，个位数字为，则， 要使的值最小，则则为最大； ，，最小为； （2））设这个三位数的百位数字是，十位数字是，个位数字为； 要使的值最小，即的值为最小， ，，， ，； （3）设这个四位数的千位数字是，百位数字是，十位数字为，个位数字是； 则，其值最小， 则，，类似分析时符合题意， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查分式的性质及运算的运用，关键是会用整体思想及转化思想把复杂问题简单化． 24．（24-25八年级上·北京·期末）阅读下面材料： 小聪这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，小聪发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．于是他把这样的式子命名为交换对称式． 他还发现像，等交换对称式都可以用，表示． 例如：，，于是小聪把和称为基本交换对称式． 请根据以上材料解决下列问题： (1)代数式①，②，③，④中，属于交换对称式的是___________（填序号）； (2)已知． ①___________（用含，的代数式表示）； ②若，，求交换对称式的值； ③若，求交换对称式的最小值． 【答案】(1)①④ (2)①；②；③ 【分析】本题考查了整式的混合运算和代入求值，分式的加减运算，解题的关键是正确理解“交换对称式”，熟练掌握完全平方公式有助于理解“基本交换对称式”． （1）任意交换两个字母的位置判断值是否不变即可； （2）①先根据得到，即可得到答案；②先将通分，再根据“像，等交换对称式都可以用，表示．例如：”计算，最后将，代入求值即可；③先化简，再将代入求出原式，然后求解计算即可． 【详解】（1）解：①任意交换两个字母的位置后变为，值不变，是交换对称式； ②任意交换两个字母的位置后变为，值可能改变，不是交换对称式； ③任意交换两个字母的位置后变为，值可能改变，不是交换对称式； ④任意交换两个字母值的结果都等于，是交换对称式； 故答案为：①④； （2）解：①∵，， ∴， ∴，； 故答案为； ②解：，则，， ∴； ③解；，则， 即 ， 又∵， ∴， ∴的最小值是4； 25．（23-24八年级上·江西南昌·期末）阅读下面材料： 一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：，，，…含有两个字母，的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用，表示，例如：． 请根据以上材料解决下列问题： (1)式子：①，②，③，④中，属于对称式的是　 　(填序号) (2)已知． ①若，求对称式的值 ②若，求对称式的最大值 【答案】（1）①③④；（2）①12，②-2． 【分析】（1）根据新定义的“对称式”的意义进行判断，做出选择， （2）已知．则，， ①，，利用整式变形可求出的值； ②时，即，由可以求出的最大值； 【详解】解：（1）根据“对称式”的意义，得①③④是“对称式”， 故答案为：①③④， （2）①． ，， ①当，时，即，， ， ②当时，即 ， 所以当m=0时，有最大值-2， 故代数式的最大值为． 【点睛】本题考查“新定义”的意义、整式、分式的变形以及求代数式的最值的等知识，理解“新定义”的意义和最值的意义是解决问题的关键． 【经典例题六 解分式方程压轴】 26．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）阅读材料，下列关于的方程： 的解为：，；    的解为：，； 的解为：，；    的解为：，； 根据这些材料解决下列问题： (1)方程的解是____________； (2)方程的解是____________； (3)解方程：． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）根据所给材料的解题方法即可求解； （2）根据材料中方程的解法求解即可； （3）先将方程化为，再利用材料中的解法求解即可． 【详解】（1）解：方程 的解为， 故答案为：， （2）由方程可得或， 解得，， 故答案为：， （3）将方程变形为， 可得或， 解得， 【点睛】此题考查了解分式方程，解题的关键是将方程化为的形式求解． 27．（23-24八年级上·北京昌平·阶段练习）对于两个不等的非零实数，若分式的值为0，则或，又因为，所以关于的方程有两个解，分别为，，应用上面的结论解答下列问题： （1）方程的两个解中较大的一个为_______． （2）关于的方程的两个解分别为（），若与互为倒数，则=______，=_______． （3）关于的方程的两个解分别为（），求的值． 【答案】（1）4；（2）；2；（3） 【分析】 （1）方程变形后，利用题中的结论确定出较大的解即可； （2）方程变形后，根据利用题中的结论，以及与互为倒数，确定出与的值即可； （3）方程变形后，根据利用题中的结论表示出为、，代入原式计算即可得到结果． 【详解】 解：（1）方程变形得：， 根据题意得：，， 则方程较大的一个解为4， 故答案为：4； （2）方程变形得：， 由题中的结论得：方程有一根为2，另一根为， 则，； 故答案为：；2； （3）方程整理得：， 得或， 可得，， 则原式． 【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键． 28．（23-24七年级上·全国·专题练习）==时，求的值． 【答案】． 【分析】把连等的方程转化成方程组，整理后观察组中方程特点，得到x、y的关系，得结果． 【详解】解：因为= = ， 所以 整理，得 由①﹣②，得4x﹣2y=0 即：y=2x 所以= ． 【点睛】本题考查了分式方程，解决本题的关键是通过转化得到x、y间关系． 29．（23-24·安徽安庆·二模）（1）解下列方程． ①根为______； ②根为______； ③根为______； （2）根据这类方程特征，写出第n个方程和它的根； （3）请利用（2）的结论，求关于x的方程（n为正整数）的根． 【答案】（1）①；②；③；（2），；（3）． 【分析】（1）首先去分母，即可化成一元二次方程，解方程求得的值，然后进行检验，即可求得方程的解； （2）根据（1）中的三个方程的规律特点以及解的关系即可求解； （3）根据（2）的结果，把所求的方程化成 的形式，把当作一个整体即可求解． 【详解】解：（1）①去分母，得：，即，， 则，， 解得：，， 经检验：，都是方程的解， 所以原分式方程的解是，； ②去分母，得：，即，， 则，， 解得：，， 经检验：，是方程的解， 所以原分式方程的解是，； ③去分母，得：，即，， 则，， 经检验，是方程的解， 所以原分式方程的解是，； （2）根据（1）中的规律可以写出第个方程为， 去分母，得，即：， 则：，解是，； 经检验：，是方程的解， 所以原分式方程的解是，； （3）， 即， 设，则原方程变为：， 利用（2）中的结论可知：， 即：或， 解得：， 经检验：是方程的解， 所以原分式方程的解是． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，注意方程的式子的特点，以及对应的方程的解之间的关系是解决本题的关键． 30．（23-24七年级·全国·单元测试）解方程： 【答案】x=. 【分析】先将原方程变形，再进一步化简转化为整式方程求解即可. 【详解】解:原方程可变形为， ， 化简得，， 即， ∴2x+5=0， 解得，x=, 检验，把x=代入≠0， ∴原方程的解为x=. 【点睛】此题主要考查了解分式方程，正确地将原方程变形是解决问题的关键. 【经典例题七 分式方程解的情况求值压轴】 31．（23-24八年级下·上海静安·课后作业）若分式与的和为，则x的值为多少？ 【答案】 【分析】根据题意得到，，若设y=，可用换元法转化为关于y的分式方程，先求y，再求x，结果需检验； 【详解】解：由题可得，， 设y=，则原方程可化为：， 整理得，， 解得：， 当时， 则， 解得； 经检验得，都是方程的解； 当时，， ∴， 经检验得，都是方程的解； 【点睛】本题主要考查了换元法解分式方程，掌握换元法解分式方程是解题的关键. 32．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）若使关于的不等式组有且只有四个整数解，且使关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组和分式方程解的情况求参数，先求出不等式组的解集，由不等式组的解集有且只有四个整数解可得，再求出分式方程的解，由分式方程的解为非负数可得，进而根据分式方程的分母不等于得，即得的取值范围为且，据此即可求解，由不等式组和分式方程求出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且只有四个整数解， ∴， 解得， 解分式方程得，， ∵分式方程的解为非负数， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的取值范围为且， ∴所有满足条件的整数的和为， 故答案为：． 33．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）若整数使得关于的不等式组有解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集、解分式方程，首先求出一元一次不等式组的解集，根据不等式组有解可以确定，再解分式方程可得，根据分式方程有非负整数解确定整数的值，注意因为是分式方程的增根，所以要把使的值舍去． 【详解】解：， 解不等式， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 解不等式得：， 不等式组有解， ， ， 解关于的分式方程， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 关于的分式方程有非负整数解， 或或或或或， 当时，是分式方程的增根， (舍去)， ． 故答案为： ． 34．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数m的值的和是 ． 【答案】 【分析】先解一元一次不等式组，根据解集为得到m的取值范围；再解分式方程，根据解是非负正数解且不是增根得到m的最终范围，然后再确定在这个范围内能使y是整数的m的值，最后求和即可． 【详解】解：关于x的不等式组整理得到： ， ∵不等式组的解集为， ∴； 分式方程两边都乘以得：，即． ∵y有非负解且， ∴且，解得：且． ∴且， ∴整数m为：它们的和为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解分式方程、解一元一次不等式组等知识，熟练掌握分式方程、一元一次不等式组的解法是解题的关键． 35．（23-24·重庆九龙坡·二模）若关于y的分式方程有解，且关于x的一元一次不等式组有解且至多有2个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【答案】26 【分析】根据分式方程有解，确定，根据有解且至多有2个整数解，，确定计算即可． 【详解】∵解分式方程， 解得：， ∵， ∴， ∵的解集为；的解集为， ∵有解且至多有2个整数解， ∴， 解得， 故a的整数解为7，8，9，10， ∵， 故符合题意a的整数解为7，9，10， ∴， 故答案为：26． 【点睛】本题考查了解分式方程，不等式组的整数解，正确理解题意是解题的关键． 【经典例题八 分式方程的实际应用】 36．（23-24八年级·全国·假期作业）小明家距离科技馆米，一天他步行去科技馆看表演，走到路程的一半时，小明发现忘带门票，此时离表演开始还有分钟，于是立刻步行回家取票，随后骑车赶往科技馆．已知小明骑车到科技馆比他步行到科技馆少用分钟，且骑车的速度是步行速度的倍，小明进家取票时间共用分钟． （1）小明步行的速度是每分钟多少米？ （2）请你判断小明能否在表演开始前赶到科技馆，并通过计算说明理由． 【答案】（1）小明步行的速度为米分钟；（2）小明能在表演开始前赶到科技馆，理由见详解． 【分析】（1）设小明步行的速度是每分钟x米，则小明骑车的速度是每分钟5x米，根据时间＝路程÷速度结合小明骑车到科技馆比他步行到科技馆少用20分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）利用时间＝路程÷速度结合小明进家取票时间共用4分钟，即可得出小明回家取票后到达科技馆所需时间，将其与23分钟比较后即可得出结论． 【详解】解：设小明步行的速度为米分钟，则小明骑车的速度为米分钟．根据题意，得， 解得：． 经检验，是原分式方程的解． 答：小明步行的速度为米分钟． （2）， 所以小明能在表演开始前赶到科技馆． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 37．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）小明和小强两名运动爱好者周末相约到滨江大道进行跑步锻炼． （1）周六早上6点，小明和小强同时从家出发，分别骑自行车和步行到离家距离分别为4500米和1200米的滨江大道入口汇合，结果同时到达.若小明每分钟比小强多行220米，求小明和小强的速度分别是多少米/分？ （2）两人到达滨江大道后约定先跑1000米再休息.小强的跑步速度是小明跑步速度的倍，两人在同起点，同时出发，结果小强先到目的地分钟． ①当，时，求小强跑了多少分钟？ ②小明的跑步速度为_______米/分（直接用含的式子表示）． 【答案】（1）小强的速度为80米/分，小明的速度为300米/分；（2）①小强跑的时间为3分；②． 【分析】（1）设小强的速度为x米/分，则小明的速度为（x+220）米/分，根据路程除以速度等于时间得到方程，解方程即可得到答案； （2）①设小明的速度为y米/分，由m＝3，n＝6，根据小明的时间-小强的时间=6列方程解答； ②根据路程一定，时间与速度成反比，可求小强的时间进而求出小明的时间，再根据速度=路程除以时间得到答案. 【详解】（1）设小强的速度为x米/分，则小明的速度为（x+220）米/分， 根据题意得：＝． 解得：x＝80． 经检验，x＝80是原方程的根，且符合题意． ∴x+220＝300． 答：小强的速度为80米/分，小明的速度为300米/分． （2）①设小明的速度为y米/分，∵m＝3，n＝6， ∴，解之得. 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴小强跑的时间为：（分） ②小强跑的时间：分钟，小明跑的时间：分钟， 小明的跑步速度为： 分． 故答案为：． 【点睛】此题考查分式方程的应用，正确理解题意根据路程、时间、速度三者的关系列方程解答是解题的关键. 38．（23-24八年级上·山东泰安·期末）23-24年，在新泰市美丽乡村建设中，甲、乙两个工程队分别承担某处村级道路硬化和道路拓宽改造工程．已知道路硬化和道路拓宽改造工程的总里程数是8．6千米，其中道路硬化的里程数是道路拓宽里程数的2倍少1千米． （1）求道路硬化和道路拓宽里程数分别是多少千米； （2）甲、乙两个工程队同时开始施工，甲工程队比乙工程队平均每天多施工10米．由于工期需要，甲工程队在完成所承担的施工任务后，通过技术改进使工作效率比原来提高了．设乙工程队平均每天施工米，若甲、乙两队同时完成施工任务，求乙工程队平均每天施工的米数和施工的天数． 【答案】（1）道路硬化里程数为5.4千米，道路拓宽里程数为3.2千米；（2）乙工程队平均每天施工20米，施工的天数为160天 【分析】（1）设道路拓宽里程数为x千米，则道路硬化里程数为（2x-1）千米，根据道路硬化和道路拓宽改造工程的总里程数是8.6千米，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设乙工程队平均每天施工a米，则甲工程队技术改进前每天施工（a+10）米，技术改进后每天施工（a+10）米，由甲、乙两队同时完成施工任务，即可得出关于a的分式方程，解之经检验后即可得出a值，再将其代入中可求出施工天数． 【详解】解：（1）设道路拓宽里程数为千米，则道路硬化里程数为千米， 依题意，得：， 解得：， ． 答：道路硬化里程数为5.4千米，道路拓宽里程数为3.2千米． （2）设乙工程队平均每天施工米，则甲工程队技术改进前每天施工米，技术改进后每天施工点米， 依题意，得：乙工程队施工天数为天， 甲工程队技术改造前施工天数为：天， 技术改造后施工天数为：天． 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：乙工程队平均每天施工20米，施工的天数为160天． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，用含a的代数式表示出施工天数；找准等量关系，正确列出分式方程． 39．（23-24九年级下·河北邯郸·阶段练习）为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，若两车合作，各运12趟才能完成，需支付运费共4 800元．若甲、乙两车单独运完此堆垃圾，则乙车所运趟数是甲车的2倍，已知乙车每趟运费比甲车少200元． (1)分别求出甲、乙两车每趟的运费； (2)若单独租用甲车运完此堆垃圾，需多少趟？ (3)若同时租用甲、乙两车，则甲车运x趟，乙车运y趟，才能运完此堆垃圾，其中x，y均为正整数． ①当x＝10时，y＝ ；当y＝10时，x＝ ； ②用含x的代数式表示y； 探究： (4)在(3)的条件下： ①用含x的代数式表示总运费w； ②要想总运费不大于4 000元，甲车最多需运多少趟？ 【答案】（1）甲、乙两车每趟的运费分别为300元、100元；（2）单独租用甲车运完此堆垃圾，需运18趟；（3）①16，13，y=36－2x；（4）①w=100x＋3600，②甲车最多需运4趟． 【分析】（1）设甲、乙两车每趟的运费分别为m元，n元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可； （2）设单独租用甲车运完此堆垃圾，需运趟，由题意累出分式方程，求解即可； （3）①列出分式方程求解即可； ②根据题意，列出分式方程转换形式即可； （4）①结合（1）和（3）的结论，列出函数关系式即可； ②根据题意列出不等式，求解即可. 【详解】(1)设甲、乙两车每趟的运费分别为m元，n元，由题意，得 解得 答：甲、乙两车每趟的运费分别为300元、100元； (2)设单独租用甲车运完此堆垃圾，需运趟，由题意，得 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：单独租用甲车运完此堆垃圾，需运18趟； (3)①由题意，得，；，； ②由题意，得， ∴y=36－2x； (4)①由（1）和（3），得总运费为w=300x＋100y=300x＋100(36－2x) =100x＋3600， ②由题意，得100x＋3600≤4 000， ∴x≤4． 答：甲车最多需运4趟． 【点睛】此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程求解. 40．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）冰城某店欲购进和两种品牌的雪地胎，已知种的进价比种进价每条少元，经计算，用万元购进的种雪地胎的数量与万元购进的种雪地胎的数量相同，请解答下列问题： (1)这两种雪地胎每个进价多少元？ (2)若该店欲购进两种品牌雪地胎共个，投入的总资金不超过元，且种品牌雪地胎不超过个（假设每辆车一次换个雪地胎），则该店有哪几种进货方案？ (3)在()条件下，若和两种雪地胎的售价分别是每个元和元，该店从这个雪地胎中拿出个两种雪地胎奖励优秀员工，其余雪地胎全部售出后仍获利元，请直接写出这个雪地胎中种雪地胎的个数． 【答案】(1)品牌的雪地胎每条的进价为元，品牌的雪地胎每条的进价为元 (2)共有三种进货方案．方案一：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个；方案二：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个；方案三：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个； (3)． 【分析】（）设种雪地胎每个进价元，则种雪地胎每个进价元，根据题意列出方程即可求解； （）设购进种雪地胎个，则购进种雪地胎个，根据题意列出不等式组求出的取值范围，再根据每辆车一次换个雪地胎得到为的倍数，即得的值，据此即可求解； （）设从种雪地胎拿出个奖励优秀员工，则从种雪地胎拿出个奖励优秀员工，根据（）中的方案分别计算即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设种雪地胎每个进价元，则种雪地胎每个进价元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意； ∴， 答：种雪地胎每个进价元，则种雪地胎每个进价元； （2）解：设购进种雪地胎个，则购进种雪地胎个， 由题意得， 解得， ∵每辆车一次换个雪地胎， ∴为的倍数， ∴或或， ∴共有三种进货方案．方案一：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个；方案二：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个；方案三：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个； （3）解：设从种雪地胎拿出个奖励优秀员工，则从种雪地胎拿出个奖励优秀员工， 当购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个时， 由题意得，， 整理得，， 解得，不合题意，舍去； 当购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个时， 由题意得，， 整理得，， 解得； 当购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个时， 由题意得， 整理得，， 解得，不合题意，舍去； 综上，的值为， 答：这个雪地胎中种雪地胎的个数为． 【经典例题九 分式的新定义问题】 41．（23-24八年级上·全国·单元测试）如果我们定义，例如：，试计算下面算式的值： ． 【答案】2015 【分析】根据题意得出规律f（x）+f（）=1，原式结合后计算即可得到结果． 【详解】解：f（x）+f（）=+==1， 则原式=[f（）+f（2015）]+…+[f（）+f（2）]+[f（）+f（1）]+f（0）=2015， 故答案为2015． 【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 42．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）我们定义：形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为．∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，（，），求的值． 【答案】(1)， (2) (3)23-24 【分析】（1）将方程改写成，再根据十字分式方程的定义作答即可； （2）先根据十字分式方程的定义求出，再化简得，最后代入计算求解即可； （3）先根据十字分式方程的定义以及、、的取值范围求出，，即，，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：方程是十字分式方程，可化为， ， 故答案为：，． （2）解：十字分式方程的两个解分别为，， ， ∵， ∴原式． （3）解：方程是十字分式方程，可化为， ∴，， ∵，， ∴，，即，， 代入得，， ∴的值为23-24． 【点睛】本题考查了新定义运算，利用完全平方公式求值、因式分解的应用等知识点，理解十字分式方程的定义是解题关键． 43．（23-24八年级上·贵州铜仁·期中）定义：如果一个分式能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．例如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列分式：①，②，③，其中属于“和谐分式”的是__________（填序号）； (2)分式是否为“和谐分式”，请说明理由； (3)当整数取多少时，的值为整数？ 【答案】(1)①③ (2)是，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据题干“和谐分式”定义，逐个化简变形即可得到答案； （2）将式子化简变形即可得到答案； （3）将式子化简，根据值为整数及分式的分子是分母的整数倍得到相关数值，再根据分式有意义取舍即可得到答案； 【详解】（1）解：∵①，是“和谐分式”； ②不能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，所以不是“和谐分式”； ③，是“和谐分式”， 故答案为①③； （2）解：是“和谐分式”，理由如下， ∵， ∴是和谐分式； （3）解： 当，，0，1时，的值为整数． 由于当，0，1时，原分式没有意义， 所以当时，该分式的值为整数． 【点睛】本题考查分式化简，新定义的理解及分式有意义条件，解题的关键是读懂题干新定义． 44．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”． (1)已知分式，试说明是的“关联分式”； (2)小聪在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为，则， ∴，∴． 请你仿照小聪的方法求分式的“关联分式”． (3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：______． ②若是的“关联分式”，则的值为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）根据“关联分式”的定义进行判断即可； （2）仿照小聪的方法进行求解即可； （3）①根据解析（2）找规律求出的关联分式即可； ②根据关联分式分子，分母规律可知，，然后整理求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴是的关联分式． （2）解：设的关联分式是，则：， ∴， ∴， ∴． （3）解：①根据解析（2）可知，的关联分式为： ； 故答案为：； ②∵是的“关联分式”， ∴， 由①得， 由②得：， 即， 把代入得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是找出关联分式中分子、分母的规律，得出． 45．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，并且假分数都可化为带分数．类比分数，对于分式也可以定义：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如： 解决下列问题： （1）分式是________分式（填“真”或“假”）； （2）假分式可化为带分式_________的形式；请写出你的推导过程； （3）如果分式的值为整数，那么的整数值为_________． 【答案】真 【分析】(1)比较分式的分子分母的次数容易判定出它是真分式还是假分式； (2)分式分子变形为，利用同分母分式减法逆运算法则变形即可得； (3)在的基础上，对于这个带分式，只要满足为整数即可求出整数x的值． 【详解】(1)分式的分子是常数，其次数为0，分母x的次数为1,分母的次数大于分子的次数，所以是真分； (2) ； (3)由(2)得： ，当为整数时，原分式的值为整数， ∴此时，整数x可能满足：或或或 ∴． 故答案为：真；； 【点睛】本题考查的是与分式有关的新定义问题、整式次数的判定和分式的相关运算，根据新定义及例题的变形方法解决相关问题是解决此类问题的关键． 【经典例题十 分式方程综合运算】 46．（24-25八年级上·浙江台州·期末）已知正数，，，，满足，． (1)当，时，请用含的式子表示； (2)已知，，满足； ①求证：； ②若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①见解析，②见解析． 【分析】本题主要考查了列代数式，能根据，，，，之间的关系进行巧妙的化简转换是解题的关键．（1）将，的值代入，再用含的式子表示即可． （2）①将进行变形，结合即可解决问题． ②先对不等式进行化简，再结合前面的结论求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：当，时， ，， 所以， 整理得，， 所以． （2）①证明：由得， ，． 因为， 所以， 整理得，． 因为为正数， 所以， 所以， 即， 所以． ②解：由得， ． 又因为，， 所以， 即， 整理得，． 因为为正数， 所以． 又因为， 所以． 47．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察；整体设元；整体代入；整体求和等． 例如：，求证： 证明：左边 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”．很多类似问题和式子都满足以上特征． 阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)若长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值； (4)若正数、满足，求的最小值． 【答案】(1)1； (2)5； (3)12； (4)． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，读懂材料，理解题意并能运用是本题的关键． （1）将，代入式中可求值； （2）将代入可求解； （3）设此长方形的边长为a，b，则，由解答即可． （4）由，可得当取最小值时，M的值最小． 【详解】（1）解：， （2）解：，且， ， （3）解：设此长方形的边长为a，b，则， ，， ， 得，当且仅当时等号成立时，所以周长的最小值为12， （4）解：∵正数a，b满足 当时，有最小值，当且仅当时等号成立时， 则最小值为． 48．（24-25八年级上·北京·期末）阅读下面材料： 小聪这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，小聪发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．于是他把这样的式子命名为交换对称式． 他还发现像，等交换对称式都可以用，表示． 例如：，，于是小聪把和称为基本交换对称式． 请根据以上材料解决下列问题： (1)代数式①，②，③，④中，属于交换对称式的是___________（填序号）； (2)已知． ①___________（用含，的代数式表示）； ②若，，求交换对称式的值； ③若，求交换对称式的最小值． 【答案】(1)①④ (2)①；②；③ 【分析】本题考查了整式的混合运算和代入求值，分式的加减运算，解题的关键是正确理解“交换对称式”，熟练掌握完全平方公式有助于理解“基本交换对称式”． （1）任意交换两个字母的位置判断值是否不变即可； （2）①先根据得到，即可得到答案；②先将通分，再根据“像，等交换对称式都可以用，表示．例如：”计算，最后将，代入求值即可；③先化简，再将代入求出原式，然后求解计算即可． 【详解】（1）解：①任意交换两个字母的位置后变为，值不变，是交换对称式； ②任意交换两个字母的位置后变为，值可能改变，不是交换对称式； ③任意交换两个字母的位置后变为，值可能改变，不是交换对称式； ④任意交换两个字母值的结果都等于，是交换对称式； 故答案为：①④； （2）解：①∵，， ∴， ∴，； 故答案为； ②解：，则，， ∴； ③解；，则， 即 ， 又∵， ∴， ∴的最小值是4； 49．（24-25八年级上·浙江温州·期末）已知，求证： (1)三个数中必有两数之和为零； (2)对于任意奇数，均有． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查分式的计算，掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）先去分母转化为整式，然后分解因式为解题即可； （2）由（1）可得中必有一个为0，不妨设，然后代入得到，然后再根据即可得到结论． 【详解】（1）证明：，. . . ， ∴， 或或， ∴三个数中必有两数之和为0； （2）证明：中必有一个为0， 不妨设，则. 为奇数， ， ， ， ， ， ∴． 50．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”． 如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判段Ａ与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”． ①________（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于________． (3)若分式，（a，b为整数且），E是F的“关联分式”，且“关联值”，求c的值． 【答案】(1)是， (2)①－3x－6；②1 (3)6或22 【分析】本题考查的是新定义题型，涉及分式的加减运算，二元方程的整数解，理解新定义，熟练掌握分式的加减运算法则是解本题的关键． （1）把与相加，根据同分母的分式的加法运算法则化简，根据化简结果判断即可； （2）把与相加，根据异分母的分式的加法法则化简，再根据与互为“关联分式”，且“关联值” ，求出多项式M，最后根据为正整数，分式的值为正整数求出x值即可． （3）把E与F相加，根据异分母的分式的加法法则化简，再根据E与F互为“关联分式”，且“关联值” ，得到，当时，，当时，则，根据a，b为整数解得，或，，即可求得． 【详解】（1）解：，， ， 与互为“关联分式”， “关联值”； （2）解：①，， ， 与互为“关联分式”，且“关联值” ， ， ， ②， 分式的值为正整数． 或，此时的值为1或， 为正整数， 的值为1． （3）解：∵，，E是F的“关联分式”，且“关联值”， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵a，b为整数 ∴当时， 当时，则 ∵a，b为整数 ∴，或，， ∴． 综上，c的值为6或22． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 分式50道压轴题型专训（10大题型） 题型一 分式的求值 题型二 分式规律性计算 题型三 分式值为整数时的求值问题 题型四 分式混合运算压轴 题型五 分式中的最值问题 题型六 解分式方程压轴 题型七 分式方程解的情况求值压轴 题型八 分式方程的实际应用 题型九 分式的新定义问题 题型十 分式方程综合运算 【经典例题一 分式的求值】 1．（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）已知，则分式的值为（     ） A．8 B． C． D．4 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）若满足,则的值为（     ） A．1或0 B． 或0 C．1或 D．1或 3．（23-24·福建·单元测试）已知非零实数x，y满足，则的值等于 ． 4．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）实数，满足，则分式的值是 ． 5．（2017·北京石景山·二模）已知，且，求代数式的值． 【经典例题二 分式规律性计算】6．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）已知：，，，，……，若（a、b为正整数）符合前面式子的规律，则a+b的值是（    ）． A．109 B．218 C．326 D．436 7．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”． (1)已知分式，试说明是的“关联分式”； (2)小聪在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为，则， ∴，∴． 请你仿照小聪的方法求分式的“关联分式”． (3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：______． ②若是的“关联分式”，则的值为______． 8．（23-24八年级下·河南南阳·期中）阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”． 例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得 ，依据题意，得，解得，所以请你适用上面所学到的方法，解决下面的问题： (1)将分式表示成部分分式； (2)按照（1）的规律，求的值． 9．（23-24八年级上·湖南怀化·期中）探究题：观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题： (1)计算：若n为正整数，猜想=___________ (2) (3)若，求的值 10．（23-24八年级上·山东淄博·期中）仔细观察下面的变形规律：，，，……解答下面的问题： (1)总结规律：已知为正整数，请将和写成上面式子的形式； (2)类比发现： 计算与的结果； (3)知识迁移：解关于（为正整数）的分式方程： ； (4)规律应用：化简． 【经典例题三 分式值为整数时的求值问题】 11．（23-24八年级上·广东广州·期末）已知，关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，求b的值． 12．（23-24八年级上·福建福州·期末）阅读下列材料： 材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设x+2＝t，则x＝t﹣2． ∴原式＝ ∴ 这样，分式就拆分成一个整式（x﹣5）与一个分式的和的形式． 材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：当a＞0，b＞0时，∵ ∴当，即a＝b时，有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)参照以上资料，试将分式拆分成整式的真分式的和的形式； (2)已知分式的值为整数，求整数x的值； (3)当﹣1＜x＜1时，求代数式的最大值 　 　． 13．（23-24八年级上·北京昌平·期中）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． (1)下列分式：①；②；③，其中是“和谐分式”的是 　　（填写序号即可）； (2)若为整数，且为“和谐分式”，写出满足条件的的值为 　　； (3)在化简时，小明和小娟分别进行了如下三步变形： 小明：原式， 小娟：原式， 你比较欣赏谁的做法？先进行选择，再根据你的选择完成化简过程，并说明你选择的理由． 14．（23-24八年级上·重庆北碚·开学考试）阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数.例如：类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：． （1）参考上面的方法，将下列分式化为带分式：　 　.　 　． （2）解分式方程：； （3）当x取什么整数值时，分式的值为整数． （4）一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍，另一个两位数n．十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同，若这个三位数的平方能整除这个两位数，求满足条件的三位数m． 15．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分数”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：像，，……这样的分式是假分式；像，，……这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如：；； （1）分式是 分式（填“真”或“假”） （2）将分式化为整式与真分式的和的形式 （3）如果分式的值为整数，求的整数值 【经典例题四 分式混合运算压轴】 16．（23-24八年级下·江苏南京·期中）在数学课上，老师出了一道题，让甲、乙、丙、丁四位同学进行“接力游戏”，规则如下：每位同学可以完成化简分式的一步变形，即前一位同学完成一步后，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步化简变形，直至将该分式化简完毕． 请根据如表的“接力游戏”完成两个任务： 接力游戏 老师：化简： 甲同学：原式 乙同学： 丙同学： 丁同学：． (1)【任务一】 ①在“接力游戏”中，丁同学是依据______进行变形的． A．等式的基本性质 B．不等式的基本性质 C．分式的基本性质 D．乘法分配律 ②在“接力游戏”中，从______同学开始出现错误． (2)【任务二】 ①该“接力游戏”正确的化简结果是______； ②从2，，1这三个数中选取一个合适的数代入化简结果中求值． 17．（24-25八年级上·福建福州·期中）阅读下面的材料，并解答后面的问题： 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 解：由分母为，可设． 因为， 所以， 所以，解得，所以． 这样，分式就被拆分成了一个整式与一个分式的和的形式， 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)如果分式的值为整数，则满足条件的整数的值为_________； (2)若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求的值； (3)利用分离常数法，求分式的取值范围． 18．（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）定义：如果一个分式能化成的形式（m，n都是常数，A是整式），那么称这个分式为系数为m的分式．如，所以是系数为1的分式；，所以是系数为2的分式． (1)请你再写出一个系数为2的分式（写最简分式，不能与相同） (2)将化成的形式（m，n都是常数，A是整式）． (3)当分式的值为整数，且x也是整数时，求所有x的值． 19．（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“分裂分式”．如与，因为，所以是的“分裂分式”． (1)填空：分式___________分式的“分裂分式”（填“是”或“不是”）； (2)分式是分式的“分裂分式”．求整数为何值时，分式的值是正整数，并写出分式的值． (3)若关于的分式是关于的分式的“分裂分式”，求的值． 20．（24-25八年级上·广东汕头·期末）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“关联分式”．如与，因为，， 所以是的“关联分式”． (1)请判断分式与分式是否为“关联分式”，并说明理由； (2)小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为N，则， ∴，∴． 请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”； (3)①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________； ②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数m，n的值． 【经典例题五 分式中的最值问题】21．（23-24八年级上·北京·期中）张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子的最小值是”．其推导方法如下：在面积是的矩形中设矩形的一边长为，则另一边长是，矩形的周长是；当矩形成为正方形时，就有，解得，这时矩形的周长最小，因此的最小值是．模仿张华的推导，你求得式子的最小值是（    ）． A． B． C． D． 22．（23-24八年级下·四川巴中·期末）请仔细阅读下面两则材料，然后解决问题： 材料1：小学时我们学过，任何一个假分数都可以化为一个整数与一个真分数的和的形式，同样道理，任何一个分子次数不低于分母次数的分式都可以化为一个整式与另一个分式的和（或差）的形式，其中分式的分子次数低于分母次数. 如：. 材料2：对于式子，利用换元法，令，.则由于，所以反比例函数有最大值，且为3.因此分式的最大值为5. 根据上述材料，解决下列问题： （1）把分式化为一个整式与另一个分式的和的形式，其中分式的分子次数低于分母次数. （2）当的值变化时，求分式的最大（或最小）值. 23．（23-24九年级·上海·自主招生）为的各位数字之和，例． （1）当时，求的最小值； （2）当时，求的最小值； （3）当时，求的最小值． 24．（24-25八年级上·北京·期末）阅读下面材料： 小聪这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，小聪发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．于是他把这样的式子命名为交换对称式． 他还发现像，等交换对称式都可以用，表示． 例如：，，于是小聪把和称为基本交换对称式． 请根据以上材料解决下列问题： (1)代数式①，②，③，④中，属于交换对称式的是___________（填序号）； (2)已知． ①___________（用含，的代数式表示）； ②若，，求交换对称式的值； ③若，求交换对称式的最小值． 25．（23-24八年级上·江西南昌·期末）阅读下面材料： 一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：，，，…含有两个字母，的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用，表示，例如：． 请根据以上材料解决下列问题： (1)式子：①，②，③，④中，属于对称式的是　 　(填序号) (2)已知． ①若，求对称式的值 ②若，求对称式的最大值 【经典例题六 解分式方程压轴】 26．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）阅读材料，下列关于的方程： 的解为：，；    的解为：，； 的解为：，；    的解为：，； 根据这些材料解决下列问题： (1)方程的解是____________； (2)方程的解是____________； (3)解方程：． 27．（23-24八年级上·北京昌平·阶段练习）对于两个不等的非零实数，若分式的值为0，则或，又因为，所以关于的方程有两个解，分别为，，应用上面的结论解答下列问题： （1）方程的两个解中较大的一个为_______． （2）关于的方程的两个解分别为（），若与互为倒数，则=______，=_______． （3）关于的方程的两个解分别为（），求的值． 28．（23-24七年级上·全国·专题练习）==时，求的值． 29．（23-24·安徽安庆·二模）（1）解下列方程． ①根为______； ②根为______； ③根为______； （2）根据这类方程特征，写出第n个方程和它的根； （3）请利用（2）的结论，求关于x的方程（n为正整数）的根． 30．（23-24七年级·全国·单元测试）解方程： 【经典例题七 分式方程解的情况求值压轴】 31．（23-24八年级下·上海静安·课后作业）若分式与的和为，则x的值为多少？ 32．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）若使关于的不等式组有且只有四个整数解，且使关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的和为 ． 33．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）若整数使得关于的不等式组有解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的的值之和为 ． 34．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数m的值的和是 ． 35．（23-24·重庆九龙坡·二模）若关于y的分式方程有解，且关于x的一元一次不等式组有解且至多有2个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【经典例题八 分式方程的实际应用】 36．（23-24八年级·全国·假期作业）小明家距离科技馆米，一天他步行去科技馆看表演，走到路程的一半时，小明发现忘带门票，此时离表演开始还有分钟，于是立刻步行回家取票，随后骑车赶往科技馆．已知小明骑车到科技馆比他步行到科技馆少用分钟，且骑车的速度是步行速度的倍，小明进家取票时间共用分钟． （1）小明步行的速度是每分钟多少米？ （2）请你判断小明能否在表演开始前赶到科技馆，并通过计算说明理由． 37．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）小明和小强两名运动爱好者周末相约到滨江大道进行跑步锻炼． （1）周六早上6点，小明和小强同时从家出发，分别骑自行车和步行到离家距离分别为4500米和1200米的滨江大道入口汇合，结果同时到达.若小明每分钟比小强多行220米，求小明和小强的速度分别是多少米/分？ （2）两人到达滨江大道后约定先跑1000米再休息.小强的跑步速度是小明跑步速度的倍，两人在同起点，同时出发，结果小强先到目的地分钟． ①当，时，求小强跑了多少分钟？ ②小明的跑步速度为_______米/分（直接用含的式子表示）． 38．（23-24八年级上·山东泰安·期末）23-24年，在新泰市美丽乡村建设中，甲、乙两个工程队分别承担某处村级道路硬化和道路拓宽改造工程．已知道路硬化和道路拓宽改造工程的总里程数是8．6千米，其中道路硬化的里程数是道路拓宽里程数的2倍少1千米． （1）求道路硬化和道路拓宽里程数分别是多少千米； （2）甲、乙两个工程队同时开始施工，甲工程队比乙工程队平均每天多施工10米．由于工期需要，甲工程队在完成所承担的施工任务后，通过技术改进使工作效率比原来提高了．设乙工程队平均每天施工米，若甲、乙两队同时完成施工任务，求乙工程队平均每天施工的米数和施工的天数． 39．（23-24九年级下·河北邯郸·阶段练习）为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，若两车合作，各运12趟才能完成，需支付运费共4 800元．若甲、乙两车单独运完此堆垃圾，则乙车所运趟数是甲车的2倍，已知乙车每趟运费比甲车少200元． (1)分别求出甲、乙两车每趟的运费； (2)若单独租用甲车运完此堆垃圾，需多少趟？ (3)若同时租用甲、乙两车，则甲车运x趟，乙车运y趟，才能运完此堆垃圾，其中x，y均为正整数． ①当x＝10时，y＝ ；当y＝10时，x＝ ； ②用含x的代数式表示y； 探究： (4)在(3)的条件下： ①用含x的代数式表示总运费w； ②要想总运费不大于4 000元，甲车最多需运多少趟？ 40．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）冰城某店欲购进和两种品牌的雪地胎，已知种的进价比种进价每条少元，经计算，用万元购进的种雪地胎的数量与万元购进的种雪地胎的数量相同，请解答下列问题： (1)这两种雪地胎每个进价多少元？ (2)若该店欲购进两种品牌雪地胎共个，投入的总资金不超过元，且种品牌雪地胎不超过个（假设每辆车一次换个雪地胎），则该店有哪几种进货方案？ (3)在()条件下，若和两种雪地胎的售价分别是每个元和元，该店从这个雪地胎中拿出个两种雪地胎奖励优秀员工，其余雪地胎全部售出后仍获利元，请直接写出这个雪地胎中种雪地胎的个数． 【经典例题九 分式的新定义问题】 41．（23-24八年级上·全国·单元测试）如果我们定义，例如：，试计算下面算式的值： ． 42．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）我们定义：形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为．∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，（，），求的值． 43．（23-24八年级上·贵州铜仁·期中）定义：如果一个分式能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．例如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列分式：①，②，③，其中属于“和谐分式”的是__________（填序号）； (2)分式是否为“和谐分式”，请说明理由； (3)当整数取多少时，的值为整数？ 44．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”． (1)已知分式，试说明是的“关联分式”； (2)小聪在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为，则， ∴，∴． 请你仿照小聪的方法求分式的“关联分式”． (3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：______． ②若是的“关联分式”，则的值为______． 45．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，并且假分数都可化为带分数．类比分数，对于分式也可以定义：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如： 解决下列问题： （1）分式是________分式（填“真”或“假”）； （2）假分式可化为带分式_________的形式；请写出你的推导过程； （3）如果分式的值为整数，那么的整数值为_________． 【经典例题十 分式方程综合运算】 46．（24-25八年级上·浙江台州·期末）已知正数，，，，满足，． (1)当，时，请用含的式子表示； (2)已知，，满足； ①求证：； ②若，求的取值范围． 47．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察；整体设元；整体代入；整体求和等． 例如：，求证： 证明：左边 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”．很多类似问题和式子都满足以上特征． 阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)若长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值； (4)若正数、满足，求的最小值． 48．（24-25八年级上·北京·期末）阅读下面材料： 小聪这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，小聪发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．于是他把这样的式子命名为交换对称式． 他还发现像，等交换对称式都可以用，表示． 例如：，，于是小聪把和称为基本交换对称式． 请根据以上材料解决下列问题： (1)代数式①，②，③，④中，属于交换对称式的是___________（填序号）； (2)已知． ①___________（用含，的代数式表示）； ②若，，求交换对称式的值； ③若，求交换对称式的最小值． 49．（24-25八年级上·浙江温州·期末）已知，求证： (1)三个数中必有两数之和为零； (2)对于任意奇数，均有． 50．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”． 如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判段Ａ与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”． ①________（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于________． (3)若分式，（a，b为整数且），E是F的“关联分式”，且“关联值”，求c的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$