专题04 分式方程重难点题型专训（12大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版2024）

专题04 分式方程重难点题型专训（12大题型+15道提优训练） 题型一 分式方程的定义 题型二 解分式方程 题型三 根据分式方程解的情况求值 题型四 分式方程的增根问题 题型五 分式方程的无解问题 题型六 列分式方程 题型七 分式方程的行程问题 题型八 分式方程的工程问题 题型九 分式方程的经济问题 题型十 分式方程的和差倍分问题 题型十一 分式方程的新定义问题 题型十二 分式方程的综合 知识点一、分式方程 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 分式方程的重要特征：①等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. 知识点二、分式方程的解法 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程. 解分式方程的一般步骤： 1）找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； 2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 3）解这个整式方程，求出整式方程的解； 4）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【注意事项】 1）去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项. 2）分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 3）分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根． 4）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 5）分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 知识点三、用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 【经典例题一 分式方程的定义】 【例1】（23-24八年级下·上海·期中）在下列方程组中，（　　）是分式方程． A．＝1 B． C． D． 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）在方程，，， 中，分式方程有（     ） A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列方程中,不是分式方程的是(　　) A．x-=1 B．=-2 C． D．x+ 3．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为，的方程称为“完美分式方程”． 例如为完美分式方程，可化为， ，． 再如为分式方程，可化为， ，． 应用上面的结论解答问题：已知完美分式方程的两个解分别为，；若，．则的值为 ． 【经典例题二 解分式方程】 【例2】（24-25八年级下·重庆·期中）解分式方程： (1) (2) 4．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）解方程：． 5．（2025八年级下·全国·专题练习）解方程： (1)； (2) 6．（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)． 【经典例题三 根据分式方程解的情况求值】 【例3】（24-25八年级上·云南临沧·期末）若关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 7．（24-25八年级下·四川泸州·开学考试）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 8．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）若关于x的分式方程有整数解，则整数m的值为 ． 9．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）已知关于的分式方程． (1)若方程的解为，求的值． (2)若方程的解为非负数，求的取值范围． 【经典例题四 分式方程的增根问题】 【例4】（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）若关于x的方程产生增根，则m的值是（   ） A． B． C．2 D．0 10．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（    ）． A．2 B．1 C．3 D． 11．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 12．（23-24八年级上·江西宜春·阶段练习）（1）已知关于x的分式方程． ①当时，求方程的解． ②若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求a的值． （2）关于x的方程有整数解，求此时整数m的值． 【经典例题五 分式方程的无解问题】 【例5】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）若关于的方程无解，则的值为（   ） A．3 B．1 C．0 D．1 13．（23-24八年级下·重庆长寿·期中）已知关于x的分式方程无解，关于y的不等式组的整数解之和恰好为10，则满足条件的所有m的和为（   ） A．1 B．2.5 C．3 D．4.5 14．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）关于的分式方程． （1）若这个方程的解为，则的值为 ； （2）若这个方程无解，则的值为 ． 15．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于的方程无解，求的值． 【经典例题六 列分式方程】 【例6】（24-25八年级下·重庆·期中）某公司研发的两个模块和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时，若两模块合作处理，仅需1.2小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 16．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）为美化校园，某校安排甲、乙两人种植花苗，已知甲种植40棵花苗所用时间是乙种植15棵花苗所用时间的2倍，…，求甲、乙两人每小时各种植多少棵花苗？设甲每小时种植棵花苗，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应为 ． ． 17．（23-24七年级下·浙江衢州·期末）根据近期国际市场油价变化情况，国家为确保市场稳定供应采取相关联动及补贴政策，今年6月份每升汽油的价格是去年6月份每升汽油的价格的倍，小方用300元给汽车加的油量比去年6月份多了8升，设去年6月份每升汽油的价格为x元，则可列出方程为 ． 18．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．冬季，裕华区组织我校学生赴正定城市馆参加研学活动．为了让学生切身体会城市之美来之不易，特设了种草实践活动．活动中1、2两班需各种植的草地，已知2班每小时比1班多制作的草地，1班完成任务所需要的时间是2班完成任务所需时间的倍，求1、2两班每小时各种植多少的草地？ (1)根据题意，小聪和小慧分别列出如下方程，请将画横线的部分补充完整． 小聪：设1班每小时种植的草地，所列方程为：_____； 小薏：设_____，所列方程为：_____； (2)任选其中一种方法求出1、2两班每小时各种植多少的草地： (3)制作活动开始1小时20分钟后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回．由于1班无法在规定时间完成，2班决定在完成本班任务后，立即帮助1班共同完成剩余任务．如果两班速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？请说明理由． 【经典例题七 分式方程的行程问题】 【例7】（2025九年级下·云南楚雄·学业考试）本着低碳出行与强身健体的理念，赵老师决定改骑共享单车上下班．通过一段时间的体验，赵老师发现每天上班所用时间只比自驾车多0.3小时．已知赵老师家距学校12千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是骑共享单车速度的2倍，求赵老师骑共享单车每小时行驶多少千米． 19．（24-25八年级下·全国·课后作业）两地相距，一辆公共汽车和一辆小汽车同时从地出发驶往地，小汽车的平均速度是公共汽车的倍，小汽车比公共汽车早到达地．求两车的平均速度． 20．（24-25九年级上·山西大同·期末）太原市已建成的汾河健身智慧步道，从长风桥到胜利桥共米，步道上铺有保护膝盖的松软塑胶，吸引了广大市民前来健身．周日，小明和小亮相约去该步道健身，如图，他们同时从距离长风桥端（记为点A）米处的步道上点C处出发向胜利桥端（记为点B）行走，已知小明的步行速度是小亮步行速度的倍，且小明比小亮早分钟到达步道上距点A处米的出口点E处． (1)求小明和小亮的速度分别是多少． (2)小明到达点E后因有其他事情没有继续前行，直至小亮到达点E处．若在接下来的行走中，他们均从点E出发，各自的步行速度保持不变，求小亮至少需要先出发几分钟，才能使他不晚于小明到达点B． 21．（24-25八年级上·山东临沂·期末）已知甲、乙两港口之间的距离为200千米，水流速度为5千米/时． (1)若一艘轮船从甲港口顺流航行到乙港口所用的时间是从乙港口逆流航行到甲港口所用时间的，求该轮船在静水中的航行速度； (2)若某艘轮船在静水中的航行速度为千米/时，记该轮船从甲港口顺流航行到乙港口，再从乙港口逆流航行返回到甲港口所用的时间为；若该船从甲港口航行到乙港口再返回到甲港口均为静水航行，所用时间为，请比较与的大小，并说明理由． 【经典例题八 分式方程的工程问题】 【例8】（24-25八年级下·上海杨浦·期中）某公司生产的新产品需要精加工后才能投放市场，为此王师傅承担了加工300个新产品的任务．在加工了60个新产品后，王师傅接到通知，要求加快新产品加工的进程，王师傅在保证加工零件质量的前提下，平均每天加工新产品的个数比原来多10个，比原计划提前2天完成了任务．问接到通知后，王师傅平均每天加工多少个新产品？ 22．（2025·江苏扬州·一模）辛弃疾的词中有“稻花香里说丰年，听取蛙声一片”．“周巷大米”清淡略甜，绵软且粘，芳香爽口，是主食佳品．某收割队承接了72公顷“周巷大米”的收割任务，为了让“周巷大米”早日上市，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务，问原计划需要多少天完成？ 23．（24-25九年级上·山西大同·期末）金秋十月，我省某农业合作社种植的玉米喜获丰收，该合作社租用了若干台四行玉米收割机和五行玉米收割机收割玉米．已知每台四行玉米收割机比每台五行玉米收割机每小时少收割4亩玉米；单独使用一台收割机收割完80亩玉米，四行玉米收割机所用时间是五行玉米收割机所用时间的倍． (1)求每台四行、五行玉米收割机每小时分别收割多少亩玉米． (2)该合作社计划租用这两种玉米收割机共10台，若这两种玉米收割机每天均工作8小时，且一天至少要收割608亩玉米，则至少应租用多少台五行玉米收割机？ 24．（2025·山西长治·模拟预测）迎泽大街作为太原的城市主干道，它见证了太原的历史变迁和发展变化，承载着几代人的岁月记忆．某段维护工程由甲、乙两个工程队来完成，已知甲工程队每天维护的长度是乙工程队的1.2倍，甲工程队维护720米所用的天数比乙工程队维护300米所用的天数多2天． (1)甲、乙两个工程队每天各维护多少米？ (2)有一段长度为2530米的维护工程，因施工需要，该路段同一时间只能允许一个工程队进行维护．为了不影响市民生活，要求15天内必须完工，求至少需要安排甲工程队维护多少天． 【经典例题九 分式方程的经济问题】 【例9】（24-25八年级下·重庆·期中）某水果店购进了一批奇异果和芒果，两种水果总重量为千克，奇异果的进价是芒果进价的倍，奇异果的进货费用为元，芒果的进货费用为元． (1)求奇异果和芒果的进价分别是多少元每千克； (2)该水果店将这批奇异果全部按元每千克的价格售出．由于芒果不易保存，水果店将这批芒果的按元每千克的价格售出后，剩余的芒果降价销售，并全部售出．如果这批奇异果和芒果的总利润不低于元，则芒果最多降价多少元？ 25．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）列分式方程解应用题： 某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚恤衫，甲种款型共用了元，乙种款型共用了元，甲种款型的件数是乙种款型件数的倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少元． (1)甲、乙两种款型的恤衫各购进多少件？ (2)商店对甲乙两款恤衫进价提高标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批恤衫商店共获利多少元？ 26．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩，已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等． (1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少万元？ (2)该停车场计划购买A，B型充电桩共25个，购买总费用不超过26万元，且购买B型充电桩的数量不少于A型充电桩数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？最少费用是多少万元？ 27．（24-25八年级下·重庆·期中）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，哪吒卡片风靡小学校园，小洋打算购进一些卡片在小学门口摆摊．小洋调查发现：每盒款哪吒卡片的进货单价比款哪吒卡片少5元，花500元购进款哪吒卡片的数量与花750元购进款哪吒卡片的数量相同． (1)，两款的进货单价分别是每盒多少元？ (2)小洋计划一共购买100盒哪吒卡片，款哪吒卡片的盒数不得超过款哪吒卡片的盒数，购买资金不超过1260元，请通过计算说明共有几种购买方案？ 【经典例题十 分式方程的和差倍分问题】 【例10】（2025·山西运城·二模）口袋公园是城市微更新的一项重要举措，近年太原市充分利用城市的边角地、闲置地“见缝插绿”，让口袋公园成为附近居民休闲的好去处．2024年太原全市范围内（含古交）以新建“街角型和社区型”两种口袋公园为主，其中建设的街角型口袋公园的数量比社区型的数量多13个，一个街角型口袋公园的平均占地面积是一个社区型口袋公园的．已知2024年建设的街角型和社区型口袋公园占地总面积分别是12公顷和公顷，分别求建设一个街角型和一个社区型口袋公园的平均占地面积． 28．（2025·云南·三模）【问题背景】博物馆是一座城市重要的公共文化窗口，小昆同学所在的学习小组计划周末到云南省博物馆参观学习． 【素材呈现】 一：学习小组原计划花360元请讲解人员进行解说，后来临时增加3名同学，总讲解费增加了60元，但人均费用变为原计划的； 二：参观结束后，同学们到文创店购买纪念品，小昆同学计划购买“鎏金镶珠金翅鸟冰箱贴”和“聂耳小提琴胸针”（如图）共15枚送朋友，已知每枚“鎏金镶珠金翅鸟冰箱贴”和“聂耳小提琴胸针”的单价分别为16元和20元，且小昆购买“聂耳小提琴胸针”的数量不少于“鎏金镶珠金翅鸟冰箱贴”数量的． 【问题解决】 (1)求该学习小组的实际参观人数； (2)求出小昆同学购买总费用最少时的购买方案． 29．（2025·山东济南·一模）新能源汽车有着动力强、油耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车店决定采购新能源甲型和乙型两款汽车，已知每辆甲型汽车的进价是每辆乙型汽车进价的1.2倍，若用2400万元购进甲型汽车的数量比用1800万元购进乙型汽车的数量多20辆． (1)求每辆甲型汽车和乙型汽车的进价分别为多少万元？ (2)该汽车4S店决定购进甲型汽车和乙型汽车共100辆，要求购进的甲型汽车不少于乙型汽车的1.5倍，问购进乙型汽车多少辆时，可使投资总额最少？最少投资总额是多少万元？ 30．（2025·山东青岛·模拟预测）“雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”，如图，樱桃富含维生素C，崂山北宅素有“中国樱桃之乡”的美誉．在2023年樱桃节某水果商城为了了解两种樱桃市场销售情况，购进了一批数量相等的“樱珠”和“樱桃”供客户对比品尝，其中购买“樱桃”用了630元，购买“樱珠”用了1134元，已知每千克“樱珠”进价比每千克“樱桃”贵8元． (1)求每千克“樱珠”和“樱桃”进价各是多少元？ (2)若该水果商城决定再次购买同种“樱珠”和“樱桃”共60千克，且再次购买的费用不超过1000元，且每种樱桃进价保持不变．若“樱珠”的销售单价为30元，“樱桃”的销售单价为18元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大？最大利润是多少？ 【经典例题十一 分式方程的新定义问题】 【例11】（24-25七年级上·上海·期末）定义：如果两个代数式的和与这两个代数式的积相等，那么称这两个代数式互为“关联式”． (1)判断与是否互为“关联式”，并说明理由； (2)求与互为“关联式”的代数式； (3)填空：已知一个整式与一个最简分式互为“关联式”，请写出一组符合该条件的代数式可以是_____与______．（只要写一组即可） 31．（24-25八年级上·河北承德·阶段练习）定义：如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数称为“和整数值”．例如，，，，则M与N互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”k；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整数值”． ①求P所代表的代数式； ②若分式D的值为正整数，求正整数x的值． 32．（24-25八年级上·福建福州·期末）我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”； (2)已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是1，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值； (3)已知分式，（a，b为整数），M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，求的值． 33．（24-25八年级上·北京·阶段练习）新定义：如果两个实数使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于x的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“”若不是，打“”．①（ ）；②（ ）． (2)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程有整数解，求整数的值． 【经典例题十二 分式方程的综合】 【例12】（24-25八年级下·四川宜宾·阶段练习）类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法． 请用类比的方法，解决以下问题： (1)①已知，…，则依据此规律 ； ②请你利用十字相乘法进行因式分解： ； (2)若、满足．求的值； (3)受此启发，解方程． 34．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）观察下列算式： 、、 (1)由此可推断：_______； (2)请用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的一般规律_______； (3)仿照以上方法可推断：_______； (4)仿照以上方法解方程：． 35．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题： (1)（，为常数），则 ， ； (2)一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，请说明这的水是否能倒完？如果能，多少次才能倒完？如果不能，请说明理由； (3)按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的？试说明理由． 36．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”． ①（   ）；②（   ）； ③（   ）； ④（   ）； (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 46．（2025·湖北省直辖县级单位·模拟预测）分式方程的解为（   ） A． B． C．或 D．无解 47．（2025·四川泸州·一模）若关于的方程的解为负数，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 48．（24-25八年级上·福建福州·期末）已知关于x的方程的两根分别为m，，则关于x的方程的根是（ ） A． B． C． D． 49．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）某工程队要铺建一条长2000米的管道，采用新的施工方式，工作效率提高了，结果比原计划提前两天完成了任务，设这个工程队原计划每天要铺建x米管道，则根据题意所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 50．（24-25八年级上·河南安阳·期末）观察规律：，，……若（n为正整数），则n的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 51．（24-25八年级下·上海·期中）当 时，方程会产生增根． 52．（24-25八年级下·河南周口·期中）关于的方程的解是负数，则的取值范围是 ． 53．（24-25八年级下·重庆·期中）若关于的不等式组有且只有2个奇数解，关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的值的和是 ． 54．（24-25八年级下·全国·课后作业）一台甲型号拖拉机4天耕完一块耕地的一半，增加一台乙型号拖拉机，两台拖拉机合耕1天耕完这块耕地的另一半． ①设乙型号拖拉机单独耕完这块地需要x天，那么它一天的耕地量是这块地的 ； ②甲型号拖拉机一天的耕地量是这块地的 ； ③分析问题中的相等关系，根据题意，可列方程 ． 55．（24-25八年级下·全国·单元测试）填空： （1）当x 时，分式的值有意义，当 时，该分式的值为0； （2）不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数： ； （3）解方程时，设，则原方程可化为 ； （4）已知关于x的方程有增根，则 ． 56．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）解方程 (1) (2) 57．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）学习“分式方程的应用”时，老师板书的问题如下： 有甲、乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等．乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度 经讨论，冰冰所列方程为：，庆庆所列方程为：．老师检查他们所设的未知数后，告诉他们所列的方程是对的． 根据以上信息，解答下列问题： (1)冰冰同学所列方程中的x表示______，庆庆同学所列方程中的y表示______； (2)两个方程中任选一个，并写出它的等量关系： (3)解（2）中你所选择的方程，并解答老师的问题． 58．（2025·宁夏固原·二模）解分式方程：． 下面是解题过程，请认真阅读并完成任务． 解： ………………………第一步 …………………………第二步 ……………………第三步 解得：……………………第四步 任务一：填空 （1）第______步是去分母，去分母的依据是______． （2）第______步出现错误，错误的原因是______． 任务二：填空 （3）直接写出该分式方程的正确结果______． （4）解完分式方程，最后还少了一步，请补充完整． 59．（24-25八年级下·重庆·期中）每年的4月23日为“世界读书日”，育才中学为了培养学生的阅读兴趣，计划开展以“春来复‘书’，万物生长”为主题的读书月活动．校读书社计划购买A、B两类图书，据了解，其中A类图书的单价比B类图书的单价少10元，用360元单独购买B类图书的数量是用360元单独购买A类图书数量的． (1)求A类图书和B类图书的单价分别是多少? (2)在这次活动中，校读书社准备统一采购这两类图书共120本，且购买的A类图书的数量，不超过B类图书数量的，由于采购量比较大，书店打折优惠，其中A类图书打9折出售，B类图书单价降价6元出售，求购买A类图书多少本时，总费用最低，并求出最低费用． 60．（24-25八年级下·四川内江·期中）某电脑公司经销甲种型号电脑，受市场影响，电脑价格不断下降，今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为元，今年销售额只有元． (1)今年三月份甲种电脑每台售价多少元？ (2)为了提高收入，电脑公司决定增加经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为元，乙种电脑每台进价为元，公司预计用不多于元且不少于元的资金购进这两种电脑共台，问有几种进货方案？ (3)如果乙种电脑每台售价为元，为扩大乙种电脑的销量，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？此时哪种方案对公司更有利？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 分式方程重难点题型专训（12大题型+15道提优训练） 题型一 分式方程的定义 题型二 解分式方程 题型三 根据分式方程解的情况求值 题型四 分式方程的增根问题 题型五 分式方程的无解问题 题型六 列分式方程 题型七 分式方程的行程问题 题型八 分式方程的工程问题 题型九 分式方程的经济问题 题型十 分式方程的和差倍分问题 题型十一 分式方程的新定义问题 题型十二 分式方程的综合 知识点一、分式方程 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 分式方程的重要特征：①等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. 知识点二、分式方程的解法 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程. 解分式方程的一般步骤： 1）找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； 2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 3）解这个整式方程，求出整式方程的解； 4）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【注意事项】 1）去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项. 2）分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 3）分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根． 4）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 5）分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 知识点三、用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 【经典例题一 分式方程的定义】 【例1】（23-24八年级下·上海·期中）在下列方程组中，（　　）是分式方程． A．＝1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式方程定义进行解答即可． 【详解】A、是分式方程，故此选项符合题意； B、不是分式方程，是整式方程，故此选项不符合题意； C、不是分式方程，故此选项不符合题意； D、不是分式方程，是整式方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了分式方程，关键是掌握分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）在方程，，， 中，分式方程有（     ） A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据分式方程的定义，可得答案． 【详解】=2, =1是分式方程， 故答案选：B. 【点睛】本题考查的知识点是分式方程的定义，解题的关键是熟练的掌握分式方程的定义. . 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列方程中,不是分式方程的是(　　) A．x-=1 B．=-2 C． D．x+ 【答案】B 【分析】判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 【详解】解：A．该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误； B．该方程属于无理方程，故本选项正确； C．该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误； D．该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 3．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为，的方程称为“完美分式方程”． 例如为完美分式方程，可化为， ，． 再如为分式方程，可化为， ，． 应用上面的结论解答问题：已知完美分式方程的两个解分别为，；若，．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分式化简求值等知识点，读懂题意，理解“完美分式方程”的定义是解题的关键． 由“完美分式方程”的定义可得，，将变形为，然后将，代入求值即可． 【详解】解：由“完美分式方程”的定义可得： ，， ， 故答案为：． 【经典例题二 解分式方程】 【例2】（24-25八年级下·重庆·期中）解分式方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）把分式方程转化为方程，然后求解，最后进行检验即可； （2）把分式方程转化为方程，然后求解，最后进行检验即可； 【详解】（1）解： ∴， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为：； （2）解：， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为：． 4．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤计算即可得解，熟练掌握解题步骤是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 去分母得：， ∴， 解得：， 检验，当时，， ∴原方程的解为． 5．（2025八年级下·全国·专题练习）解方程： (1)； (2) 【答案】(1)； (2)方程无解 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解答本题的关键． （1）去分母化为整式方程并解整式方程，经检验即可得到答案； （2）去分母化为整式方程并解整式方程，经检验即可得到答案． 【详解】（1）解： 去分母得到， 解得 经检验，是分式方程的解； （2） 去分母得到， 解得， 当时，， ∴是增根，分式方程无解． 6．（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)． 【分析】本题考查了解分式方程，熟知解分式方程的步骤是解题的关键，要注意解分式方程必须检验． （1）先把分式方程化成整式方程，再求解，最后检验即可； （2）先把分式方程化成整式方程，再求解，最后检验即可． 【详解】（1）解：方程两边同时乘得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 经检验，是原方程的根， 是原方程的解． （2）解：方程两边同时乘得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 经检验，是原方程的根， 是原方程的解． 【经典例题三 根据分式方程解的情况求值】 【例3】（24-25八年级上·云南临沧·期末）若关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的解法，解分式方程，再根据题意列不等式即可求出答案．解题的关键是熟练运用分式方程的解法． 【详解】解：， ， ， ， ， 关于x的分式方程的解为正数， ，解得， 当时，，此时分式方程无解， 故， a的取值范围是且， 故选：C． 7．（24-25八年级下·四川泸州·开学考试）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查的是分式方程的解法和一元一次不等式的解法，理解分式方程的增根的判断方法是解题的关键． 解出分式方程，根据解是非负数求出m的取值范围，再根据是分式方程的增根，求出此时m的值，得到答案． 【详解】解：， 去分母得， ， 解得， 由题意得，， 解得，， 因为是分式方程的增根， 所有当时，方程无解，即， 所以m的取值范围是且． 故选C． 8．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）若关于x的分式方程有整数解，则整数m的值为 ． 【答案】3，4，0 【分析】本题考查了解分式方程；先求出分式方程的解，再根据解为整数即可求得整数m的值． 【详解】解：方程两边乘以，得：， 整理得：； 由于方程有解，则，即， ∴； 由于方程有整数解，则， 解得：或或或， 当时，，此时方程无解； 综上，整数m的值为3，4，0． 9．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）已知关于的分式方程． (1)若方程的解为，求的值． (2)若方程的解为非负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题主要考查解分式方程和一元一次不等式，解题的关键是注意分式方程隐含的分母不为零． （1）把方程的解代入方程求解即可； （2）根据分式方程的求解方法，注意分母不为零，且解为非负数的条件． 【详解】（1）解：当时，， 解得． （2）解：， 去分母得， 解得， 分式方程有解且解为非负数，且， 且， 解得且． 【经典例题四 分式方程的增根问题】 【例4】（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）若关于x的方程产生增根，则m的值是（   ） A． B． C．2 D．0 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的增根，分式方程的增根是使分母为0的未知数的值，根据方程有增根得到，将代入化简后的整式方程中即可求出答案． 【详解】解：将方程去分母得, ∵方程产生增根， ∴， 将代入，得， 故选：B． 10．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（    ）． A．2 B．1 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的增根问题，将分式方程化为整式方程，根据方程有增根，求出的值，代入整式方程中，求出的值即可． 【详解】解：方程去分母，得：， ∵方程有增根， ∴， ∴， 把代入，得：， ∴； 故选D． 11．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程的增根，原方程整理得，再由增根得到，得到或，分两种情况分别求解即可． 【详解】解：两边都乘以得，， 整理得，， 由分式有增根，则， ∴或， 把代入得，，解得； 把代入得，，解得； 故答案为：或． 12．（23-24八年级上·江西宜春·阶段练习）（1）已知关于x的分式方程． ①当时，求方程的解． ②若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求a的值． （2）关于x的方程有整数解，求此时整数m的值． 【答案】（1）①；②a的值为3；（2）m的值为3或0或4 【分析】（1）①把代入分式方程后解方程并检验即可；②解分式方程得到，求出增根，则，即可求得a的值； （2）解方程得到，根据分式方程有整数解得到或且，进一步求解即可得到整数m的值． 【详解】解：（1）①当时，分式方程为：， 去分母得到， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的根； ②， 去分母得到， 解得：， 由题意得：， 解得：， ∴， 解得：， ∴a的值为3； （2）， 去分母得到， 解得， ∵方程有整数解， ∴或且， 解得：或3或0或4且， ∴或0或4， ∴此时整数m的值为3或0或4． 【点睛】此题考查了分式方程的解法、增根问题、整数解问题等知识，熟练掌握分式方程的解法和增根问题是解题的关键． 【经典例题五 分式方程的无解问题】 【例5】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）若关于的方程无解，则的值为（   ） A．3 B．1 C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程无解的条件，掌握分式方程无解的条件是使分式方程无意义的未知数的值成为解题的关键． 先通过去分母后将分式方程化成整式方程，由分式方程无解，则增根为，然后把代入关于k的方程求解即可． 【详解】解：∵关于的方程无解， ∴该分式方程的增根为， 方程去分母得：， 把代入可得：，解得：． 故选A． 13．（23-24八年级下·重庆长寿·期中）已知关于x的分式方程无解，关于y的不等式组的整数解之和恰好为10，则满足条件的所有m的和为（   ） A．1 B．2.5 C．3 D．4.5 【答案】B 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程无解确定出的值，不等式组整理后表示出解集，由整数解之和恰好为10确定出的范围，进而求出符合条件的所有的和即可．此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：分式方程去分母得：， 移项合并得：， 当，即时，方程无解； 当，即时，解得：， 由分式方程无解，得到或， 解得：或， 不等式组整理得：，即， 由整数解之和恰好为10，得到整数解为0，1，2，3，4， 可得，即， 则符合题意的值为1和，之和为． 故选：B． 14．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）关于的分式方程． （1）若这个方程的解为，则的值为 ； （2）若这个方程无解，则的值为 ． 【答案】 5 3或7 【分析】（1）先把原分式方程化简为整式方程，整理得，把代入原方程，即可作答． （2）无解分分式方程有增根和去分母后的整式方程无解两种情况，进行列式代入数值，进行计算即可． 本题考查了解分式方程以及分式方程无解问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， 解得． 故答案为：5； （2），且该方程无解， 或者原分式方程的分母为0，即， ， 把代入，得， ， 综上：或，方程无解． 故答案为：3或7． 15．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于的方程无解，求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式方程的解，正确掌握解分式方程的方法是解题关键． 首先解分式方程，进而表示出的值，再利用分式方程无解，即最简公分母为0，求出即可． 【详解】解：， 去分母得：， 整理得：， 即， 关于的方程无解， ， 解得：． 【经典例题六 列分式方程】 【例6】（24-25八年级下·重庆·期中）某公司研发的两个模块和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时，若两模块合作处理，仅需1.2小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设单独处理需要x小时，则单独处理数据的时间小时，根据两队合作1.2小时完成，可得出方程． 【详解】解：依题意得， 故选：C． 16．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）为美化校园，某校安排甲、乙两人种植花苗，已知甲种植40棵花苗所用时间是乙种植15棵花苗所用时间的2倍，…，求甲、乙两人每小时各种植多少棵花苗？设甲每小时种植棵花苗，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应为 ． ． 【答案】 两人每小时共种植7颗花苗 4 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据方程知，乙每小时种植颗花苗，则两人每小时种植花苗的和为7，因此可补上缺失的条件． 【详解】解：乙每小时种植颗花苗，则和为， 故应该加上：两人每小时共种植7颗花苗； 解分式方程：， 解得，， 线检验，是原方程的解， 故答案为：两人每小时共种植7颗花苗；4． 17．（23-24七年级下·浙江衢州·期末）根据近期国际市场油价变化情况，国家为确保市场稳定供应采取相关联动及补贴政策，今年6月份每升汽油的价格是去年6月份每升汽油的价格的倍，小方用300元给汽车加的油量比去年6月份多了8升，设去年6月份每升汽油的价格为x元，则可列出方程为 ． 【答案】 【分析】设去年6月份每升汽油的价格为x元，则今年6月份每升汽油的价格为元，根据“300元给汽车加的油量比去年6月份多了8升”列出方程即可． 【详解】解：设去年6月份每升汽油的价格为x元，则今年6月份每升汽油的价格为元， 根据题意可列方程为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，正确列出方程． 18．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．冬季，裕华区组织我校学生赴正定城市馆参加研学活动．为了让学生切身体会城市之美来之不易，特设了种草实践活动．活动中1、2两班需各种植的草地，已知2班每小时比1班多制作的草地，1班完成任务所需要的时间是2班完成任务所需时间的倍，求1、2两班每小时各种植多少的草地？ (1)根据题意，小聪和小慧分别列出如下方程，请将画横线的部分补充完整． 小聪：设1班每小时种植的草地，所列方程为：_____； 小薏：设_____，所列方程为：_____； (2)任选其中一种方法求出1、2两班每小时各种植多少的草地： (3)制作活动开始1小时20分钟后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回．由于1班无法在规定时间完成，2班决定在完成本班任务后，立即帮助1班共同完成剩余任务．如果两班速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？请说明理由． 【答案】(1)；2班所用时间为y小时；6 (2)1班每小时种植的草地，2班每小时种植的草地 (3)两班速度保持不变，他们不能在乘车前完成任务；理由见解析 【分析】本题主要考查分式方程的应用，根据等量关系，列出方程是解题的关键． （1）根据所列方程运用的等量关系进行作答即可； （2）解分式方程即可； （3）求出剩余需要制作的方格数量，再求出两队合作一小时所作的方格数，即可得出结果． 【详解】（1）解：小聪：设1班每小时种植的草地，2班每小时种植的草地，所列方程为：； 小薏：设2班所用时间为y小时，则1班所用时间为，所列方程为：； （2）小聪：解：设1班每小时种植的草地，2班每小时种植的草地，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴， 答：1班每小时种植的草地，2班每小时种植的草地； 小薏：解：设2班所用时间为y小时，则1班所用时间为，根据题意得： ， 解得：； 经检验是原方程的解， ∴，； 答：1班每小时种植的草地，2班每小时种植的草地； （3）解：不能；1小时20分钟小时 1班已完成：； 2班已完成：； 还剩余：； 两队合作1小时可完成：， ∵， ∴两班速度保持不变，他们不能在乘车前完成任务． 【经典例题七 分式方程的行程问题】 【例7】（2025九年级下·云南楚雄·学业考试）本着低碳出行与强身健体的理念，赵老师决定改骑共享单车上下班．通过一段时间的体验，赵老师发现每天上班所用时间只比自驾车多0.3小时．已知赵老师家距学校12千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是骑共享单车速度的2倍，求赵老师骑共享单车每小时行驶多少千米． 【答案】赵老师骑共享单车每小时行驶20千米 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数列出方程．首先设赵老师骑共享单车每小时行驶千米，则自驾车每小时行驶千米，由赵老师发现每天上班所用时间只比自驾车多0.3小时，列出方程，再解即可． 【详解】解：设赵老师骑共享单车每小时行驶千米，则自驾车每小时行驶千米，根据题意得 ， 由， 得， 即， 经检验是所列方程的解，且符合题目要求，此时． 答：赵老师骑共享单车每小时行驶20千米． 19．（24-25八年级下·全国·课后作业）两地相距，一辆公共汽车和一辆小汽车同时从地出发驶往地，小汽车的平均速度是公共汽车的倍，小汽车比公共汽车早到达地．求两车的平均速度． 【答案】公共汽车的平均速度是，小汽车的平均速度是 【分析】本题考查了分式方程的应用，设公共汽车的平均速度为，则小汽车的平均速度为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设公共汽车的平均速度为，则小汽车的平均速度为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意， ∴， 答：公共汽车的平均速度是，小汽车的平均速度是． 20．（24-25九年级上·山西大同·期末）太原市已建成的汾河健身智慧步道，从长风桥到胜利桥共米，步道上铺有保护膝盖的松软塑胶，吸引了广大市民前来健身．周日，小明和小亮相约去该步道健身，如图，他们同时从距离长风桥端（记为点A）米处的步道上点C处出发向胜利桥端（记为点B）行走，已知小明的步行速度是小亮步行速度的倍，且小明比小亮早分钟到达步道上距点A处米的出口点E处． (1)求小明和小亮的速度分别是多少． (2)小明到达点E后因有其他事情没有继续前行，直至小亮到达点E处．若在接下来的行走中，他们均从点E出发，各自的步行速度保持不变，求小亮至少需要先出发几分钟，才能使他不晚于小明到达点B． 【答案】(1)小亮的速度为米分，小明的速度为米分 (2)小亮至少先出发分钟，才能使小亮不晚于小明到达点B 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．正确找出等量关系和建立不等式是解题的关键． （1）根据小明比小亮早到分钟列出分式方程求解即可； （2）根据两人各自的速度和到的距离，分别算出小明、小亮从点到的时间， 设小亮先出发y分钟，因为需要小亮先出发y分钟，才能使他不晚于小明到达点B，算出小明从到的时间要大于等于小亮从到的时间，即，求解即可． 【详解】（1）解：小亮的速度为x米/分，则小明的速度为米/分， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 则． 答：小亮的速度为米分，小明的速度为米分． （2）解：到的距离为（米）， 小明从点到的时间为：（分钟）， 小亮从点到的时间为：（分钟）， 设小亮需要先出发y分钟，才能使他不晚于小明到达点B． 则有，解得． 故小亮至少先出发分钟，才能使小亮不晚于小明到达点B． 21．（24-25八年级上·山东临沂·期末）已知甲、乙两港口之间的距离为200千米，水流速度为5千米/时． (1)若一艘轮船从甲港口顺流航行到乙港口所用的时间是从乙港口逆流航行到甲港口所用时间的，求该轮船在静水中的航行速度； (2)若某艘轮船在静水中的航行速度为千米/时，记该轮船从甲港口顺流航行到乙港口，再从乙港口逆流航行返回到甲港口所用的时间为；若该船从甲港口航行到乙港口再返回到甲港口均为静水航行，所用时间为，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)该轮船在静水中的航行速度为35 千米/时 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，分式混合运算的应用．解决本题的关键是表示轮船顺水和逆水中的速度． （1）设轮船在静水中的航行速度为千米/时，则顺流速度为千米/时，逆流速度为千米/时，列分式方程即可求解； （2）设轮船在静水中的速度为千米/时，由题意知，比较的大小即可． 【详解】（1）解：设轮船在静水中的航行速度为千米/时，则顺流速度为千米/时，逆流速度为千米/时， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 答：该轮船在静水中的航行速度为35 千米/时； （2）解：，理由如下： 设轮船在静水中的航行速度为千米/时， 根据题意得：， ， ， 即． 【经典例题八 分式方程的工程问题】 【例8】（24-25八年级下·上海杨浦·期中）某公司生产的新产品需要精加工后才能投放市场，为此王师傅承担了加工300个新产品的任务．在加工了60个新产品后，王师傅接到通知，要求加快新产品加工的进程，王师傅在保证加工零件质量的前提下，平均每天加工新产品的个数比原来多10个，比原计划提前2天完成了任务．问接到通知后，王师傅平均每天加工多少个新产品？ 【答案】接到通知后，王师傅平均每天加工40个新产品． 【分析】此题考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 设接到通知后，王师傅平均每天加工x个新产品，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设接到通知后，王师傅平均每天加工x个新产品． 根据题意，得． 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 经检验：是原方程的解， 答：接到通知后，王师傅平均每天加工40个新产品． 22．（2025·江苏扬州·一模）辛弃疾的词中有“稻花香里说丰年，听取蛙声一片”．“周巷大米”清淡略甜，绵软且粘，芳香爽口，是主食佳品．某收割队承接了72公顷“周巷大米”的收割任务，为了让“周巷大米”早日上市，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务，问原计划需要多少天完成？ 【答案】12天 【分析】本题考查了列分式方程解实际问题的应用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤．设原计划每天收割的面积为公顷，则实际每天收割的面积为公顷，根据结果提前2天完成任务列方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天收割的面积为公顷，则实际每天收割的面积为公顷． 解得， 经检验，是原方程的解． 那么原计划需要（天） 答：原计划需要12天完成． 23．（24-25九年级上·山西大同·期末）金秋十月，我省某农业合作社种植的玉米喜获丰收，该合作社租用了若干台四行玉米收割机和五行玉米收割机收割玉米．已知每台四行玉米收割机比每台五行玉米收割机每小时少收割4亩玉米；单独使用一台收割机收割完80亩玉米，四行玉米收割机所用时间是五行玉米收割机所用时间的倍． (1)求每台四行、五行玉米收割机每小时分别收割多少亩玉米． (2)该合作社计划租用这两种玉米收割机共10台，若这两种玉米收割机每天均工作8小时，且一天至少要收割608亩玉米，则至少应租用多少台五行玉米收割机？ 【答案】(1)每台四行玉米收割机每小时收割6亩玉米，每台五行玉米收割机每小时收割10亩玉米 (2)至少应租用4台五行玉米收割机 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，根据题意正确得出等量关系是解题关键． （1）设每台四行玉米收割机每小时收割x亩玉米，则每台五行玉米收割机每小时收割亩玉米，根据题意根据题意得方程，解方程即可得到结论； （2）设租用m台五行玉米收割机一天至少要收割608亩玉米，根据题意得不等式，解不等式即可得到结论． 【详解】（1）解：设每台四行玉米收割机每小时收割亩玉米，则每台五行玉米收割机每小时收割亩玉米， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解且符合实际， ． 答：每台四行玉米收割机每小时收割6亩玉米，每台五行玉米收割机每小时收割10亩玉米． （2）解：设租用五行玉米收割机台，则租用四行玉米收割机台， 根据题意，得， 解得． 答：至少应租用4台五行玉米收割机 24．（2025·山西长治·模拟预测）迎泽大街作为太原的城市主干道，它见证了太原的历史变迁和发展变化，承载着几代人的岁月记忆．某段维护工程由甲、乙两个工程队来完成，已知甲工程队每天维护的长度是乙工程队的1.2倍，甲工程队维护720米所用的天数比乙工程队维护300米所用的天数多2天． (1)甲、乙两个工程队每天各维护多少米？ (2)有一段长度为2530米的维护工程，因施工需要，该路段同一时间只能允许一个工程队进行维护．为了不影响市民生活，要求15天内必须完工，求至少需要安排甲工程队维护多少天． 【答案】(1)乙工程队每天维护150米，则甲工程队每天维护180米； (2)至少需要安排甲工程队维护10天． 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用． （1）设乙工程队每天维护米，则甲工程队每天维护米，根据“甲工程队维护720米所用的天数比乙工程队维护300米所用的天数多2天”列出分式方程，据此求解即可； （2）设安排甲工程队维护天，则安排乙工程队维护天，根据题意列出不等，据此求解即可． 【详解】（1）解：设乙工程队每天维护米，则甲工程队每天维护米， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：乙工程队每天维护150米，则甲工程队每天维护180米； （2）解：设安排甲工程队维护天，则安排乙工程队维护天， 根据题意，得， 解得， ∵为整数， ∴的最小值为10， 答：至少需要安排甲工程队维护10天． 【经典例题九 分式方程的经济问题】 【例9】（24-25八年级下·重庆·期中）某水果店购进了一批奇异果和芒果，两种水果总重量为千克，奇异果的进价是芒果进价的倍，奇异果的进货费用为元，芒果的进货费用为元． (1)求奇异果和芒果的进价分别是多少元每千克； (2)该水果店将这批奇异果全部按元每千克的价格售出．由于芒果不易保存，水果店将这批芒果的按元每千克的价格售出后，剩余的芒果降价销售，并全部售出．如果这批奇异果和芒果的总利润不低于元，则芒果最多降价多少元？ 【答案】(1)芒果的进价是元每千克为元，则奇异果进价是元每千克； (2)芒果最多降价元． 【分析】此题考查一元一次不等式应用，分式方程的应用，解题的关键读懂题意列出方程和不等式． （）设芒果的进价是元每千克，则奇异果进价是元每千克，由题意列出方程，然后解方程并检验即可； （）设芒果降价元，由（）得奇异果数量为，芒果数量为，根据题意可得，然后解出不等式即可． 【详解】（1）解：设芒果的进价是元每千克为元，则奇异果进价是元每千克， 由题意得，， 解得，， 经检验是分式方程的解， ∴， 答：芒果的进价是元每千克为元，则奇异果进价是元每千克； （2）解：设芒果降价元， 由（）得：奇异果数量为， 芒果数量为， ∴， 解得：， 答：芒果最多降价元． 25．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）列分式方程解应用题： 某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚恤衫，甲种款型共用了元，乙种款型共用了元，甲种款型的件数是乙种款型件数的倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少元． (1)甲、乙两种款型的恤衫各购进多少件？ (2)商店对甲乙两款恤衫进价提高标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批恤衫商店共获利多少元？ 【答案】(1)甲种款型的恤衫购进件，乙种款型的恤衫各购进件 (2)售完这批恤衫商店共获利元 【分析】本题考查分式方程的应用及有理数混合运算，根据等量关系建立方程是关键，注意分式方程需要验根． （1）设乙种款型的恤衫购进件，则甲种款型的恤衫购进件，根据甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少元，列出方程即可求解； （2）先求出甲款型的利润，乙款型前面销售一半的利润，后面销售一半的亏损，再相加即可求解． 【详解】（1）解：设乙种款型的恤衫购进件，则甲种款型的恤衫购进件， ∵甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少元 ∴， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种款型的恤衫购进件，乙种款型的恤衫各购进件． （2）解：甲款型全部售完的利润为：（元）， 乙款型售完一半的利润为：（元）， 乙款型降价一半的利润为：（元） ∴售完这批恤衫商店共获利（元）． 答：售完这批恤衫商店共获利元． 26．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩，已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等． (1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少万元？ (2)该停车场计划购买A，B型充电桩共25个，购买总费用不超过26万元，且购买B型充电桩的数量不少于A型充电桩数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？最少费用是多少万元？ 【答案】(1)A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2万元 (2)停车场有3种购买方案，方案一：购买A型充电桩14个、B型充电桩11个；方案二：购买A型充电桩15个、B型充电桩10个；方案三：购买A型充电桩16个，B型充电桩9个；方案三所需购买总费用最少，最少费用为万元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，找准等量关系列出分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键． （1）根据“用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等”列分式方程求解； （2）根据“购买总费用不超过26万元，且购买B型充电桩的数量不少于A型充电桩数量的”列不等式组确定取值范围，从而分析计算求解． 【详解】（1）解：设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价为万元． 根据题意，得． 解得：． 经检验，是所列分式方程的解且符合题意． 则． 所以A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2万元． （2）解：设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩个． 根据题意，得， 解得． 为整数， ，15或16． 该停车场有3种购买方案． 方案一：购买A型充电桩14个、B型充电桩11个； 方案二：购买A型充电桩15个、B型充电桩10个； 方案三：购买A型充电桩16个，B型充电桩9个． 型充电桩的单价低于B型充电桩的单价， 方案三所需购买总费用最少，最少费用（万元）． 27．（24-25八年级下·重庆·期中）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，哪吒卡片风靡小学校园，小洋打算购进一些卡片在小学门口摆摊．小洋调查发现：每盒款哪吒卡片的进货单价比款哪吒卡片少5元，花500元购进款哪吒卡片的数量与花750元购进款哪吒卡片的数量相同． (1)，两款的进货单价分别是每盒多少元？ (2)小洋计划一共购买100盒哪吒卡片，款哪吒卡片的盒数不得超过款哪吒卡片的盒数，购买资金不超过1260元，请通过计算说明共有几种购买方案？ 【答案】(1)A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元； (2)共有3种购买方案． 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意是解答的关键． （1）设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购进B款盒，则购进A款盒，根据题意求得求解即可． 【详解】（1）解：设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元， 根据题意，可得， 解得， 经检验，是该方程的解， ∴， 答：A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元； （2）解：设购进B款盒，则购进A款盒， ∵款哪吒卡片的盒数不得超过款哪吒卡片的盒数， ， 解得：， 根据题意得：， 解得：， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 共有3种购买方案，即购进A款50盒，则购进B款50盒；购进A款49盒，则购进B款51盒；购进A款48盒，则购进B款52盒． 【经典例题十 分式方程的和差倍分问题】 【例10】（2025·山西运城·二模）口袋公园是城市微更新的一项重要举措，近年太原市充分利用城市的边角地、闲置地“见缝插绿”，让口袋公园成为附近居民休闲的好去处．2024年太原全市范围内（含古交）以新建“街角型和社区型”两种口袋公园为主，其中建设的街角型口袋公园的数量比社区型的数量多13个，一个街角型口袋公园的平均占地面积是一个社区型口袋公园的．已知2024年建设的街角型和社区型口袋公园占地总面积分别是12公顷和公顷，分别求建设一个街角型和一个社区型口袋公园的平均占地面积． 【答案】建设一个社区型口袋公园的平均占地面积为公顷，则建设街角型口袋公园的平均占地面积为公顷． 【分析】本题考查的是分式方程的应用，设建设一个社区型口袋公园的平均占地面积为公顷，则建设街角型口袋公园的平均占地面积为公顷，结合题意可得，再解方程即可． 【详解】解：设建设一个社区型口袋公园的平均占地面积为公顷，则建设街角型口袋公园的平均占地面积为公顷，则 ， 解得：， 经检验：是原方程的根，且符合题意； ∴， 答：建设一个社区型口袋公园的平均占地面积为公顷，则建设街角型口袋公园的平均占地面积为公顷． 28．（2025·云南·三模）【问题背景】博物馆是一座城市重要的公共文化窗口，小昆同学所在的学习小组计划周末到云南省博物馆参观学习． 【素材呈现】 一：学习小组原计划花360元请讲解人员进行解说，后来临时增加3名同学，总讲解费增加了60元，但人均费用变为原计划的； 二：参观结束后，同学们到文创店购买纪念品，小昆同学计划购买“鎏金镶珠金翅鸟冰箱贴”和“聂耳小提琴胸针”（如图）共15枚送朋友，已知每枚“鎏金镶珠金翅鸟冰箱贴”和“聂耳小提琴胸针”的单价分别为16元和20元，且小昆购买“聂耳小提琴胸针”的数量不少于“鎏金镶珠金翅鸟冰箱贴”数量的． 【问题解决】 (1)求该学习小组的实际参观人数； (2)求出小昆同学购买总费用最少时的购买方案． 【答案】(1)该学习小组的实际参观人数为15人 (2)购买6枚“聂耳小提琴胸针”和9枚“鎏金镶珠金翅鸟冰箱贴” 【分析】本题考查了分式方程、一次函数与一元一次不等式的实际应用，正确理解题意，根据数量关系列出方程式、函数式与不等式是解题的关键； （1）设该学习小组的实际参观人数为人，根据等量关系：人均费用变为原计划的，列出分式方程求解即可； （2）设小昆同学购买了枚“聂耳小提琴胸针”，则购买了枚“鎏金镶珠金翅鸟冰箱贴”，购买总费用为元；根据总费用列出关于a的一次函数式，再根据不等关系：购买“聂耳小提琴胸针”的数量不少于“鎏金镶珠金翅鸟冰箱贴”数量的，列出不等式，解不等式，求得a的取值范围，由一次函数的性质即可求解购买总费用最少时的方案． 【详解】（1）解：设该学习小组的实际参观人数为人， 根据题意，得： 解得 ， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意； 答：该学习小组的实际参观人数为15人； （2）解：设小昆同学购买了枚“聂耳小提琴胸针”，则购买了枚“鎏金镶珠金翅鸟冰箱贴”，购买总费用为元， 根据题意，得， ， ； ， 随的增大而增大， 当时，取最小值， 小昆同学购买总费用最少时的购买方案为：购买6枚“聂耳小提琴胸针”和9枚鎏金镶珠金翅鸟冰箱贴”． 29．（2025·山东济南·一模）新能源汽车有着动力强、油耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车店决定采购新能源甲型和乙型两款汽车，已知每辆甲型汽车的进价是每辆乙型汽车进价的1.2倍，若用2400万元购进甲型汽车的数量比用1800万元购进乙型汽车的数量多20辆． (1)求每辆甲型汽车和乙型汽车的进价分别为多少万元？ (2)该汽车4S店决定购进甲型汽车和乙型汽车共100辆，要求购进的甲型汽车不少于乙型汽车的1.5倍，问购进乙型汽车多少辆时，可使投资总额最少？最少投资总额是多少万元？ 【答案】(1)每辆甲型汽车和乙型汽车的进价分别为10万元和12万元 (2)购进乙型汽车40辆时，可使投资总额最少，为万元． 【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式和一次函数的实际应用： （1）设每辆乙型汽车的进价为万元，根据用2400万元购进甲型汽车的数量比用1800万元购进乙型汽车的数量多20辆，列出分式方程进行求解即可； （2）设购进乙型汽车辆时，可使投资总额最少，根据要求购进的甲型汽车不少于乙型汽车的1.5倍，列列出不等式求出的范围，设投资总额为万元，列出一次函数解析式，求出最小值即可． 【详解】（1）解：设每辆乙型汽车的进价为万元，由题意，得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴； 答：每辆甲型汽车和乙型汽车的进价分别为10万元和12万元； （2）设购进乙型汽车辆时，可使投资总额最少，由题意，得：， 解得：， 设投资总额为万元，则：， ∴随着的增大而减小， ∴当时，有最小值，为：； 答：购进乙型汽车40辆时，可使投资总额最少，为万元． 30．（2025·山东青岛·模拟预测）“雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”，如图，樱桃富含维生素C，崂山北宅素有“中国樱桃之乡”的美誉．在2023年樱桃节某水果商城为了了解两种樱桃市场销售情况，购进了一批数量相等的“樱珠”和“樱桃”供客户对比品尝，其中购买“樱桃”用了630元，购买“樱珠”用了1134元，已知每千克“樱珠”进价比每千克“樱桃”贵8元． (1)求每千克“樱珠”和“樱桃”进价各是多少元？ (2)若该水果商城决定再次购买同种“樱珠”和“樱桃”共60千克，且再次购买的费用不超过1000元，且每种樱桃进价保持不变．若“樱珠”的销售单价为30元，“樱桃”的销售单价为18元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)每千克“樱珠”进价是18元，每千克“樱桃”进价是10元 (2)该该水果商城应购买50千克“樱珠”，10千克“樱桃”，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大，最大利润是680元． 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设每千克“樱珠”进价是x元，则每千克“樱桃”进价是元，根据购进了一批数量相等的“樱珠”和“樱桃”供客户对比品尝，其中购买“樱桃”用了630元，购买“樱珠”用了1134元，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买a千克“樱珠”，则购买千克“樱桃”，根据再次购买的费用不超过1000元，列出一元一次不等式，解得，再设总利润为w元，根据题意列出w关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设每千克“樱珠”进价是x元，则每千克“樱桃”进价是元，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：每千克“樱珠”进价是18元，每千克“樱桃”进价是10元； （2）解：设购买a千克“樱珠”，则购买千克“樱桃”，根据题意得： ， 解得：， 设总利润为w元， 根据题意得：， ∵， ∴w最a的增大而增大， ∴当时，w有最大值， 此时，， 答：该该水果商城应购买50千克“樱珠”，10千克“樱桃”，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大，最大利润是680元． 【经典例题十一 分式方程的新定义问题】 【例11】（24-25七年级上·上海·期末）定义：如果两个代数式的和与这两个代数式的积相等，那么称这两个代数式互为“关联式”． (1)判断与是否互为“关联式”，并说明理由； (2)求与互为“关联式”的代数式； (3)填空：已知一个整式与一个最简分式互为“关联式”，请写出一组符合该条件的代数式可以是_____与______．（只要写一组即可） 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3)， 【分析】本题考查的是新定义的含义，分式的加减运算，乘法运算，分式方程的解法； （1）根据新定义列式计算，再判断即可． （2）设的关联式为，可得，再进一步解答即可． （3）由一个整式与一个最简分式互为“关联式”，当这个整式为，设的关联式为，可得，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴与不互为“关联式”． （2）解：设的关联式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵一个整式与一个最简分式互为“关联式”， 当这个整式为，设的关联式为， ∴， ∴， ∴， ∴整式为，最简分式为． 31．（24-25八年级上·河北承德·阶段练习）定义：如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数称为“和整数值”．例如，，，，则M与N互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”k；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整数值”． ①求P所代表的代数式； ②若分式D的值为正整数，求正整数x的值． 【答案】(1)A与B互为“和整分式”，“和整数值”. (2)①，②1 【分析】本题考查了分式的混合运算，解分式方程，理解题意是解此题的关键． （1）先计算，再根据结果即可得解； （2）①求出，结合题意得出，计算即可得解；②先求出，再结合题意计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∴A与B互为“和整分式”，和“整数值”； （2）解：，， ∴ ∵C与D互为“和整分式”，且“和整数值”， ∴，即， ∴； ②∵， 若分式D的值为正整数， ∴或， 解得或（舍去）， ∴正整数x的值为1． 32．（24-25八年级上·福建福州·期末）我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”； (2)已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是1，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值； (3)已知分式，（a，b为整数），M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，求的值． 【答案】(1)C为D的“雅中式”，且“雅中值”为，证明见解析 (2) (3)1 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，解分式方程，因式分解的应用，方程的整数解问题，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键． （1）计算，再根据“雅中值”的定义可得答案； （2）由定义可得：整理可得：的表达式，再化简 根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到：是的因数，从而可得答案； （3）由定义可得：整理可得：从而可得：，求出、的值即可得到答案． 【详解】（1）解：C为D的“雅中式”，且“雅中值”为，证明如下： ∵，， ∴， ∴C为D的“雅中式”，且“雅中值”为； （2）解：关于的“雅中值”是1， ， ， ， ， ， 为整数，且“雅中式”的值也为整数， 是的因数， 可能是：， 的值为：， 的值为：， ； （3）解：是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1， ， ∴， ∴， ∵式子恒成立： ， ∴， ∴． 33．（24-25八年级上·北京·阶段练习）新定义：如果两个实数使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于x的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“”若不是，打“”．①（ ）；②（ ）． (2)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①×；②√； (2)； (3)或 【分析】（1）根据“关联数对”定义分别判断即可； （2）根据“关联数对”定义计算即可； （3）根据“关联数对”定义计算即可； 【详解】（1）解：当，时， 分式方程为：分式方程，方程无解，故①的答案是×， 当，时， 分式方程为：分式方程，方程的解为：， ∵， 故②的答案是√； （2）解：∵数对是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， 解得：； （3）解：∵数对是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， ∴， 化简得：， 解得：， ∵关于x的方程有整数解， ∴或， 解得：或或1或， ∵， ∴或 【点睛】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键． 【经典例题十二 分式方程的综合】 【例12】（24-25八年级下·四川宜宾·阶段练习）类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法． 请用类比的方法，解决以下问题： (1)①已知，…，则依据此规律 ； ②请你利用十字相乘法进行因式分解： ； (2)若、满足．求的值； (3)受此启发，解方程． 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算、因式分解与解分式方程，解题的关键是明确题意，理解裂项相消法的应用以及熟练求解分式方程． （1）①类比题材即可得解，②类比题材即可因式分解； （2）根据绝对值和偶次方的非负性得，，然后代入所求式子利用裂项相消法即可求解； （3）利用拆项法因式分解后再利用裂项相消法化简方程，解化简后的分式方程即可． 【详解】（1）解：①∵ ∴类比得． ②． 故答案为：①；②； （2）解：∵，满足，即 ∴，， 解得：，． ； 故答案为：． （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 34．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）观察下列算式： 、、 (1)由此可推断：_______； (2)请用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的一般规律_______； (3)仿照以上方法可推断：_______； (4)仿照以上方法解方程：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查数字找规律问题．，以及解分式方程，解题关键是根据已知分析发现蕴含的规律． （1）根据题意将42分解为得出答案； （2）利用（1）中数据变化规律得出答案； （3）本题的分子是2，可以考虑把分母写成相差为2的两个数相差，然后仿照算式规律写成即可． （4）本题的分子是3，分母两个数的差是3，故同样可以用算式规律，需要注意，比大，放在前面． 【详解】（1）解：， （2）根据题意可得： （3） （4） 即， 即， 去分母得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解． 35．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题： (1)（，为常数），则 ， ； (2)一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，请说明这的水是否能倒完？如果能，多少次才能倒完？如果不能，请说明理由； (3)按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的？试说明理由． 【答案】(1)，； (2)这的水不能倒完，理由见解析； (3)经过次操作之后能达到． 【分析】（1）模仿阅读材料可得答案； （2）根据题意先列式表示倒出的水，再求和，根据结果即可判断； （3）先列式表示剩余水量，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为：，． （2）解：∵ ， ∴这的水不能倒完； （3）解：由题意可得，倒了次后剩余的水量为 ， ∴， 解得， 经检验是原方程的解， ∴经过次操作之后能达到． 【点睛】本题考查分式的混合运算，分式方程的应用，异分母分式的加减法以及代数式的规律，解题的关键是读懂题意，能把一个分式化为部分分式． 36．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”． ①（   ）；②（   ）； ③（   ）； ④（   ）； (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①；②；③；④ (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义分别判断即可； （2）根据“关联数对”定义计算即可； （3）根据“关联数对”定义，结合方程的解为整数，计算即可． 【详解】（1）解：当，时，分式方程为，， ∵， ∴①不是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 解得：， ， ②不是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 解得， ， ③是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 此方程无解， ④是关于的分式方程的“关联数对”； 故答案为：①；②；③；④． （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ， 解得：， ， 解得； （3）解：数对，且，是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ∵可化为， ∴， 解得：， 方程有整数解， 整数，即， 又，， ． 46．（2025·湖北省直辖县级单位·模拟预测）分式方程的解为（   ） A． B． C．或 D．无解 【答案】D 【分析】此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键． 【详解】解：去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：把代入得：， 是增根，分式方程无解． 故选：D． 47．（2025·四川泸州·一模）若关于的方程的解为负数，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解，解题的关键是把字母m看作一个常数来解，本题是常见的题型要求掌握． 按照一般步骤解方程，用含有m的代数式表示x，然后根据x的取值，求m的范围． 【详解】解：方程去分母得：， ∴， ∵关于的方程的解为负数， ∴， 解得：． 又， ∴， 则m的取值范围是． 故选：C． 48．（24-25八年级上·福建福州·期末）已知关于x的方程的两根分别为m，，则关于x的方程的根是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了解分式方程和分式方程的解，理解分式方程的解，熟练掌握解分式方程的方法与技巧是解决问题的关键．先将将方程转化为，再根据已知得，，再由，解得，由，解得，据此即可得出答案． 【详解】解：将方程转化为：， 方程的两根分别为m，， ，， 由，解得：， 由，解得：， 方程的根是：，， 故选：． 49．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）某工程队要铺建一条长2000米的管道，采用新的施工方式，工作效率提高了，结果比原计划提前两天完成了任务，设这个工程队原计划每天要铺建x米管道，则根据题意所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程， 设施工队原计划每天铺设管道x米，实际每天要铺建米，根据题意可知，实际比计划提前2天完成任务，列方程即可， 根据题意，正确的列出分式方程，是解题的关键． 【详解】解：依题意可得： ， 故选：A． 50．（24-25八年级上·河南安阳·期末）观察规律：，，……若（n为正整数），则n的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查了利用平方差公式的规律类运算，理解规律和掌握平方差公式是解题关键. 根据题目中式子的特点，利用平方差公式分解因式，然后约分即可求得答案. 【详解】∵ 解得： 经检验，是分式方程的解， 故选：C． 51．（24-25八年级下·上海·期中）当 时，方程会产生增根． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的增根问题．把分式方程化为整式方程，把增根代入即可求出答案． 【详解】解： 去分母得到， 把代入得到， 解得， 故答案为： 52．（24-25八年级下·河南周口·期中）关于的方程的解是负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】题考查了分式方程的解，解分式方程，解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程的方法和利用分式方程的解的情况列式是解题的关键．先根据原方程解得方程的解，再根据分式方程的解是负数，以及分母不为，即可求解． 【详解】解：原方程， 解得． ∵， ∴， ∴， 得， ∵解是负数， ∴， ∴， 得， ∴m的取值范围是且． 故答案为：且． 53．（24-25八年级下·重庆·期中）若关于的不等式组有且只有2个奇数解，关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的值的和是 ． 【答案】1 【分析】本题综合考查不等式组的整数解问题及分式方程的解的情况，首先解不等式组，确定x的范围，找到恰好包含2个奇数解的条件，确定a的范围，解方程并确保解为非负数，同时排 除使分母为零的情况，得到a的限制条件，求两个条件的交集，得到所有满足条件的整数a，求和即可． 【详解】解：，整理得：， 则不等式组的解为， 不等式组有且只有2个奇数解， ， ， 对应的整数a有：，，0，1，2，3， ，解得：， ， ， ，即， ， 则所有满足条件的整数的值有：，0，1，2， ， 故答案为：1． 54．（24-25八年级下·全国·课后作业）一台甲型号拖拉机4天耕完一块耕地的一半，增加一台乙型号拖拉机，两台拖拉机合耕1天耕完这块耕地的另一半． ①设乙型号拖拉机单独耕完这块地需要x天，那么它一天的耕地量是这块地的 ； ②甲型号拖拉机一天的耕地量是这块地的 ； ③分析问题中的相等关系，根据题意，可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 根据工作效率工作总量工作时间列式即可求解①②，再根据两台拖拉机合耕1天耕完这块耕地的另一半即可列方程． 【详解】解：根据题意， ①设乙型号拖拉机单独耕完这块地需要x天，那么它一天的耕地量是这块地的； ②甲型号拖拉机一天的耕地量是这块地的； ③分析问题中的相等关系，根据题意，可列方程， 故答案为：；；． 55．（24-25八年级下·全国·单元测试）填空： （1）当x 时，分式的值有意义，当 时，该分式的值为0； （2）不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数： ； （3）解方程时，设，则原方程可化为 ； （4）已知关于x的方程有增根，则 ． 【答案】 1 3 【分析】本题考查了分式方程的增根，分式有意义的条件，分式的值为零的条件，分式的基本性质，换元法等，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）根据分式有意义的条件和分式的值为零的条件求解即可； （2）根据分式的基本性质化简即可； （3）根据换元法解分式方程即可； （4）先去分母，根据分式方程有增根代入，求解即可． 【详解】解：（1）分式的值有意义， ， ， 分式的值为0， 且， ， 故答案为：，1； （2）， 故答案为：； （3）原方程化为， 故答案为：； （4）去分母，得， 将增根代入， 得， ， 故答案为：3． 56．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查解分式方程，涉及分式方程解法步骤：去分母、化为整式方程求解、验根、下结论等，熟练掌握分式方程解法是解决问题的关键． （1）先去分母，再化成关于未知数的一元一次方程求解，验根即可得到答案； （2）先去分母，再化成关于未知数的一元一次方程求解，验根即可得到答案． 【详解】（1）解：， 方程两边乘，得， 解得， 检验：当时，， 原分式方程的解为； （2）解：方程两边乘，得， 解得， 检验：当时，，即是原分式方程的增根， 原分式方程无解． 57．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）学习“分式方程的应用”时，老师板书的问题如下： 有甲、乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等．乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度 经讨论，冰冰所列方程为：，庆庆所列方程为：．老师检查他们所设的未知数后，告诉他们所列的方程是对的． 根据以上信息，解答下列问题： (1)冰冰同学所列方程中的x表示______，庆庆同学所列方程中的y表示______； (2)两个方程中任选一个，并写出它的等量关系： (3)解（2）中你所选择的方程，并解答老师的问题． 【答案】(1)甲队每天修路的长度；甲队修路400米所需时间（或乙队修路600米所需时间）； (2)冰冰用的等量关系是：甲队修路400米所用时间乙队修路600米所用时间； 庆庆用的等量关系是：乙队每天修路的长度甲队每天修路的长度20米； (3)见解析． 【分析】本题考查分式方程的应用．读懂题意，找准等量关系，正确的计算，是解题的关键． （1）根据所列方程，结合题意，进行作答即可； （2）根据所列方程，结合题意，进行作答即可； （3）解分式方程即可． 【详解】（1）解：由题意，得：冰冰同学所列方程中的x表示甲队每天修路的长度；庆庆同学所列方程中的y表示甲队修路400米所需时间（或乙队修路600米所需时间）； 故答案为：甲队每天修路的长度；甲队修路400米所需时间（或乙队修路600米所需时间）； （2）解：由题意，得： 冰冰用的等量关系是：甲队修路400米所用时间乙队修路600米所用时间； 庆庆用的等量关系是：乙队每天修路的长度甲队每天修路的长度20米； （3）解：①选冰冰的方程：， 解得； 经检验是原分式方程的解． 答：甲队每天修路的长度为40米． ②选庆庆的方程：． 解得； 经检验是原分式方程的解． 所以． 答：甲队每天修路的长度为40米． 58．（2025·宁夏固原·二模）解分式方程：． 下面是解题过程，请认真阅读并完成任务． 解： ………………………第一步 …………………………第二步 ……………………第三步 解得：……………………第四步 任务一：填空 （1）第______步是去分母，去分母的依据是______． （2）第______步出现错误，错误的原因是______． 任务二：填空 （3）直接写出该分式方程的正确结果______． （4）解完分式方程，最后还少了一步，请补充完整． 【答案】（1）二，等式的性质2；（2）三，去括号时忘记变号；（3）；（4）见解析 【分析】本题考查解分式方程．根据题意逐一对步骤进行分析，并解出最后答案即可． 【详解】解：（1）第二步是是去分母，去分母的依据是等式的性质2，即等式两边同时乘以相同的数，等式大小不变， 故答案为：二，等式的性质2； （2）第三步出现错误，因为完全平方展开后去括号忘记变号了， 故答案为：三，去括号时忘记变号； （3）， ， ， ， 解得：， 检验：将代入分式方程，方程有解， ∴为分式方程的解； （4）最后一步忘记检验 检验：将代入分式方程，方程有解， ∴为分式方程的解． 59．（24-25八年级下·重庆·期中）每年的4月23日为“世界读书日”，育才中学为了培养学生的阅读兴趣，计划开展以“春来复‘书’，万物生长”为主题的读书月活动．校读书社计划购买A、B两类图书，据了解，其中A类图书的单价比B类图书的单价少10元，用360元单独购买B类图书的数量是用360元单独购买A类图书数量的． (1)求A类图书和B类图书的单价分别是多少? (2)在这次活动中，校读书社准备统一采购这两类图书共120本，且购买的A类图书的数量，不超过B类图书数量的，由于采购量比较大，书店打折优惠，其中A类图书打9折出售，B类图书单价降价6元出售，求购买A类图书多少本时，总费用最低，并求出最低费用． 【答案】(1)A类图书单价是元，B类图书的单价为元． (2)购买A类图书本，总费用最低，最少费用是元． 【分析】本题考查一次函数、分式方程和一元一次不等式的应用，掌握分式方程和一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键． （1）设A类图书单价是x元，B类图书的单价为元，根据题意，列方程并求解即可； （2）设购买A类图书m本，则购买B类图书本，根据题意列关于m的一元一次不等式并求解；采购这两类图书费用为w元，写出w关于m的函数关系式，根据该函数的增减性和m的取值范围进行解答即可． 【详解】（1）解：设A类图书单价是x元，B类图书的单价为元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， （元）， ∴A类图书单价是元，B类图书的单价为元． （2）解：设购买A类图书m本，则购买B类图书本． 根据题意，得， 解得； 设采购这两类图书费用为w元，则， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w的值最小，， ∴购买A类图书本，总费用最低，最少费用是元． 60．（24-25八年级下·四川内江·期中）某电脑公司经销甲种型号电脑，受市场影响，电脑价格不断下降，今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为元，今年销售额只有元． (1)今年三月份甲种电脑每台售价多少元？ (2)为了提高收入，电脑公司决定增加经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为元，乙种电脑每台进价为元，公司预计用不多于元且不少于元的资金购进这两种电脑共台，问有几种进货方案？ (3)如果乙种电脑每台售价为元，为扩大乙种电脑的销量，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？此时哪种方案对公司更有利？ 【答案】(1)元 (2)种 (3)；甲种电脑台，乙种电脑台 【分析】（1）设今年三月份甲种电脑每台售价元，则去年每台元，然后由卖出相同数量的电脑，而去年销售额为90000元，今年销售额只有80000元列出方程求解即可； （2）设购甲种电脑台，则乙种电脑台，然后由甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于66000元且不少于64000元的资金购进这两种电脑共20台，列出不等式求解即可得到答案； （3）设甲种电脑台，总获利为元，然后根据题意求出关系式，再由使（2）中所有方案获利相同，求解即可． 本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，函数关系式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意，找到等量关系与不等关系，列出分式方程与不等式求解即可． 【详解】（1）设今年三月份甲种电脑每台售价元，则去年每台元． 依题意，得：， 解得． 检验可知是方程的解，且符合题意． 答：今年三月份甲种电脑每台售价4000元． （2）设购甲种电脑台，则乙种电脑台． 依题意，得：， 解得：． ∵为正整数， ∴，9，10，11，12 ∴共有5种进货方案． 答：一共有5种进货方案； （3）设甲种电脑台，总获利为元．则： ． ∵要使（2）中所有方案获利相同， ∴的结果与无关， ∴， ∴． ∴购买甲种电脑8台，乙种电脑12台时对公司更有利 答：的值为200，购买甲种电脑8台，乙种电脑12台时对公司更有利． 学科网（北京）股份有限公司 $$