专题03 分式的加减乘除运算重难点题型专训（16大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版2024）

专题03 分式的加减乘除运算重难点题型专训（16大题型+15道提优训练） 题型一 同分母分式加减法 题型二 异分母分式加减法 题型三 整式与分式相加减 题型四 已知分式恒等式，确定分子或分母 题型五 分式加减混合运算 题型六 分式加减的实际应用 题型七 分式乘法 题型八 分式除法 题型九 分式乘除混合运算 题型十 分式乘方 题型十一 含乘方的分式乘除混合运算 题型十二 分式的四则混合运算 题型十三 分式化简求值 题型十四 分式最值 题型十五 分式的规律计算问题 题型十六 分式的混合运算综合 知识点一、分式的加减法 1）同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；符号表示为： 2）异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为： 知识点二、分式的乘除法 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 3）分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，b≠0） 知识点三、分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 【经典例题一 同分母分式加减法】 【例1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·河南南阳·期末）计算的结果为 ． 2．（23-24八年级上·河南商丘·期末）定义：若两个分式的和为（为正整数），则称这两个分式互为“阶分式”． 例如，分式与互为“3阶分式”． (1)分式与___________互为“6阶分式”． (2)若正数互为倒数，求证：分式与互为“5阶分式”． 3．（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）某数学兴趣小组在学习了《分式》知识后，探究了分式的一种特殊变形：例如：．我们把这种将分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形方法叫做“分离常数法”．“分离常数法”是分式研究的重要数学思想方法． 知识理解： （1）请利用“分离常数法”将分式变形为（其中，为常数），求，的值； 能力提升： （2）解决问题：若分式的值为整数，求满足条件的整数的值． 【经典例题二 异分母分式加减法】 【例2】（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）已知，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山西大同·期末）下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务． 异分母的分式加减法回顾与反思 【回顾】今天我们学习了异分母的分式加减法，其基本思路是将异分母分式通过通分转化为同分母分式，再进行加减运算． 下面是我在课堂上化简分式的过程： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 【反思】在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础． 任务： (1)以上化简过程中，第________步是进行分式的通分，通分的依据是________； (2)上述解题过程中，从第________步开始出现错误，写出正确的化简过程； (3)写出异分母分式加减运算过程中的注意事项（写出一条即可）． 5．（24-25八年级上·广东东莞·期末）数学上常用“作差法”来比较两个式子的大小，即：若，则；若，则；若，则． 【生活观察】人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度，将克糖放入水中，得到克糖水，此时糖水的浓度为． 【数学思考】 （1）再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为_______； （2）请证明（1）中的数学关系式； 【知识迁移】 （3）在中，三条边的长度分别为a，b，c，证明： 6．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【经典例题三 整式与分式相加减】 【例3】（23-24八年级上·山东泰安·阶段练习）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·安徽·期末）计算的结果是 ． 8．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）下面是某同学计算的解题过程： 解： ① ② ③ ④ 上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程． 9．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）【阅读理解】 材料1：为了研究分式与分母的关系，小明得到数据如下表： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 0.5 0.25 … 从表格数据观察可知，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：． 【应用新知】 （1）当时，随着的增大，的值______（填增大或减小）； 当时，随着的增大，的值______（填增大或减小）； （2）当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； 【能力提升】 （3）当时，求代数式值的取值范围． 【经典例题四 已知分式恒等式，确定分子或分母】 【例4】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，求A、B的值． 10．（23-24八年级下·重庆北碚·阶段练习）对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 11．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，其中为常数，则 ． 12．（23-24八年级上·云南昆明·阶段练习）阅读下列材料： 若，试求A、B的值 解：等式右边通分，得 根据题意，得，解之得． 仿照以上解法，解答下题． (1)已知（其中M、N为常数）求M、N的值； (2)若对任意自然数n都成立，则_________，_________． (3)计算：_________． 【经典例题五 分式加减混合运算】 【例5】（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（23-24八年级上·贵州铜仁·期中）小张同学在解答一道分式计算的作业题时，化简过程如下： 先化简，再求值：，其中． 解：原式…………………………………① …………………………………………② ……………………………………………………③ ……………………………………………………④ (1)上面的解题过程中从哪个步骤开始出现错误，这一步骤是______（填入编号）． (2)请完整地写出正确的解答过程． 14．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）以下是圆圆计算的解答过程． 解：． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 15．（2022八年级上·全国·专题练习）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如： 解决下列问题： (1)分式是 分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式的形式为 ； (3)把分式化为带分式；如果的值为整数，求x的整数值． 【经典例题六 分式加减的实际应用】 【例6】（24-25七年级下·全国·周测）【阅读理解】“作差法”是解决某些数学问题常用的方法之一：比较代数式的大小，作差，若，则；若，则；若，则． 【方法应用】（1）若，试比较与的大小； 【解决问题】（2）嘉嘉和琪琪两次购物均买了同一种商品，嘉嘉两次都买了该商品，琪琪两次购买该商品均花费n元．已知第一次购买该商品的价格为，第二次购买该商品的价格为（均是整数，且）．请用作差法比较嘉嘉和琪琪两次所购买商品的平均价格的高低． 16．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）数学来源于生活，生活离不开数学．开水中加入适量的糖冲泡成甜糖水很受一些人的喜爱，人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度． (1)若在a克糖水里面含糖b克，则该糖水的甜度为______； (2)现向（1）中的糖水中再加入适量的糖，充分搅匀后，感觉糖水更甜了．请用所学的数学知识解释这一现象． 17．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）数学来源于生活，生活中处处有数学．用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论． (1)糖水实验一： ①现有b克糖水，其中含有a克糖（），则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为．加入克水，则糖水的浓度为 ______； ②生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，由此可以写出一个不等式______，我们趣称为“糖水不等式”； (2)糖水实验二： 将“糖水实验一”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”______；并通过计算说明该不等式成立． 18．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论．现有克糖水，其中含有克糖，则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为． (1)糖水实验一：加入克水，则糖水的浓度为_____________．生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，由此可以写出一个不等式_____________，我们趣称为“糖水不等式”． (2)糖水实验二：将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖”，则糖水的浓度为____________．根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”____________． (3)请结合（2）探究得到的结论尝试证明：设为三边的长，求证：． 【经典例题七 分式乘法】 【例7】（24-25八年级上·全国·单元测试）化简： 19．（24-25八年级下·全国·课后作业）若，则等于（   ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级上·河北唐山·期中）的结果是（   ） A． B． C． D． 21．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）计算的结果是 ． 【经典例题八 分式除法】 【例8】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 22．（2023·江西九江·模拟预测）计算，的结果为（    ） A． B． C． D． 23．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）已知分式乘一个分式后结果为，那么这个分式为 ． 24．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）分式的计算： (1)； (2)． 【经典例题九 分式乘除混合运算】 【例9】（24-25七年级上·上海·期末）计算： 25．（23-24八年级上·湖南永州·期中）计算的结果是（    ） A．1 B． C． D． 26．（2025七年级下·全国·专题练习）有下列各式：①；②；③；④．其中计算结果正确的是 （填序号）． 27．（24-25八年级上·全国·单元测试）计算： 【经典例题十 分式乘方】 【例10】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 28．（2024·河北·模拟预测）化简的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 29．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算的结果是 30．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【经典例题十一 含乘方的分式乘除混合运算】 【例11】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 31．（24-25八年级上·山东烟台·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 32．（24-25八年级上·全国·期末）当，时， ． 33．（23-24八年级上·全国·课后作业）（1） ；              （2） ； （3） ；   （4） ； （5） ． 【经典例题十二 分式的四则混合运算】 【例12】（24-25八年级下·重庆·期中）分式化简： (1) (2) 34．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： ． 35．（2025·四川成都·二模）化简： ． 36．（24-25八年级上·山东聊城·期末）对于代数式m，n，定义运算“”：，例如：，若，则 ． 【经典例题十三 分式化简求值】 【例13】（24-25八年级下·重庆·期中）先化简，再从，0，1，2四个数字中选择一个你喜欢的数代入上式求值． 37．（2025·甘肃天水·一模）先化简：，并在三个数中选一个恰当的数代入求值． 38．（2025·湖南常德·一模）先化简，再求值：，其中． 39．（24-25八年级下·重庆·期中）先化简，再从，0，1，2四个数字中选择一个你喜欢的数代入上式求值． 【经典例题十四 分式最值】 【例14】（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）阅读下列材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号，它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有．一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式：如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______； (3)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 40．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）【探究思考】 （1）探究一：观察分式的变形过程和结果，． 填空：若x为小于10的正整数，则当_______时，分式的值最大． （2）探究二：观察分式的变形过程和结果， ． 模仿以上分式的变形过程和结果求出分式的变形结果． 【问题解决】（3）当时，求分式的最小值． 41．（23-24八年级下·四川巴中·期末）请仔细阅读下面两则材料，然后解决问题： 材料1：小学时我们学过，任何一个假分数都可以化为一个整数与一个真分数的和的形式，同样道理，任何一个分子次数不低于分母次数的分式都可以化为一个整式与另一个分式的和（或差）的形式，其中分式的分子次数低于分母次数. 如：. 材料2：对于式子，利用换元法，令，.则由于，所以反比例函数有最大值，且为3.因此分式的最大值为5. 根据上述材料，解决下列问题： （1）把分式化为一个整式与另一个分式的和的形式，其中分式的分子次数低于分母次数. （2）当的值变化时，求分式的最大（或最小）值. 42．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数，可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：，． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知x＞0，则当　　　时，式子取到最小值，最小值为　　　； (2)分式是　　　（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式　　　；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有　　　个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【经典例题十五 分式的规律计算问题】 【例15】（24-25八年级下·河南新乡·期中）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即，则称分式B是分式A的“关联分式”． 例如：与 ，， 是的“关联分式”． (1)已知分式，则__________的“关联分式”（填“是”或“不是”）； (2)求分式的“关联分式”； (3)观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________． 43．（23-24八年级下·江苏南京·期中）读读做做： 教材中有这样的问题：观察下面的式子，探索它们的规律． ，，… (1)用正整数n表示这个规律，并加以证明； (2)问题解决 一容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升水的，第三次倒出的水量是升水的，第四次倒出的水量是升水的…，第n次倒出的水量是升水的，…，按照这种倒水方式，这1升水能否倒完？请通过计算说明理由． 44．（2025·安徽六安·模拟预测）观察下列各个等式的规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 用上述等式反映的规律，解答下列问题． (1)请直接写出第5个等式：________． (2)猜想第个等式（用含的代数式表示），并证明其正确性． 45．（24-25七年级下·云南昭通·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： 第一个等式； 第二个等式； 第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第六个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第个等式（为正整数）； (3)对于任何实数，表示不超过的最大整数，如，，计算：的值． 【经典例题十六 分式的混合运算综合】 【例16】（24-25八年级下·重庆·期中）若，对作变化，得到；再对作变化，得到；再对作变化，得到；依次变化下去，；在此变化过程中，记（n为正整数） (1)当时，，求此时的值； (2)填空：化简并猜想___________，___________，___________；（用只含和的代数式表示） (3)当为整数时，求此时的值． 46．（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）（1）已知，求的值． （2）已知，先化简再求值：． 47．（24-25八年级上·浙江温州·期末）已知，求证： (1)三个数中必有两数之和为零； (2)对于任意奇数，均有． 48．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）先化简，再求值 ，其中， ． 31．（24-25八年级上·山东济宁·期末）已知一组数满足下面关系：若，则的值为（    ） A． B． C． D． 32．（24-25八年级上·山东临沂·期末）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示胶片（像）到镜头的距离．已知，，则（   ） A． B． C． D． 33．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）已知化简的结果是，括号内的式子是（   ） A． B． C．0 D． 34．（24-25七年级上·山东济南·期中）对于正数，规定，例如：．的值为（   ） A． B． C． D． 35．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知为整式，若计算的结果为，则（    ） A． B． C． D． 36．（24-25八年级下·全国·课后作业）观察下列各式：，…请写出你归纳的一般结论： （用含n的代数式表示）． 37．（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）如果记，并且表示当时的值，即，那么 ． 38．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）计算 ． 39．（24-25八年级上·四川泸州·期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．如，分式与互为“3阶分式”．则分式与 互为“5阶分式”． 40．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）规定，例如：表示当时y的值，即；表示当时y的值，即；…那么 ． 41．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 42．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）计算：． 43．（24-25七年级上·上海·阶段练习）阅读下述材料： 分式可以化为分母分别为x与且分子都是常数的两个分式的差．为解决这个问题，可设（A、B为常数），由，可得，由此可得，解得，所以． 请用上述方法将化为分母分别为与且分子都是常数的两个分式的差． 44．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）小张同学计算时，是这样做的： 第一步 第二步 第三步 ． (1)小张的做法从第______步开始出现错误，本题最终的正确计算结果为____； (2)计算：． 45．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）阅读理解题． 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”．若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“雅中值”． (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，为整数，且的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 分式的加减乘除运算重难点题型专训（16大题型+15道提优训练） 题型一 同分母分式加减法 题型二 异分母分式加减法 题型三 整式与分式相加减 题型四 已知分式恒等式，确定分子或分母 题型五 分式加减混合运算 题型六 分式加减的实际应用 题型七 分式乘法 题型八 分式除法 题型九 分式乘除混合运算 题型十 分式乘方 题型十一 含乘方的分式乘除混合运算 题型十二 分式的四则混合运算 题型十三 分式化简求值 题型十四 分式最值 题型十五 分式的规律计算问题 题型十六 分式的混合运算综合 知识点一、分式的加减法 1）同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；符号表示为： 2）异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为： 知识点二、分式的乘除法 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 3）分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，b≠0） 知识点三、分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 【经典例题一 同分母分式加减法】 【例1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减运算，先进行同分母分式减法运算，然后利用平方差公式对分子进行因式分解后约分即可，解题关键是熟练运用分式减法运算法则． 【详解】解： ， 故选：． 1．（23-24八年级下·河南南阳·期末）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查同分母分式的减法，直接运用同分母分式的减法法则计算，再利用分式的性质化简得出答案． 【详解】解： ， 故答案为： 2．（23-24八年级上·河南商丘·期末）定义：若两个分式的和为（为正整数），则称这两个分式互为“阶分式”． 例如，分式与互为“3阶分式”． (1)分式与___________互为“6阶分式”． (2)若正数互为倒数，求证：分式与互为“5阶分式”． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了分式的加法，正确理解题意并掌握分式通分、约分运算方法是解决本题的关键． （1）根据题中的新定义列出关系式，然后根据分式的加法进行通分计算即可； （2）根据题意首先利用倒数关系，将、进行消元，然后两分式相加计算得到结果，利用新定义即可判断； 【详解】（1）∵， ∴分式与互为“6阶分式”． 故答案为： （2）证明：∵正数x，y互为倒数， ∴，即 ， ∴ 则分式与互为“5阶分式”； 3．（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）某数学兴趣小组在学习了《分式》知识后，探究了分式的一种特殊变形：例如：．我们把这种将分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形方法叫做“分离常数法”．“分离常数法”是分式研究的重要数学思想方法． 知识理解： （1）请利用“分离常数法”将分式变形为（其中，为常数），求，的值； 能力提升： （2）解决问题：若分式的值为整数，求满足条件的整数的值． 【答案】（1），；（2）或 【分析】本题考查分式的加减以及分式的基本性质，掌握分式加减法的计算方法以及分式的性质是正确解答的关键． （1）将原式写成即可求解； （2）将原式化成，考虑为整数且x为整数，则，求解即可． 【详解】解：（1）， 则，； （2）， ∴为整数，且为整数， ∴则， ∴或． 【经典例题二 异分母分式加减法】 【例2】（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）已知，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简求值，代数式求值，掌握知识点的应用是解题的关键． 先由化简得出，然后代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴ ， 故选：． 4．（24-25八年级上·山西大同·期末）下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务． 异分母的分式加减法回顾与反思 【回顾】今天我们学习了异分母的分式加减法，其基本思路是将异分母分式通过通分转化为同分母分式，再进行加减运算． 下面是我在课堂上化简分式的过程： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 【反思】在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础． 任务： (1)以上化简过程中，第________步是进行分式的通分，通分的依据是________； (2)上述解题过程中，从第________步开始出现错误，写出正确的化简过程； (3)写出异分母分式加减运算过程中的注意事项（写出一条即可）． 【答案】(1)三，分式的基本性质 (2)四，过程见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的加减运算是解题的关键． （1）根据题中的步骤可知第三步是通分，再根据分式的基本性质即可得出答案； （2）根据分式的加减运算的运算法则即可得出答案； （3）根据异分母分式加减运算法则即可得出答案． 【详解】（1）以上化简过程中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质； （2）上述解题过程中，从第四步开始出现错误， 解：原式 ； （3）通分时，分子不要漏乘最简公分母． 5．（24-25八年级上·广东东莞·期末）数学上常用“作差法”来比较两个式子的大小，即：若，则；若，则；若，则． 【生活观察】人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度，将克糖放入水中，得到克糖水，此时糖水的浓度为． 【数学思考】 （1）再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为_______； （2）请证明（1）中的数学关系式； 【知识迁移】 （3）在中，三条边的长度分别为a，b，c，证明： 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查分式的运算及大小比较，理解不等式并能够利用糖水不等式以及三角形三边关系证明是解决本题的关键． （1）根据浓度公式代入以及变甜了判断所得分式大小即可； （2）利用作差法，并化简通过判断结果的正负即可； （3）利用三角形的三边关系得到，，，即，，，在通过本题糖水不等式变形求证即可． 【详解】解：（1）由题意得：加入克糖后糖水浓度为：， 由糖水变甜可知：， 故答案为：； （2）利用作差法比较大小： ． ∵，， ∴，，即， ∴，即； （3）在中，，，，且，，， ∴，，． 由糖水不等式得，，，， ∴， ∴． 6．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （ 1）根据异分母分式的加减，先通分，再加减，可得答案； （ 2）根据互为相反数的偶次幂相等，可得同分母分式的加减，根据分子相加减，可得答案； （ 3）根据异分母分式的加减，先通分，再加减，可得答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【经典例题三 整式与分式相加减】 【例3】（23-24八年级上·山东泰安·阶段练习）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式加减运算，先通分，再按同分母的分式减法法则进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故选：． 【点睛】 7．（23-24七年级下·安徽·期末）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】先通分再化简即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的减法运算，平方差公式；当分母不同时，要先通分化成同分母的分式，再相减，最后结果能约分的要约分． 8．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）下面是某同学计算的解题过程： 解： ① ② ③ ④ 上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程． 【答案】从第①步开始出现错误，正确的解题过程见解析 【分析】本题考查分式的加减运算，利用异分母分式的加减法法则，进行计算即可解答．掌握相应的运算法则、公式是解题的关键． 【详解】解：上述解题过程从第①步开始出现错误． 正确的解题过程如下： ． 9．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）【阅读理解】 材料1：为了研究分式与分母的关系，小明得到数据如下表： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 0.5 0.25 … 从表格数据观察可知，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：． 【应用新知】 （1）当时，随着的增大，的值______（填增大或减小）； 当时，随着的增大，的值______（填增大或减小）； （2）当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； 【能力提升】 （3）当时，求代数式值的取值范围． 【答案】（1）减小，减小；（2）2；（3） 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键． （1）由的变化情况，判断、的变化情况即可； （2）由，即可求解； （3）由，再结合的取值范围即可求解． 【详解】解：（1）∵当时，随着的增大而减小， ∴随着的增大，的值减小； ∵当时，随着的增大减小， ∵， ∴随着的增大，的值减小； （2）∵， ∵当，随着的增大时，的值无限接近0， ∴的值无限接近2； （3）， ∵时，， ∴， ∴． 【经典例题四 已知分式恒等式，确定分子或分母】 【例4】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，求A、B的值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的运算及二元一次方程组，熟练掌握通分运算法则是解题的关键； 右边的分式的最简公分母就是左边分式的分母，对右边分式进行化简，通过比较系数可建立方程组，即可解答． 【详解】解： ， ， ， ． 10．（23-24八年级下·重庆北碚·阶段练习）对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】对等式右边通分并进行加法运算，再根据对应项系数相等列方程组求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查分式的加法，二元一次方程组．掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 11．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，其中为常数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，将等式的右边先通分，再与左式比较，根据分子对应项的系数相等即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（23-24八年级上·云南昆明·阶段练习）阅读下列材料： 若，试求A、B的值 解：等式右边通分，得 根据题意，得，解之得． 仿照以上解法，解答下题． (1)已知（其中M、N为常数）求M、N的值； (2)若对任意自然数n都成立，则_________，_________． (3)计算：_________． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据阅读材料中的方法计算即可求出M与N的值； （2）根据阅读材料中的方法计算即可求出a与b的值； （3）由，，，利用裂项相消，即可求解． 【详解】（1）解：等式右边通分，得 ， 根据题意，得，解之得； （2）解：等式右边通分，得 ， 根据题意，得，解之得； 故答案为：，； （3）解： 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【经典例题五 分式加减混合运算】 【例5】（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【分析】（1）按照同分母分式的加减运算法则进行计算即可； （2）先化为同分母分式，再计算即可； （3）先通分化为同分母分式，再计算即可； （4）先通分化为同分母分式，再计算即可； 【详解】（1）解：原式． （2）原式． （3） ． （4） ． 【点睛】本题考查的是分式的加减运算，掌握分式的加减运算的运算法则是解本题的关键． 13．（23-24八年级上·贵州铜仁·期中）小张同学在解答一道分式计算的作业题时，化简过程如下： 先化简，再求值：，其中． 解：原式…………………………………① …………………………………………② ……………………………………………………③ ……………………………………………………④ (1)上面的解题过程中从哪个步骤开始出现错误，这一步骤是______（填入编号）． (2)请完整地写出正确的解答过程． 【答案】(1)① (2)见解析 【详解】（1）原式， 故选①， （2）原式 ． 【点睛】此题考查了分式加减运算，解题的关键是熟悉分式运算步骤． 14．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）以下是圆圆计算的解答过程． 解：． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【答案】有错误，正确过程见解析 【分析】应用分式的加减法则进行进行计算即可得出答案． 【详解】有错误． 解：， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则进行求解是解决本题的关键． 15．（2022八年级上·全国·专题练习）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如： 解决下列问题： (1)分式是 分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式的形式为 ； (3)把分式化为带分式；如果的值为整数，求x的整数值． 【答案】(1)真 (2) (3)的整数值为或或或 【分析】（1）根据定义即可求出答案； （2）根据定义进行化简即可； （3）先化为带分式，然后根据题意列出方程即可求出x的值． 【详解】（1）解：由题意得：分式是真分式， 故答案为：真； （2）解： 故答案是：1； （3）解： ∵的值为整数，且为整数； 为的约数， 的值为或或或； ∴的值为或或或． 【点睛】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． 【经典例题六 分式加减的实际应用】 【例6】（24-25七年级下·全国·周测）【阅读理解】“作差法”是解决某些数学问题常用的方法之一：比较代数式的大小，作差，若，则；若，则；若，则． 【方法应用】（1）若，试比较与的大小； 【解决问题】（2）嘉嘉和琪琪两次购物均买了同一种商品，嘉嘉两次都买了该商品，琪琪两次购买该商品均花费n元．已知第一次购买该商品的价格为，第二次购买该商品的价格为（均是整数，且）．请用作差法比较嘉嘉和琪琪两次所购买商品的平均价格的高低． 【答案】（1）；（2）嘉嘉两次所购买商品的平均价格高于琪琪两次所购买商品的平均价格 【分析】本题考查分式减法的实际应用： （1）作差法比较大小即可； （2）求出两人购买商品的平均价格，作差法比较大小即可． 【详解】解：（1）； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）由题意，嘉嘉两次所购买商品的平均价格为：（元），琪琪两次购买该商品的平均价格为：（元） ， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴嘉嘉两次所购买商品的平均价格高于琪琪两次所购买商品的平均价格． 16．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）数学来源于生活，生活离不开数学．开水中加入适量的糖冲泡成甜糖水很受一些人的喜爱，人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度． (1)若在a克糖水里面含糖b克，则该糖水的甜度为______； (2)现向（1）中的糖水中再加入适量的糖，充分搅匀后，感觉糖水更甜了．请用所学的数学知识解释这一现象． 【答案】(1) (2)理由见解析 【分析】（1）用糖水中糖与糖水的比表示即可； （2）设往杯中加入克糖，则此时糖水的甜度为：，再利用作差法比较与的大小即可． 【详解】（1）解：∵糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度， ∴在a克糖水里面含糖b克，则该糖水的甜度为； （2）设往杯中加入克糖，则此时糖水的甜度为：， ∵ ， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴向（1）中的糖水中再加入适量的糖，充分搅匀后，糖水更甜． 【点睛】本题考查的是列代数式，分式的加减运算，分式的值的大小比较，理解题意，选择合适的方法解题是关键． 17．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）数学来源于生活，生活中处处有数学．用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论． (1)糖水实验一： ①现有b克糖水，其中含有a克糖（），则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为．加入克水，则糖水的浓度为 ______； ②生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，由此可以写出一个不等式______，我们趣称为“糖水不等式”； (2)糖水实验二： 将“糖水实验一”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”______；并通过计算说明该不等式成立． 【答案】(1)①；② (2)，见解析 【分析】（1）①根据糖水的浓度是即糖的质量与糖水的质量比，进行作答即可；②根据糖水加水后会变淡可知加水后浓度下降即； （2）由题意知，加入m克糖后，糖水的浓度为 ，由加糖后变甜，可得不等式为，根据作差法比较大小即可． 【详解】（1）①解：由题意知，加入克水，糖水的浓度为， 故答案为：； ②解：由题意知，不等式为， 故答案为：； （2）解：由题意知，加入m克糖后，糖水的浓度为 ， 由加糖后变甜，可得不等式为， 证明：， ∵，， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了列代数式，分式的基本运算，不等式的性质．解题的关键在于理解题意． 18．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论．现有克糖水，其中含有克糖，则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为． (1)糖水实验一：加入克水，则糖水的浓度为_____________．生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，由此可以写出一个不等式_____________，我们趣称为“糖水不等式”． (2)糖水实验二：将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖”，则糖水的浓度为____________．根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”____________． (3)请结合（2）探究得到的结论尝试证明：设为三边的长，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题意写出新的分式和不等式即可； （2）加入克糖后，分子分母都变化，此时需要证明不等式的正确性，利用做差法即可； （3）利用（2）的结论来证明即可． 【详解】（1）解： 由题意得，加入克水，糖水为克， ∴糖水的浓度为； ∵糖水加水后会变淡，即糖水的浓度变小， ∴； 故答案为：；． （2）解：由题意得，加入克糖，糖水为克，糖为克， ∴糖水的浓度为； 假设新的“糖水不等式”为，下面用数学知识证明： ，其中， ∴， ∴，即， 故答案为：；． （3）证明：由（2）可知 ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则和不等式的性质是解题的关键． 【经典例题七 分式乘法】 【例7】（24-25八年级上·全国·单元测试）化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法运算，先对分式的分子分母因式分解，约分后再相乘即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 19．（24-25八年级下·全国·课后作业）若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的乘法，先根据分式的乘法法则进行计算，然后利用整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴； 故选C． 20．（24-25八年级上·河北唐山·期中）的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先对能因式分解的分子、分母因式分解，然后再约分即可解答． 【详解】解： ． 故选A． 21．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简，分式的减法，分式的乘法，先将括号里的异分母分式相减化为同分母分式相减，再算分式的乘法运算，掌握分式的通分和约分是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 【经典例题八 分式除法】 【例8】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据分式的除法运算法则计算即可； （）根据分式的乘除运算法则计算即可； 本题考查了分式的乘除，掌握分式的乘除运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 22．（2023·江西九江·模拟预测）计算，的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】． 原式把除法转换为乘法，再进行因式分解后约分即可得到答案． 【详解】解： = = 故选：C 【点睛】本题主要考查了分式的除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键 23．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）已知分式乘一个分式后结果为，那么这个分式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查分式乘除，解题的关键是熟知分式的乘除运算法则． 【详解】解：依题意这个分式为： ， 故答案为：． 24．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）分式的计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先进行因式分解，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果； （）先计算括号中的异分母分式减法，同时将除法写成乘法，再计算乘法即可求解； 本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【经典例题九 分式乘除混合运算】 【例9】（24-25七年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，整数指数幂的运算，先根据同底数幂的运算计算，结合负整数指数幂的含义，逐步计算即可． 【详解】解： ； 25．（23-24八年级上·湖南永州·期中）计算的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】先进行负指数幂的运算，再利用分式乘除法法则运算即可． 【详解】原式， ， 故选：． 【点睛】此题考查了分式的乘除法运算及负指数幂的运算，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则及其应用． 26．（2025七年级下·全国·专题练习）有下列各式：①；②；③；④．其中计算结果正确的是 （填序号）． 【答案】③ 【分析】本题考查分式的乘除运算，根据分式的乘除运算法则依次计算各项并判断，即可解题． 【详解】解：①， 故①计算结果错误； ②， 故②计算结果错误； ③， 故③计算正确； ④， 故④计算结果错误． 故答案为：③． 27．（24-25八年级上·全国·单元测试）计算： 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除运算，先对分式的分子分母因式分解，约分后进行计算即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ． 【经典例题十 分式乘方】 【例10】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（）根据分式的乘法运算法则计算即可； （）根据分式的除法运算法则计算即可； （）根据分式的除法运算法则计算即可； （）根据分式的乘方运算法则计算即可； （）根据分式的乘方运算法则计算即可； （）根据分式的乘方运算法则计算即可； 本题考查了分式的运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 28．（2024·河北·模拟预测）化简的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的乘方．熟练掌握分式乘方的法则，幂乘方法则，是解决问题的关键．分式乘方等于分子分母分别乘方，幂乘方底数不变，指数相乘． 运用分式乘方的法则和幂乘方的法则逐一判定，即得． 【详解】A、，∴A不正确； B、，∴B不正确； C、，∴C不正确； D、，∴D正确． 故选：D． 29．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算的结果是 【答案】 【分析】本题考查分式的乘方，负整指数幂，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握分式的乘方、负整指数幂、幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键． 先根据分式的乘方法则，幂的乘方与积的乘方法则计算，再根据负整指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 30．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（）根据分式的乘法运算法则计算即可； （）根据分式的除法运算法则计算即可； （）根据分式的除法运算法则计算即可； （）根据分式的乘方运算法则计算即可； （）根据分式的乘方运算法则计算即可； （）根据分式的乘方运算法则计算即可； 本题考查了分式的运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 【经典例题十一 含乘方的分式乘除混合运算】 【例11】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）根据分式的运算法则计算即可； （）根据分式的运算法则计算即可； （）根据分式的运算法则计算即可； （）根据分式的运算法则计算即可； 本题考查了分式的运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 31．（24-25八年级上·山东烟台·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的混合运算，先运算乘方，然后把除法转化为乘法约分即可解题． 【详解】解：， 故选：C． 32．（24-25八年级上·全国·期末）当，时， ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除运算，首先根据分式的乘除运算法则进行计算，把分式化简可得原式，然后再把，代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 故答案为： ． 33．（23-24八年级上·全国·课后作业）（1） ；              （2） ； （3） ；   （4） ； （5） ． 【答案】 【分析】（1）根据分式的乘法法则计算即可； （2）先算乘方，再算乘法即可； （3）先算乘方，再算除法即可； （4）先算乘方，再算乘除法即可； （5）先算乘方，再算除法即可； 【详解】解：（1） （2）； （3）原式=； （4）原式=； （5）； 故答案为：，，，， 【点睛】本题考查了分式的乘、除、乘方的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键 【经典例题十二 分式的四则混合运算】 【例12】（24-25八年级下·重庆·期中）分式化简： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了分式的混合运算，平方差公式，完全平方公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）先算括号内的，再算分式的乘法即可； （2）先算括号内的，再把除法变成乘法计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 34．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 35．（2025·四川成都·二模）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简，熟练化简分式是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 36．（24-25八年级上·山东聊城·期末）对于代数式m，n，定义运算“”：，例如：，若，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了分式的加减法，根据定义运算表示出的式子，再将进行运算，便得到A和B的值，最后代入中，求出结果即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：8． 【经典例题十三 分式化简求值】 【例13】（24-25八年级下·重庆·期中）先化简，再从，0，1，2四个数字中选择一个你喜欢的数代入上式求值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：， ， ， ， ； 根据分式有意义的条件，x不能为，0， 当时，原式． 37．（2025·甘肃天水·一模）先化简：，并在三个数中选一个恰当的数代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件确定x的值并代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴， ∴当时，原式． 38．（2025·湖南常德·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，5 【分析】本题考查分式的化简求值，涉及完全平方公式、平方差公式、提公因式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．利用完全平方公式、平方差公式、提公因式等方法，将式子因式分解，约分化为最简，再代入数值计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 39．（24-25八年级下·重庆·期中）先化简，再从，0，1，2四个数字中选择一个你喜欢的数代入上式求值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：， ， ， ， ； 根据分式有意义的条件，x不能为，0， 当时，原式． 【经典例题十四 分式最值】 【例14】（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）阅读下列材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号，它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有．一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式：如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______； (3)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)3，6； (2)；，，，； (3)当时，分式取到最大值，最大值为． 【分析】（1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值； （3）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6； 故答案为：3，6； （2）， x为整数，且为整数， 或或或， 解得：或或或， 故答案为：；，，，； （3）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 【点睛】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 40．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）【探究思考】 （1）探究一：观察分式的变形过程和结果，． 填空：若x为小于10的正整数，则当_______时，分式的值最大． （2）探究二：观察分式的变形过程和结果， ． 模仿以上分式的变形过程和结果求出分式的变形结果． 【问题解决】（3）当时，求分式的最小值． 【答案】（1）9；（2）；（3） 【分析】（1）先根据x为小于10的正整数可知，然后再变形即可解答； （2）模仿（2）分式的变形过程即可解答； （3）先根据题意将将变形成，然后分、、三种情况解答即可． 【详解】解：（1）∵x为小于10的正整数， ∴当时， ∵， ∴当时，最小，分式的值最大； 故答案为：9． （2）； （3）当时，， ∴当时，原分式有最小值为； 当时，原式， ∴当时，原分式有最小值为； ∴当时，分式的最小值为． 【点睛】本题主要考查了分式的加减运算、分式的混合运算等知识点，灵活运用的运算法则是解答本题的关键． 41．（23-24八年级下·四川巴中·期末）请仔细阅读下面两则材料，然后解决问题： 材料1：小学时我们学过，任何一个假分数都可以化为一个整数与一个真分数的和的形式，同样道理，任何一个分子次数不低于分母次数的分式都可以化为一个整式与另一个分式的和（或差）的形式，其中分式的分子次数低于分母次数. 如：. 材料2：对于式子，利用换元法，令，.则由于，所以反比例函数有最大值，且为3.因此分式的最大值为5. 根据上述材料，解决下列问题： （1）把分式化为一个整式与另一个分式的和的形式，其中分式的分子次数低于分母次数. （2）当的值变化时，求分式的最大（或最小）值. 【答案】（1）；（2）最小值为. 【分析】（1）根据题意将分式变形即可； （2）根据题意将分式变形，即可确定出最小值． 【详解】（1）原式= ； （2）原式=， ∵(x−1)2⩾0,即(x−1)2+2⩾2， 则原式最小值为4−. 【点睛】此题考查分式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则进行变形. 42．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数，可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：，． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知x＞0，则当　　　时，式子取到最小值，最小值为　　　； (2)分式是　　　（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式　　　；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有　　　个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)3，6 (2)真分式，，4 (3)当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米 (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】（1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值； （3）设这个矩形的长为x米，则宽面积长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据： 求解； （4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6； 故答案为：3，6； （2）解：根据新定义分式是真分式， ， x为整数，的值为整数， ∴为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴， 此时， ， ∴， 答：当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米； （4）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 【点睛】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 【经典例题十五 分式的规律计算问题】 【例15】（24-25八年级下·河南新乡·期中）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即，则称分式B是分式A的“关联分式”． 例如：与 ，， 是的“关联分式”． (1)已知分式，则__________的“关联分式”（填“是”或“不是”）； (2)求分式的“关联分式”； (3)观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题考查用新定义解决数学问题，熟练掌握分式混合运算法则是求解本题的基础． （1）根据关联分式的定义判断； （2）仿照和谐小组成员的方法，设的关联分式是N，则，求出N即可； （3）根据（1）（2）的结果找出规律，再利用规律求解． 【详解】（1）解：∵， ， ∴是的“关联分式”． 故答案为：是； （2）解：设的关联分式是N，则： ， ∴， ∴ ∴； （3）解：由（1）（2）知：的关联分式为：． 故答案为：． 43．（23-24八年级下·江苏南京·期中）读读做做： 教材中有这样的问题：观察下面的式子，探索它们的规律． ，，… (1)用正整数n表示这个规律，并加以证明； (2)问题解决 一容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升水的，第三次倒出的水量是升水的，第四次倒出的水量是升水的…，第n次倒出的水量是升水的，…，按照这种倒水方式，这1升水能否倒完？请通过计算说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)不能倒完，理由见解析 【分析】本题考查了数字的变化规律、分式混合运算的应用，熟练掌握裂项相消是解答本题的关键． （1）根据发现的规律写出一般规律并验证即可； （2）根据题意，先求出倒出水总量的代数式，进行化简得到，说明不论倒水次数有多大，倒出的总水量总小于1． 【详解】（1）解：规律：， 证明：右侧左侧， ， 等式成立． （2）解：不能倒完，理由： 根据题意，得到次水倒出的总和为： 不论倒水次数有多大，倒出的总水量总小于1， 这1升水倒不完， 44．（2025·安徽六安·模拟预测）观察下列各个等式的规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 用上述等式反映的规律，解答下列问题． (1)请直接写出第5个等式：________． (2)猜想第个等式（用含的代数式表示），并证明其正确性． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的猜想并加以证明． （1）根据题目中给出的等式，可以写出第5个等式； （2）根据题目中的式子，可以猜想出第个等式，并加以证明． 【详解】（1）解：由题意可得， 第5个等式是， 故答案为：； （2）解：， 证明：右边， 等号左边等于等号右边的式子， ． 45．（24-25七年级下·云南昭通·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： 第一个等式； 第二个等式； 第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第六个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第个等式（为正整数）； (3)对于任何实数，表示不超过的最大整数，如，，计算：的值． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息可判结果； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解． 【详解】（1）解：∵第一个等式； 第二个等式； 第三个等式， ∴根据规律可猜测第六个等式为． （2）解：根据（1）总结规律可得：第个等式为． （3）解：根据规律可化简 ． 【经典例题十六 分式的混合运算综合】 【例16】（24-25八年级下·重庆·期中）若，对作变化，得到；再对作变化，得到；再对作变化，得到；依次变化下去，；在此变化过程中，记（n为正整数） (1)当时，，求此时的值； (2)填空：化简并猜想___________，___________，___________；（用只含和的代数式表示） (3)当为整数时，求此时的值． 【答案】(1) (2)，，； (3) 【分析】本题考查绝对值运算、分式的化简求值，以及整数性质的综合应用，解题关键是通过递推关系逐步推导找出规律，结合相关运算规则求解表达式，并依据整数性质确定参数值． （1）依据题目给定的变换规则，依次求出、、关于的表达式，再将代入的表达式，得出的值． （2）先求得，，的值，得到规律，再将代入，利用绝对值与分式运算化简得到；最后把代入化简得出其表达式； （3）根据规律求出，，再计算并化简为 ，最后根据为整数，结合，确定的取值，从而求出的值． 【详解】（1）已知，， 将代入可得，， 把代入得． ∵， ∴， 解得． （2）， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴． 将代入得 ． 故答案为：，，； （3）由（2）知， ， ． ． ∵为整数， ∴能整除，即或． ∴或或或 ∵， ∴． 46．（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）（1）已知，求的值． （2）已知，先化简再求值：． 【答案】；． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、运用乘法公式进行化简．乘法公式包括完全平方公式和平方差公式，完全平方公式是，平方差公式是． 首先把整理，可得：和，把多项式整理可得：原式，再整体代入进行求值即可； 整理可得，把整理可得：原式，再整体代入求值即可． 【详解】解：， 移项得：， 把两边同时除以可得：， ， ； 解：， 两边同时乘以可得：， 整理得：， ． 47．（24-25八年级上·浙江温州·期末）已知，求证： (1)三个数中必有两数之和为零； (2)对于任意奇数，均有． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查分式的计算，掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）先去分母转化为整式，然后分解因式为解题即可； （2）由（1）可得中必有一个为0，不妨设，然后代入得到，然后再根据即可得到结论． 【详解】（1）证明：，. . . ， ∴， 或或， ∴三个数中必有两数之和为0； （2）证明：中必有一个为0， 不妨设，则. 为奇数， ， ， ， ， ， ∴． 48．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）先化简，再求值 ，其中， ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，再根据负整数指数幂和零指数幂的计算法则求出x、y的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 31．（24-25八年级上·山东济宁·期末）已知一组数满足下面关系：若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字类规律探究，分式的减法运算，求出前几个数值，找到规律，进行判断即可． 【详解】解：，则： ， ， ∴的值，以，三个为一组，进行循环， ∵， ∴的值为，即：； 故选A． 32．（24-25八年级上·山东临沂·期末）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示胶片（像）到镜头的距离．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减，掌握异分母分式的加减是解题的关键． 把等式变形，利用分式的基本性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 33．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）已知化简的结果是，括号内的式子是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】此题考查了分式的减法．根据分式的减法计算即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴括号内的式子是． 故选：A 34．（24-25七年级上·山东济南·期中）对于正数，规定，例如：．的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减，读懂题目信息，理解新定义的运算方法是解题的关键．根据，可得，进而得到，即可求解． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 35．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知为整式，若计算的结果为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ，，， 36．（24-25八年级下·全国·课后作业）观察下列各式：，…请写出你归纳的一般结论： （用含n的代数式表示）． 【答案】（n为正整数） 【分析】本题主要考查了数字的变化的规律，根据已知式子找出规律是解题关键． 由已知等式可以猜想出结论； 【详解】解：由已知等式可猜想一般结论：（n为正整数）， 证明：， 故答案为：（n为正整数）． 37．（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）如果记，并且表示当时的值，即，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与分式运算相关的规律探索题，正确根据题意得到是解题的关键． 【详解】解：∵， 故． ∴ 故答案为：． 38．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查异分母分式的加法，解答的关键是掌握分式的加法的运算法则． 先通分，再进行加法运算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 39．（24-25八年级上·四川泸州·期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．如，分式与互为“3阶分式”．则分式与 互为“5阶分式”． 【答案】 【分析】本题考查了分式的减法运算，掌握运算法则是解题的关键． 由题意得，的“5阶分式”为，再根据异分母的分式减法法则计算即可． 【详解】解：由题意得，的“5阶分式”为：， 故答案为： 40．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）规定，例如：表示当时y的值，即；表示当时y的值，即；…那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化规律，分式的加减运算，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律．通过计算，，，的值得到，，从而得到规律，然后利用此规律得到最后的值． 【详解】解：由题知， ∵， ∴， ∴， ∴原式 ， 故答案为：． 41．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的加减运算； （1）先通分化成同分母分式，再计算加减即可； （2）先通分化成同分母分式，再计算加减即可； （3）先通分化成同分母分式，再计算加减即可； （4）先通分化成同分母分式，再计算加减即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 42．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，先通分，再相减即可． 【详解】解： ． 43．（24-25七年级上·上海·阶段练习）阅读下述材料： 分式可以化为分母分别为x与且分子都是常数的两个分式的差．为解决这个问题，可设（A、B为常数），由，可得，由此可得，解得，所以． 请用上述方法将化为分母分别为与且分子都是常数的两个分式的差． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的减法计算，解二元一次方程组，设（M、N为常数），仿照题意得到，则可得到方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设（M、N为常数）， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 44．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）小张同学计算时，是这样做的： 第一步 第二步 第三步 ． (1)小张的做法从第______步开始出现错误，本题最终的正确计算结果为____； (2)计算：． 【答案】(1)二，； (2)． 【分析】本题考查了分式的化简，平方差公式，根据分式的性质正确的化成同分母分式是解题关键． （1）根据分式的加减运算法则和平方差公式进行计算，即可得到答案； （2）根据分式的加减运算法则和平方差公式进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：小张的做法从第二步开始出现错误， 正确解法如下： ， 故答案为：二，； （2）解： ． 45．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）阅读理解题． 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”．若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“雅中值”． (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，为整数，且的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值． 【答案】(1)是的“雅中式”，关于的“雅中值”为 (2)，的值为 【分析】（）根据定义解答即可求解； （）由定义可得，即得，进而可得，根据为整数，且的值也为整数可得可能是，， 据此解答即可求解； 本题考查了分式的加减运算，理解定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴是的“雅中式”，关于的“雅中值”为； （2）解：∵是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为整数，且的值也为整数， ∴是的因数， ∴可能是，， ∴的值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$