9.2 分式的运算 导学案 2024--2025学年沪版七年级数学下册

9.2分式的运算 一个长方体容器的容积为，底面长为，宽为，当容器内的水占容积的时，水高多少？ 长方体容器的高为， 水高为 。 一、分式的乘除 分式乘法法则：两个分式相乘，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母； 分式除法法则：两个分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 即 ； 。 分式乘法 1、下列各式从左到右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2、化简 的结果为（   ） A． B． C． D． 3、化简： ． 4、计算： (1)； (2) 。 分式除法 5、化简的结果是（    ） A． B． C． D． 6、化简分式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 7、计算：计算结果为 8、计算： (1)． (2)． 分式乘除混合运算 9、计算的结果是（    ） A．1 B． C． D． 10、化简：，其结果是（　　） A． B．2 C． D． 11、计算(-1)的结果是 ． 12、计算： (1) (2) (3)(+) 13、计算：（1） （2） 解：（1） （2） 注意：如果运算结果不是最简分式，一定要进行约分，使运算结果化成最简分式。 14、计算：（1） （2） 解：（1） = = （2） = = 总结：（1）分式的分子、分母都是单项式的形式：按法则进行计算； （2） 分子或分母是多项式的形式： ①将多项式分解因式； ②约分； ③结果化为最简分式或整式。 15、计算：（1） （2） （3） （4）若求分式的值。 二、分式的乘方 为正整数时， 分式的乘法法则：一般地，当n是正整数时 n个a = n个 n个b 即 分式的乘方运算法则： 分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹、（，n是正整数） 16、计算：（1） （2） （3） （4） 17、下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 18、下列各式：①；②；③；④．其中计算结果相等的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 19、计算： ． 20、计算： (1)； (2)． 含乘方的分式乘除混合运算 21、下列计算不正确的题是（    ） A． B． C． D． 22、计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 23、 ． 24、计算： (1)； (2)． 三、分式的通分 分数的通分：把几个异分母的分数化成同分母得分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分。 通分和 解：= ； 与分数通分类似，利用分式的基本性质，把异分母分式变成同分母分式，这个过程叫分式的通分。 分母是单项式，找最简公分母： 找单独出现的字母及指数； 找系数的最小公倍数； 找相同字母的最高指数。 通分与 解：= = 分母是多项式，找最简公分母： 先因式分解，再找分母各因式最高次幂。 25、通分① ， ②， ③ ， 26、通分① ， ， ② ， ， 约分 通分 分数 找分子与分母的最大公约数 找所有分母的最小公倍数 分式 找分子与分母的公因式 找所有分母的最简公分母 依据 分数或分式的基本性质 四、分式的加减 甲工程队完成一项工程需要天，乙工程队完成这项工程比甲队多3天，两队共同工作一天完成这项工作的几分之几？ 解：甲工程队工作一天完成这项工程的 ，乙工程队工作一天完成这项工程的 ，两队共同工作一天完成这项工作的 。 2009年，2010年，2011年某地的森林面积（单位：k）分别是S1，S2，S3，2011年与2010年相比，森林面积的增长率提高了多少？ 2011年的森林面积增长率是：； 2010年的森林面积增长率是：； 2011年与2010年相比，森林面积的增长率提高了。 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。 用式子来表示为： “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号， 当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. 分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 27、当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 28、化简的结果是（   ） A．－1 B．1 C． D． 29、计算的结果是 ． 30、计算： (1)； (2) 异分母分式相加减，先通分，变成同分母的分式，再加减。 31、已知，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2 32、化简的结果是（　　） A． B． C． D．1 33、已知，且0，则的值为 ． 34、计算并化简： (1)； (2)． 35、计算：① ② （1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 整式与分式相加减 36、已知，用a表示c的代数式为（    ） A． B． C． D． 37、化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 38、若，则的值为 ． 39、一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②． (1)仿照上述方法，试将分式化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)如果分式的值为整数，求整数的值． 已知分式恒等式，确定分子或分母 40、如果+，，那么，的值为（    ） A．36 B．16 C．14 D．3 41、对于任意的值都有，则，值为（    ） A．=1， B．，， C．=2，， D．=1，， 42、若，、为常数，则的值为 ． 43、对于分式与，若=（k为常数），则称A是B的“k级牵挂分式”，如分式=，，，则A是B的“3级牵挂分式”． (1)若分式是分式C的“级牵挂分式”，则分式C为（    ） A．     B．     C．     D． (2)已知分式，，且分式P是分式Q的“2级牵挂分式”， ①求E（用含x的式子表示）； ②若P的值为正整数，x为正整数，求P的值． (3)已知分式，（a，b为常数），M是N的“1级牵挂分式”，求a，b的值． 分式的加减运算技巧： 分式的加减运算中起关键作用的就是通分。某些较复杂或具有特定结构的题目，使用一般方法解答计算量太大，容易出错，有时甚至算不出来，就要结合题目结构特征，灵活运用相关性质、方法、解题技巧，选择恰当的运算方法与技能，化繁为简。 技巧1：约分计算法 44、 计算：－. 技巧2：整体通分法 45、 计算：－2＋： 技巧3：顺次相加法 46、计算：＋＋＋. 技巧4：换元通分法 47、 计算：(3－2)＋－(3－2)2＋. 技巧5：裂项相消法 48、 计算：＋＋＋…＋. 技巧6：因式分解法 49、已知＋＋＋＝0，且≠0， 求a＋b＋c(＋＋)＋d＋4的值. 技巧7：活用公式法 50、已知实数满足2－5＋1＝0，求4＋的值. 51、已知＋＝12，＝9，求的值. 技巧8：变形整体代入法 52、已知＝1，求＋＋的值. 技巧9：倒数求值法 53、已知＝，求的值. 技巧10：约分消元法 54、已知2－3＋＝0，3－2－6＝0，≠0，求分式的值. 技巧11：设参数求值法 55、已知＝＝≠0，求的值. 五、分式的加、减、乘、除、乘方混合运算的顺序： 分式的加、减、乘除、乘方混合运算也是先乘方，再乘除，后加减，如果有括号，先进行括号里的运算。 56、化简的结果是（    ） A． B． C． D． 57、试卷上一个正确的式子被莹莹不小心滴上墨汁，被墨汁遮住的部分的代数式是（　　）​ A． B． C． D． 58、已知是互不相等的实数，是任意实数，化简： ． 59、计算：(1)；(2)． 60、若代数式，都有意义，比较二者的数量关系，下列说法正确的为（   ） A．不相等 B．相等 C．前者较大 D．后者较大 61、对于式子的描述，正确的是（    ） A．该代数式的值必大于0 B．该代数式的值必小于0 C．该代数式的值可能为0 D．该代数式的值不能为0 62、若是方程的根，则代数式的值是 ． 63、老师设计了一个“接力游戏”的数学活动，由学生合作完成分式的计算．如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子． (1)写出这个“接力游戏”中计算错误的同学； (2)请你写出正确的解答过程． 分式加减的实际应用 64、绿化队原来用浸灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用3天，那么现在比原来每天节约用水的吨数为（   ） A． B． C． D． 65、甲乙两个码头相距s千米，某船在静水中的速度为a千米/时，水流速度为b千米/时，则船一次往返两个码头所需的时间为（    ）小时 A． B． C． D． 66、为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树a棵．原计划每天种b棵树，由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前 天完成任务． 67、圆圆和方方在做一道练习题：已知，试比较与的大小．圆圆说：“当，，，．因为，所以， 方方说：圆圆的做法不正确，因为，只是一个特例， 你同意方方的说法吗，请说明理由. 分式化简求值 68、如果，那么代数的值为（   ） A． B． C． D． 69、已知，则的值为（    ） A． B．2 C．4 D． 70、已知 ，则分式的值是 ． 71、先化简，再求值：，再从中选择一个合适的数作为的值代入求值． 72、已知为整数，且为整数，求所有符合条件的x值的和．（12） 73、已知++=0，求：的值．（-3） 74、已知，，，求代数式的值． 解：由，得,即……① 同理可得……②,……③， ①+②+③得， ∴，∴，∴ 75、计算 解：原式= = = = 76、计算： ① ② 77、化简并求值；，其中 = -2 78、某种商品，原来每盒售价为p元，现在每盒的售价降低了2元，同样用500元钱购买这种商品，现在比原来可多买（ ）盒 A． B． C． D．- 析：本题考查了分式的运算的应用，根据“现在购买的数量原来购买的数量”和“购买数量总价单价”列出代数式． 解：依题意， 故选：A． 79、甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，两次购买的饲料单价分别为m元/千克和n元/千克，而不管购买多少饲料．谁的购货方式更合算（    ） A．甲 B．乙 C．一样 D．不能确定 析：本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键。 根据平均单价总钱数两次购买的斤数和求出甲、乙所购饲料的平均单价，然后作差法比较两单价的大小即可． 解：∵两次购买的饲料单价分别为m元/千克和n元/千克（m，n是正数，且）， ∴甲两次购买饲料的平均单价为（元/千克）， 乙两次购买饲料的平均单价为（元/千克）； 甲、乙两种饲料的平均单价的差是： ∵m、n是正数， ∴时，也是正数， ∴0 ∴乙的购货方式更合算． 故选：B． 80、已知，则分式的值为（   ） A． B． C． D． 析：先将去分母得，代入分式，约分后即可． 本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式计算的步骤，把作为一个整体代入分式是解题关键． 解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 81、下列式子运算结果为1的是（    ） A． B． C． D． 析：本题考查分式的加减乘除运算，根据运算法则逐项计算即可判断． 解：A，，不合题意； B，，不合题意； C，，不合题意； D，，符合题意； 故选D． 82、化简的结果是（    ） A． B． C． D．2 析：本题考查分式的混合运算，根据分式的减法和乘法可以解答本题． 解： = = =， 故选：D． 83、计算的结果是（    ） A． B． C． D． 析：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 解： ， 故选：B． 84、化简： ． 析：本题主要考查分式的混合运算，先计算括号内分式的减法、同时将除式分子、分母因式分解，再将除法转化为乘法，继而约分可得． 解：原式 ， 故答案为：． 85、已知，请计算 ．（用含的代数式表示） 析：本题考查数字的变化规律与分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．首先把代入，利用表示出，进而表示出、，即可得到循环关系，进而即可解答． 解：由题意可知， ， ， ， ∴y的值每3次一个循环． ∵2024÷3=674……2， ∴． 故答案为：． 86、计算： (1) (2) (3) 析：本题考查了分式的加减乘除混合运算，乘方和零指数幂． （1）先化简绝对值，计算有理数的乘方，零指数幂，再计算加减运算即可； （2）先乘方，再根据分式的乘除运算法则计算即可求解； （3）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． （1）解：=2； （2）解： ； （3）解：． 87、如图，甲杯和乙杯中分别盛有体积均为的橙汁和苹果汁（如下操作，果汁均不溢出）． （1）当时，从甲杯取 200)橙汁放入乙杯并搅拌均匀，则乙杯中橙汁与混合果汁的体积比为 ； （2）把两杯中的果汁进行如下操作： 第一步：从甲杯取出)橙汁，倒入乙杯并搅拌均匀．此时，乙杯中的橙汁与混合果汁的体积比为 第二步：从乙杯取出混合果汁，倒入甲杯并搅拌均匀．经过两次调和后，设此时甲杯中含苹果汁，乙杯中含橙汁，则 . 解：（1）从甲杯取 200)橙汁放入乙杯并搅拌均匀，乙杯中的果汁总体积为：，则乙杯中橙汁混合果汁的体积比为：； 故答案为：； （2）设此时甲杯中含苹果汁，乙杯中含橙汁， 第一步：从甲杯取出)橙汁，倒入乙杯并搅拌均匀，乙杯中的果汁总体积为：，则乙杯中橙汁与混合果汁的体积比为：； 第二步：从乙杯取出混合果汁， 则此时混合果汁中含有苹果汁： = ， 即此时甲杯中含苹果汁； 此时混合果汁中含有橙汁 此时乙杯中含橙汁， 即此时乙杯中含橙汁， ∴． 故答案为：:+；1． 综合练习 1．已知，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D． 2．下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若为正整数，，则结果的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．当时，代数式的值为（   ） A．-6 B．6 C．-12 D．12 5．若，，则 ． 6．已知，那么 ． 7．如果，那么代数式 ． 8．定义：若两个分式A与B满足：|A-B|=3，则称A与B这两个分式互为“美妙分式”．若分式与互为“美妙分式”，且a，b均为不等于0的实数，则分式 ． 9．对于正数x， 规定 例如：则 10．先化简，再求值：，其中，． 11．【阅读材料】 材料1：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个计算的过程中，先计算分子中有几个分母求出整数部分，再将剩余的部分写成一个真分数．例如：． 材料2：类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，．类比分数，我们可以将假分式写成一个整式与一个真分式的和的形式．例如：； 材料3：为了研究字母和分式值的变化关系，小明制作了表格，并得到数据如下： －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 －1 无意义 1 【学以致用】请根据上述材料完成下列问题： (1)将下面的分式写成一个整式与一个真分式的和的形式： ______；______； (2)当 0时，随着的增大，分式的值______（填“增大”或“减小”）； (3)当时，随着的增大，分式的值无限趋近一个数，请写出这个数，并说明理由； (4)请你将写成一个整式与一个真分式的和的形式． 12.阅读材料： 在处理分数和分式的问题时，我们采用分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行， 如：，这样，分式就拆分成了一个分式与一个整式x﹣1的和的形式．根据以上阅读材料，解答问题： (1)将下列分式化为一个整式和一个分式（此分式的分子为整数）的形式： ① ；② ； (2)利用分离常数法，求分式的最大值． (3)已知：设，若x，y均为非零整数，求xy的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$