专题01 分式重难点题型专训（11大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版2024）

专题01 分式重难点题型专训（11大题型+15道提优训练） 题型一 分式的判断 题型二 分式的规律性问题 题型三 按要求构造分式 题型四 分式有意义的条件 题型五 分式无意义的条件 题型六 分式值为零的条件 题型七 分式的求值 题型八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型九 求使分式值为整数时未知数的整数值 题型十 倒数法求分式的值 题型十一 分式的新定义问题 知识点一、分式的概念 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母. 知识点二、分式有意义、无意义或值为0的条件 对于分式A/B来说 条件 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式无意义 分母等于零，即B=0 分式值为0 A=0且B≠0 注意：分式的值是在分式有意义的前提下考虑的. 【经典例题一 分式的判断】 【例1】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）有下列各式：①；②；③；④．其中是分式的是（） A．①② B．③④ C．①③ D．①②③④ 1．（23-24八年级上·广西桂林·期中）下列各式：，，，，中，是分式的共有（　 ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级下·福建泉州·期中）在分式的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）在，0,，，，中，是整式的有 ；是分式的有 ． 【经典例题二 分式的规律性问题】 【例2】（23-24八年级上浙江衢州·期中）已知为实数，规定运算，，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（   ） A． B．3 C． D． 4．（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）给定下面一列分式：，，，，…（其中），根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第n个分式 ． 5．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 根据以上规律，解决下列问题： （1）写出第个等式： ； （2）计算结果等于 ． 6．（23-24八年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知，则 【经典例题三 按要求构造分式】 【例3】（23-24八年级下·山东青岛·期末）某书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册元，现每册降价元销售，则这种图书库存全部售出时，其销售额为元，从降价销售开始时，该书店这种图书的库存量是（    ）册． A． B． C． D． 7．（23-24七年级·全国·单元测试）在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时千米，下坡时的速度为每小时千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时 . 8．（24-25八年级下·全国·课后作业）填空： （1）一箱苹果售价p元，总质量是，箱子的质量为，则苹果的单价是 元/kg； （2）盐溶于水，所得盐水的浓度是 ． 9．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）数学来源于生活，众所周知“糖水加糖会变甜”．人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度．若克糖水中含克糖，则该糖水的甜度为，若再加入克糖，此时糖水的甜度为 ，充分搅匀后，感觉糖水更甜了．由此我们可以得到一个不等式 ；（请用含、、的式子表示） 【经典例题四 分式有意义的条件】 【例4】（24-25八年级下·安徽芜湖·阶段练习）若代数式在实数范围内有意义，则的值可以是（    ） A．0 B．2 C．5 D．3 10．（24-25八年级下·全国·课后作业）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 11．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）分式无论x取何值总有意义，则m的取值为 ． 12．（23-24八年级上·福建福州·期中）若式子有意义，则实数的取值范围是 【经典例题五 分式无意义的条件】 【例5】（23-24八年级下·河南南阳·期中）当时，分式无意义，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 13．（2024八年级下·全国·专题练习）当 时，分式无意义． 14．（23-24九年级·重庆渝中·开学考试）当x= 时，分式没有意义． 15．（23-24八年级上·山东·课后作业）分式无意义，则为 【经典例题六 分式值为零的条件】 【例6】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）若分式的值为0，则x的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 16．（2024八年级上·全国·专题练习）若分式，则的值为 ． 17．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知，则的值是 ． 18．（23-24七年级下·全国·单元测试）当x为何值时，分式的值为0？ 【经典例题七 分式的求值】 【例7】（23-24八年级上·湖北武汉·期末）已知，则（    ） A． B． C．或 D．或 19．（23-24七年级·全国·单元测试）已知无论取什么值，分式（）都是一个定值，求满足的关系式，并求出这个定值． 20．（23-24七年级上·全国·期中）已知：若，；若，，根据所给信息．求的所有可能值． 21．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知实数a，b，c满足． 分别求a，b，c的值； 若实数x，y，z满足，，，求的值． 【经典例题八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围】 【例8】（23-24八年级上·陕西渭南·阶段练习）若分式的值为正数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 22．（23-24七年级上·北京海淀·期末）已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 23．（23-24八年级上·山东泰安·阶段练习）使分式的值为负的条件是（   ） A．x＜0 B．x＞0 C．x＞ D．x＜ 24．（23-24八年级上·山东威海·期中）若分式的值为负数，x的取值范围是 ． 【经典例题九 求使分式值为整数时未知数的整数值】 【例9】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）若分式的值为整数，则的整数值为 ． 26．（23-24七年级下·安徽合肥·阶段练习）若为整数，则能使的值也为整数的是 ． 27．（23-24八年级下·四川乐山·期中）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，，这样的分式就是假分式．类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，如：；． (1)分式是         分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式、分别化为整式与真分式的和的形式； (3)如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． 【经典例题十 倒数法求分式的值】 【例10】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）阅读材料，解决问题：在解决某些代数式运算问题，特别是单项式除以多项式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即先求其倒数，再对结果求倒数，进而求得原式，以达到计算目的． 【问题解决】已知，求下列代数式的值． (1)求的值． (2)求的值． 28．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）阅读下面的解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即． 所以，故的值为． 该题的解法叫做“倒数求值法”，请你利用“倒数求值法”解下面的题目： (1)若，求的值． (2)若，求的值． 29．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）阅读理解： 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：， ， ． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，则分式的值为______，分式的值为______； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，则分式的值为______． 30．（23-24八年级下·福建漳州·期中）阅读下列解题过程：已知，求的值 解：由，知，所以，即， ∴， ∴的值为2的倒数，即 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，，，求的值． 【经典例题十一 分式的新定义问题】 【例11】（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如这样的分式就是假分式：这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如． 解决下列问题： (1)分式是_____分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)若分式的值为整数，x为整数，求分式的值． 31．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子，分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；将假分式化为带分式为______； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)若分式的值为，直接写出的取值范围是______． 32．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 33．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）【阅读材料1】如果两个正数，即，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数的值有______个； (3)已知，当取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 1．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）若分式的值为零，则 x 等于（　　） A．2 B．3 C． D．3或 2．（23-24八年级上·云南昆明·期末）已知，那么分式的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广东东莞·期中）要使分式有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（2023·安徽合肥·三模）若，，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 5．（23-24八年级上·广东河源·期中）要使分式有意义，那么的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 6．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）若分式有意义，则的值应满足 ． 7．（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知分式，当时，分式没有意义；当时，分式的值为零．则的值为 ． 8．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）已知，则代数式的值为 ． 9．（23-24八年级上·四川成都·期末）在实数范围内，若，则 ． 10．（23-24九年级上·上海虹口·阶段练习）已知非零实数，，满足，则 ． 11．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）；      （2）；      （3）；       （4） （5）；      （6）0；       （7）；         （8）． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）若分式的值为0，分式无意义，求的值； （2）对于分式，当时，分式无意义；当时，分式的值为0．求的值． 13．（23-24八年级上·全国·课后作业）【阅读理解】仔细阅读下面的材料并解答问题：例题：当取何值时，分式的值为正？ 解：依题意得，则有①或②， 解不等式组①得，解不等式组②得不等式组无解，故． 所以当时，分式的值为正． 依照上面方法解答问题： (1)当取何值时，分式的值为负？ (2)当取何值时，分式的值为负？ 14．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）阅读下面的解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即． 所以，故的值为． 该题的解法叫做“倒数求值法”，请你利用“倒数求值法”解下面的题目： (1)若，求的值． (2)若，求的值． 15．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示，为正整数），并说明等式成立的理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 分式重难点题型专训（11大题型+15道提优训练） 题型一 分式的判断 题型二 分式的规律性问题 题型三 按要求构造分式 题型四 分式有意义的条件 题型五 分式无意义的条件 题型六 分式值为零的条件 题型七 分式的求值 题型八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型九 求使分式值为整数时未知数的整数值 题型十 倒数法求分式的值 题型十一 分式的新定义问题 知识点一、分式的概念 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母. 知识点二、分式有意义、无意义或值为0的条件 对于分式A/B来说 条件 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式无意义 分母等于零，即B=0 分式值为0 A=0且B≠0 注意：分式的值是在分式有意义的前提下考虑的. 【经典例题一 分式的判断】 【例1】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）有下列各式：①；②；③；④．其中是分式的是（） A．①② B．③④ C．①③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义，根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案，分母中含有字母的式子是分式，否则是整式，注意是常数不是字母． 【详解】解：①，③是分式，②，④不是分式， 故选：C． 1．（23-24八年级上·广西桂林·期中）下列各式：，，，，中，是分式的共有（　 ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，进行解答即可． 【详解】解：在，，，，中， ，，是分式，共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母． 2．（23-24八年级下·福建泉州·期中）在分式的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，据此一一判断式子即可得到答案； 【详解】解：分母有字母，故是分式； 分母无字母，故不是分式； 均不是分式； 分母均有字母，故是分式， 综上、、是分式，共3个， 故选：B； 【点睛】此题主要考查了分式定义，关键是掌握分式的分母必须含有字母． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）在，0,，，，中，是整式的有 ；是分式的有 ． 【答案】 ，0，， ， 【分析】根据整式和分式的定义即可解答.形如，A、B是整式，B中含有字母，这样的式子叫分式．注意不是字母． 【详解】解：整式有，0，，； 分式有，. 故答案是: ，0，，；，． 【点睛】本题主要考查的是分式和整式的定义，掌握分式和整式的定义是解题的关键． 【经典例题二 分式的规律性问题】 【例2】（23-24八年级上浙江衢州·期中）已知为实数，规定运算，，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字规律的探索，分别求前几个数，得到以三个数为一组，不断循环，然后运用规律求解即可，通过计算找到规律是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ，， 发现规律：以三个数为一组，不断循环， ， ． 故选：D． 4．（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）给定下面一列分式：，，，，…（其中），根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第n个分式 ． 【答案】 【分析】第个：，第个：，第个：， 第个：，据此找出第个分式即可求解． 【详解】解：由题意可知 第个：， 第个：， 第个：， 第个：， 第个：； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了探究分式规律问题，找出规律是解题的关键． 5．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 根据以上规律，解决下列问题： （1）写出第个等式： ； （2）计算结果等于 ． 【答案】 【分析】（1）观察等式，分母为连续两个偶数的乘积，分子为2，等式的右边等于这两个连续偶数的倒数的差； （2）根据（1）的规律即可求解． 【详解】（1）由题意得：， 故答案为：； （2）观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式为：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键． 6．（23-24八年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知，则 【答案】 【分析】先根据绝对值的非负性求出a和b的值，代入代数式中根据分式的性质对原式进行变形即可求出答案. 【详解】解：∵|ab−2|+|a−1|=0， 所以ab−2=0， a−1=0 ∴a=1，b=2， ∴原式= 故答案为：. 【点睛】本题考查非负数的性质，绝对值等知识，本题解题关键有两个，①任意数的绝对值都大于或等于0，而两个非负数（或式）的和要等于0，那么这两个数（或式）都要为0；②注意分式的等量变形. 【经典例题三 按要求构造分式】 【例3】（23-24八年级下·山东青岛·期末）某书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册元，现每册降价元销售，则这种图书库存全部售出时，其销售额为元，从降价销售开始时，该书店这种图书的库存量是（    ）册． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数量＝销售额÷单价，从而可列式求解． 【详解】解：这种图书的库存量是：（册）， 故选：B． 【点睛】本题主要考查分式的应用，解答的关键是理解清楚题意，得到相应的等量关系． 7．（23-24七年级·全国·单元测试）在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时千米，下坡时的速度为每小时千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时 . 【答案】千米 【分析】根据平均速度=总路程÷总时间，可设坡路长是S，根据路程和速度可求出时间，可求解． 【详解】解：设坡路长是S 则上坡的时间为：，上坡的时间为：， 上下坡总路程为：2S，总时间为 所以上、下坡平均速度为：. 故填：. 【点睛】本题考查列代数式——列分式，分式的化简.解题关键是理解平均速度=总路程÷总时间． 8．（24-25八年级下·全国·课后作业）填空： （1）一箱苹果售价p元，总质量是，箱子的质量为，则苹果的单价是 元/kg； （2）盐溶于水，所得盐水的浓度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的应用，根据题意列出代数式是解本题的关键． （1）用苹果的售价÷苹果的质量即可表示出苹果的单价； （2）用盐的质量除以盐水质量即可表示出盐水的浓度． 【详解】解：由题意可得： （1）苹果的单价是元/kg； （2）盐水的浓度是， 故答案为：，． 9．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）数学来源于生活，众所周知“糖水加糖会变甜”．人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度．若克糖水中含克糖，则该糖水的甜度为，若再加入克糖，此时糖水的甜度为 ，充分搅匀后，感觉糖水更甜了．由此我们可以得到一个不等式 ；（请用含、、的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查列分式，比较分式的值的大小，根据糖水的甜度的计算方法列出分式即可，根据糖水更甜了，即可得出不等式． 【详解】解：加入克糖，此时糖水的甜度为； 由糖水更甜了可得：； 故答案为：， 【经典例题四 分式有意义的条件】 【例4】（24-25八年级下·安徽芜湖·阶段练习）若代数式在实数范围内有意义，则的值可以是（    ） A．0 B．2 C．5 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题关键．根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，可知，且，然后逐项分析判断即可． 【详解】解：若代数式在实数范围内有意义，则有，且， A.当时，，故本选项不符合题意； B. 当时，，故本选项符合题意； C. 当时，，故本选项不符合题意； D. 当时，，故本选项不符合题意． 故选：B． 10．（24-25八年级下·全国·课后作业）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，即分母不为0，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， ∴， 解得，， 故答案为：． 11．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）分式无论x取何值总有意义，则m的取值为 ． 【答案】/ 【分析】若分式不论x取何实数总有意义，则其分母能写成的形式，利用，求字母的范围． 【详解】， ∵无论取何实数时，都有意义且， ∴， ∴． 故答案是：． 【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，要求掌握．意义：对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义．当证明一个分式总有意义时，一般的方法是把分母能整理成的形式，即一个完全平方式与一个正数的和的形式．这样不论字母取何值，式子恒大于零，分式总有意义． 12．（23-24八年级上·福建福州·期中）若式子有意义，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件可得，再解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件的条件，解题的关键是熟练掌握分式有意义的条件是分母不等于零． 【经典例题五 分式无意义的条件】 【例5】（23-24八年级下·河南南阳·期中）当时，分式无意义，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据分式的分母等于0时，分式没有意义，求出的值，进而判断出一次函数的图象经过的象限，即可得出结论． 【详解】解：∵当时，分式无意义， ∴， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限， ∴一次函数的图象不经过第三象限； 故选C． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质．熟练掌握分式的分母等于0时，分式没有意义，以及一次函数的图象和性质，是解题的关键． 13．（2024八年级下·全国·专题练习）当 时，分式无意义． 【答案】0或1 【分析】本题考查分式无意义的条件，根据分式无意义得出，求出的值即可得答案． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， 解得：，． 故答案为：或． 14．（23-24九年级·重庆渝中·开学考试）当x= 时，分式没有意义． 【答案】3 【分析】分式无意义的条件是分母等于0． 【详解】解：若分式没有意义，则x-3=0， 解得：x=3． 故答案为3． 【点睛】本题考查的是分式没有意义的条件：分母等于0，这是一道简单的题目． 15．（23-24八年级上·山东·课后作业）分式无意义，则为 【答案】4或 【分析】分母为0，分式无意义，根据分母为零，列式解得x 【详解】解：当分母x2-x-12=0 可得x=4或.故答案为：4或-3. 【点睛】本题考查了分母有意义的条件，解题的关键是熟练的列式求解. 【经典例题六 分式值为零的条件】 【例6】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）若分式的值为0，则x的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的值为零的条件，根据平方根解方程，解题的关键是掌握分式的值为零的条件：分子为零，分母不为零．据此列式解答即可． 【详解】解：∵分式的值为， ∴且， 解得：， 即的值为． 故选：C． 16．（2024八年级上·全国·专题练习）若分式，则的值为 ． 【答案】1 17．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据分式等于0的条件可得，再代入分式求值即可． 【详解】解：∵， ∴且， ∴且， ∴， ∴ = = = =， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查分式等于0的条件，分式有意义的条件，分式求值，根据题意求出是关键． 18．（23-24七年级下·全国·单元测试）当x为何值时，分式的值为0？ 【答案】 【分析】依据分式值为0（分子为0）及分式有意义（分母不为0）进行分析求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得:且， ∴． ∴当时，分式的值为0． 【点睛】本题考查了分式值为0及分式有意义的条件；解题的关键是熟练掌握相关性质． 【经典例题七 分式的求值】 【例7】（23-24八年级上·湖北武汉·期末）已知，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式化简求值，完全平方公式变形求值，先将变为，然后分两种情况讨论：当时，，当时，，分别代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，不成立， 当时，， 则 ； 综上分析可知：的值为， 故选：B． 19．（23-24七年级·全国·单元测试）已知无论取什么值，分式（）都是一个定值，求满足的关系式，并求出这个定值． 【答案】；． 【分析】设k，整理可得（a﹣kb）x=﹣3+5k，由x值的任意性可得：a﹣kb=0且﹣3+5k=0，从而求解． 【详解】设该定值为．则， 化简整理得：， 由x值的任意性可推出，且， 解得：，且，即， 所以a，b满足，定值为． 【点睛】本题考查了分式为定值的知识，应用了待定系数法，同时注意x值的任意性成立的条件． 20．（23-24七年级上·全国·期中）已知：若，；若，，根据所给信息．求的所有可能值． 【答案】：的所有可能值为：，，． 【分析】根据题意，分4种情况讨论：a、b同为正；a为正，b为负；a为负，b为正；a、b同为负，分别根据绝对值化简可得答案. 【详解】解：∵若，；若，， ∴当，， 原式； 当，， 原式； 当，， 原式； 当，， 原式， 综上所述：的所有可能值为：，，． 【点睛】本题考查绝对值的化简方法和分类讨论思想，正数和0的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，须分正数或零与负数情况进行讨论. 21．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知实数a，b，c满足． 分别求a，b，c的值； 若实数x，y，z满足，，，求的值． 【答案】 ，；． 【分析】（1）先利用完全平方公式进行配方，然后利用非负性求出a，b，c的值即可； （2）将（1）求得的a，b，c的值分别代入，求出，再将原式变形成 后代入计算即可. 【详解】已知等式整理得：， ，，， 解得：，； 把，代入已知等式， 得：，即； ，即； ，即， ， 则原式． 【点睛】此题主要考查了完全平方公式和平方的非负性以及代数式的变形等，解题（1）的关键在于利用完全平方公式与其非负性来求解，解题（2）应先将原式变形后，用求倒数的方式求解. 【经典例题八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围】 【例8】（23-24八年级上·陕西渭南·阶段练习）若分式的值为正数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，然后解这两个不等式组即可求出结论． 【详解】解∶ ， ∵分式的值为正数， ∴， 解得且． 故选∶B． 【点睛】此题考查的是根据分式的值的取值范围，求字母的取值范围，掌握两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除是解题的关键． 22．（23-24七年级上·北京海淀·期末）已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】由题意知，，，且，故不等式可变形为或，解之即可． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴，且， ∴， ∴不等式可变为， ∴ ∴或， ∴或． 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，一元一次不等式组的解法，以及分式的值大于0的解法，考查学生的转化思想和运算求解能力，将分式的值大于零转化为不等式组是解答本题的关键． 23．（23-24八年级上·山东泰安·阶段练习）使分式的值为负的条件是（   ） A．x＜0 B．x＞0 C．x＞ D．x＜ 【答案】C 【分析】分子分母异号即可，而分子恒为正，因此令分母小于0，最终求得不等式的解集． 【详解】∵ ∴若使分式的值为负，则 解得x＞ 故答案为x＞． 【点睛】本题考查了分式方程的求解，使分式的值为正即为分子分母同号，分式的值为负即为分子分母异号． 24．（23-24八年级上·山东威海·期中）若分式的值为负数，x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】由结合分式有意义的条件与两数相除异号得负可得：，再解不等式组从而可得答案. 【详解】解： 由分式有意义的条件与两数相除异号得负可得： 由①得： 由②得： 所以： x的取值范围是且 故答案为：且 【点睛】本题考查的是分式的值为负数，利用两数相除同号得正，异号得负确定分子或分母的符号是解本题的关键. 【经典例题九 求使分式值为整数时未知数的整数值】 【例9】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的化简，解题的关键需要分离常数，转化思考． 先将分式分离常数得到，再将问题转化为为整数的问题求解． 【详解】解：， ∵的值为整数，为整数， ∴为整数， ∴或， ∴或2或5或1， 故选：D． 25．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）若分式的值为整数，则的整数值为 ． 【答案】0或/或0 【分析】本题主要考查了分式的值、解一元一次方程等知识，根据题意确定的值是解题关键．根据题意，若分式的值为整数，则或或， 然后分别求解，即可确定的整数值． 【详解】解：若分式的值为整数， 则或或， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 若取整数， 则的整数值为0或． 故答案为：0或． 26．（23-24七年级下·安徽合肥·阶段练习）若为整数，则能使的值也为整数的是 ． 【答案】或或 【分析】根据平方差公式和完全平方公式进行因式分解，再约分，得出答案即可． 【详解】解：，且， 若m为整数，的值也为整数， 则，，且， 解得：或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了分式的值，掌握分式的性质，平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 27．（23-24八年级下·四川乐山·期中）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，，这样的分式就是假分式．类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，如：；． (1)分式是         分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式、分别化为整式与真分式的和的形式； (3)如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． 【答案】(1)假 (2)， (3)当x＝2或0时，分式的值为整数 【分析】（1）根据定义即可求出答案； （2）根据假分式可以化为整式与真分式的和的形式来进行计算即可； （3）先化为带分式，然后根据题意列出方程，即可求出x的值． 【详解】（1）解：∵分子的次数大于分母的次数， ∴分式是假分式， 故答案为：假； （2）解： ， ； （3）解： ， ∵分式的值为整数，x为整数， ∴x﹣1＝1或x﹣1＝﹣1， 解得x=2或x=0， ∴当x＝2或0时，分式的值为整数． 【点睛】本题考查了分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算． 【经典例题十 倒数法求分式的值】 【例10】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）阅读材料，解决问题：在解决某些代数式运算问题，特别是单项式除以多项式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即先求其倒数，再对结果求倒数，进而求得原式，以达到计算目的． 【问题解决】已知，求下列代数式的值． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式的变形求值： （1）根据进行求解即可； （2）先利用完全平方公式得到，则，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 28．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）阅读下面的解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即． 所以，故的值为． 该题的解法叫做“倒数求值法”，请你利用“倒数求值法”解下面的题目： (1)若，求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“倒数求值法”的解题思路即可求出答案； （2）根据“倒数求值法”的解题思路即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴； ∴． （2）解：∵，且 ∴ ∵ ∴． 【点睛】本题考查分式的运算，完全平方公式，解题的关键正确理解题目给出的解答思路． 29．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）阅读理解： 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：， ， ． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，则分式的值为______，分式的值为______； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，则分式的值为______． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了分式的求值，熟练掌握倒数法和分离常数法是解题的关键． （1）仿照题意求出的结果，再利用倒数法即可得到答案； （2）先利用分离常数法把变形为，则由题意可得为整数，则或，解之即可得到答案； （3）利用分离常数法把为，据此可求出，再利用倒数法即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ， ∴； （2）解： ， ∵分式的值为整数， ∴为整数，即为整数， ∴或， ∴或； （3）解：∵ ∴ ， ∴． 30．（23-24八年级下·福建漳州·期中）阅读下列解题过程：已知，求的值 解：由，知，所以，即， ∴， ∴的值为2的倒数，即 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）仿照例题利用“倒数法”解决问题，先求得，继而计算的值，再取倒数即可求解． （2）根据题意可得，利用“倒数法”即可求解； （3）根据“倒数法”求得，，，①＋②＋③即可求解． 【详解】（1）解：由，知，∴，即， ∴， ∴的值为7的倒数，即； （2）由，知，∴，∴，即， ∴， ∴的值为21的倒数，即； （3）由，知，，∴，即， 由，知，，∴，即， 由，知，，∴，即， ①＋②＋③得：，∴， ∴， ∴的值为1的倒数，即1． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，理解题意是解题的关键． 【经典例题十一 分式的新定义问题】 【例11】（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如这样的分式就是假分式：这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如． 解决下列问题： (1)分式是_____分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)若分式的值为整数，x为整数，求分式的值． 【答案】(1)真 (2) (3)． 【分析】本题主要考查了分式的定义，分式的值，分式的运算，本题是阅读型题目，连接题干中的新定义并熟练应用是解题的关键． （1）利用真分式和假分式的定义解答即可； （2）利用题干中的方法化简运算即可； （3）利用整数和整除的意义讨论解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：分式是真分式， 故答案为：真； （2）解： ； （3）解：； ∵分式的值为整数，x为整数． ∴或， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴整数的值是． 31．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子，分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；将假分式化为带分式为______； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)若分式的值为，直接写出的取值范围是______． 【答案】(1)真分式； (2)，，，，， (3) 【分析】本题考查分式的化简求值、新定义． （1）根据假分式和真分式的定义判断分式是真分式还是假分式；根据题目中的例子，可以将假分式化为带分式； （2）先将分式化为带分式，从而可以求得x取什么整数时，该式的值为整数； （3）先将分式化为带分式得，再由推出，进而得，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式， ， 故答案为：真分式；； （2）解：∵， ∴或或， ∴当或5或4或2或1或时，的值为整数； （3）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴即， 故答案为：． 32．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 【答案】(1)真 (2)，的值为或或或 (3)最小值为 【分析】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． （1）根据定义即可求出答案； （2）根据分式的性质进行化简，然后根据的值为整数求解即可； （3）先化为带分式，然后根据题意求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式； 故答案为：真； （2）解：， 的值为整数，且为整数， 的值为或或或， 的值为或或或； （3）解： ， 当时，这两个式子的和有最小值．最小值为， 则的最小值为． 33．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）【阅读材料1】如果两个正数，即，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数的值有______个； (3)已知，当取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)3，6 (2)真分式；； (3)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】本题考查分式的求值，二次根式的性质，熟练掌握基本不等式，理解新定义，是解题的关键： （1）根据基本不等式进行求解即可； （2）根据新定义，判断是真分式，分离系数法将假分式化为带分式，根据分式的值为整数进行求解即可； （3）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6； 故答案为：3，6； （2）解：由题意：是真分式； ， x为整数，且为整数， 或或或， 解得：或或或，故共有5个， 故答案为：真分式；；5； （3）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 1．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）若分式的值为零，则 x 等于（　　） A．2 B．3 C． D．3或 【答案】C 【分析】根据分式的值为零的条件可得，且，再进行求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，且， 解得，且， 故选：C． 【点睛】本题考查分式的值为零的条件、解一元一次方程、解一元一次不等式，熟练掌握分式的值为零的条件是解题的关键． 2．（23-24八年级上·云南昆明·期末）已知，那么分式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的运算，完全平方公式，代数式求值，先由完全平方公式得出，再进行分式运算即可，解题的关键是用到了整体代入的思想． 【详解】解：∵， ∴， ∴，整理得：， ∴， 代入得： ， 故选：． 3．（23-24八年级下·广东东莞·期中）要使分式有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，进行计算即可，解题的关键是列出不等式并正确求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故选：． 4．（2023·安徽合肥·三模）若，，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】先根据幂的乘方得到，再由推出，再由即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∴， ∴ ， 故选B． 【点睛】本题主要考查了分式的求值，幂的乘方计算，正确推出是解题的关键． 5．（23-24八年级上·广东河源·期中）要使分式有意义，那么的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴分式有意义，x的取值范围， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件：分母不为0，掌握不等式的解法是解题的关键． 6．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）若分式有意义，则的值应满足 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件得到，求解即可，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知分式，当时，分式没有意义；当时，分式的值为零．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式有意义和分式的值为零的条件是解题的关键，根据分式没有意义，可得，再由分式的值为零，可得从而得到的值，代入即可得到答案． 【详解】解：时，分式没有意义， 时，分式的值为零， ． 8．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）已知，则代数式的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查分式的加减法，将已知条件变形为，再将要求的分式变形为，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·四川成都·期末）在实数范围内，若，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了算术平方根非负的性质、分式有意义的条件、代数式求值等知识，确定的值是解题关键．首先根据算术平方根非负的性质以及分式有意义的条件确定的值，然后代入求值即可． 【详解】解：根据题意，可得， 解得， 根据分式有意义的条件，可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 10．（23-24九年级上·上海虹口·阶段练习）已知非零实数，，满足，则 ． 【答案】或/或 【分析】设，整理即可求解． 【详解】解：设， 整理得：， 三式相加得：， 若，则，解得， ∴， 若， 则； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是设． 11．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）；      （2）；      （3）；       （4） （5）；      （6）0；       （7）；         （8）． 【答案】整式：．分式： 【分析】本题考查整式和分式，根据形如，且中含有字母，这样的式子叫做分式，进行判断即可． 【详解】解：由题意，整式有：； 分式有：． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）若分式的值为0，分式无意义，求的值； （2）对于分式，当时，分式无意义；当时，分式的值为0．求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件和分式值为0的条件，熟练掌握掌握分式无意义的条件：分母为0；分式值为0的条件：分母不为0，分子等于0是解题的关键． （1）根据分式无意义的条件和分式值为0的条件得到得且，，解之得到、，再代入求解即可； （2）根据分式无意义的条件和分式值为0的条件得到得，，解之得到、，再代入求解即可． 【详解】解：（1）由题意，得且，， ∴且，， 解得，， 则． （2）当时，分式无意义， ，解得． 当时，分式的值为0， ，解得， ． 13．（23-24八年级上·全国·课后作业）【阅读理解】仔细阅读下面的材料并解答问题：例题：当取何值时，分式的值为正？ 解：依题意得，则有①或②， 解不等式组①得，解不等式组②得不等式组无解，故． 所以当时，分式的值为正． 依照上面方法解答问题： (1)当取何值时，分式的值为负？ (2)当取何值时，分式的值为负？ 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）由题意分式的值为负，此时要分两种情况讨论，然后再根据求不等式的口诀，分别解出不等式组的解集； （2）由题意分式的值为负，先对分母分解因式，再分两种情况讨论，然后根据求不等式的口诀，分别解出不等式组的解集； 【详解】（1）解：依题意，得， 则有①或②， 解不等式组①得：不等式无解； 解不等式组②得：， 不等式的解集是：， 当时，分式的值为负； （2）解：， ， 依题意得， ， 则有①，或②， 解不等式组①得且， 解不等式组②得不等式组无解， 故且， 所以当且时，分式的值为负． 【点睛】本题主要考查分式的值为正的条件和解一元一次不等式组，注意分情况讨论． 14．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）阅读下面的解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即． 所以，故的值为． 该题的解法叫做“倒数求值法”，请你利用“倒数求值法”解下面的题目： (1)若，求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“倒数求值法”的解题思路即可求出答案； （2）根据“倒数求值法”的解题思路即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴； ∴． （2）解：∵，且 ∴ ∵ ∴． 【点睛】本题考查分式的运算，完全平方公式，解题的关键正确理解题目给出的解答思路． 15．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示，为正整数），并说明等式成立的理由． 【答案】(1) (2)猜想第个等式为，理由见解析 【分析】（1）根据题意规律，结合有理数混合运算的性质计算，即可得到答案； （2）结合题意，根据数字规律即可写出第个等式，再根据分式的混合运算法则即可证明等式成立． 【详解】（1）解：按照以上规律，可写出第6个等式为：． 故答案为：； （2）猜想第个等式为． 理由：左边 ， ∴左边右边， ∴等式成立． 【点睛】本题考查数字类规律探索、分式的混合运算．熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$