【专项练】完全平方公式的运算与应用-鲁教版五四制六年级下册期末专项（初中数学）

学科网·险子学 www.zxxk.com 让学习更高 完全平方公式的运算与应用 基础 题 1. 下列各式计算正确的是( B. A. 2a2-a2-a2 (3a)}-3{} C. -2(a-1)=-2a+1=2a+1 D. (a+b){}-a}+b3 2. 下列运算正确的是( ) A.(-a)}=a{ B. (3-26){}-9-46} C. a2a3=a D. (-2a)}8 3. 实数a,b,c满足a-b+c=0,则() A. b2-4ac>0 B. b2-4ac<0 C. 2-4ac>0 D. b2-4ac<0 中等题 4. 若x}-2(m-3)x+16是完全平方式,则m的值是( ) B.-5 A. 3 C. 7 D. 7或-1 5. 如果9x^2}++16能写成一个完全平方的形式,则k-() A. -24 B. 12 C. 士12 D. +24 二、填空题 则(a-)2的值为( ) A.9 B.3 C. 12 D.6 $7. 知(a-b)}=7,(áa+b){}=13,则+2-_,aáb=__. 8.计算: 20152 2014+2016*-2 9.计算: 学科网·照子学 www.zxxk.com 让学习更高 (1)(-2x)}(x)”; (2)(x-y+1){}. 10. 利用乘法公式计算: (1)101^2+99}; 20252 (2) 2024×2026+1' (3)19.9}+19.9×0.2+0.1}. 困难题 11. 我们规定:(a.b)*(c.d)=a^2+c2-bd.例如:(1.2)*(3.4)-12+32-2x4=2. (1)求(-3.2)*(2-1)的值. (2若(x.)*3y-y)是-个完全平方式,则k- (3)若2x+y=10,且(3x+y,2x2+3y2)*(x-3y3)=80,求v的值 12.把代数式通过配方等手段得到完全平方式,再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题 这种解题方法叫做配方法,配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用,如利 用配方法,求a+6a+8的最小值 解:^}+6a+8=a+6a+3}-3{}+8=(a+3){}-1,因为不论a取何值;(a+3){}总是非负数 即(a+3){}>0.所以(a+3)*}-1>-1,所以当a=-3时,a^2+6a+8有最小值-1. 根据上述材料,解答下列问题 (1)将x-10x+27变形为(x-m){+n的形式_,则-10x+27的最小值为__; (2)已知x+y=3,求代数式-x2+v+9x-2的最大值; (3)已知A=2x2-3x+2.B=x2-x-1,请比较A与B的大小,并说明理由; 13.【知识回顾】 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法,借助图的直观性,可以帮助理解数学问题 学科网·照子学 www.zxxk.com 让学习更高 a 图2 图1 图3 (1)图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式为 图2中阴影部分的面积能解 释的乘法公式为 【拓展探究】 (2)若m-n=6.mn=8,求n{}+n的值$$$$ 【解决问题】 (3)如图3,C是线段AB上的一点,分别以AC.BC为边向直线AB两侧作正方形BCFG, 正方形AEDC,连接AF,BD若AB-7,两正方形的面积和为31,求多边形AFGBDE的面 积. 14.对于任意四个有理数a,b,c,d,可以组成两个有理数对(a,b)与(c,d).我们规定: ($a.b)⑧(c,d)=a2+d2-bc.例如:(1.2)⑧(3,4)-1^2+42}-2x3=11. 7 _ (1若(2x,)⑧(v.一v)是一个完全平方式,求常数k的值 (2)若2x+y=12,且(3x+y 2x2+3y})⑧(3.x-3y)=104,求xv的值: (3)在(2)的条件下,将长方形ABCD及长方形CEFG按照如图方式放置,其中点E、G分别 在边CD、BC上,连接BD、BF、DF、EG.若AB=2x,BC=8x,CE=V,CG=4y,$ 求图中阴影部分的面积命学科同·艇子学 www.2x×k.c0m 让学习更离效 完全平方公式的运算与应用 基础题 1.A 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，积的乘方，去括号，完全平方公式逐一进行 判断求解即可· 【详解】解：A、2a2-a2=a2,计算正确，符合题意； B、(3a=9a2,原计算错误，不符合题意； C、-2(a-1)=-2a+2,原计算错误，不符合题意： D、(a+b)=d+2ab+b2,原计算错误，不符合题意； 故选A. 2.A 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式运算的相关法则是解题的关键.根据幂的乘方 法则、完全平方公式、同底数幂的乘法法则、积的乘方逐项判断即可. 【详解】解：A、（-d)=a,故该选项符合题意； B、(3a-2b)2=9a2-12ab+4b2,故该选项不符合题意： C、a2·a3=a3,故该选项符合题意， D、（-2a=-8d,故该选项符合题意； 故选：A 3.C 【分析】本题考查了利用完全平方公式的变形进行求值，正确进行变形，熟练掌握相关运算法 则是解题的关键.运用完全平方公式结合已知等式进行变形求解即可. 【详解】解：a-b+c=0, ∴.b=a+c, .b2-4ac=(a+c)）2-4ac=d+2ac+c2-4ac=a2-2ac+c2=(a-c）20, 故选：C 多学科同·短子学 WwW.2x×k.C0m 让学习更高效 中等题 4.D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用.完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2这里首末 两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍，据此求解即可. 【详解】解：：(x±4)=x2±8x+16, ∴.在X2-2(m-3)x+16中，2(m-3)=±8， 解得：m=7或-1. 故选：D 5.D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，掌握两数的平方和、再加上或减去它们积的2 倍就构成了一个完全平方式成为解题的关键】 将原式化为(3x)+a+4,再根据完全平方公式解答即可. 【详解】解：：9x2++16是一个完全平方式， .9x2++16=(3x)2++42=(3x±4)2=9x2±24x+16,即k=±24. 故选D. 6.B 【分析】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题关键.利用完全平方公式 (a±b=d2±2b+b2求解即可得. 【详解】据，(a+b=9a0= 3 (a-b=(a+b-4ab=9-4x=9-6=3, 故选：B. 3 7. 10 【分析】本题考查完全平方公式的应用，关键在于熟练掌握完全平方公式的变换 根据完全平方公式变形计算求解即可· 多学科同·假子学 www.2x×k.c0m 让学习更商效 【详解】：(a-b)=7 .a2-2ab+b2=7① :(a+b}=13 .a2+2ab+b2=13② .①+②得，2a2+2b2=20 .d2+62=10: ∴.①-②得，4ab=-6 西 故答案为：10， 3 8. /0.5 2 【分析】将分式的分母根据完全平方公式变形得到，2015 2×2015, 再约分即可求解， 本题考查了完全平方公式，解答本题的关键是掌握完全平方公式的形式，这是需要我们熟练记 忆的内容。 【详解】解： 20152 20142+20162-2 20152 (2015-1°+(2015+1)2-2 2015 20152-4030+1+20152+4030+1-2 20152 2×2015 1 故答案为： 多学科同·假子学 Www.2x×k.c0m 让学习更商效 9.(1)4xy (2)x2-2y+y2+2x-2y+1 【分析】本题考查积的乘方，单项式乘以单项式，完全平方公式： (1)先进行乘方运算，再利用单项式乘以单项式的法则进行计算即可； (2)利用完全平方公式进行计算即可. 【详解】(1)解：原式=4xy°x3y=4xy9; (2)原式=(x-y)2+2(x-y)+1=x2-2gy+y2+2x-2y+1. 10.(1)20002 (2)1 (3)400 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式和平方差公式进行简便计算，熟练掌握平方差公式 和完全平方公式，是解题的关键 (1)根据完全平方公式进行计算即可； (2)根据平方差公式进行计算即可； (3)根据完全平方公式进行计算即可· 【详解】(1)解：1012+992 =(100+1+(100-1)月 =1002+2×100×1+1+1002-2×100×1+1 =10001+10001 =20002; (2)解： 20252 2024×2026+1 20252 (2025-1)(2025+1)+1 20252 20252-1+1 多学科同·假子学 wwW.2x×k.c0m 让学习更商效 =1； (3)解：19.92+19.9×0.2+0.1 =(19.9+0.1月 =202 =400. 困难题 11.(1)15 (2)k=±6 (3)y=5 【分析】本题主要考查完全平方公式，代数式求值，在理数的运算，熟练掌握完全平方式是解 题的关键， (1)根据规定直接计算求值： (2)先利用新定义计算(x,a)*(3y,-y),之后配方成完全平方公式，即可得到答案 (3)根据新定义，求出(3x+y,2x2+3y2)*(x-3y,3)=80的左边，从而得出方程，再配方 将2x+y=10整体代入，即可求出y. 【详解】(1)解：(-3,2)*(2，-1)=(-3+22-2×(-1)=9+4+2=15： (2)解：(x,a)*(3y,-y)=x2+(3y-a(-y)=x2+ay+9y2, x2+y+9y2是完全平方式， .k=±6； (3)解：(3x+,2x2+3y2)*(x-3,3) =(3x+y2+(x-3y)2-3(2x2+3y2) =9x2+69y+y2+x2-6y+9y2-6x2-9y2 =4x2+y2 =4x2+y2+4y-4y 命学科同·短子学 www.2x×k.c0m 让学习更商效 =(2x+y}-4=80, .2x+y=10, .102-4y=80, 43y=20, .30y=5. 12.()(x-5)2+2,2 (2)17 (3)A>B 【分析】本题主要考查了配方法的应用； (1)依据题意，根据完全平方公式求解； (2)由x+y=3,得到y=3-x,代入-x2+y+9x-2得-x2+8x+1=-(x-4)2+17,利 用配方法求最大值即可； (3)求出A-B=(x-1+222>0,即可比较大小. 【详解】(1)解：x2-10x+27=x2-10x+25+2=(x-5+2, :不论x取何值，(x-5)总是非负数，即(x-5}≥0. ∴.(x-5)+2≥2， .当x=5时，x2-10x+27有最小值2. 故答案为：(x-5+2,2; (2)解：x+y=3, .y=3-x, -x2+y+9x-2=-x2+3-x+9x-2=-x2+8x+1=-(x2-8x+16)+1+16=-(x-4+17 (x-4≥0， 多学科同·假子学 wwW.2x×k.c0m 让学习更商效 ∴.-(x-4)2+17≤17， ∴.当x=4时，-x2+y+9x-2有最大值17. (3)解：A>B,理由如下： A=2x2-3x+2,B=x2-x-1, .A-B=2x2-3x+2-(x2-x-1=x2-2x+3=x2-2x+1+2=(x-1+2, :不论x取何值，(x-1)总是非负数，即(x-12≥0. .(x-1+2≥2>0， ∴.A-B>0,即A>B. 13.知识回顾：(a+b)=d+2ab+b2,(a-b)=a2-2ab+b2,拓展探究：52；解决问题： 40 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题关键， 知识回顾：根据图1和图2中阴影部分的面积的两种计算方法即可得： 拓展探究：由(m-n)=m2+n2-2mn,代入即可求解； 解决问题：设正方形ACDE和BCFG的边长分别为x,y,则AC=x,BC=CF=y,从而可 得x+y=7,x2+y2=31,再利用完全平方公式求出y的值，然后利用2个直角三角形的面 积加上两个正方形面积求解即可得 【详解】解：知识回顾：图1中阴影部分的面积有两种方法计算，方法一：直接利用正方形的 面积公式计算为(a+b,方法二：两个小正方形与两个小长方形的面积之和，即a2+b2+2b, 所以图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式为(a+b)?=d+2ab+b2, 图2中阴影部分的面积有两种方法计算，方法一：直接利用正方形的面积公式计算为（α-b), 方法二：利用大正方形的面积减去两个小长方形的面积，再加上一个小正方形的面积，即 a2-2ab+b2, 所以图2中阴影部分的面积能解释的乘法公式为(a-b=a2-2ab+b2; 故答案为：(a+b)2=d+2ab+b2,(a-b=a2-2ab+b2, 多学科同·艇子学 www.2x×k.c0m 让学习更离效 拓展探究：(m-n2=m2+m2-2mn,m-n=6,mm=8, .36=m2+n2-16, .7m2+n2=52 解决问题：设正方形ACDE和BCFG的边长分别为x,y,则AC=x,BC=CF=y,如图： D .·AB=7,两正方形的面积和为31， .x+y=7,x2+y2=31, (x+y-(+y_-31=9, 2 2 多边形4 FDE的面积为+户+号+=31+9=40. 1 、) 14.(1)±4 (2)10 (3)128 【分析】(1)根据新定义，求出(2x,a)⑧(y,-y),再根据完全平方式的特征，即可求出k: (2)根据新定义，求出(3x+y,2x2+3y2)⑧(3，x-3y)=104的左边，从而得出方程，再配 方将2x+y=12整体代入，即可求出y; (3)根据阴影部分的面积等于SG+SDr,S.Dr=SCm-S.Dr-SGr-S长方形cE,把 阴影部分的面积表示出来，从得到含有2x+y,y的整式，再把(2)的条件和结论整体代入 即可. 【详解】(1)解：(a,b)⑧(c,d)=a2+d2-bc, .(2x,a)®(0y,-y)=(2x)+(-y-y, 多学科同·短子学 wwW.2x×k.c0m 让学习更商效 ∴.(2x,a)8(y-y）=(2x+y2-y, :(2x,)⊙(y,-y)是完全平方式， ∴.(2x)2+y2-y=4x2±4y+y2, .k=士4； (2)(a,b)⊙(c,d)=a2+d2-bc ∴(3x+y,2x2+3y2)@(3x-3y)）=(3x+y)+(x-3y°-(2x2+3y)）x3=104, 去括号得：9x2+6y+y2+x2-6y+9y2-6x2-9y2=104, 合并同类项得：4x2+y2=104, .2x+y=12, ∴.4x2+y2+4y=104+4y, ∴.(2x+y)2=104+4y, .122=104+4y, 解得：=10， .y=10; 1 (3)S.s=5×4y×y=2y2, 2 1 5.aoc2x-8x m号(2x-04y=4-2. 56r(x-4y=4g-29, SrGcE =4y, ∴.SDBr=SBcD-SDEr-S.BGF-S长方形Fccg, 多学科同·假子学 WwW.2××k.c0m 让学习更离效 .S8r=82-(4g-2y2）-(4gy-2y2）4y2, ..S.Dar =8x2-8xy, ∴.阴影部分的面积为：8x2-8y+2y2; 8x2-89y+2y2 =2(4x2+4灯y+y2-8y） =2[(2x+y2-8gy] .2x+y=12,3y=10 ∴阴影部分的面积为：2×(122-8×10)=128. 【点睛】本题考查了新定义公式，完全平方式，完全平方公变形应用，式整式的混合运算，熟 练掌握新定义公式，完全平方式是解题的关键