第3章 概率初步（思维导图+知识梳理+易错点拨+8大考点讲练+优选真题难度分层练 共44题）-2024-2025学年北师大版数学七年级下学期期末培优知识讲练【2024新教材】

2024-2025学年北师大版数学七年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版）【2024新教材】 第3章 概率初步 （思维导图+知识梳理+易错点拨+8大考点讲练+优选真题难度分层练 共44题） 讲义简介 2 思维带图指引 2 章节知识回顾梳理 2 知识点梳理01：确定事件与不确定事件 2 知识点梳理02：频率与概率 2 易错考点点拨汇总 3 易错知识点01：事件类型混淆 3 易错知识点02：概率计算中的典型错误 4 易错知识点03：频率与概率的关系混淆 4 易错知识点04：几何概率的细节疏漏 4 易错知识点05：逻辑推理与表述错误 5 期末真题考点汇编讲练 5 期末考向一：感受可能性 5 重点考点讲练01：判断事件发生的可能性的大小 5 期末考向二：频率的稳定性 6 重点考点讲练02：由频率估计概率 6 重点考点讲练03：用频率估计概率的综合应用 7 期末考向三：等可能事件的概率 8 重点考点讲练04：列举法求概率 8 重点考点讲练05：根据概率公式计算概率 9 重点考点讲练06：根据概率作判断 10 重点考点讲练07：已知概率求数量 11 重点考点讲练08：几何概率 12 优选真题难度分层练 13 中档题—夯实基础能力 13 压轴题—强化解题技能 16 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：确定事件与不确定事件 1.确定事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定发生，这些事情称为必然事件．有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件．必然事件与不可能事件统称为确定事件. 2.不确定事件 也有许多事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件，也称为随机事件. 【易错点剖析】 要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同. 知识点梳理02：频率与概率 1.频率与概率的定义 频率：在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值称为事件A发生的频率. 无论是掷质地均匀的硬币还是掷图钉，在试验次数很大时正面朝上（钉尖朝上）的频率都会在一个常数附近摆动，这就是频率的稳定性. 概率：我们把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记作P（A）.事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即. 2.频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 【易错点剖析】 ①事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必 然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. ②概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 易错知识点01：事件类型混淆 1. 必然事件、不可能事件与随机事件判断错误 必然事件：如“三角形内角和为180°”是必然事件，但学生可能将某些随机现象误认为必然事件（如“明天下雨”） 不可能事件：如“掷骰子点数为7”是不可能事件，但可能将低概率事件（如“买彩票中奖”）误认为不可能事件 随机事件：需明确“可能发生也可能不发生”的本质，例如“抛硬币正面朝上”是随机事件，但可能误认为“概率50%即必然交替出现” 2. 概率值的意义误解 必然事件概率为1，不可能事件为0，但学生可能认为“概率1=一定发生”仅适用于数学理论，忽略实际中的不确定性（如“太阳东升西落”是必然事件，但理论模型外的极端情况未考虑） 随机事件概率范围是0<P(A)<1，但可能误将概率值赋为负数或超过1（如计算错误导致P(A)=1.2 易错知识点02：概率计算中的典型错误 1. 等可能性假设不成立 例如，抛一枚不均匀硬币，学生仍按“正反面概率各50%”计算，忽略“等可能性”前提 实际应用题：如“从放有3红球2白球的袋中摸球”，若未说明摸球后是否放回，学生可能混淆“放回”与“不放回”的概率差异 2. 列举法遗漏或重复结果 树状图或列表不完整：例如，同时抛两枚硬币，可能漏掉“正反”或“反正”的组合，导致结果从4种误算为3种。 非等可能结果的错误归类：如“掷两枚骰子点数之和为7”有6种组合，但可能误认为所有和值出现概率相同。 易错知识点03：频率与概率的关系混淆 1. 用频率估计概率的条件忽略 概率需要通过“大量重复试验”中频率的稳定性来估计，但学生可能用少量试验结果直接代替概率（如抛硬币5次全正面，误认为P(正面)=1。 误解频率的波动性：例如，某事件在100次试验中发生30次，学生可能直接写P(A)=0.3，而忽略“估计”一词的严谨性。 2. 实际应用中的逻辑错误 如题目给出“树苗成活率约为0.9”，学生可能认为“移植1000棵必成活900棵”，未理解概率的预测性质（实际可能略多或略少）。 混淆概率与统计结果：如“明天下雨概率30%”表示可能性小，但可能误认为“30%的时间下雨”或“30%的区域下雨”。 易错知识点04：几何概率的细节疏漏 1. 几何图形中的比例计算错误 例如，在转盘游戏中，红色区域占圆心角120°，则概率应为120/360=1/3，但可能误算为面积比例时未考虑半径一致的条件。 不规则图形问题：如“随机撒豆子估算不规则区域面积”，可能未正确计算总区域与目标区域的比例 2. 单位统一与边界条件忽略 如“在长为10cm的线段上任取一点”，学生可能未将长度单位统一或误认为端点概率为0（实际几何概率中单点概率为0，但需明确区间） 易错知识点05：逻辑推理与表述错误 1. 概率命题的逆命题误用 例如，“若两事件概率相同，则它们为等可能事件”是错误推理（如抛硬币正面与掷骰子6点的概率均为1/2，但事件性质不同） 必要条件和充分条件混淆：如“同位角相等则两直线平行”是判定定理，但学生可能在未验证同位角是否相等时直接应用。 2. 解题步骤跳跃导致漏分 例如，计算概率时直接写结果 P=2/5，未列出所有可能结果及事件包含的结果数。 未明确公式前提：如使用P(A)=m/nP(A)=m/nP(A)=m/n时未说明“试验结果等可能”。 期末考向一：感受可能性 重点考点讲练01：判断事件发生的可能性的大小 【母题精讲】（22-23七年级下·广东清远·期末）某商场制成了一个如图所示的转盘（八等份）游戏，取名为“开心大转盘”，游戏规定：参与者自由转动转盘，若指针指向字母“A”，则收费2元，若指针指向字母“B”，则奖3元；若指针指向字母“C”，则奖1元；若指针指向边线则重转一次． 你认为前来寻开心的人转动转盘1 次，是获奖的可能性大还是付费的可能性大？为什么？ 【训练1】（21-22七年级下·山西晋中·期末）用三根长度分别为3cm，5cm，10cm的木条首尾顺次相接围成一个三角形，这属于下列事件中的（    ） A．不可能事件 B．随机事件 C．必然事件 D．不确定事件 【训练2】（20-21七年级下·四川成都·期末）在一个不透明的口袋中有4个球，它们除颜色外都相同，其中红球3个，黑球1个． （1）从口袋中随机摸出2个球，则下列事件：①摸到2个黑球；②摸到1个黑球，1个红球；③摸到的2个球中至少有1个是红球．随机事件是 　 　，必然事件是 　 　，不可能事件是 　 　．（填番号） （2）从口袋中随机摸出1球，求摸到红球的概率是多少？ 期末考向二：频率的稳定性 重点考点讲练02：由频率估计概率 【母题精讲】（23-24八年级下·江苏徐州·期中）下表是某芯片生产厂质检部门对该厂生产的一批芯片质量检测的情况． 抽取的芯片数 500 1000 1500 2000 4000 合格数 472 948 1425 3804 合格品的频率 0.948 0.950 0.949 0.951 (1)求出表中______，______； (2)从这批芯片中任意抽取一个，是合格品的概率约是______；（精确到0.01） (3)如果要生产4750个合格的芯片，那么该厂估计要生产多少个芯片？ 【训练1】（22-23七年级下·陕西榆林·期末）某足球运动员在同一条件下进行射门，结果如表所示： 射门次数n 20 50 100 200 500 800 踢进球门的频数m 13 a 58 104 255 400 踢进球门的频率 b 根据表格中的数据解答下列问题： (1)填空：________，_______； (2)这名足球运动员在同一条件下再射门一次，估计他踢进球门的概率（结果精确到） 【训练2】（22-23七年级下·广东深圳·期末）下表是某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数n 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的粒数m 94 a 475 954 1906 4748 发芽频率 0.94 0.955 0.946 b 0.953 0.9496 (1)上表中的a=__________，b=________； (2)任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是________（精确到0.01）； (3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育． 重点考点讲练03：用频率估计概率的综合应用 【母题精讲】（21-22七年级下·甘肃白银·期末）在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，七（1）班的数学学习小组做了摸球试验，他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据： 摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到红球的次数m 14 a 95 155 241 298 602 摸到红球的频率 0.28 0.33 0.317 0.31 0.301 b 0.301 (1)表中______，______； (2)试估算盒子里红球的数量． 【训练1】（2023·湖南长沙·二模）在一个不透明的罐子里装有若干个白色的围棋，现要估计白棋的个数，从装黑棋的罐子里取出10个黑棋放入白棋的罐子里．这些棋子除㖣色外其他完全相同．将罐子里的棋子搅匀，从中随机摸出一个棋子，记下颜色后再放回袋中，不断地重复这个过程，摸了200次后，发现有25次摸到黑棋子，估计这个罐子里的白棋有（    ） A．80个 B．75个 C．70个 D．60个 【训练2】（21-22七年级下·河南平顶山·期末）某水果公司新进一批柑橘，销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中． 柑橘总质量n/kg … 300 350 400 450 500 损坏柑橘质量m/kg … 30.93 35.32 40.36 45.02 51.05 柑橘损坏的频率（精确到0.001） … 0.103 0.101 0.101 0.100 0.102 (1)柑橘损坏的概率约为______（精确到0.1）； (2)当抽取柑橘的总质量n＝2000kg时，损坏柑橘质量m最有可能是______． A．99.32kg    B．203.45kg    C．486.76kg    D．894.82kg (3)若水果公司新进柑橘的总质量为10000kg，成本价是1.8元/kg，公司希望这些柑橘能够获得利润5400元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？ 期末考向三：等可能事件的概率 重点考点讲练04：列举法求概率 【母题精讲】（22-23七年级下·四川达州·期末）有五条线段，长度分别是，，，，，从中任取三条能构成三角形的概率是（  ） A． B． C． D． 【训练1】（19-20九年级上·江苏淮安·期中）有4根细木棒，长度分别为1，2，3，4，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是 ． 【训练2】（20-21七年级下·陕西咸阳·期末）小亮和小芳都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小亮提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个转盘平均分成9等分，分别标上1至9九个号码，随意转动一次转盘，若转到2的倍数，小亮去参加活动；若转到3的倍数，小芳去参加活动；转到6或者其它号码，则重新转动转盘． （1）转盘转到2的倍数的概率是多少？ （2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 重点考点讲练05：根据概率公式计算概率 【母题精讲】（23-24七年级下·广东揭阳·期末）某超市为促销一批新品牌的商品，设立了一个不透明的纸箱，纸箱里装有1个红球、2个白球和12个黄球，并规定每购买60元的新品牌商品，就能获得一次摸球的机会．如果摸得红球，顾客可以得到一把雨伞；摸到白球，可以得到一个文具盒；摸到黄球，可以获得一支铅笔．小顾购此新商品花了85元． (1)她获得奖品的概率是多少？ (2)她得到一把雨伞、一个文具盒的概率分别是多少？ 【训练1】（24-25七年级下·全国·期末）在一个不透明的口袋中装有个红球，个白球，这个球除颜色外其他完全相同 (1)从口袋中随机摸出个球，请写出在这一过程中的一个必然事件和一个不可能事件； (2)若从口袋中随机摸出个球，试求摸到红球的概率； (3)若再往不透明的口袋中装入若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，从中摸出个球．通过多次摸球试验发现，摸到红球的频率稳定在附近，求口袋中黑球大约有多少个． 【训练2】（22-23七年级下·四川达州·期末）向如图所示的正三角形区域内扔沙包，（区域中每个小正三角形陈颜色外完全相同）沙包随机落在某个正三角形内． (1)扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是 ． (2)要使沙包落在图中阴影区域和空白区域的概率均为，还要涂黑几个小正三角形？请在图中画出． 重点考点讲练06：根据概率作判断 【母题精讲】（22-23七年级下·广东佛山·期末）一副扑克牌共有54张，黑桃、红桃、梅花、方块各有13张，还有两张王牌． (1)洗匀后背面朝上放在桌面上，任意抽取1张，抽到方块的概率是________； (2)请你解释一下，打牌的时候，你摸到大王的机会比摸到4的机会小． 【训练1】（20-21七年级下·安徽宿州·期末）利用一个口袋和8个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏，使得摸到红球的概率为，摸到黄球和白球的概率都是．你能选取7个除颜色外完全相同的球设计满足以上条件的游戏吗？ 【训练2】（22-23九年级上·广东茂名·期中）一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加上述同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，白颜色的球被抽到的可能性是 ，那么添加的球是 ． 重点考点讲练07：已知概率求数量 【母题精讲】（2022·辽宁鞍山·中考真题）一个不透明的口袋中装有5个红球和个黄球，这些球除颜色外都相同，某同学进行了如下试验：从袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，为一次摸球试验．根据记录在下表中的摸球试验数据，可以估计出的值为 ． 摸球的总次数 100 500 1000 2000 … 摸出红球的次数 19 101 199 400 … 摸出红球的频率 0.190 0.202 0.199 0.200 … 【训练1】（20-21七年级下·安徽宿州·期末）在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同，其中摸到白色球的概率是，则口袋中白色球可能有（    ）． A．32个 B．28个 C．24个 D．16个 【训练2】（20-21七年级下·山东济南·期末）一个袋中装有红、黑、黄三种颜色小球共15个，这些球除颜色外均相同，其中红色球有5个，若从袋中任意取出一个球，取到黄色球的概率为，则黑色球个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 重点考点讲练08：几何概率 【母题精讲】（23-24七年级下·山东烟台·期末）七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方模板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形、一块平行四边形（对边平行且相等）组成．如图，某同学利用七巧板拼成的正方形玩“滚小球游戏”，小球可以在该正方形上自由滚动，并随机地停留在某块板上（停留在拼接缝隙处不计），则小球停留在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【训练1】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在圆形转盘中，指针转动时恰好落在阴影部分的概率为，则阴影部分的圆心角是 ． 【训练2】（20-21七年级下·山东济南·期末）如图1和图2均是一个均匀的可以自由转动的转盘，图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时重转）；图2被涂上红色与绿色，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色（当指针恰好指在分界线上时重转）．小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘． （1）求小明转出的数字小于7的概率． （2）小颖认为，小明转出来的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同，她的看法对吗?为什么? 中档题—夯实基础能力 1．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）一个不透明的袋子里装有2个白球，3个红球，除颜色外，其余如材料、大小、质量等完全相同．随机从中抽出一个球，抽到红球的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·湖北武汉·期末）“守株待兔”这个事件是（   ） A．随机事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．必然事件 3．（24-25七年级下·全国·期末）下列各选项的事件中，是必然事件的是（　　） A．角的余角是 B．打开电视，正在播放新闻 C．抛掷一枚正方体骰子，点数朝上 D．在中，若，则的形状是锐角三角形 4．（23-24七年级下·河南郑州·期末）七（1）班同学设计用频率去估计概率的试验如下：在一个不透明的口袋中，装有6个球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，统计了黄球出现的次数，绘出的统计图如图所示，则袋子中黄球的个数最可能是 个． 5．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在学习“频率的稳定性”时，某班同学们共同完成了“抛图钉”的试验，同学们记录了500次抛图钉的试验数据如下，根据表格中的数据可以估计图钉钉尖朝上的概率约为 ． 试验总次数 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 钉尖朝上的频率 0.69 6．（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，飞镖游戏板被等分成若干个相同的小正方形，某位同学向游戏板投掷飞镖，假设飞镖落在游戏板上每个点的概率相同，则落在涂色部分的概率为 ． 7．（22-23七年级下·四川达州·期末）在一个不透明的布袋中装有8个红球和16个白球，它们除颜色不同外其余都相同． (1)求从布袋中摸出一个球是红球的概率； (2)现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从布袋中摸出一个球是红球的概率是，问取走了多少个白球？ 8．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）一粒木质中国象棋子“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字，它的反面是平的．将它从一定高度下掷，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵”字面朝上的概率，某实验小组做了棋子下掷试验，试验数据如下表： 试验次数 20 40 60 80 100 120 140 160 “兵”字面朝上频数 14 18 38 47 52 66 88 相应频率 0.7 0.45 0.63 0.59 0.52 0.55 0.55 0.55 (1)画出“兵”字面朝上的频率分布折线图； (2)如果试验继续进行下去，根据上表的数据，这个试验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少？(保留两位小数) 9．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）如图，转盘被分成六个相同的扇形，并在上面依次写上数字：，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止． (1)当转盘停止时，指针指向奇数区域的概率是多少？ (2)当转盘停止时，指针指向的数小于或等于5的概率是多少？ 10．（23-24七年级下·广东茂名·期末）某种麦粒在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示： 试验的麦粒数 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的粒数 94 475 954 1906 4748 发芽的频率 0.94 0.955 0.946 0.954 0.9496 (1)上表中的______，______； (2)任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率是______（精确到0.01）； (3)若某校劳动基地需要这种麦苗9500棵，估计需要准备多少麦粒进行发芽培育． 压轴题—强化解题技能 11．（23-24七年级下·重庆奉节·期末）下列说法正确的是（   ） A．任何数的0次幂都等于1 B．某彩票中奖率是，买100张彩票一定有一张中奖 C．两个等边三角形是全等图形 D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 12．（2024·浙江温州·二模）在一个不透明袋子中装有个只有颜色不同的球，其中个红球、个黄球、个蓝球和个绿球，从中任意摸出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（    ） A．红色 B．黄色 C．蓝色 D．绿色 13．（22-23七年级下·贵州·期末）从标有数字1，2，3，…，20的20张卡片中任意抽取一张，下列事件中，可能性最大的是（    ） A．卡片上的数字是质数 B．卡片上的数字是2的倍数 C．卡片上的数字是合数 D．卡片上的数字是3的倍数 14．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在5×5的正方形网格中，点A、在格点上，在该网格中取一个格点，能使A、、为顶点的等腰三角形中为等腰直角三角形的概率为 ．    15．（22-23七年级下·山东烟台·期末）七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方模板”它山五块等腰直角三角形、一块正方形、一块平行四边形组成．如图，某同学利用七巧板拼成的正方形玩“滚小球游戏”，小球可以在该正方形上自山滚动，并随机地停留在某块板上，则小球停留在阴影部分的概率是 ．    16．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图②是用图①的七巧板拼成的“龙马精神”图形，现将一个飞镖随机投掷到该图形上，则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 17．（22-23七年级下·四川成都·期末）第六届天七数学文化节期间，学校开展了丰富多彩的游园活动．王老师为了解本班学生对华容道、数独、24点、七巧板这4项活动的喜爱情况，在本班学生中随机抽查部分学生，对他们最喜爱的游园项目（每人只选一项）进行问卷调查，将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图，A：华容道，B：数独，C：24点，D：七巧板）．请根据统计图解答下列问题： (1)本次调查中，王老师一共调查了 名学生； (2)将条形统计图补充完整； (3)为进一步优化游园活动，提升活动的体验感，王老师从被调查最喜爱A和D学生中分别选取一名学生分享参与文化节活动的感受与建议，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率． 18．（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，有一个可以自由转动的转盘，转盘被平均分成等份，每个扇形区域内分别标有这六个数字，转动转盘，当转盘停止转动后，指针指向的数字即为转出的数字． 请回答下列问题： (1)随机转动转盘，转出数字是______事件，转出数字是______事件；（从“随机”，“必然”，“不可能”中选一个填空） (2)随机转动转盘，转出的数字是奇数的概率是______； (3)现有两张分别写有和的卡片，随机转动转盘，转盘停止转动后，将转出的数字与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度，则这三条线段能构成三角形的概率是多少？请说明理由． 19．（22-23九年级上·河北保定·期中）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，现有“微信”、“支付宝”、“银行卡”和“现金”四种支付方式． (1)若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是 　　； (2)在一次购物中，小嘉和小琪都想从“微信”、“支付宝”和“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率（用画树状图法或列表法求解）． 20．（22-23七年级下·四川达州·期末）如图，现有一个转盘被平均分成6等份，分别标有2、3、4、5、6、7这六个数字，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字    (1)转到数字10是 　 　（从“不确定事件”“必然事件”“不可能事件”选一个填入）； (2)转动转盘，转出的数字大于3的概率是 　 　； (3)现有两张分别写有3和4的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字 ①这三条线段能构成三角形的概率是多少？ ②这三条线段能构成等腰三角形的概率是多少？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学七年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版）【2024新教材】 第3章 概率初步 （思维导图+知识梳理+易错点拨+8大考点讲练+优选真题难度分层练 共44题） 讲义简介 2 思维带图指引 2 章节知识回顾梳理 2 知识点梳理01：确定事件与不确定事件 2 知识点梳理02：频率与概率 2 易错考点点拨汇总 3 易错知识点01：事件类型混淆 3 易错知识点02：概率计算中的典型错误 4 易错知识点03：频率与概率的关系混淆 4 易错知识点04：几何概率的细节疏漏 4 易错知识点05：逻辑推理与表述错误 5 期末真题考点汇编讲练 5 期末考向一：感受可能性 5 重点考点讲练01：判断事件发生的可能性的大小 5 期末考向二：频率的稳定性 6 重点考点讲练02：由频率估计概率 6 重点考点讲练03：用频率估计概率的综合应用 9 期末考向三：等可能事件的概率 11 重点考点讲练04：列举法求概率 11 重点考点讲练05：根据概率公式计算概率 12 重点考点讲练06：根据概率作判断 15 重点考点讲练07：已知概率求数量 17 重点考点讲练08：几何概率 18 优选真题难度分层练 20 中档题—夯实基础能力 20 压轴题—强化解题技能 26 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：确定事件与不确定事件 1.确定事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定发生，这些事情称为必然事件．有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件．必然事件与不可能事件统称为确定事件. 2.不确定事件 也有许多事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件，也称为随机事件. 【易错点剖析】 要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同. 知识点梳理02：频率与概率 1.频率与概率的定义 频率：在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值称为事件A发生的频率. 无论是掷质地均匀的硬币还是掷图钉，在试验次数很大时正面朝上（钉尖朝上）的频率都会在一个常数附近摆动，这就是频率的稳定性. 概率：我们把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记作P（A）.事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即. 2.频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 【易错点剖析】 ①事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必 然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. ②概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 易错知识点01：事件类型混淆 1. 必然事件、不可能事件与随机事件判断错误 必然事件：如“三角形内角和为180°”是必然事件，但学生可能将某些随机现象误认为必然事件（如“明天下雨”） 不可能事件：如“掷骰子点数为7”是不可能事件，但可能将低概率事件（如“买彩票中奖”）误认为不可能事件 随机事件：需明确“可能发生也可能不发生”的本质，例如“抛硬币正面朝上”是随机事件，但可能误认为“概率50%即必然交替出现” 2. 概率值的意义误解 必然事件概率为1，不可能事件为0，但学生可能认为“概率1=一定发生”仅适用于数学理论，忽略实际中的不确定性（如“太阳东升西落”是必然事件，但理论模型外的极端情况未考虑） 随机事件概率范围是0<P(A)<1，但可能误将概率值赋为负数或超过1（如计算错误导致P(A)=1.2 易错知识点02：概率计算中的典型错误 1. 等可能性假设不成立 例如，抛一枚不均匀硬币，学生仍按“正反面概率各50%”计算，忽略“等可能性”前提 实际应用题：如“从放有3红球2白球的袋中摸球”，若未说明摸球后是否放回，学生可能混淆“放回”与“不放回”的概率差异 2. 列举法遗漏或重复结果 树状图或列表不完整：例如，同时抛两枚硬币，可能漏掉“正反”或“反正”的组合，导致结果从4种误算为3种。 非等可能结果的错误归类：如“掷两枚骰子点数之和为7”有6种组合，但可能误认为所有和值出现概率相同。 易错知识点03：频率与概率的关系混淆 1. 用频率估计概率的条件忽略 概率需要通过“大量重复试验”中频率的稳定性来估计，但学生可能用少量试验结果直接代替概率（如抛硬币5次全正面，误认为P(正面)=1。 误解频率的波动性：例如，某事件在100次试验中发生30次，学生可能直接写P(A)=0.3，而忽略“估计”一词的严谨性。 2. 实际应用中的逻辑错误 如题目给出“树苗成活率约为0.9”，学生可能认为“移植1000棵必成活900棵”，未理解概率的预测性质（实际可能略多或略少）。 混淆概率与统计结果：如“明天下雨概率30%”表示可能性小，但可能误认为“30%的时间下雨”或“30%的区域下雨”。 易错知识点04：几何概率的细节疏漏 1. 几何图形中的比例计算错误 例如，在转盘游戏中，红色区域占圆心角120°，则概率应为120/360=1/3，但可能误算为面积比例时未考虑半径一致的条件。 不规则图形问题：如“随机撒豆子估算不规则区域面积”，可能未正确计算总区域与目标区域的比例 2. 单位统一与边界条件忽略 如“在长为10cm的线段上任取一点”，学生可能未将长度单位统一或误认为端点概率为0（实际几何概率中单点概率为0，但需明确区间） 易错知识点05：逻辑推理与表述错误 1. 概率命题的逆命题误用 例如，“若两事件概率相同，则它们为等可能事件”是错误推理（如抛硬币正面与掷骰子6点的概率均为1/2，但事件性质不同） 必要条件和充分条件混淆：如“同位角相等则两直线平行”是判定定理，但学生可能在未验证同位角是否相等时直接应用。 2. 解题步骤跳跃导致漏分 例如，计算概率时直接写结果 P=2/5，未列出所有可能结果及事件包含的结果数。 未明确公式前提：如使用P(A)=m/nP(A)=m/nP(A)=m/n时未说明“试验结果等可能”。 期末考向一：感受可能性 重点考点讲练01：判断事件发生的可能性的大小 【母题精讲】（22-23七年级下·广东清远·期末）某商场制成了一个如图所示的转盘（八等份）游戏，取名为“开心大转盘”，游戏规定：参与者自由转动转盘，若指针指向字母“A”，则收费2元，若指针指向字母“B”，则奖3元；若指针指向字母“C”，则奖1元；若指针指向边线则重转一次． 你认为前来寻开心的人转动转盘1 次，是获奖的可能性大还是付费的可能性大？为什么？ 【答案】获奖的可能性和付费的可能性相等，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查了可能性，根据转盘八等份里面，字母“A”占4份，字母“B”和“C”占4分，根据概率公式计算然后比较即可得出答案． 【规范解答】解：获奖的可能性和付费的可能性相等理由如下， ∵转盘八等份里面，字母“A”占4份，字母“B”和“C”占4分， ∴前来寻开心的人转动转盘1 次，是获奖的可能性为： 前来寻开心的人转动转盘1 次，是付费的可能性为：， ∴获奖的可能性和付费的可能性相等． 【训练1】（21-22七年级下·山西晋中·期末）用三根长度分别为3cm，5cm，10cm的木条首尾顺次相接围成一个三角形，这属于下列事件中的（    ） A．不可能事件 B．随机事件 C．必然事件 D．不确定事件 【答案】A 【思路点拨】首先根据三角形三边的关系，即可判定这三根木条首尾顺次相接能否围成一个三角形，再根据事件发生的可能性的大小，即可得到答案． 【规范解答】解：， 用三根长度分别为3cm，5cm，10cm的木条首尾顺次相接不能围成一个三角形， 这属于不可能事件， 故选：A． 【训练2】（20-21七年级下·四川成都·期末）在一个不透明的口袋中有4个球，它们除颜色外都相同，其中红球3个，黑球1个． （1）从口袋中随机摸出2个球，则下列事件：①摸到2个黑球；②摸到1个黑球，1个红球；③摸到的2个球中至少有1个是红球．随机事件是 　 　，必然事件是 　 　，不可能事件是 　 　．（填番号） （2）从口袋中随机摸出1球，求摸到红球的概率是多少？ 【答案】（1）②，③，①；（2） 【思路点拨】（1）根据随机事件代表一定条件下事件可能发生也可能不发生、必然事件是指一定条件下事件一定会发生，不可能事件是指一定条件下事件一定不会发生，据此判断即可； （2）用红球的个数除以球的总个数即可． 【规范解答】解：（1）从口袋中随机摸出2个球， 则下列事件：①摸到2个黑球；②摸到1个黑球，1个红球； ③摸到的2个球中至少有1个是红球． 随机事件是②，必然事件是③，不可能事件是①． 故答案为：②、③、①； （2）从口袋中随机摸出1球，摸到红球的概率是＝． 期末考向二：频率的稳定性 重点考点讲练02：由频率估计概率 【母题精讲】（23-24八年级下·江苏徐州·期中）下表是某芯片生产厂质检部门对该厂生产的一批芯片质量检测的情况． 抽取的芯片数 500 1000 1500 2000 4000 合格数 472 948 1425 3804 合格品的频率 0.948 0.950 0.949 0.951 (1)求出表中______，______； (2)从这批芯片中任意抽取一个，是合格品的概率约是______；（精确到0.01） (3)如果要生产4750个合格的芯片，那么该厂估计要生产多少个芯片？ 【答案】(1)0.944，1898 (2)0.95 (3)5000个 【思路点拨】本题考查的是利用频率估计概率，熟知当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率是解题的关键． （1）根据表中数据计算即可； （2）利用频数估算出概率即可； （3）根据概率计算即可． 【规范解答】（1），． 故答案为：0.944，1898； （2）由题意知，从这批芯片中任意抽取一个，是合格品的概率约是0.95； 故答案为：0.95； （3）（个）． 答：估计该厂生产5000个． 【训练1】（22-23七年级下·陕西榆林·期末）某足球运动员在同一条件下进行射门，结果如表所示： 射门次数n 20 50 100 200 500 800 踢进球门的频数m 13 a 58 104 255 400 踢进球门的频率 b 根据表格中的数据解答下列问题： (1)填空：________，_______； (2)这名足球运动员在同一条件下再射门一次，估计他踢进球门的概率（结果精确到） 【答案】(1)35， (2) 【思路点拨】（1）根据频率=进球次数÷射门次数可得答案； （2）用频率来估计概率，频率一般都在左右摆动，所以估计概率为，这是概率与频率之间的关系，即用频率值来估计概率值． 【规范解答】（1）； ； 故答案为：35；； （2）随着射门次数逐渐增大，踢进球门的频率稳定在左右， 所以估计概率为． 【训练2】（22-23七年级下·广东深圳·期末）下表是某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数n 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的粒数m 94 a 475 954 1906 4748 发芽频率 0.94 0.955 0.946 b 0.953 0.9496 (1)上表中的a=__________，b=________； (2)任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是________（精确到0.01）； (3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育． 【答案】(1)191，0.954 (2)0.95 (3)10000粒 【思路点拨】（1）根据种子数、发芽的粒数、发芽率之间的关系求解即可； （2）根据概率与频率的关系解答即可． （3）用9500除以发芽的概率即可． 【规范解答】（1）， ． 故答案为：191，0.954； （2）∵随着实验种子数的增加，频率稳定在0.95， ∴任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是0.95． 故答案为：0.95； （3） 答：需要甄别10000粒种子进行发芽培育． 重点考点讲练03：用频率估计概率的综合应用 【母题精讲】（21-22七年级下·甘肃白银·期末）在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，七（1）班的数学学习小组做了摸球试验，他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据： 摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到红球的次数m 14 a 95 155 241 298 602 摸到红球的频率 0.28 0.33 0.317 0.31 0.301 b 0.301 (1)表中______，______； (2)试估算盒子里红球的数量． 【答案】(1)33，0.298 (2)12个 【思路点拨】（1）根据频数、频率和总数之间的关系求解即可； （2）根据红球的个数等于球的总数乘以摸到红球的概率求解即可． 【规范解答】（1）解：由表格可得，，， 故答案为：33，0.298； （2）解：（个）， 答：盒子里红球的数量为12个． 【训练1】（2023·湖南长沙·二模）在一个不透明的罐子里装有若干个白色的围棋，现要估计白棋的个数，从装黑棋的罐子里取出10个黑棋放入白棋的罐子里．这些棋子除㖣色外其他完全相同．将罐子里的棋子搅匀，从中随机摸出一个棋子，记下颜色后再放回袋中，不断地重复这个过程，摸了200次后，发现有25次摸到黑棋子，估计这个罐子里的白棋有（    ） A．80个 B．75个 C．70个 D．60个 【答案】C 【思路点拨】首先根据重复试验确定取到黑棋子的频率，然后估计白棋子的个数即可． 【规范解答】解：∵共取了200次，其中有25次取到黑棋子， ∴摸到黑色棋子的概率约为， ∴摸到白色棋子的概率约为， ∵共有10可黑色棋子， ∴设有个白色棋子，则， 解得：，经检验是分式方程的解， 故选：C． 【训练2】（21-22七年级下·河南平顶山·期末）某水果公司新进一批柑橘，销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中． 柑橘总质量n/kg … 300 350 400 450 500 损坏柑橘质量m/kg … 30.93 35.32 40.36 45.02 51.05 柑橘损坏的频率（精确到0.001） … 0.103 0.101 0.101 0.100 0.102 (1)柑橘损坏的概率约为______（精确到0.1）； (2)当抽取柑橘的总质量n＝2000kg时，损坏柑橘质量m最有可能是______． A．99.32kg    B．203.45kg    C．486.76kg    D．894.82kg (3)若水果公司新进柑橘的总质量为10000kg，成本价是1.8元/kg，公司希望这些柑橘能够获得利润5400元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？ 【答案】(1)0.1 (2)B (3)2.6元 【思路点拨】（1）根据随着总质量的增加，频率的稳定值可得答案； （2）总质量乘以柑橘损坏的概率即可得出答案； （3）设每千克定价为x元，根据“销售额-总成本=利润”列方程求解即可． 【规范解答】（1）根据表格信息，柑橘损坏的概率约为0.1， 故答案为：0.1； （2）当抽取柑橘总质量n=2000kg时，损坏柑橘质量m约为2000×0.1=200（kg）， 故选：B． （3）根据柑橘损坏的概率约为0.1，可得能够出售的柑橘为： （kg） 则定价为：（元） 答：每千克大约定价2.6元比较合适． 期末考向三：等可能事件的概率 重点考点讲练04：列举法求概率 【母题精讲】（22-23七年级下·四川达州·期末）有五条线段，长度分别是，，，，，从中任取三条能构成三角形的概率是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】找出五条线段任取三条的所有等可能的情况数，找出能构成三角形的情况，即可求出所求的概率． 【规范解答】解：所有的情况有：，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，，共种，其中能构成三角形的有：，，；，，；，，，共种， 则． 故选：B． 【训练1】（19-20九年级上·江苏淮安·期中）有4根细木棒，长度分别为1，2，3，4，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是 ． 【答案】 【思路点拨】首先利用列举法求得从中任取3根的所有等可能的情况与从中任取3根恰好能搭成一个三角形的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【规范解答】解：从1，2，3，4的四根木棒任取3根的所有可能性有：1，2，3；1，2，4；1，3，4；2，3，4共4种情况； 从中任取4根恰好能搭成一个三角形的有：2，3，4共1种情况； 从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率为． 故答案为：． 【训练2】（20-21七年级下·陕西咸阳·期末）小亮和小芳都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小亮提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个转盘平均分成9等分，分别标上1至9九个号码，随意转动一次转盘，若转到2的倍数，小亮去参加活动；若转到3的倍数，小芳去参加活动；转到6或者其它号码，则重新转动转盘． （1）转盘转到2的倍数的概率是多少？ （2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】（1）；（2）游戏不公平，理由见详解 【思路点拨】（1）直接根据概率公式计算可得； （2）利用概率公式计算出两人获胜的概率即可判断． 【规范解答】解：（1）∵共有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9种等可能的结果，其中2的倍数有4个， ∴P（转到2的倍数）＝； （2）游戏不公平， 共有9种等可能的结果，其中3的倍数有3、6、9共3种可能，2的倍数有2，4，6，8共4种可能，由于转到6时需要重新转转盘，故6舍去， ∴小亮去参加活动的概率为：3÷9＝， 小芳去参加活动的概率为：， ∵＞， ∴游戏不公平． 重点考点讲练05：根据概率公式计算概率 【母题精讲】（23-24七年级下·广东揭阳·期末）某超市为促销一批新品牌的商品，设立了一个不透明的纸箱，纸箱里装有1个红球、2个白球和12个黄球，并规定每购买60元的新品牌商品，就能获得一次摸球的机会．如果摸得红球，顾客可以得到一把雨伞；摸到白球，可以得到一个文具盒；摸到黄球，可以获得一支铅笔．小顾购此新商品花了85元． (1)她获得奖品的概率是多少？ (2)她得到一把雨伞、一个文具盒的概率分别是多少？ 【答案】(1)她获得奖品的概率是为1 (2)她得到一把雨伞的概率为；她得到一个文具盒的概率为 【思路点拨】本题考查了概率公式：概率公式=某随机事件所占有的结果数除以所有可能的等结果数．P（必然事件）；P（不可能事件）． （1）她获得奖品为必然事件，从而得到概率为1； （2）根据概率公式分别计算她得到一把雨伞、一个文具盒、一支铅笔的概率． 【规范解答】（1）解：她获得奖品的概率是为1； （2）解：她得到一把雨伞的概率为； 她得到一个文具盒的概率为． 【训练1】（24-25七年级下·全国·期末）在一个不透明的口袋中装有个红球，个白球，这个球除颜色外其他完全相同 (1)从口袋中随机摸出个球，请写出在这一过程中的一个必然事件和一个不可能事件； (2)若从口袋中随机摸出个球，试求摸到红球的概率； (3)若再往不透明的口袋中装入若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，从中摸出个球．通过多次摸球试验发现，摸到红球的频率稳定在附近，求口袋中黑球大约有多少个． 【答案】(1)必然事件：从口袋中随机摸出个球，至少有个是红球；不可能事件：从口袋中随机摸出个球，都是白球（答案不唯一）； (2)； (3)个． 【思路点拨】本题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件．随机事件可能发生也可能不发生的事件；必然事件是一定会发生的事件；不可能事件是不会发生的事件． 根据必然事件和不可能事件的定义写出一个必然事件和一个可能事件即可； 口袋中有个白球和个红球，从口袋中随机摸出一个球共有种等可能的情况，其中是红球的情况有种，所以随机摸出个红球的概率是； 通过多次摸球试验发现，摸到红球的频率稳定在附近，说明口袋中红球的数量占小球总数的，设口袋中黑球约有个，可以列出关于的一元一次方程，解方程求出的值即可． 【规范解答】（1）解：必然事件：从口袋中随机摸出个球，至少有个是红球； 不可能事件：从口袋中随机摸出个球，都是白球； （2）解：从口袋中随机摸出一个球共有种等可能的情况，其中是红球的情况有种， 随机摸出个红球的概率是； （3）解：设口袋中黑球约有个， 根据题意可得：， 解得：， 口袋中黑球大约有个． 【训练2】（22-23七年级下·四川达州·期末）向如图所示的正三角形区域内扔沙包，（区域中每个小正三角形陈颜色外完全相同）沙包随机落在某个正三角形内． (1)扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是 ． (2)要使沙包落在图中阴影区域和空白区域的概率均为，还要涂黑几个小正三角形？请在图中画出． 【答案】(1) (2)还要涂黑2个小正三角形，图见解析 【思路点拨】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率． （1）求出阴影部分的面积与三角形的面积的比值即可解答； （2）利用（1）中求法得出答案即可． 【规范解答】（1）解：因为阴影部分的面积与三角形的面积的比值是， 所以扔沙包1次击中阴影区域的概率等于． 故答案为：． （2）解：要使沙包落在图中阴影区域和空白区域的概率均为，则阴影区域的小正三角形的数量为个， 即还要涂黑2个小正三角形， 如图所示（答案不唯一）： 重点考点讲练06：根据概率作判断 【母题精讲】（22-23七年级下·广东佛山·期末）一副扑克牌共有54张，黑桃、红桃、梅花、方块各有13张，还有两张王牌． (1)洗匀后背面朝上放在桌面上，任意抽取1张，抽到方块的概率是________； (2)请你解释一下，打牌的时候，你摸到大王的机会比摸到4的机会小． 【答案】(1) (2)见解析 【思路点拨】（1）根据概率公式用方片的张数除以总张数即可． （2）根据题意求出摸到大王的概率和摸到4的概率，进而比较大小求解即可． 【规范解答】（1）∵共有54张扑克牌，其中方片有13张， ∴从中任选一张，恰好是方片的概率是； 故答案为：； （2）∵一副扑克牌共有54张，其中大王有1张，4有4张， ∴从中任选一张，恰好是大王的概率是， 从中任选一张，恰好是4的概率是， ∵ ∴摸到大王的机会比摸到4的机会小． 【训练1】（20-21七年级下·安徽宿州·期末）利用一个口袋和8个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏，使得摸到红球的概率为，摸到黄球和白球的概率都是．你能选取7个除颜色外完全相同的球设计满足以上条件的游戏吗？ 【答案】不能 【思路点拨】根据口袋中球的总数及不同颜色球的概率，可算出口袋中不同颜色球的数量． 【规范解答】解：当口袋中装有8个球，其中4个红球、2个黄球、2个白球时，任意摸出一球： P（摸到红球）， P（摸到黄球）， P（摸到白球）． 当口袋中装有7个球时， ∵摸到红球的概率为， ∴袋中红球的个数应为：（个）， 同理，口袋中黄球个数应为：（个）， 白球的个数应为：（个）． ∵小球的个数应为整数， ∴用7个球不能设计出符合条件的游戏． 【训练2】（22-23九年级上·广东茂名·期中）一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加上述同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，白颜色的球被抽到的可能性是 ，那么添加的球是 ． 【答案】红球或黄球/黄球或红球 【思路点拨】用原来袋中白球的数量比上袋中小球的总数量即可算出原来从袋中随便摸出一个小球是白球的概率，将该概率与放球后抽到白色小球的概率进行比较即可得出答案． 【规范解答】∵， ∴原来白颜色的球被抽到的可能性是 ； ∵＞ ， ∴添加的球是红球或黄球． 故答案为：红球或黄球． 重点考点讲练07：已知概率求数量 【母题精讲】（2022·辽宁鞍山·中考真题）一个不透明的口袋中装有5个红球和个黄球，这些球除颜色外都相同，某同学进行了如下试验：从袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，为一次摸球试验．根据记录在下表中的摸球试验数据，可以估计出的值为 ． 摸球的总次数 100 500 1000 2000 … 摸出红球的次数 19 101 199 400 … 摸出红球的频率 0.190 0.202 0.199 0.200 … 【答案】20 【思路点拨】利用大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率求解即可． 【规范解答】解：∵通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2， ∴＝0.2， 解得：m＝20． 经检验m＝20是原方程的解， 故答案为：20． 【训练1】（20-21七年级下·安徽宿州·期末）在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同，其中摸到白色球的概率是，则口袋中白色球可能有（    ）． A．32个 B．28个 C．24个 D．16个 【答案】C 【思路点拨】根据概率公式即可得出口袋中白色球的个数． 【规范解答】解：摸到白色球的概率是， 口袋中白色球可能有个． 故选：C． 【训练2】（20-21七年级下·山东济南·期末）一个袋中装有红、黑、黄三种颜色小球共15个，这些球除颜色外均相同，其中红色球有5个，若从袋中任意取出一个球，取到黄色球的概率为，则黑色球个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【思路点拨】根据取到黄球的概率求出黄球个数，总数减去红黄球个数，即可得到黑球个数． 【规范解答】根据题意可求得黄球个数为：15×=3个， 所以黑球个数为：15-5-3=7个， 故选：C． 重点考点讲练08：几何概率 【母题精讲】（23-24七年级下·山东烟台·期末）七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方模板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形、一块平行四边形（对边平行且相等）组成．如图，某同学利用七巧板拼成的正方形玩“滚小球游戏”，小球可以在该正方形上自由滚动，并随机地停留在某块板上（停留在拼接缝隙处不计），则小球停留在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查几何概率，以及七巧板特点，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键．设大正方形的边长为，先求出阴影部分的面积，然后根据概率公式即可得到答案． 【规范解答】解：设大正方形的边长为， 根据七巧板特点有， 又大正方形的面积为：， 小球停留在阴影部分的概率是：， 故选：． 【训练1】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在圆形转盘中，指针转动时恰好落在阴影部分的概率为，则阴影部分的圆心角是 ． 【答案】/90度 【思路点拨】本题考查了几何概率的知识．阴影部分所对圆心角的度数与的比，即为转动停止后指针指向阴影部分的概率． 【规范解答】解：设圆心角的度数为， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 【训练2】（20-21七年级下·山东济南·期末）如图1和图2均是一个均匀的可以自由转动的转盘，图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时重转）；图2被涂上红色与绿色，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色（当指针恰好指在分界线上时重转）．小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘． （1）求小明转出的数字小于7的概率． （2）小颖认为，小明转出来的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同，她的看法对吗?为什么? 【答案】（1）；（2）对，理由见解析 【思路点拨】（1）共有9种结果，“转出数字小于7”的结果有6种，利用概率公式计算即可； （2）计算小亮转出的颜色是红色的概率，再与（1）算出的概率比较即可． 【规范解答】解：（1）共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，“转出数字小于7”的结果有6种， ∴P（转出数字小于7）； （2）小颖说法正确， 理由：小亮：图2红色部分所在扇形的圆心角度数是， ∴P（转出红色）， ∴P（转出数字小于7）= P（转出红色）， 中档题—夯实基础能力 1．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）一个不透明的袋子里装有2个白球，3个红球，除颜色外，其余如材料、大小、质量等完全相同．随机从中抽出一个球，抽到红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率．据此解答即可． 【规范解答】解：根据题意可得：一个袋子中装有5个球，其中有2个白球，3个红球， 随机从这个袋子中摸出一个红球的概率是． 故选：C． 2．（22-23九年级上·湖北武汉·期末）“守株待兔”这个事件是（   ） A．随机事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．必然事件 【答案】A 【思路点拨】根据事件分类解答即可． 本题考查了事件的分类，正确掌握分类是解题的关键． 【规范解答】解：根据题意，这是个随机事件； 故选：A． 3．（24-25七年级下·全国·期末）下列各选项的事件中，是必然事件的是（　　） A．角的余角是 B．打开电视，正在播放新闻 C．抛掷一枚正方体骰子，点数朝上 D．在中，若，则的形状是锐角三角形 【答案】D 【思路点拨】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可确定． 【规范解答】解：A、角的余角是，是不可能事件，故该选项错误； B、打开电视，正在播放新闻，是随机事件，故该选项错误； C、抛掷一枚正方体骰子，点数朝上，是不可能事件，故选项错误； D、在中，若，根据三角形内角和定理可得，解得：，，故的形状是锐角三角形，是必然事件，故该选项正确； 故选：D． 4．（23-24七年级下·河南郑州·期末）七（1）班同学设计用频率去估计概率的试验如下：在一个不透明的口袋中，装有6个球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，统计了黄球出现的次数，绘出的统计图如图所示，则袋子中黄球的个数最可能是 个． 【答案】2 【思路点拨】根据题意，得黄球的频率近似稳定在，故黄球的个数为个，解答即可． 本题考查了用频率估计概率，熟练掌握意义是解题的关键． 【规范解答】解：根据题意，得黄球的频率近似稳定在，故黄球的个数为个， 故答案为：2． 5．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在学习“频率的稳定性”时，某班同学们共同完成了“抛图钉”的试验，同学们记录了500次抛图钉的试验数据如下，根据表格中的数据可以估计图钉钉尖朝上的概率约为 ． 试验总次数 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 钉尖朝上的频率 0.69 【答案】 【思路点拨】本题考查了用频率估计概率．分析表格频率特点是关键． 根据大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，对表格进行分析即可解答． 【规范解答】观察发现，随着试验次数的增多，钉尖朝上的频率逐渐稳定到常数， 抛一枚这样的图钉落地后钉尖朝上的概率约为． 故答案为：． 6．（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，飞镖游戏板被等分成若干个相同的小正方形，某位同学向游戏板投掷飞镖，假设飞镖落在游戏板上每个点的概率相同，则落在涂色部分的概率为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了几何概率的应用,属于简单题, 用涂色部分的面积除以图形总面积即可得到答案. 【规范解答】解：涂色部分的面积为， ∴飞镖落在涂色部分的概率. 故答案为： 7．（22-23七年级下·四川达州·期末）在一个不透明的布袋中装有8个红球和16个白球，它们除颜色不同外其余都相同． (1)求从布袋中摸出一个球是红球的概率； (2)现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从布袋中摸出一个球是红球的概率是，问取走了多少个白球？ 【答案】(1) (2)取走了7个白球 【思路点拨】本题考查了概率的知识 ． （1） 用红球的个数除以球的总共个数可求从布袋中摸出一个球是红球的概率； （2） 设取走了个白球， 根据从布袋中摸出一个球是红球的概率是，列出方程求解即可 ． 熟知概率公式是关键． 【规范解答】（1）解：（从布袋中摸出一个球是红球）； （2）设取走了个白球， 根据题意得 ， 解得：． 答： 取走了7个白球 ． 8．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）一粒木质中国象棋子“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字，它的反面是平的．将它从一定高度下掷，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵”字面朝上的概率，某实验小组做了棋子下掷试验，试验数据如下表： 试验次数 20 40 60 80 100 120 140 160 “兵”字面朝上频数 14 18 38 47 52 66 88 相应频率 0.7 0.45 0.63 0.59 0.52 0.55 0.55 0.55 (1)画出“兵”字面朝上的频率分布折线图； (2)如果试验继续进行下去，根据上表的数据，这个试验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少？(保留两位小数) 【答案】(1)见解析 (2)0.55 【思路点拨】本题主要考查了用频率估计概率： （1）根据表格，描点连线，可得折线图，从而解答此题． （2）根据图中信息，用频数除以试验次数，得到频率，由于试验次数较多，可以用频率估计概率． 【规范解答】（1）解：根据题意，完成表格，如下： 试验次数 20 40 60 80 100 120 140 160 “兵”字面朝上频数 14 18 38 47 52 66 77 88 相应频率 0.7 0.45 0.63 0.59 0.52 0.55 0.55 0.55 画出“兵”字面朝上的频率分布折线图，如下图： （2）解：根据表中数据，试验频率为0.7，0.45，0.63，0.59，0.52，0.55，0.55，0.55，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在0.55左右， 所以估计概率的大小为0.55． 9．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）如图，转盘被分成六个相同的扇形，并在上面依次写上数字：，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止． (1)当转盘停止时，指针指向奇数区域的概率是多少？ (2)当转盘停止时，指针指向的数小于或等于5的概率是多少？ 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为且． （1）当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向奇数区域3，5，7有3种结果，根据概率公式求解即可． （2）当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向的数小于或等于5区域2，3，4，5有4种结果，根据概率公式求解即可． 【规范解答】（1）解：当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向奇数区域3，5，7有3种结果， 所以指针指向奇数区域的概率是； （2）解：当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向的数小于或等于5区域2，3，4，5有4种结果， 所以指针指向的数小于或等于5的概率是． 10．（23-24七年级下·广东茂名·期末）某种麦粒在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示： 试验的麦粒数 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的粒数 94 475 954 1906 4748 发芽的频率 0.94 0.955 0.946 0.954 0.9496 (1)上表中的______，______； (2)任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率是______（精确到0.01）； (3)若某校劳动基地需要这种麦苗9500棵，估计需要准备多少麦粒进行发芽培育． 【答案】(1)， (2)0.95 (3)10000 【思路点拨】（1）根据种子数、发芽的粒数、发芽率之间的关系求解即可； （2）根据概率与频率的关系解答即可． （3）用9500除以发芽的概率即可． 【规范解答】（1）解：， ． （2）解：任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率是0.95（精确到0.01）； （3）解：． 答：估计需要准备10000麦粒进行发芽培育． 压轴题—强化解题技能 11．（23-24七年级下·重庆奉节·期末）下列说法正确的是（   ） A．任何数的0次幂都等于1 B．某彩票中奖率是，买100张彩票一定有一张中奖 C．两个等边三角形是全等图形 D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 【答案】D 【思路点拨】根据判定A；根据概率的意义判定B；根据全等图形的定义判定C；根据平行线的判定判定D． 【规范解答】解：A、任意非0数的0次幂都等于1，原说法错误，故此选项不符合题意； B、某彩票中奖率是，买100张彩票有可能有一张中奖，原说法错误，故此选项不符合题意； C、两边长相等的等边三角形是全等图形，原说法错误，故此选项不符合题意； D、垂直于同一条直线的两条直线互相平行，说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 12．（2024·浙江温州·二模）在一个不透明袋子中装有个只有颜色不同的球，其中个红球、个黄球、个蓝球和个绿球，从中任意摸出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（    ） A．红色 B．黄色 C．蓝色 D．绿色 【答案】D 【思路点拨】此题考查了频率估计概率，根据“频率频数总次数”计算求解即可估算概率，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：根据某种颜色的球出现的频率如图约为， 摸到红球出现的频率， 摸到黄球出现的频率， 摸到蓝球出现的频率， 摸到绿球出现的频率， ∴该球的颜色最有可能是绿球， 故选：． 13．（22-23七年级下·贵州·期末）从标有数字1，2，3，…，20的20张卡片中任意抽取一张，下列事件中，可能性最大的是（    ） A．卡片上的数字是质数 B．卡片上的数字是2的倍数 C．卡片上的数字是合数 D．卡片上的数字是3的倍数 【答案】C 【思路点拨】根据可能性最大的是就是符合条件的卡片最多的求解即可． 【规范解答】解：A、卡片上的数字是质数的有：2，3，5，7，11，13，17，19，共8张； B、卡片上的数字是2的倍数有：，，，，，，，，，，共10张； C、卡片上的数字是合数有：4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，共11张； D、卡片上的数字是3的倍数有：，，，，，，共6张． ∵， ∴卡片上的数字是合数可能性最大． 故选：C． 14．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在5×5的正方形网格中，点A、在格点上，在该网格中取一个格点，能使A、、为顶点的等腰三角形中为等腰直角三角形的概率为 ．    【答案】 【思路点拨】分别作出以A、B、M三点为顶点的等腰三角形的点M的个数，进而确定以A、B、M三点为顶点的等腰直角三角形的点M的个数，然后运用概率公式即可解答． 【规范解答】解：如图：在该网格中取一个格点，可得到等腰三角形：,共7个； 可得到等腰直角三角形：,共4个； 则能使A、、为顶点的等腰三角形中为等腰直角三角形的概率为．    故答案为． 15．（22-23七年级下·山东烟台·期末）七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方模板”它山五块等腰直角三角形、一块正方形、一块平行四边形组成．如图，某同学利用七巧板拼成的正方形玩“滚小球游戏”，小球可以在该正方形上自山滚动，并随机地停留在某块板上，则小球停留在阴影部分的概率是 ．    【答案】 【思路点拨】设大正方形的边长为，先求出阴影部分的面积，然后根据概率公式即可得到答案． 【规范解答】解：设大正方形的边长为， ， 大正方形的面积， 小球停留在阴影部分的概率． 故答案为：． 16．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图②是用图①的七巧板拼成的“龙马精神”图形，现将一个飞镖随机投掷到该图形上，则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了七巧板，以及几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据图形和七巧板特点可得到阴影部分面积占正方形面积的，进而根据概率公式，即可得到飞镖落在阴影部分的概率． 【规范解答】解：由七巧板特点可知，图②中阴影部分的面积，可转化为图①中阴影部分面积，如图所示： 阴影部分面积占正方形面积的， 飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 17．（22-23七年级下·四川成都·期末）第六届天七数学文化节期间，学校开展了丰富多彩的游园活动．王老师为了解本班学生对华容道、数独、24点、七巧板这4项活动的喜爱情况，在本班学生中随机抽查部分学生，对他们最喜爱的游园项目（每人只选一项）进行问卷调查，将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图，A：华容道，B：数独，C：24点，D：七巧板）．请根据统计图解答下列问题： (1)本次调查中，王老师一共调查了 名学生； (2)将条形统计图补充完整； (3)为进一步优化游园活动，提升活动的体验感，王老师从被调查最喜爱A和D学生中分别选取一名学生分享参与文化节活动的感受与建议，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)20 (2)见解析 (3) 【思路点拨】本题考查了条形统计图和扇形统计图； （1）用条形统计图中B类别的人数除以扇形统计图中B的百分比可得共调查的学生人数． （2）求出A类别中女生的人数，补全条形统计图即可． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【规范解答】（1）本次调查中，王老师一共调查了（名）． 故答案为：20． （2）由题意得，A类别的人数为（人）， ∴A类别中女生的人数为（人）， 补全条形统计图如图1所示． （3）列表如下： 男 女 男 （男，男） （男，女） 男 （男，男） （男，女） 女 （女，男） （女，女） 共有6种等可能的结果，其中恰好选中一名男生和一名女生的结果有3种， ∴恰好选中一名男生和一名女生的概率为． 18．（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，有一个可以自由转动的转盘，转盘被平均分成等份，每个扇形区域内分别标有这六个数字，转动转盘，当转盘停止转动后，指针指向的数字即为转出的数字． 请回答下列问题： (1)随机转动转盘，转出数字是______事件，转出数字是______事件；（从“随机”，“必然”，“不可能”中选一个填空） (2)随机转动转盘，转出的数字是奇数的概率是______； (3)现有两张分别写有和的卡片，随机转动转盘，转盘停止转动后，将转出的数字与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度，则这三条线段能构成三角形的概率是多少？请说明理由． 【答案】(1)不可能，随机； (2)； (3)，见解析． 【思路点拨】（）根据“不可能事件”“随机事件”“必然事件”的意义进行判断即可； （）转动转盘一次，共有种等可能出现的结果情况，其中转出的数字是奇数的有种，根据概率公式即可求解； （）转动转盘可得到这六个数字中的一个，与卡片中的两个数字作为三条线段的长度，共有种等可能的情况，其中能构成三角形的有种，根据概率公式即可求解； 本题考查了随机事件，概率的计算，三角形三边关系，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】（1）∵转盘被平均分成等份，分别标有这六个数字，没有数字， ∴“转出数字”是不可能的，转出数字是可能的， 故答案为：不可能事件，随机事件； （2）转动转盘一次，共有种等可能出现的结果情况，其中转出的数字是奇数的有种， ∴转出的数字是奇数的概率是， 故答案为：； （3）这三条线段能构成三角形的概率是，理由如下： 设转出的数字是，则共有种等可能的结果， ∵能构成三角形， ∴， ∴转盘中符合结果数为种， ∴这三条线段能构成三角形的概率是． 19．（22-23九年级上·河北保定·期中）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，现有“微信”、“支付宝”、“银行卡”和“现金”四种支付方式． (1)若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是 　　； (2)在一次购物中，小嘉和小琪都想从“微信”、“支付宝”和“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率（用画树状图法或列表法求解）． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】此题主要考查概率的求解，解题的关键是根据题意画出树状图，再利用概率公式求解． （1）根据概率公式即可求解； （2）根据题意画出树状图，再根据概率公式即可求解． 【规范解答】（1）解：若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”支付方式的概率为， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小嘉和小琪两人恰好选择同一支付方式的有3种， ∴小嘉和小琪两人恰好选择同一支付方式的概率为：． 20．（22-23七年级下·四川达州·期末）如图，现有一个转盘被平均分成6等份，分别标有2、3、4、5、6、7这六个数字，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字    (1)转到数字10是 　 　（从“不确定事件”“必然事件”“不可能事件”选一个填入）； (2)转动转盘，转出的数字大于3的概率是 　 　； (3)现有两张分别写有3和4的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字 ①这三条线段能构成三角形的概率是多少？ ②这三条线段能构成等腰三角形的概率是多少？ 【答案】(1)不可能事件 (2) (3)①；② 【思路点拨】（1）根据事件的分类进行分析，即可得到答案； （2）由题意可知，转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，大于3的结果有4种，再利用概率公式，即可得到答案； （3）①根据三角形的三边关系可知，能构成三角形的结果有5种，再利用概率公式，即可得到答案； ②根据等腰三角形的定义可知，能构成等腰三角形的结果有2种，再利用概率公式，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：由题意可知，转盘分别标有2、3、4、5、6、7这六个数字， 即转到数字10是不可能事件， 故答案为：不可能事件； （2）解：由题意可知，转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，大于3的结果有4种， 转出的数字大于3的概率是， 故答案为：； （3）解：①由三角形的三边关系可知，三角形的第三边大于1，小于7， 由题意可知，转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，能构成三角形的结果有5种， 这三条线段能构成三角形的概率是； ②当转出的数字为或时，构成的三角形是等腰三角形， 由题意可知，转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，能构成等腰三角形的结果有2种， 这三条线段能构成等腰三角形的概率是． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$