第一篇 专题三 计算题培优3 带电粒子在交变场和立体空间中的运动-【步步高·大二轮专题复习】2025年高考物理复习讲义课件（苏京版）（课件PPT+word教案）

电场与磁场 专题三 计算题培优3　带电粒子在立体空间和交变场中的运动 1.掌握带电粒子在交变电、磁场中运动问题的分析方法，熟悉带电粒子运动的常见模型。 2.会分析带电粒子在立体空间中的组合场、叠加场的运动问题，通过受力分析、运动分析，转换视图角度，充分利用分解的思想降维处理相关问题。 目标要求 内容索引 二、带电粒子在交变场中的运动 一、带电粒子在立体空间中的运动 计算题培优练4　带电粒子在立体空间中的运动 计算题培优练5　带电粒子在交变场中的运动 一、带电粒子在立体空间中的运动 带电粒子在立体空间中的运动问题，往往通过降维思想进行简化，常见示例及解题策略如下表： 运动类型 解题策略 在三维坐标系中运动，每个轴方向都是常见运动模型 将粒子的运动分解为三个方向的运动 一维加一面，如旋进运动 旋进运动将粒子的运动分解为一个轴方向的匀速直线运动或匀变速直线运动和垂直该轴的平面内的圆周运动 运动类型 解题策略 运动所在平面切换，粒子进入下一区域偏转后曲线不在原来的平面内 把粒子运动所在的面隔离出来，转换视图角度，把立体图转化为平面图，分析粒子在每个面的运动 　 (2023·江苏南通市调研)某质谱仪部分结构的原理图如图所示。在空间直角坐标系Oxyz的y>0区域有沿-z方向的匀强电场，电场强度大小为E，在y<0区域有沿-z方向的匀强磁场，在x=-2d处有一足够大的屏，俯视图如 例1 图乙。质量为m、电荷量为+q的粒子从y轴上P(0，-d，0)以初速度v0沿+y方向射出，粒子经过x轴时速度方向与-x方向的夹角θ=60°角，不计粒子的重力。 (1)求磁感应强度大小B； 答案　 粒子在磁场中的运动轨迹如图所示 设粒子做圆周运动的半径为r，由几何关系有rcos θ=d 洛伦兹力提供向心力 qv0B=m，解得B= (2)求粒子打到屏上位置的z轴坐标z1； 答案　- 设粒子经过x轴时的坐标为-x1，则x1+rsin θ=2d，x1=(2-)d 粒子在y>0区域电场中做类平抛运动，在xOy平面内沿v0方向做匀速直线运动，设粒子碰到屏前做类平抛运动的时间为t1，则 v0t1= 粒子运动的加速度a= 在z轴负方向运动的距离z1'=a 联立解得t1=，z1'= 所以打到屏上位置的z轴坐标z1=- (3)若在y<0区域同时也存在沿-z方向的电场强度大小为E的匀强电场，求粒子打到屏上时的速度大小v。 答案　 设粒子在y<0区域运动的时间为t2，研究在磁场中的分运动，有t2= T=· 在y>0区域运动的时间仍为t1，设粒子打到屏上时z轴坐标为z2， 则z2=a(t1+t2)2 根据动能定理有Eqz2=mv2-m 解得v=。 　某粒子偏转装置的基本原理如图所示，平行正对放置的半径均为R、间距为d的圆形金属板M、N，圆心分别为O1、O2，位于O1处的粒子源能向两板间各个方向发射初速度大小为v0的带正电的粒子。已知粒子质量为m、电荷量为q，不计粒子重力及相互间作用，忽略边缘效应。 例2 (1)仅在两板间加电压U，两板间产生方向沿O1O2方向的匀强电场，则电压U满足什么条件时能使粒子全部击中N板？ 答案　U0≥ 当速度与电场强度方向垂直的粒子击中N板，则全部击中N板，由类平抛运动知识得 R=v0t d=at2 由牛顿第二定律q=ma 联立可得U0= 即电压U满足的条件为U0≥ (2)仅在两板间加沿O1O2方向的有界匀强磁场，则磁感应强度大小B满足什么条件时能使粒子全部击中N板？此时粒子在两板间运动的时间t范围为多少？ 答案　B≥　t≥ 粒子源发射出的方向与O1O2连线成θ(0<θ<90°)角的粒子，做螺旋等距运动，则vy=v0sin θ 根据洛伦兹力提供向心力qvyB=m 根据题意可知r≤ 联立解得B≥ 其中vx=v0cos θ d=vxt 联立可得，粒子在两板间运动的时间范围为t≥ (3)若两板间同时存在方向都沿O1O2方向的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度大小为B0，粒子源发射出方向垂直 于O1O2连线的粒子，全部落在半径为的圆周上(<R)，求电场强度的大小。 答案　(n=0，1，2，3…) 设粒子在两板间运动时间为t，在磁场中运动的周期为T，该圆周与粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动的轨迹圆关系如图，可知圆周运 动的直径AB刚好在圆上，粒子经过T、T…可落在圆周上，则应该满足t=T(n=0，1，2，3…) 根据d=at2 其中a= 且粒子做圆周运动的周期为T= 联立可得，电场强度的大小为E=(n=0，1，2，3…)。 二、带电粒子在交变场中的运动 此类问题是场在时间上的组合，电场或磁场往往具有周期性，粒子的运动也往往具有周期性。这种情况下要仔细分析带电粒子的受力情况和运动过程，弄清楚带电粒子在每一时间段内在电场、磁场中各处于什么状态，做什么运动，画出一个周期内的运动轨迹，确定带电粒子的运动过程，选择合适的规律进行解题。 　 (2024·江苏苏锡常镇四市一模)xOy平面内存在着变化的电场和变化的磁场，变化规律如图所示，磁感应强度的正方向为垂直纸面向里，电场强度的正方向为+y方向。t=0时刻，一电荷量为+q、质量为m的粒子从坐标原点O以初速度v0沿 例3 +x方向入射(不计粒子重力)。B-t图中B0=，E-t图中E0=。求： (1)时刻粒子的坐标： 答案　(，) 粒子在磁场中运动的周期T==t0 洛伦兹力提供向心力，有B0qv0=m， 解得r1= 所以个周期，坐标为(r1，r1)，即() (2)0~4t0时间段内粒子速度沿-x方向的时刻； 答案　t0和t0 0~4t0时间内的运动轨迹如图，粒子在电场中的加速度a== 故粒子在t0~2t0时间内竖直方向的速度vy=at0=v0， 故在2t0时速度方向与x轴正方向的夹角为45°， 由图知及以上分析知0~4t0时间段内粒子速度沿-x 方向的时刻为t1= 和t2=2t0+T，即t1=t0和 t2=t0。 (3)0~7t0时间段内粒子轨迹纵坐标的最大值。 答案　(++)v0t0 t0~2t0时间内粒子沿y轴方向位移y0=v0t0 6t0~7t0时间内粒子沿y轴方向最大位移 y磁=(1+cos 45°)r2 分解可知粒子在6t0时刻的速度v'=v0， 故r2=，解得r2=v0t0 即ym=3y0+y磁 得ym=(++)v0t0。 计算题培优练4　 带电粒子在立体空间中的运动 对一对 1 2 答案 题号 1 2 答案 (1)　(2)m　(3) (1)　(2)　(3) 题号 3 答案 (1)2×106 m/s　(2)(0，- m，0)　(3) m 3 1.如图所示，一足够长的长方体O1a1b1c1-O3a3b3c3被正方形O2a2b2c2分成上下两个长方体空间Ⅰ和空间Ⅱ，以O1为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O1-xyz，其中O1a1=O1c1=O2O3=4L。整个长方体空间存在沿z轴负方向的匀强电场(图中未画出)，另外空间Ⅱ内同时还存在沿z轴正方向的匀强磁场(图中未画出)，一质量为m、电荷量为q的 1 2 答案 3 带正电的粒子从O3c3边的中点P以初速度v0平行于y轴正方向射入长方体区域，粒子恰好经过正方形O2a2b2c2的中心点Q，且粒子在空间Ⅱ内运动的过程中，恰好未从长方体侧面飞出长方体区域，不计粒子重力，求： (1)匀强电场的电场强度大小； 1 2 答案 3 答案　 1 2 答案 3 带正电粒子在空间Ⅰ中做类平抛运动，运动轨迹如图 则2L=v0t1 4L=a 由牛顿第二定律qE=ma 联立可得，匀强电场的电场强度大小为E= (2)粒子经过Q点时的动能； 1 2 答案 3 答案　m 在空间Ⅰ中，由动能定理 qE×4L=Ek-m 解得粒子经过Q点时的动能为 Ek=m (3)匀强磁场的磁感应强度大小。 1 2 答案 3 答案　 1 2 粒子进入空间Ⅱ中速度为v==v0 将速度v分解为沿y轴速度v0和沿z轴速度4v0，由于z轴速度方向与磁场平行，不受洛伦兹力，在xO1y平面内的 y轴方向有洛伦兹力提供向心力qv0B=m 由几何关系可知r=L 可得匀强磁场的磁感应强度大小为B=。 答案 3 2.(2024·湖南卷·14)如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，左右端面圆心O'、O处各开有一小孔。以O为坐标原点，取O'O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x≤0区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；筒外x≥0区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向。一电子枪在O'处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大 小均为v0。已知电子的质量为m、电量为e，设 电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互 作用及电子的重力。 1 2 答案 3 (1)若所有电子均能经过O进入电场，求磁感应强度B的最小值； 1 2 答案 3 答案　 1 2 电子在匀强磁场中运动时，将其分解为沿x轴的匀速直线运动和在yOz平面内的匀速圆周运动，设电子入射时沿y轴的分速度大小为vy，由电子在x轴方向做匀速直线运动得L=v0t 在yOz平面内，设电子做匀速圆周运动的半径为R， 周期为T，由牛顿第二定律知Bevy=m 可得R=，T== 若所有电子均能经过O进入电场，则有t=nT(n=1，2，3，…)， 答案 3 1 2 联立得B= 当n=1时，B有最小值，可得Bmin= 答案 3 (2)取(1)问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ，求tan θ的绝对值； 1 2 答案 3 答案　 将电子的速度分解，有tan θ= θ最大时，tan θ有最大值，即vy最大， 此时Rmax==r， 联立可得vym=，tan θ= (3)取(1)问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。 1 2 答案 3 答案　 当vy最大时，电子在电场中运动时沿y轴正方向有最大位移ym， 根据匀变速直线运动规律有ym= 由牛顿第二定律知a= 联立得ym=。 3.(2023·江苏省八市三模)在粒子物理学的研究中，经常用电场和磁场来控制或者改变粒子的运动。现有一种较为简单的控制粒子的装置，其内部结构可简化为如图所示模型：空间三维直角坐标系O-xyz中，在x≥0，y≥0的空间中有沿y轴正方向、电场强度大小E=×105 V/m的 1 2 答案 3 匀强电场，在x<0的空间中有沿z轴负方向、磁感应强度的大小B1=0.2 T的匀强磁场，xOz平面内x≥0区域有一足够大的吸收屏，屏下方存在沿y轴正方向、大小为B2= T的匀强磁场。有一小型粒子源紧贴在x轴上点Q(0.2 m，0，0)的上侧，粒子源能沿x轴负方向持续发射速度为v0=1×106 m/s的带正电的粒子，其比荷为=5×107 C/kg。忽略粒子重力及带电粒子间的相互作用。求： (1)带电粒子第1次穿过y轴时的速度大小； 1 2 答案 3 答案　2×106 m/s 1 2 答案 3 根据题意可知，带电粒子在xOy平面的电场中做类平抛运动，运动轨迹如图所示 粒子沿x轴负方向做匀速直线运动t0= 沿y轴正方向静电力提供加速度a= 联立得vy=×106 m/s 到达y轴时，沿y轴正方向速度为vy=at0 粒子速度大小为v==2×106 m/s (2)带电粒子第2次穿过y轴时的位置坐标； 1 2 答案 3 答案　(0，- m，0) 1 2 答案 3 带电粒子在电场中做类平抛运动，则y=a 设粒子进入磁场时速度方向与x轴负方向的夹角为θ，则tan θ==， 故θ=60° 带电粒子在x<0的空间磁场中做匀速圆周运动， 洛伦兹力提供向心力qvB1= 解得半径为R==0.2 m 根据几何关系，粒子再次回到y轴时，与第一次到y轴之间的距离Δy=2Rcos θ 1 2 答案 3 则有|y2|=Δy-y= m 可知，粒子第2次到达y轴时坐标为(0， - m，0)。 (3)若电场强度的大小E可在×105~×105 V/m之间进行连续调节，带电粒子打在吸收屏上即被吸收并留下印迹，求该印迹长度。 1 2 答案 3 答案　 m 1 2 答案 3 若所加电场E'=×105 V/m 则有a'= y'=a' vy'=a't0 v'= R'= Δy'=2R'cos θ' 1 2 答案 3 |y2'|=Δy'-y'= m 当E=×105 V/m时，带电粒子进入x≥0区域磁场中后，粒子在平行于xOz的平面内以vx=v0做匀速圆周运动，同时在沿y轴方向上做速度为 vy=v0tan θ的匀速直线运动。即做螺旋上升运动。调节E的数值后，易知在垂直于x≥0区域磁场的方向上，每个粒子进入磁场的速度水平分量总保持vx=v0不变。故粒子在平行于xOz的平面内做圆周运动的半径 为R2== m 1 2 答案 3 所加电场E=×105 V/m时， 粒子到达吸收屏的时间t1= 所加电场E'=×105 V/m时， 粒子到达吸收屏的时间t2= 吸收屏能接受到粒子的持续时间为Δt=t2-t1 粒子运动的周期为T==6×10-7 s 1 2 答案 3 由于t1<t2=(2-1)×10-7 s =3×10-7 s 可知t1<t2< 带电粒子均落在吸收屏上，设痕迹的长度为s， 则s=·2πR2= m。 计算题培优练5　 带电粒子在交变场中的运动 对一对 1 2 答案 题号 1 答案 (1)(g+)　(2) (3)B0=(其中k取k≥的整数)　 题号 2 答案 (1)　(2)　(3)［(+，，］ 1.如图甲所示，矩形MNPQ位于竖直平面内，水平线O1O2为矩形的一中心线，NP的长度为d，MN的长度为L，重力加速度为g。某质量为m，电荷量为q(q>0)的小球从O1点以初速度大小v0开始在矩形面内运动。 答案 1 2 (1)若小球初速度沿O1O2方向向右，小球开始 运动时，在矩形MNPQ区域内加竖直向上的匀强电场，小球恰好从P点飞出矩形区域，求所加匀强电场的电场强度的大小E0； 答案　(g+) 小球在矩形MNPQ区域内做类平抛运动，设运动的加速度为a，在矩形 区域中运动时间t0= 在竖直方向有=a 由牛顿第二定律有qE0-mg=ma 解得E0=(g+) 答案 1 2 (2)若小球初速度沿O1O2方向向右，小球开始运动时，在矩形MNPQ区域内加竖直向上、 电场强度大小为的匀强电场，同时加上垂 直于矩形区域向里的匀强磁场，小球恰好从PQ连线中点飞出矩形区域，求所加匀强磁场的磁感应强度大小B； 答案 1 2 答案　 小球受到的静电力F=qE=mg 则小球受到的合力即洛伦兹力，在矩形区域中做匀速圆周运动，如图所示，设圆周运动半径为r， 由几何关系有r2=()2+(r-)2 由向心力公式有qv0B= 解得B= 答案 1 2 (3)若小球初速度偏向右上方向，且与O1O2夹角α=60°，小球开始运动时，在矩形MNPQ区域内 加竖直向上、电场强度大小为的匀强电场，同 时在垂直于矩形区域方向加上按如图乙所示变化 的匀强磁场，变化周期T0=(取垂直于矩形区 答案 1 2 答案　B0=(其中k取k≥的整数)　 域向外为正方向)，小球恰能从O2点飞出矩形区域，求所加磁场磁感应强度大小B0应满足的条件和小球在矩形区域运动的时间。 小球在矩形区域中做匀速圆周运 动，设运动的轨迹半径为r'，则 有qv0B0= 为使小球不从MN、PQ边缘飞出，应满足r'≤d 小球在矩形区域运动的周期T=·=T0 为使小球恰能从O2点飞出矩形区域，应满足的关系是L=kr' 解得B0=(其中k取k≥的整数) 答案 1 2 小球在矩形区域运动的时间t= 解得t=。 答案 1 2 2.高能微粒实验装置，是用以发现高能微粒并研究和了解其特性的主要实验工具。为了简化计算，一个复杂的高能微粒实验装置可以被简化为空间中的复合场模型。 答案 1 2 如图甲所示，三维坐标系中，yOz平面的右侧存在平行z轴方向周期性变化的磁场(图中未画出)和沿y轴正方向竖直向上的匀强电场。有一个质量为m、电荷量为q的带正电的小球从xOy平面内的P点沿x轴正方向水平抛出，小球第一次经过x轴时恰好经过 O点，此时速度大小为v0，方向与x轴正方向的夹角为45°。已知电场强度大小E=，从小球通过O点开始计时，磁感应强度B随时间的变化关系如图乙所示，已知B0=，t0=，规定当磁感应强度沿z轴正方向时为正，重力加速度大小为g。 (1)求小球抛出点P到x轴的距离y； 答案 1 2 答案　 由P到O小球做平抛运动，由于经过O点时速度方向与x轴正方向的夹角为45°，则有 vy=v0sin 45°=v0 根据平抛运动规律得(v0)2=2gy 解得y= (2)求小球从通过O点开始做周期性运动的周期T； 答案 1 2 答案　 根据题意，重力与静电力平衡，即qE=mg 由洛伦兹力提供向心力，有qv0B=m T0= 解得R=，T0= 当B=B0时，R1=，T1= 当B=时，R2=，T2= 结合题中信息可知：0~t0，小球刚好转过180°； 答案 1 2 t0~2t0，小球转过90°；2t0~3t0与0~t0的运动轨迹长短一样，偏转方向不一样；3t0~4t0与t0~2t0的运动轨迹长短一样，偏转方向不一样，综上所述，小球一个周期的运动轨迹如图所示 由图可知T=2×+2×= 答案 1 2 (3)若t=时撤去yOz右侧的原电场和磁场，同时在整个空间加上沿y轴正方向、大小为B'=B0的 匀强磁场，求小球向上运动到离xOz平面最远时的坐标。 答案 1 2 答案　[(+，，] t=t0时，把速度沿水平方向和竖直方向分解，即vx'=vy'=v0sin 45°=v0 小球在竖直方向上做竖直上抛运动，则有 (v0)2=2gy2 v0=gt2 解得y2= t2= 答案 1 2 小球水平方向上做圆周运动，则有 R3== T3== 可知t2=T3 则有x'=R1+R3=(+ y'=y2= 答案 1 2 z'=R3= 因此小球向上运动到离xOz平面最远时的坐标为 [(+]。 答案 1 2 本课结束 THANKS $$ 带电粒子在立体空间和交变场中的运动 目标要求　1.掌握带电粒子在交变电、磁场中运动问题的分析方法，熟悉带电粒子运动的常见模型。2.会分析带电粒子在立体空间中的组合场、叠加场的运动问题，通过受力分析、运动分析，转换视图角度，充分利用分解的思想降维处理相关问题。 一、带电粒子在立体空间中的运动 带电粒子在立体空间中的运动问题，往往通过降维思想进行简化，常见示例及解题策略如下表： 运动类型 解题策略 在三维坐标系中运动，每个轴方向都是常见运动模型 将粒子的运动分解为三个方向的运动 一维加一面，如旋进运动 旋进运动将粒子的运动分解为一个轴方向的匀速直线运动或匀变速直线运动和垂直该轴的平面内的圆周运动 运动所在平面切换，粒子进入下一区域偏转后曲线不在原来的平面内 把粒子运动所在的面隔离出来，转换视图角度，把立体图转化为平面图，分析粒子在每个面的运动 例1　(2023·江苏南通市调研)某质谱仪部分结构的原理图如图所示。在空间直角坐标系Oxyz的y>0区域有沿-z方向的匀强电场，电场强度大小为E，在y<0区域有沿-z方向的匀强磁场，在x=-2d处有一足够大的屏，俯视图如图乙。质量为m、电荷量为+q的粒子从y轴上P(0，-d，0)以初速度v0沿+y方向射出，粒子经过x轴时速度方向与-x方向的夹角θ=60°角，不计粒子的重力。 (1)求磁感应强度大小B； (2)求粒子打到屏上位置的z轴坐标z1； (3)若在y<0区域同时也存在沿-z方向的电场强度大小为E的匀强电场，求粒子打到屏上时的速度大小v。 答案　(1)　(2)- (3) 解析　(1)粒子在磁场中的运动轨迹如图所示 设粒子做圆周运动的半径为r，由几何关系有rcos θ=d 洛伦兹力提供向心力 qv0B=m，解得B= (2)设粒子经过x轴时的坐标为-x1，则x1+rsin θ=2d，x1=(2-)d 粒子在y>0区域电场中做类平抛运动，在xOy平面内沿v0方向做匀速直线运动，设粒子碰到屏前做类平抛运动的时间为t1，则 v0t1= 粒子运动的加速度a= 在z轴负方向运动的距离z1'=a 联立解得t1=，z1'= 所以打到屏上位置的z轴坐标z1=- (3)设粒子在y<0区域运动的时间为t2，研究在磁场中的分运动，有t2=T=· 在y>0区域运动的时间仍为t1，设粒子打到屏上时z轴坐标为z2，则z2=a(t1+t2)2 根据动能定理有Eqz2=mv2-m 解得v=。 例2　某粒子偏转装置的基本原理如图所示，平行正对放置的半径均为R、间距为d的圆形金属板M、N，圆心分别为O1、O2，位于O1处的粒子源能向两板间各个方向发射初速度大小为v0的带正电的粒子。已知粒子质量为m、电荷量为q，不计粒子重力及相互间作用，忽略边缘效应。 (1)仅在两板间加电压U，两板间产生方向沿O1O2方向的匀强电场，则电压U满足什么条件时能使粒子全部击中N板？ (2)仅在两板间加沿O1O2方向的有界匀强磁场，则磁感应强度大小B满足什么条件时能使粒子全部击中N板？此时粒子在两板间运动的时间t范围为多少？ (3)若两板间同时存在方向都沿O1O2方向的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度大小为B0，粒子源发射出方向垂直于O1O2连线的粒子，全部落在半径为的圆周上(<R)，求电场强度的大小。 答案　(1)U0≥　(2)B≥　t≥　(3)(n=0，1，2，3…) 解析　(1)当速度与电场强度方向垂直的粒子击中N板，则全部击中N板，由类平抛运动知识得 R=v0t d=at2 由牛顿第二定律q=ma 联立可得U0= 即电压U满足的条件为U0≥ (2)粒子源发射出的方向与O1O2连线成θ(0<θ<90°)角的粒子，做螺旋等距运动，则vy=v0sin θ 根据洛伦兹力提供向心力qvyB=m 根据题意可知r≤ 联立解得B≥ 其中vx=v0cos θ d=vxt 联立可得，粒子在两板间运动的时间范围为 t≥ (3)设粒子在两板间运动时间为t，在磁场中运动的周期为T，该圆周与粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动的轨迹圆关系如图，可知圆周运动的直径AB刚好在圆上，粒子经过、T、T…可落在圆周上，则应该满足t=T(n=0，1，2，3…) 根据d=at2 其中a= 且粒子做圆周运动的周期为T= 联立可得，电场强度的大小为 E=(n=0，1，2，3…)。 二、带电粒子在交变场中的运动 此类问题是场在时间上的组合，电场或磁场往往具有周期性，粒子的运动也往往具有周期性。这种情况下要仔细分析带电粒子的受力情况和运动过程，弄清楚带电粒子在每一时间段内在电场、磁场中各处于什么状态，做什么运动，画出一个周期内的运动轨迹，确定带电粒子的运动过程，选择合适的规律进行解题。 例3　(2024·江苏苏锡常镇四市一模)xOy平面内存在着变化的电场和变化的磁场，变化规律如图所示，磁感应强度的正方向为垂直纸面向里，电场强度的正方向为+y方向。t=0时刻，一电荷量为+q、质量为m的粒子从坐标原点O以初速度v0沿+x方向入射(不计粒子重力)。B-t图中B0=，E-t图中E0=。求： (1)时刻粒子的坐标： (2)0~4t0时间段内粒子速度沿-x方向的时刻； (3)0~7t0时间段内粒子轨迹纵坐标的最大值。 答案　(1)(，)　(2)t0和t0　(3)(++)v0t0 解析　(1)粒子在磁场中运动的周期T==t0 洛伦兹力提供向心力，有B0qv0=m，解得r1= 所以时刻粒子运动了个周期，坐标为(r1，r1)，即(，) (2)0~4t0时间内的运动轨迹如图，粒子在电场中的加速度a== 故粒子在t0~2t0时间内竖直方向的速度vy=at0=v0， 故在2t0时速度方向与x轴正方向的夹角为45°， 由图知及以上分析知0~4t0时间段内粒子速度沿-x方向的时刻为t1= 和t2=2t0+T，即t1=t0和 t2=t0。 (3)t0~2t0时间内粒子沿y轴方向位移y0=v0t0 6t0~7t0时间内粒子沿y轴方向最大位移 y磁=(1+cos 45°)r2 分解可知粒子在6t0时刻的速度v'=v0， 故r2=，解得r2=v0t0 即ym=3y0+y磁 得ym=(++)v0t0。 计算题培优练4　带电粒子在立体空间中的运动　[分值：40分] 1.(12分)如图所示，一足够长的长方体O1a1b1c1-O3a3b3c3被正方形O2a2b2c2分成上下两个长方体空间Ⅰ和空间Ⅱ，以O1为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O1-xyz，其中O1a1=O1c1=O2O3=4L。整个长方体空间存在沿z轴负方向的匀强电场(图中未画出)，另外空间Ⅱ内同时还存在沿z轴正方向的匀强磁场(图中未画出)，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从O3c3边的中点P以初速度v0平行于y轴正方向射入长方体区域，粒子恰好经过正方形O2a2b2c2的中心点Q，且粒子在空间 Ⅱ 内运动的过程中，恰好未从长方体侧面飞出长方体区域，不计粒子重力，求： (1)(4分)匀强电场的电场强度大小； (2)(3分)粒子经过Q点时的动能； (3)(5分)匀强磁场的磁感应强度大小。 答案　(1)　(2)m　(3) 解析　(1)带正电粒子在空间Ⅰ中做类平抛运动，运动轨迹如图 则2L=v0t1 4L=a 由牛顿第二定律qE=ma 联立可得，匀强电场的电场强度大小为E= (2)在空间Ⅰ中，由动能定理 qE×4L=Ek-m 解得粒子经过Q点时的动能为 Ek=m (3)粒子进入空间Ⅱ中速度为v==v0 将速度v分解为沿y轴速度v0和沿z轴速度4v0，由于z轴速度方向与磁场平行，不受洛伦兹力，在xO1y平面内的 y轴方向有洛伦兹力提供向心力qv0B=m 由几何关系可知r=L 可得匀强磁场的磁感应强度大小为B=。 2.(14分)(2024·湖南卷·14)如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，左右端面圆心O'、O处各开有一小孔。以O为坐标原点，取O'O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x≤0区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；筒外x≥0区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向。一电子枪在O'处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力。 (1)(6分)若所有电子均能经过O进入电场，求磁感应强度B的最小值； (2)(4分)取(1)问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ，求 tan θ的绝对值； (3)(4分)取(1)问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。 答案　(1)　(2)　(3) 解析　(1)电子在匀强磁场中运动时，将其分解为沿x轴的匀速直线运动和在yOz平面内的匀速圆周运动，设电子入射时沿y轴的分速度大小为vy，由电子在x轴方向做匀速直线运动得L=v0t 在yOz平面内，设电子做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，由牛顿第二定律知Bevy=m 可得R=，T== 若所有电子均能经过O进入电场，则有t=nT(n=1，2，3，…)，联立得B= 当n=1时，B有最小值，可得Bmin= (2)将电子的速度分解，有tan θ= θ最大时，tan θ有最大值，即vy最大， 此时Rmax==r， 联立可得vym=，tan θ= (3)当vy最大时，电子在电场中运动时沿y轴正方向有最大位移ym， 根据匀变速直线运动规律有ym= 由牛顿第二定律知a= 联立得ym=。 3.(14分)(2023·江苏省八市三模)在粒子物理学的研究中，经常用电场和磁场来控制或者改变粒子的运动。现有一种较为简单的控制粒子的装置，其内部结构可简化为如图所示模型：空间三维直角坐标系O-xyz中，在x≥0，y≥0的空间中有沿y轴正方向、电场强度大小E=×105 V/m的匀强电场，在x<0的空间中有沿z轴负方向、磁感应强度的大小B1=0.2 T的匀强磁场，xOz平面内x≥0区域有一足够大的吸收屏，屏下方存在沿y轴正方向、大小为B2= T的匀强磁场。有一小型粒子源紧贴在x轴上点Q(0.2 m，0，0)的上侧，粒子源能沿x轴负方向持续发射速度为v0=1×106 m/s的带正电的粒子，其比荷为=5×107 C/kg。忽略粒子重力及带电粒子间的相互作用。求： (1)(4分)带电粒子第1次穿过y轴时的速度大小； (2)(4分)带电粒子第2次穿过y轴时的位置坐标； (3)(6分)若电场强度的大小E可在×105~×105 V/m之间进行连续调节，带电粒子打在吸收屏上即被吸收并留下印迹，求该印迹长度。 答案　(1)2×106 m/s　(2)(0，- m，0)　(3) m 解析　(1)根据题意可知，带电粒子在xOy平面的电场中做类平抛运动，运动轨迹如图所示 粒子沿x轴负方向做匀速直线运动t0= 沿y轴正方向静电力提供加速度a= 联立得vy=×106 m/s 到达y轴时，沿y轴正方向速度为vy=at0 粒子速度大小为v==2×106 m/s (2)带电粒子在电场中做类平抛运动，则y=a 设粒子进入磁场时速度方向与x轴负方向的夹角为θ，则tan θ==，故θ=60° 带电粒子在x<0的空间磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力qvB1= 解得半径为R==0.2 m 根据几何关系，粒子再次回到y轴时，与第一次到y轴之间的距离Δy=2Rcos θ 则有|y2|=Δy-y= m 可知，粒子第2次到达y轴时坐标为(0，- m，0)。 (3)若所加电场E'=×105 V/m 则有a'= y'=a' vy'=a't0 v'= R'= Δy'=2R'cos θ' |y2'|=Δy'-y'= m 当E=×105 V/m时，带电粒子进入x≥0区域磁场中后，粒子在平行于xOz的平面内以vx=v0做匀速圆周运动，同时在沿y轴方向上做速度为vy=v0tan θ的匀速直线运动。即做螺旋上升运动。调节E的数值后，易知在垂直于x≥0区域磁场的方向上，每个粒子进入磁场的速度水平分量总保持vx=v0不变。故粒子在平行于xOz的平面内做圆周运动的半径为R2== m 粒子运动的周期为T==6×10-7 s 所加电场E=×105 V/m时， 粒子到达吸收屏的时间t1= 所加电场E'=×105 V/m时， 粒子到达吸收屏的时间t2= 吸收屏能接受到粒子的持续时间为Δt=t2-t1 由于t1<t2=(2-1)×10-7 s =3×10-7 s 可知t1<t2< 带电粒子均落在吸收屏上，设痕迹的长度为s，则s=·2πR2= m。 计算题培优练5　带电粒子在交变场中的运动　[分值：30分] 1.(14分)如图甲所示，矩形MNPQ位于竖直平面内，水平线O1O2为矩形的一中心线，NP的长度为d，MN的长度为L，重力加速度为g。某质量为m，电荷量为q(q>0)的小球从O1点以初速度大小v0开始在矩形面内运动。 (1)(4分)若小球初速度沿O1O2方向向右，小球开始运动时，在矩形MNPQ区域内加竖直向上的匀强电场，小球恰好从P点飞出矩形区域，求所加匀强电场的电场强度的大小E0； (2)(4分)若小球初速度沿O1O2方向向右，小球开始运动时，在矩形MNPQ区域内加竖直向上、电场强度大小为的匀强电场，同时加上垂直于矩形区域向里的匀强磁场，小球恰好从PQ连线中点飞出矩形区域，求所加匀强磁场的磁感应强度大小B； (3)(6分)若小球初速度偏向右上方向，且与O1O2夹角α=60°，小球开始运动时，在矩形MNPQ区域内加竖直向上、电场强度大小为的匀强电场，同时在垂直于矩形区域方向加上按如图乙所示变化的匀强磁场，变化周期T0=(取垂直于矩形区域向外为正方向)，小球恰能从O2点飞出矩形区域，求所加磁场磁感应强度大小B0应满足的条件和小球在矩形区域运动的时间。 答案　(1)(g+)　(2)　(3)B0=(其中k取k≥的整数)　 解析　(1)小球在矩形MNPQ区域内做类平抛运动，设运动的加速度为a，在矩形区域中运动时间t0= 在竖直方向有=a 由牛顿第二定律有qE0-mg=ma 解得E0=(g+) (2)小球受到的静电力F=qE=mg 则小球受到的合力即洛伦兹力，在矩形区域中做匀速圆周运动，如图所示，设圆周运动半径为r，由几何关系有r2=()2+(r-)2 由向心力公式有qv0B= 解得B= (3)小球在矩形区域中做匀速圆周运动，设运动的轨迹半径为r'，则有qv0B0= 为使小球不从MN、PQ边缘飞出，应满足r'≤d 小球在矩形区域运动的周期T=·=T0 为使小球恰能从O2点飞出矩形区域，应满足的关系是L=kr' 解得B0=(其中k取k≥的整数) 小球在矩形区域运动的时间t= 解得t=。 2.(16分)高能微粒实验装置，是用以发现高能微粒并研究和了解其特性的主要实验工具。为了简化计算，一个复杂的高能微粒实验装置可以被简化为空间中的复合场模型。如图甲所示，三维坐标系中，yOz平面的右侧存在平行z轴方向周期性变化的磁场(图中未画出)和沿y轴正方向竖直向上的匀强电场。有一个质量为m、电荷量为q的带正电的小球从xOy平面内的P点沿x轴正方向水平抛出，小球第一次经过x轴时恰好经过O点，此时速度大小为v0，方向与x轴正方向的夹角为45°。已知电场强度大小E=，从小球通过O点开始计时，磁感应强度B随时间的变化关系如图乙所示，已知B0=，t0=，规定当磁感应强度沿z轴正方向时为正，重力加速度大小为g。 (1)(4分)求小球抛出点P到x轴的距离y； (2)(6分)求小球从通过O点开始做周期性运动的周期T； (3)(6分)若t=时撤去yOz右侧的原电场和磁场，同时在整个空间加上沿y轴正方向、大小为B'=B0的匀强磁场，求小球向上运动到离xOz平面最远时的坐标。 答案　(1)　(2)　(3)[(+，，] 解析　(1)由P到O小球做平抛运动，由于经过O点时速度方向与x轴正方向的夹角为45°，则有 vy=v0sin 45°=v0 根据平抛运动规律得(v0)2=2gy 解得y= (2)根据题意，重力与静电力平衡，即qE=mg 由洛伦兹力提供向心力，有qv0B=m T0= 解得R=，T0= 当B=B0时，R1=，T1= 当B=时，R2=，T2= 结合题中信息可知：0~t0，小球刚好转过180°；t0~2t0，小球转过90°；2t0~3t0与0~t0的运动轨迹长短一样，偏转方向不一样；3t0~4t0与t0~2t0的运动轨迹长短一样，偏转方向不一样，综上所述，小球一个周期的运动轨迹如图所示 由图可知T=2×+2×= (3)t=t0时，把速度沿水平方向和竖直方向分解，即vx'=vy'=v0sin 45°=v0 小球在竖直方向上做竖直上抛运动，则有 (v0)2=2gy2 v0=gt2 解得y2= t2= 小球水平方向上做圆周运动，则有 R3== T3== 可知t2=T3 则有x'=R1+R3=(+ y'=y2= z'=R3= 因此小球向上运动到离xOz平面最远时的坐标为[(+，，]。 学科网（北京）股份有限公司 $$