广东省深圳坪山高级中学2024-2025学年高二下学期期中数学试卷

坪山高级中学2024-2025学年第二学期期中考试高二数学试卷 时间：120分钟；试卷满分：150分 命题人：樊泽昉 审题人：聂嘉 2025.4 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知盒中装有大小形状完全相同的3个红球、2个白球、5个黑球.甲每次从中任取一球且不放回，则在他第一次拿到的是红球的前提下，第二次拿到白球的概率为（ ） A. B. C. D. 2. 如果随机变量X～N(4,1)，则P(X≤2)约等于(　　) (注：P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 5) A．0.210 B．0.022 8 C．0.045 6 D．0.021 5 3.设随机变量，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 满足的正整数等于（ ） A. 1，5 B. 3， C. 1，3 D. 5， 5. 函数，则等于( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. －4 6．等于（ ） A. 990 B. 165 C. 120 D. 55 7. 某批麦种中，一等麦种占，二等麦种占，一等麦种二等麦种种植后所结麦子含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为（　　） A．0.48 B．0.52 C．0.56 D．0.65 8. 定义在上的函数的导函数为，满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 十八世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，可视为X服从正态分布，其密度函数，．任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布（且）．当时，对任意实数x，记，则（    ） A． B．当时， C．随机变量，当减小，增大时，概率保持不变 D．随机变量，当都增大时，概率单调增大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量服从正态分布，则＝_________ 13. 为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展，坪山高级中学教育集团选派了3名男教师和2名女教师去支援新疆教育，要求这5名教师被分派到3个学校对口支教，每名教师只去一个学校，每个学校至少安排1名教师，其中2名女教师分派到同一个学校，则不同的分派方法有____种 14. 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本题满分13分)已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程． （2）求在区间上的最大值和最小值． 16.(本题满分15分) 据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长透择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生） （1）若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼境，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？ （2）从这8名戴角膜塑形镜学生中，选出3个人，求其中男生人数的期望与方差； （3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从A市的小学生中，随机选出20位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数的期望和方差. 17. (本题满分15分)已知的展开式中第2项与第3项的二项式系数之和是21， （1）求的值； （2）求展开式中项系数最大的项. 18.(本题满分17分) 设函数． （1）若是的极值点，求的值，并讨论的单调性； （2）当时，求证：． 19. (本题满分17分)已知函数. （1）证明：函数在定义域内存在唯一零点； （2）设，试比较与的大小，并说明理由； （3）若数列的通项，求证. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 坪山高中教育集团2024-205学年高二期中考试数学试卷 时间：120分钟；试卷满分：150分 命题人：樊泽昉 审题人：聂嘉 2025.4 1. 已知盒中装有大小形状完全相同的3个红球、2个白球、5个黑球.甲每次从中任取一球且不放回，则在他第一次拿到的是红球的前提下，第二次拿到白球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设“第一次拿到的是红球”为事件A,“第二次拿到白球”为事件B，分别计算出，的值，由条件概率公式可得，可得答案. 【详解】解：设“第一次拿到的是红球”为事件A,“第二次拿到白球”为事件B， 可得：，, 则所求事件的概率为：,故选：D. 【点睛】本题主要考查条件概率与独立事件的计算，属于条件概率的计算公式是解题的关键. 2. 如果随机变量X～N(4,1)，则P(X≤2)约等于(　　) (注：P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 5) A．0.210 B．0.022 8 C．0.045 6 D．0.021 5 【答案】B　[P(X≤2)＝(1－P(2<X≤6))×＝[1－P(4－2<X≤4＋2)]×＝(1－0.954 5)×≈0.022 8.] 3. 设随机变量，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】 由二项分布的期望和方差公式求出，即可求解. 【详解】随机变量服从二项分布，， 解之得，所以．故选：B. 【点睛】本题考查二项分布的期望、方差和独立重复试验的概率，熟记公式即可，属于基础题. 4. 满足的正整数等于（ ） A. 1，5 B. 3， C. 1，3 D. 5， 【答案】C【解析】【分析】根据组合数的运算性质列方程求解即可得的值. 【详解】若，则或， 解得，或，，经检验，不符合组合数运算性质 所以等于1或3.故选：C. 5. 函数，则等于( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. －4 【答案】D 【解析】【分析】根据基本初等函数的求导公式和求导法则求出，令x＝1，求出，再令x＝0即可求出. 【详解】， ， ，， ，，故选：D. 6. 等于（ ） A. 990 B. 165 C. 120 D. 55 【答案】B【解析】【分析】根据组合数性质化简即可 【详解】因为， 所以 ．故选：B 7. 某批麦种中，一等麦种占80%，二等麦种占20%等麦种种植后所结麦含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为（　　） A．0.48 B．0.52 C．0.56 D．0.65 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得． 【解答】解：种植一等麦种和二等麦种的事件分别为A1，A2，所结麦穗含有50粒以上麦粒为事件B， 依题意，P（A1）＝0.8，P（A2）＝0.2，P（B|A1）＝0.6，P（B|A2）＝0.2， 由全概率公式得，P（B）＝P（BA1）+P（BA2）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）＝0.8×0.6+0.2×0.2＝0.52． 故选：B． 重庆南开8. 定义在上的函数的导函数为，满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】令，求出导函数，即可得到的单调性，则问题转化为，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】令，则， 所以在定义域上单调递增， 不等式，即，即， 所以，解得，即不等式的解集为.故选：C 多选 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则求各选项的导数即可. 【详解】A：，错误；B：，正确；C：，正确；D：，正确.故选：BCD 10. 设，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式，先求出和；再分别令，，代入题中式子，逐项判断，即可得出结果. 【详解】因为展开式的第项为， 又， 所以，，则，故A正确； 令，则， 令，则； 令，则， 故，即B错； ，即C正确； ，即D正确；故选：ACD. 【点睛】方法点睛：求解二项展开式各项系数和或部分项的系数和时，一般利用赋值法，结合所给二项展开式进行求解即可. 11.十八世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，可视为X服从正态分布，其密度函数，．任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布（且）．当时，对任意实数x，记，则（    ） A． B．当时， C．随机变量，当减小，增大时，概率保持不变 D．随机变量，当都增大时，概率单调增大 【答案】AC 【分析】根据结合正态曲线的对称性，可判断A;由可推得其结果为，判断B;根据正态分布的准则可判断C,D. 【详解】对于A，根据正态曲线的对称性可得：，故A正确； 对于B, 当时， ，故B错误； 对于C，D，根据正态分布的准则，在正态分布中代表标准差，代表均值, 即为图象的对称轴，根据原则可知数值分布在中的概率为0.6826，是常数， 故由可知，C正确，D错误， 故选：AC 填空题 12. 已知随机变量服从正态分布，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由方差的性质直接求解即可 【详解】因为随机变量服从正态分布， 所以，所以，故选：D 13. 为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展，坪山高级中学教育集团选派了3名男教师和2名女教师去支援新疆教育，要求这5名教师被分派到3个学校对口支教，每名教师只去一个学校，每个学校至少安排1名教师，其中2名女教师分派到同一个学校，则不同的分派方法有（ ） A. 18种 B. 36种 C. 68种 D. 84种 【答案】B【解析】 【分析】由题意：2名女教师分派到同一个学校考虑该校是否分配男教师，即可求出答案. 【详解】根据题意，分派方案可分为两种情况: ①2名女教师和1名男教师分派到同一个学校，则有种方法. ②2名女教师分派到同一个学校，且该学校没有分配没有男教师，则有：种方法. 故一共有：36种分配方法.故选：B. 14．（2019春•碑林区校级月考）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为_______． 解：方法一：隐零点 实数，对任意的，不等式恒成立，， 设，，，令，得， 由指数函数和反函数在第一象限的图象，得到与有且只有一个交点， 设交点为，当时，，递增，当时，，递减， 在处取得极小值，且为最小值，，令，解得，， 当时，不等式恒成立，则的最小值为． 方法二：同构 ，，当，不等式恒成立，当，构造， ，，，构造，则，． 解答题 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程． （2）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1）； （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】(1)求导，利用导数的几何意义可求得切线方程； (2) 利用导数确定函数在区间上的单调性，进而可得最值. 【小问1详解】 由已知，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故在点处的切线方程为： 【小问2详解】 令，即得或， 令，则得， 所以上单调递增，在上单调递减， 又，，， 显然，在区间上的最大值为，最小值为. 故在区间上的最大值为，最小值为. 16. 据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长透择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生） （1）若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼境，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？ （2）从这8名戴角膜塑形镜学生中，选出3个人，求其中男生人数X的期望与方差； （3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从A市的小学生中，随机选出20位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数Y的期望和方差. 【答案】（1）； （2），； （3）佩戴角膜塑形镜的人数的期望是，方差是. 【解析】【分析】（1）先根据该市的样本求得这位学生佩戴眼镜的概率和佩戴眼镜是角塑性眼镜的概率，再利用条件概率的计算公式计算即得结果； （2）从8名学生选3个，男生人数X服从超几何分布，按照，k=0，1，2，写出分布列即可； （3）依题意随机变量服从二项分布，利用公式计算期望和方差即可. 小问1详解】 根据题中样本数据，设“这位小学生佩戴眼镜”为事件A，则， “这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件，则“这位小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜”为事件，则， 故所求的概率为： ， 所以从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，则他戴的是角膜塑形镜的概率是； 【小问2详解】 依题意，佩戴角膜塑形镜的有人，其中名是男生，名是女生，故从中抽3人，男生人数X的所有可能取值分别为0，1，2， 其中：； ； . 所以男生人数的分布列为： 所以， ， 【小问3详解】 由已知可得： 则：， 所以佩戴角膜塑形镜的人数的期望是，方差是. 17. 已知的展开式中第2项与第3项的二项式系数之和是21， （1）求的值；（2）求展开式中项系数最大的项. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接由解方程即可； （2）直接由求出，即可得到项系数最大的项. 【小问1详解】由题意可得，即，解得； 【小问2详解】由二项展开得到项系数为， 则设，化简为，解得，故， 因此项系数最大的为第三项，为. 18. 设函数． （1）若是的极值点，求的值，并讨论的单调性； （2）当时，求证：． 【答案】（1）1；在上单调递减，在上单调递增. （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据极值点可求得m的值，继而判断导数正负，可得函数单调性； （2）结合放缩法，只需证明当时，.由此利用函数的导数求出函数最小值，结合隐零点问题，判断最小值大于0，即可证明结论. 【小问1详解】 由题意得， 由是的极值点，得，所以. 于是，定义域为. 易知函数在上单调递增，又， 因此当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增， 即得是的极小值点，符合题意， 故，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 当，时，，则， 故只需证明当时，. 当时，函数在上单调递增. 又，故在上有唯一实根，且. 当时，； 当时，，从而当时，取得最小值. 由得，则 故. 19. 已知函数. （1）证明：函数在定义域内存在唯一零点； （2）设，试比较与的大小，并说明理由： （3）若数列的通项，求证. 【答案】（1）证明见解析 （2），理由见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出导函数，分析函数的单调性，结合零点存在性定理即可得证； （2）先判断出，分析即证. 令，则，设，结合（1），即可证明； （3）由（2）知，若，总有成立. 不妨令，得到.利用累加法即可证明. 【小问1详解】 函数，定义域为 求导得，所以函数在上单调递增， 当时，，所以函数在定义域内存在唯一零点. 【小问2详解】 ，理由如下： 要证，只需证， 即证，即证. 令，则，从而即证. 设，由（1）知以函数在区间上单调递增. 所以，即成立. 故有. 小问3详解】 由（2）知，若，总有成立. 不妨令，则有. 由于，所以， 所以， 所以， 即有成立. 【点睛】思路点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： （1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系； （2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； （3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题； （4）利用导数证明不等式． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$