精品解析：四川省德阳市第二中学校2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

四川省德阳市第二中学教育集团 八年级下学期期中联考数学试题 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数大于等于0”即可得． 【详解】解：无论 或或时， ， ∴是二次根式， 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式，解题的关键是掌握二次根式． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的除法，性质计算即可． 本题考查了二次根式的除法，性质，熟练掌握运算和性质是解题的关键． 【详解】解：A. ，错误，不符合题意； B. ，错误，不符合题意； C. ，不是同类二次根式，无法计算，错误，不符合题意； D. ，正确，符合题意； 故选：D． 3. 下列各组数中，以它们为边长能构成直角三角形的是（     ） A. 1，3，3 B. 2，3，4 C. ，4， D. 1，1， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，分别求出两边的平方和，再确定是否等于第三边的平方，即可得出答案． 【详解】因为，不能构成三角形，所以A不符合题意； 因为，不能构成三角形，所以B不符合题意； 因为，能构成直角三角形，所以C符合题意； 因为，不能构成直角三角形，所以D不符合题意． 故选：C． 4. 如图，平行四边形中，平分，,则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，，，结合平分，解答即可，本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】∵平行四边形中，平分，， ∴，， ， ∴， 故选D． 5. 如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，若，则的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，先由的对角线与相交于点O，得根据条件，，得出的值，再结合勾股定理列式，即可作答． 【详解】解：∵的对角线与相交于点O， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：D． 6. 如图，在一个长为，宽为的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点处爬过木块到达点处需要走的最短路程是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理解决最短距离问题，将长方体木块拉伸，结合两点间距离及勾股定求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得，如图所示， ， ∴， ∴最短路程是：， 故选：A． 7. 如图，矩形中，，E是上一点，把沿直线翻折，D点恰好落在边上的F点处，则_______． A. 3 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，，，可得，这样得，设，则，利用勾股定理计算即可． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质，熟练掌握勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵矩形中，， ∴，， ， ∴， ∴， 设，则， 则， 解得， 故选：A． 8. 下列说法正确的有几个（　　） （1）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（2）对角线相等的四边形是矩形；（3）对角线互相垂直的四边形是菱形；（4）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；（5）对角线相等的平行四边形是矩形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形、矩形、菱形以及正方形的判定定理进行判断. 【详解】（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形，故（1）正确； （2）对角线相等的平行四边形是矩形，故（2）错误； （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故（3）错误； （4）对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，所以四条边都相等的矩形是正方形，即对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故（4）正确； （5）对角线相等的平行四边形是矩形，故（5）正确． 综上所述，正确的个数是3个． 故选C． 【点睛】本题考查了正方形、平行四边形、菱形以及矩形的判定定理．注意菱形与正方形的区别与联系、矩形与正方形的区别与联系． 9. 如图，矩形的对角线 相交于点．若 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．由矩形的性质得，再证 是等边三角形，得，然后由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ， ∵ ， ∴ 是等边三角形， ∴， 在中，由勾股定理得：， ， 故选：D． 10. 在平面直角坐标系中，，，，P为线段上一动点，于点M，于点N，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据题意，得到四边形是矩形，于是，得到的最小值实际是的最小值，根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值实际是的最小值， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 根据垂线段最短，当 时，取得最小值， 此时． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，矩形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 11. 如图，在中，分别是的中点，，是线段上一点，连接，．若，则的长度是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角形中位线定理，由直角三角形的性质得出，结合得出，再由三角形中位线定理即可得出． 【详解】解：，点是的中点，， ， ， ， ， 分别是的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 12. 如图，四边形，对角线，且平分，O为的中点．在上取一点G，使，E为垂足，取中点F，连接．下列五句判断：①；②；③；④连接，则四边形是平行四边形；⑤．其中判断正确的是（ ） A. ①③④ B. ③④⑤ C. ②④⑤ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据含角直角三角形的性质即可判定①；根据题意证明出，得到 ，然后利用三角形中位线的性质即可判定②；延长，交于点H，然后证明出，得到，然后得到是的中位线，得到，然后结合等边对等角得到，然后结合即可判断③；连接 ，证明出，得到，然后结合，即可证明出四边形是平行四边形，进而可判断④；由，，而，从而得到，即可判断⑤． 【详解】∵，但 ∴，故①错误； ∵， ∴ ∵平分 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵中点为F ∴，故②正确； 如图所示，延长，交于点H ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵点F为的中点 ∴是的中位线 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是 的中位线 ∴ ∴，故③正确； 如图所示，连接 ， ∵，， ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形，故④正确； ∵，，而 ∴，故⑤错误， 综上所述，其中判断正确的是②③④． 故选：D． 【点睛】本题综合考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质和判定、平行四边形的判定等知识点．掌握相关结论是解题关键． 二、填空题（每题4分，共24分） 13. 三角形三边长分别为cm、cm和cm，则这个三角形的周长是______． 【答案】cm 【解析】 【分析】将三边相加，化简各二次根式后合并即可得． 【详解】这个三角形的周长为++＝2+3+4＝9（cm）， 故答案为9cm． 【点睛】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． 14. 如果分式有意义，那么x的取值范围是_________ 【答案】且## 且 【解析】 【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，零指数幂有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，． 根据二次根式和分式有意义的条件，零指数幂有意义的条件列不等式求解． 【详解】解：由题意可得：，， 且， 故答案为：且． 15. 在实数范围内分解因式：x4-4=_______________ 【答案】 【解析】 【分析】两次运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】x4-4 = = 故答案为： 【点睛】本题考查实数范围内的因式分解的知识．注意因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止． 16. 在中，，，，则__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形30度角性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想是解题的关键； 按已知画出图形，分两种情形分别求解即可．①当的高在三角形内时，②当高在外时． 【详解】当为锐角时， 过点A作于点D， 在中，，， ， ， 在中 ，， ； 如图，当为钝角时，过点A作，交BC延长线于点D， 在中，，， ， ， 在中 ，， ； 故答案为：或． 17. 如图，菱形的边长为2，，对角线与交于点，为中点，为中点，连接，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的性质可得AB＝AD＝2，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，由三角形中位线定理得FH＝AO＝，FHAO，然后求出OE、OH，由勾股定理可求解． 【详解】解：如图，取OD的中点H，连接FH， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴AB＝AD＝2，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO， ∴AO＝AB＝1，BO＝＝DO， ∵点H是OD的中点，点F是AD的中点， ∴FH＝AO＝，FHAO， ∴FH⊥BD， ∵点E是BO的中点，点H是OD的中点， ∴OE＝，OH＝， ∴EH＝， ∴EF＝， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键． 18. 如图，在矩形中，是上一点，是上一动点，连接取的中点F，连接，当线段取得最小值时，线段的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，垂线段最短，取的中点，连接，易得：为 的中位线，进而得到当 时，最短，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：取的中点，连接，则：， ∵， ∴为的中点， ∵为的中点， ∴， ∴当最小时，最小， ∵为上一个动点， ∴当时，最小， ∵矩形， ∴， ∴当时，四边形为矩形， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题（共90分） 19. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中， ． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的乘除加减混合运算，解答即可； （2）先利用分式的乘除化简得，求值即可． 本题考查了二次根式的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， 当， 时 原式． 20. 如图，在平行四边形中，，分别是边和上的点，且，连接，，求证：四边形 是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由四边形是平行四边形，可得，，再结合，可得，即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ， ∴， ∴四边形 是平行四边形． 21. 2023年 12月 18 日哈尔滨冰雪大世界正式开园，作为哈尔滨冰雪大世界的“人气王”，超级冰滑梯一直是游客们争相打卡的网红项目．如图，表示原长为的冰滑梯，坡角为 于点C．为让游客有更舒缓的体验感，设计师对该冰滑梯进行了优化改造，在不改变冰滑梯高度的情况下，将终点 B移至点D，此时冰滑梯延长了150米（忽略缓冲长度）． （1）求该冰滑梯的高度； （2）求冰滑梯新终点 D 与原终点B之间的距离（计算结果保留根号，图中假设C，B，D三点共线且A，C，B，D都在同一平面内，滑道 没有起伏，为平直的斜坡）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用． （1）根据含的直角三角形的性质可得即可求解； （2）运用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：依题意得：， ， ， 则该冰滑梯的高度为； 【小问2详解】 解：依题意得：， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ， 故冰滑梯新终点 D 与原终点B之间的距离为． 22. 如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：OE⊥DC． （2）若∠AOD＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面积． 【答案】（1）证明见解析（2）4 【解析】 【分析】(1)要证OE⊥DC，可先证四边形OCED是菱形．由DE∥AC，CE∥BD，可得四边形OCED是平行四边形；又因为ABCD是矩形，所以OC=OD．有一组邻边相等的平行四边形是菱形． (2)由(1)得出△ODC是等边三角形,所以DC=OD=OC=2,由四边形ABCD是矩形,得到AC=2CO=4,在Rt△ADC中，由勾股定理得AD=2，再利用矩形面积公式即可解答. 【详解】(1)证明：∵DE∥AC,CE∥BD ∴DE∥OC,CE∥OD ∴四边形ODEC是平行四边形 ∵四边形ODEC是矩形 ∴OD=OC ∴四边形ODEC是菱形 ∴OE⊥DC (2)解：∵DE=2,由（1）知，四边形ODEC是菱形 ∴OD=OC=DE=2 ∵∠AOD=120° ∴∠DOC=60° ∴△ODC是等边三角形 ∴DC=OD=OC=2 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=2CO=4 在Rt△ADC中，由勾股定理得AD=2 ∴S矩形ABCD=2×2=4． 【点睛】此题主要考查菱形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，综合利用了矩形和菱形的性质．还考查了等边三角形的判定和性质. 23. 如图，在四边形中，、相交于点． （1）如图1，求证四边形为矩形； （2）如图2，E是边上任意一点，分别是垂足，若，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再由对角线相等得到四边形为矩形； （2）由、分别是和 的高，利用即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ， ， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形。 【小问2详解】 连接， 由（1）得四边形是矩形， ，， ，， ， ∵ ∴ ∴； 24. 如图，已知在中， 为的中点，为的中点．过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，菱形的面积为40，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴ ， ∵E是的中点， ∴， 在 和中， ， ∴； ∴ ， ∵为边上的中线， ∴， ∴ ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点， ∴ ， ∴平行四边形是菱形； （2）10 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键． （1）利用平行线的性质可得 ，对顶角相等得到 ，利用中点的定义可得，从而证明 ，然后利用全等三角形的性质可得，再根据是的中点，可得 ，从而可证四边形是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得，从而利用菱形的判定定理即可解答； （2）利用（1）的结论可得，再根据点是的中点，可得，进而可得，然后利用三角形的面积进行计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵D是的中点， ∴ ， ∴． 25. 下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F，求证 ．（提示：取的中点G，连接） \ （1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件：_____； （2）如图1，若点E是边上任意一点（不与点B，C重合），其他条件不变，求证： ． （3）在（2）的条件下，连接，过点E作，垂足为P，设，当k为何值时，四边形是平行四边形，并给予证明． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定等知识． （1）根据点E是的中点，可得答案； （2）取 ，连接，说明 是等腰直角三角形，再证明，可得答案； （3）设，则，则，，再利用等腰直角三角形的性质表示的长，利用平行四边形的判定得只要，即可解决问题． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ， ∵E是的中点， ∴． ∵点G是的中点， ∴， ∴ ． 故答案为： ； 【小问2详解】 取 ，连接． ∵四边形是正方形， ∴． ∵ ， ∴， ∴ 是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴． ∵是正方形外角的平分线， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵ ， ∴ ， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 当时，四边形是平行四边形，如图， 由（2）得，， ∴． 设，则， ∴，． ∵， ∴ 是等腰直角三角形， ∴， ∴，． ∴ ， 当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省德阳市第二中学教育集团 八年级下学期期中联考数学试题 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数中，以它们为边长能构成直角三角形的是（     ） A. 1，3，3 B. 2，3，4 C. ，4， D. 1，1， 4. 如图，平行四边形中，平分，,则（　　） A. B. C. D. 5. 如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，若，则的长是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在一个长为，宽为的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点处爬过木块到达点处需要走的最短路程是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，矩形中，，E是上一点，把沿直线翻折，D点恰好落在边上的F点处，则_______． A. 3 B. C. 4 D. 8. 下列说法正确的有几个（　　） （1）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（2）对角线相等的四边形是矩形；（3）对角线互相垂直的四边形是菱形；（4）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；（5）对角线相等的平行四边形是矩形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 5个 9. 如图，矩形的对角线 相交于点．若 ，则（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，，，，P为线段上一动点，于点M，于点N，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，分别是的中点，，是线段上一点，连接，．若，则的长度是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 12. 如图，四边形，对角线，且平分，O为的中点．在上取一点G，使，E为垂足，取中点F，连接．下列五句判断：①；②；③；④连接，则四边形是平行四边形；⑤．其中判断正确的是（ ） A. ①③④ B. ③④⑤ C. ②④⑤ D. ②③④ 二、填空题（每题4分，共24分） 13. 三角形三边长分别为cm、cm和cm，则这个三角形的周长是______． 14. 如果分式有意义，那么x的取值范围是_________ 15. 在实数范围内分解因式：x4-4=_______________ 16. 在中，，，，则__________． 17. 如图，菱形的边长为2，，对角线与交于点，为中点，为中点，连接，则的长为_________． 18. 如图，在矩形中，是上一点，是上一动点，连接取的中点F，连接，当线段取得最小值时，线段的长度是______． 三、解答题（共90分） 19. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中， ． 20. 如图，在平行四边形中，，分别是边和上的点，且，连接，，求证：四边形 是平行四边形． 21. 2023年 12月 18 日哈尔滨冰雪大世界正式开园，作为哈尔滨冰雪大世界的“人气王”，超级冰滑梯一直是游客们争相打卡的网红项目．如图，表示原长为的冰滑梯，坡角为 于点C．为让游客有更舒缓的体验感，设计师对该冰滑梯进行了优化改造，在不改变冰滑梯高度的情况下，将终点 B移至点D，此时冰滑梯延长了150米（忽略缓冲长度）． （1）求该冰滑梯的高度； （2）求冰滑梯新终点 D 与原终点B之间的距离（计算结果保留根号，图中假设C，B，D三点共线且A，C，B，D都在同一平面内，滑道 没有起伏，为平直的斜坡）． 22. 如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：OE⊥DC． （2）若∠AOD＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面积． 23. 如图，在四边形中，、相交于点． （1）如图1，求证四边形为矩形； （2）如图2，E是边上任意一点，分别是垂足，若，求的值． 24. 如图，已知在中， 为的中点，为的中点．过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，菱形的面积为40，求的长． 25. 下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F，求证 ．（提示：取的中点G，连接） \ （1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件：_____； （2）如图1，若点E是边上任意一点（不与点B，C重合），其他条件不变，求证： ． （3）在（2）的条件下，连接，过点E作，垂足为P，设，当k为何值时，四边形是平行四边形，并给予证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $