8.6.3 平面与平面垂直课件 -2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第1讲 二面角与平面平面垂直判定定理 8.6.3 平面与平面垂直 学习目标 1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角.(重点、难点) 2.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直.(重点) 3.能利用面面垂直的判定定理解决一些综合问题.(难点) 刘雨萌 1.在立体几何中，“异面直线所成的角”是怎样定义的？ 直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a' //a， b'// b，我们把相交直线a' 和 b'所成的锐角 （或不大于90°的角）叫做异面直线所成的角. 2.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？ 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 范围：( 0o, 90o ]． 范围：[ 0o, 90o ]． 复习回顾 温故知新 刘雨萌 新知探究 两个平面有那些位置关系？ 问题1 我们通常说“把门开大一些”(动手演示教室的门)，是指哪个角大一些？如何去刻画二面角的大小呢？ 问题2 提示　指门与门框所成的二面角大一些.取二面角棱l上的一点O在二面角的面上分别作射线OA，OB与二面角的棱垂直，得到∠AOB可以刻画二面角. ∠AOB的大小与点O在棱l上的位置有关吗？ 问题3 刘雨萌 知识梳理 1.二面角的定义 从一条直线出发的两个　　　　所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的　　，这两个半平面叫做二面角的面. 2.画法： 半平面 棱 3.记法：二面角　　　或二面角　　　 或二面角P-l-Q或二面角 . α-l-β α-AB-β P-AB-Q A B Q P 刘雨萌 4.二面角的平面角 (1)在二面角α-l-β的棱l上　　　一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的　　　 叫做二面角的平面角，如图. 任取 ∠AOB (2)二面角的平面角α的取值范围是 .平面角是　　　的二面角叫做直二面角. 0°≤α≤180° 直角 知识梳理 刘雨萌 例1　　已知四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB.求： (1)二面角B-PA-D的平面角的大小； (2)二面角B-PA-C的平面角的大小； (3)二面角A-PD-C的平面角的大小. 典例分析 （1）∠BAD=90°，二面角B-PA-D的平面角为90°. (2)∠BAC=45°.即二面角B-PA-C的平面角为45° (3)∠AOM为二面角A-PD-C的平面角，即为90°. 刘雨萌 总结提升 (1)确定二面角的平面角的方法 ①定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线. ②垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面相交产生两条射线，这两条射线所成的角，即为二面角的平面角. ③垂线法：如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点作棱的垂线，连接两个垂足，应用直线与平面垂直的判定定理可证明连线与棱垂直，找到二面角的平面角. (2)求二面角大小的步骤 ①找出这个平面角. ②证明这个角是二面角的平面角. ③作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小. 刘雨萌 跟踪训练1　　如图，AB是☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA=AC，求二面角P-BC-A的大小. 跟踪训练 ∠PCA=45°，故二面角P-BC-A的大小为45° 刘雨萌 教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？这些二面角的大小是多少？ 问题4 新知探究 提示　可以构成3个二面角，分别是两相邻墙面构成的二面角，一个墙面与地面构成的二面角，另一个墙面与地面构成的二面角.它们构成的二面角是直二面角，即二面角的度数为90°. 刘雨萌 知识梳理 平面与平面垂直的定义与画法 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作：α⊥β. (2)画法： 刘雨萌 典例分析 例2 如图所示，在四面体A-BCD中，BD=a，AB=AD=CB=CD=AC=a. 求证：平面ABD⊥平面BCD. 用定义证明两个平面垂直的步骤 (1)找出两个相交平面的二面角的平面角. (2)证明这个二面角的平面角是直角. (3)根据定义，这两个平面互相垂直. 刘雨萌 跟踪训练2　如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC. 求证：平面AEC⊥平面AFC. 跟踪训练 刘雨萌 应用于生活 铅垂线→直线 墙面→平面 水平面→平面 B A C 新知探究 问题5 我们教室的建筑者是如何判断教室的墙面与地面是垂直的呢？ 刘雨萌 平面与平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. α β a A 简记：线面垂直，则面面垂直 符号: 面面垂直 线面垂直 线线垂直 知识梳理 刘雨萌 典例分析 例3 如图，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，G，F分别为PB，PC的中点，点E在MB上.求证：平面EFG⊥平面PDC. 证明面面垂直的方法 (1)定义法：说明两个半平面所成的二面角是直二面角. (2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”. (3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面. 刘雨萌 跟踪训练 跟踪训练3　　如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上. 求证：平面AEC⊥平面PDB. 刘雨萌 例7.如图，在正方体 中，求证：平面 证明： 是正方体 又 教材157页 例8 如图,AB是圆O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点， 求证：平面PAC⊥平面PBC. ⇑ ⇑ ⇑ ⇑ AB是圆O直径 PA⊥面ABC BC⊂面ABC BC⊥AC BC⊥PA BC⊥面PAC 平面PAC⊥平面PBC 教材158页 刘雨萌 课堂小结 1.知识清单： (1)二面角以及二面角的平面角. (2)平面与平面垂直的定义及应用. (3)平面与平面垂直的判定定理及应用. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：二面角找不到或者找错. 线线垂直 线面垂直 面面垂直 刘雨萌 1.已知l⊥α，则过l与α垂直的平面 A.有1个 B.有2个 C.有无数个 D.不存在 √ 随堂演练 2.已知直线a，b与平面α，β，γ，下面能使α⊥β成立的条件是 A.α⊥γ，β⊥γ B.α∩β=a，b⊥a，b⊂β C.a∥β，a∥α D.a∥α，a⊥β √ 3.在正方体ABCD-A'B'C'D'中，二面角D'-AB-D的大小是 A.30° B.45° C.60° D.90° √ 4.从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF=60°，则二面角α-l-β的平面角的大小是 A.60° B.120° C.60°或120° D.不确定 √ 刘雨萌 课后作业 韩语班：教材158页 习题1-4 4班：课后作业37 1-10必做，11-16选做 5班：课后作业37 1-14必做，15-16选做 刘雨萌 本节内容结束 $$