8.6.3平面与平面垂直（教学课件）高一数学人教A版必修第二册

第八章 立体几何初步 8.6空间直线、平面的垂直 第3课时 平面与平面垂直 学 习 目 标 1 2 理解二面角及其平面角的概念，会求简单二面角的大小。 掌握平面与平面垂直的定义、判定定理与性质定理。 能运用定理证明面面垂直、由面面垂直推导线面垂直，解决简单空间几何问题。 体会空间“线线—线面—面面”垂直的转化思想。 新课引入 门和地面 打开的门所在的平面与地面所在的平面之间是什么位置关系？ 翻开的书本 书页所在的平面之间是什么位置关系？ 屋顶的两个坡面 从侧面看，坡面形成“人”字形 两个平面相交，“张开”的程度如何描述？ 门与地面为什么始终保持垂直？如何用数学语言定义与证明？ 本节：二面角 → 面面垂直的判定与性质 互动探究 回顾旧知 面面垂直 直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 符号表示： 定理核心要点 两条直线：必须是两条，一 条直线无法判定线面垂直； 相交直线：两条直线必须相交，平行直线不满足判定条件； 都在平面内：两条直线必须都在平面α内，不能是平面外的直线； 都垂直：直线l必须同时垂直于这两条相交直线。 互动探究 回顾旧知 面面垂直 性质1：若a⊥α，m⊂α，则a⊥m. 性质2：若a⊥α，b⊥α，则a//b. (性质定理) 性质3：若a⊥α，c ⊂ α，且c⊥a，则c//α. 性质4：若α//β，l⊥α，则l⊥β. 直线与平面垂直的性质： α β 引入二面角研究方向： 我们在研究直线与直线垂直时，是先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这一特殊位置关系. 类似地，我们要研究平面与平面互相垂直，那就需要先引入两个平面所成的角(二面角)的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系。 互动探究 互动设计 面面垂直 环节 互动方式 具体内容 概念引入 问答 请同学列举生活中的面面垂直实例。 定理探究 小组合作 每组发一张长方形纸片，折叠后探究：一个平面过另一个平面的垂线时，两平面的位置关系 例题分析 板演 邀请同学上台证明面面垂直，其他同学补充点评 构建体系 二面角的概念 面面垂直 如图示，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. (1) 二面角的定义： α β l A B (2) 二面角的表示： 棱AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α-AB-β. • P • Q 有时为了方便，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P-AB-Q. 如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α-l-β或二面角P-l-Q. 构建体系 二面角的平面角 面面垂直 如图,在日常生活中,我们常说把门开大一些,是指哪个角大一些? 受此启示,你认为应该怎样刻画二面角的大小呢? (3 ）二面角的大小： • A B O l A′ B′ O′ α β （4）二面角的平面角： α β l 在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. A B O • 二面角的大小是用它的平面角来度量的. 二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度. 构建体系 二面角的平面角 面面垂直 (5)二面角平面角要点： O （6）二面角平面角范围： (1)其中∠AOB的大小与点O的位置无关： (2)表示二面角的平面角的两边一定要垂直于棱，只要有一边不垂直棱都不是二面角的平面角. 如图示，当∠AOB=90°，即二面角的平面角为直角时，我们把这种二面角角叫做直二面角. α β l A B O 一般地，两个平面α，β相交，如果它们所成的二面角α-l-β是直二面角，就说平面α与β互相垂直. 记作α⊥β. 当∠AOB=0°，即二面角的平面角为0°时，表示二面角的两个半平面重叠成一个半平面. α(β) l A(B) O 当∠AOB=180°，即二面角的平面角为180°时，表示二面角的两个半平面展开成一个平面. α β l A B O 因此，二面角的平面角的取值范围为__________. [0°, 180°] 构建体系 平面与平面垂直的判定 面面垂直 思考 O 如图，建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直. 如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙面垂直于地面，否则他就认为墙面不垂直于地面. 这种方法说明了什么道理？ 语言类型 内容 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 符号语言 图形语言 a 设α∩β=CD，B∈CD。 ∵AB⟂α，CD⊂α，∴AB⟂CD。 在平面α内过点B作直线BE⟂CD，则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角。 ∵AB⟂α，BE⊂α，∴AB⟂BE，即∠ABE。 ∴二面角α-CD-β是直二面角，∴α⟂β。 构建体系 平面与平面垂直的性质定理 面面垂直 思考 O 如果两个平面互相垂直，我们可以先研究其中一个平面内的直线与另一个平面具有什么位置关系. a 显然，b与a平行或相交，当b//a时，b//α，当b与a相交时，b与α也相交. 下面我们分析，当b⊥a时，b与α有什么位置关系？ b A c 结论：若α⊥β, α∩β=a, b⊂β, b⊥a, 则b⊥α . 这是平面与平面垂直的性质定理. 如图，设α⊥β，α∩β=a. 则β内任意一条直线b与a有什么位置关系？相应地，b与α有什么位置关系？为什么？ 探究 构建体系 平面与平面垂直的性质定理 面面垂直 O 平面与平面垂直的性质定理： 符号表示： a b 这个定理可以用于证明直线与平面垂直. 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. 易错提醒 必须同时满足4个条件：α⟂β、α∩β=l、a⊂α、a⟂l，缺一不可； 直线 a 必须在其中一个平面内，且垂直于两平面的交线，才能推出线面垂直。 典例分析 题型1 求二面角大小 例1.在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成锐二面角A1­BD­A的正切值为________． 解：如图所示，连接AC交BD于点O，连接 O 求二面角大小的步骤： 作 — 作出平面角； 证 — 明所作的角满足定义，即为所求二面角证的平面角； 求 — 将作出的角放在三角形中，计算出平面角的大小. 简称为“一作二证三求” 典例分析 题型1 求二面角大小 二面角平面角的作法 定义法 ：在二面角的棱上找一个特殊点O，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线OA，OB. 如图所示，∠AOB为二面角α-­a­-β的平面角． 垂线法：过二面角的一个面内一点A作另一个平面的垂线AE，过垂足E作棱的垂线交棱于点F，连接点A与垂足F，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角． 如图所示，∠AFE为二面角A-­BC-­D的平面角． 垂面法：过棱上一点O作垂直于棱的平面γ，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角即为二面角的平面角． 如图所示，∠AOB为二面角α-­l­-β的平面角． 典例分析 题型2 平面与平面垂直证明 例2已知：如右图, AB是⊙O的直径, PA垂直于⊙O所在 的平面, C是圆周上不同于A, B的任意一点. 求证：平面PAC⊥平面PBC. P A B O C 步骤1：利用直径所对圆周角为直角，证明 BC⟂AC 因为 AB 是 ⊙O 的直径，C 在圆周上，根据圆的性质： 直径所对的圆周角为直角， 因此 即 BC⟂AC。 步骤2：利用线面垂直的性质，证明 BC⟂PA 已知 PA⟂ 平面 ABC，且 BC⊂ 平面 ABC，根据线面垂直的性质： 如果一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线， 因此 BC⟂PA。 步骤3：证明 BC⟂ 平面 PAC 由步骤1得 BC⟂AC，步骤2得 BC⟂PA，且： AC⊂ 平面 PAC，PA⊂ 平面 PAC； PA∩AC=A（两条直线相交于点 A）。 步骤4：利用面面垂直的判定定理，证明平面 PAC⟂ 平面 PBC 由步骤3得 BC⟂ 平面 PAC，且 BC⊂ 平面 PBC，根据面面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直， 因此 平面PAC⟂平面PBC，得证。 典例分析 题型1 棱柱的识别与辨析 例3. 如图，在正三棱柱ABC-A′B′C′中，D是棱AC的中点. 求证：平面BDC′⊥平面ACC′A′. B D C A′ B′ C′ A 步骤 1：利用正三角形性质，证明BD⊥AC 因为△ABC是正三角形，D为AC的中点，根据等腰三角形三线合一（正三角形是特殊的等腰三角形）：等腰三角形底边上的中线、高、顶角平分线重合，因此BD是AC边上的高，即BD⊥AC。 步骤 2：利用正三棱柱的侧棱垂直底面，证明BD⊥AA′ 正三棱柱的侧棱AA′⊥底面ABC，且BD⊂底面ABC，根据线面垂直的性质： 如果一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线，因此AA′⊥BD，即BD⊥AA′。 步骤 3：证明BD⊥平面ACC′A′ 由步骤 1 得BD⊥AC，步骤 2 得BD⊥AA′，且： AC⊂平面ACC′A′，AA′⊂平面ACC′A′； AC∩AA′=A（两条直线相交于点A）。 步骤 4：证明平面BDC′⊥平面ACC′A′ 由步骤 3 得BD⊥平面ACC′A′，且BD⊂平面BDC′，根据面面垂直的判定定理，因此平面平面，得证。直线相交于点A）。 典例分析 题型3 面面垂直性质的应用 例4.如图，在三棱锥 P−ABC 中，平面 PAC⊥ 平面 ABC，∠ABC=90∘，D、E 分别为 AC、PC 的中点，PA=AC。求证：(1) DE∥ 平面 PAB；(2) 平面 PBC⊥ 平面 PAC。 (1)由中位线定理得 DE∥PA，再由线面平行判定定理得 DE∥ 平面 PAB。 (2) 由 PA=AC，D 为 AC 中点，得 PD⊥AC；由平面 PAC⊥ 平面 ABC，交线为 AC，PD⊂ 平面 PAC，得 PD⊥ 平面 ABC，故 PD⊥BC；由 ∠ABC=90∘ 得 BC⊥AB，结合 PD∩AB=A，得 BC⊥ 平面 PAC；由 BC⊂ 平面 PBC，得平面 PBC⊥ 平面 PAC。 典例分析 题型3 面面垂直性质的应用 例5.如图，在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，平面 PAB⊥ 平面 ABCD，PA=PB，O 为 AB 的中点。(1) 求证：PO⊥ 平面 ABCD；(2) 求证：PA⊥BC。 利用等腰三角形性质，证明 PO⊥AB 已知 PA=PB，O 为 AB 的中点，根据等腰三角形三线合一： 等腰三角形底边上的中线垂直于底边，因此 PO 是 △PAB 底边 AB 上的高，即 PO⊥AB。 步骤 2：利用面面垂直的性质定理，证明 PO⊥ 平面 ABCD 已知平面 PAB⊥ 平面 ABCD，且两个平面的交线为 AB（平面PAB∩平面ABCD=AB）。由步骤 1 得 PO⊂ 平面 PAB，且 PO⊥AB，因此 PO⊥ 平面 ABCD，得证。 步骤 1：利用 (1) 的结论，得到 PO⊥BC 由 (1) 已证 PO⊥ 平面 ABCD，且 BC⊂ 平面 ABCD，根据线面垂直的性质： 若直线垂直于平面，则垂直于平面内的所有直线，因此 PO⊥BC。 步骤 2：利用矩形性质，证明 BC⊥AB 因为底面 ABCD 是矩形，矩形的邻边互相垂直，因此 BC⊥AB。 步骤 3：证明 BC⊥ 平面 PAB 由步骤 1 得 BC⊥PO，步骤 2 得 BC⊥AB，且： PO⊂ 平面 PAB，AB⊂ 平面 PAB； PO∩AB=O因此 BC⊥ 平面 PAB。 步骤 4：证明 PA⊥BC 由步骤 3 得 BC⊥ 平面 PAB，且 PA⊂ 平面 PAB，因此 PA⊥BC，得证。 举一反三 训练1.判断下列说法是否正确： 1. 如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β。 2. 如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条直线，则α⊥β。 3. 如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β。 4. 若m⊥α，m⊂β，则α⊥β。 答案： 1. ❌ 错误，缺少“过垂足”或“相交”条件 2. ❌ 错误，两条直线必须是相交的 3. ❌ 错误，应该是“α内直线垂直于β”，表述方向有误 4. ✅ 正确，符合判定定理 举一反三 训练2.已知ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO ⊥ 平面ABCD，E是PC的中点。求证：平面PAC ⊥ 平面BDE。 证明思路： 1. 先证BD ⊥ 平面PAC 2. ∵ BD ⊥ AC（正方形对角线垂直） 3. ∵ PO ⊥ 平面ABCD，BD ⊂ 平面ABCD，∴ PO ⊥ BD 4. ∴ BD ⊥ 平面PAC 5. ∵ BD ⊂ 平面BDE 6. ∴ 平面PAC ⊥ 平面BDE 举一反三 训练3.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AB、BC的中点。求证：平面A₁C₁E ⊥ 平面B₁D₁F。 举一反三 训练4.下列命题中正确的是（ ） A. 若一个平面内有无数条直线垂直于另一个平面，则两平面垂直 B. 若一个平面内任意一条直线都垂直于另一个平面，则两平面垂直 C. 若一个平面内有两条直线垂直于另一个平面，则两平面垂直 D. 若一个平面内有一条直线垂直于另一个平面内的一条直线，则两平面垂直 解析：A错误，“无数条”可能是平行的；C错误，需要两条相交直线；D错误，方向不对；B正确，任意一条直线都垂直于另一个平面，则该平面垂直于另一个平面。 答案：4 学海拾贝 知识小结 知识结构： 线线垂直 ──→ 线面垂直 ──→ 面面垂直 一条主线：线线垂直 ⇄ 线面垂直 ⇄ 面面垂直 两个核心： 判定：线面垂直 ⇒ 面面垂直 性质：面面垂直 ⇒ 线面垂直（面内垂直交线） 一个工具：二面角平面角，用于刻画面面夹角与垂直。 学海拾贝 思想方法 思想方法 核心转化/思路 具体应用（面面垂直） 转化思想 面面垂直→线面垂直→线线垂直 要证面面垂直，先证一个面内一条直线垂直于另一个面；要证线面垂直，再证这条直线垂直于面内两条相交直线 类比思想 类比线面垂直的判定，迁移学习 线面垂直：线⊥面内两相交直线→线⊥面面面垂直：线⊥面，线⊂面→面⊥面 直观感知 生活实例+几何模型建空间想象 墙面与地面、书本翻开、长方体相邻面；用模型观察“一条线竖起来，两个面就垂直” 学海拾贝 易错提醒 判定定理中的“垂线”必须是平面内的一条直线，且垂直于另一个平面（而非平面内的直线） 使用判定定理时，线面垂直的条件要证明充分，不能直接当作已知 感谢聆听! $