微专题 3 函数的对称性 拔高训练-2025届高三数学二轮复习

微专题 3 函数的对称性、周期性参考答案 典型例题 对点练习 1 BCD (综合问题) 对于 A: 由 可知 为奇函数, 若 为偶函数,则 恒成立,与条件不符,故 A 错误; 对于 B: 由 ,得 ,又 ,故 ,所以 , 又 定义域为 ,故 为奇函数,故 正确; 对于 (常数) 4) , 所以函数 是周期为 4 的周期函数,函数 是周期为 4 的周期函数, 故 C 正确; 对于 D: 由 ,令 ,得 ,即 ; 令 ,则 ,即 , 由 得 ,且 , 则 ,即 关于点 对称,从而 关于 对称, 又 为奇函数,即 的图象关于点 中心对称, 所以 关于 对称,所以 ,所以 ,又因为 周期为 4,所以 , 故 正确. 综上,选 BCD. 对点练习 (已知奇偶性求参数) 是奇函数, , , 又 当 时, , . 对点练习 (利用单调性与奇偶性求解函数不等式) 令 ,因为函数 是定义在 上的奇函数, 所以 为定义在 上偶函数. 由 ,且 , 都有 ,可知 在 上为减函数,所以 在 上为增函数. 又由 ,可得 ,所以 ,即 , 解得 或 . 故答案为: . 对点练习 4： B 因为 图象关于点 对称,所以 的周期为 4. 由 得 . 又当 时, ,所以 的大致图象如图. 所以区间 相当于区间 ,所以最小值为 ,故 A 错 B 对,函数无最大值, C、D 都错,故选 B. 对点练习 ,设 , 则 . ① ,设 ,则 ② 在同一坐标系中画出函数 , 的图象, 记 交于点 , 交于点 ,因为 互为反函数,所以点 关于直线 对称,且 的图象也关于直线 对称,所以 ,所以 ,故选 A. 对点练习 6： 11 个 (类周期与倍增函数)方程 ,可化为 ,令 . 在同一坐标系下画出函数 的图象, 如图. 由图可知, 在第一个“周期” 的中点 处取得最大值 ,并且 的图象恰好经过每一个“周期”的最高点 ,即每个“周期”内两函数恰有一个交点. 又因为 ,所以共有 11 个交点,即函数 在区间 上有 11 个零点. 故答案为 11 . 对点练习 7 6 (奇函数的中值模型) 因为 注意到 是奇函数,其最大值与最小值之和为 0,所以 . 故答案为:6. 课后练习 A 组 1.1006 或 1007 (奇函数的对称性) 因为 ,所以 , 的图象关于点 中心对称. 显然 的图象也关于点 中心对称. 因为关于点 对称的任意两点的横坐标之和为 2,且题中两函数所有交点的横坐标之和为 2020,所以两函数共有 2020个(1010 对)交点. 所以两函数图象在 上恰有 1010 个交点 ,如图所示. 则 . 由图可知 , ,所以整数 满足 011,所以 或 . 2. 因为 ,所以 . 又函数 的图象关于直线 对称,所以函数 与 对应的两个零点为 ,所以方程 的两根为 ,由韦达定理得 ,故 . 又 ,所以 . 所以 当且仅当 时取等号. B 组 1. D (对称性与周期性的关系) 因为 为奇函数,所以 关于点 中心对称; 又因为 为偶函数,所以 关于直线 对称. 所以 的周期是 4 . 为奇函数 , 为偶函数 , 由 得 . 再由 . 所以,当 时, . 所以 ,故选 D. 【点评】 为奇函数 对称中心为 为偶函数 对称轴为 . 2. D (对称性与周期性的关系) 因为 满足 ,所以 的图象关于直线 对称. 又因为 是 上的偶函数, 所以 的图象关于直线 对称,所以 的周期为 4 . 又显然 的图象关于直线 对称. 当 时, ,作出 和 的图象如图所示. 由图知 和 的图象在区间 内有四个交点,设交点横坐标分别为 ,则 ,所以 ,即 和 的图象所有交点的横坐标之和为 8 ,故选 D. 【点评】1. 若两个函数均关于直线 对称,且两函数图象有 个交点,则这 个交点的横坐标之和为 ; 2. 若两个函数均关于点 成中心对称,且两函数图象有 个交点,则 这 个交点的横坐标之和为 ,纵坐标之和为 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题 3 函数的对称性、周期性 基础知识 1. 偶函数: 如果对于函数 的定义域内任意实数 ,都有 ,那么函数 叫做偶函数. 偶函数的图象关于 轴对称. 拓展 图象关于直线 对称; 拓展 图象关于直线 对称. 2. 奇函数: 如果对于函数 的定义域内任意实数 ,都有 ,那么函数 叫做奇函数. 奇函数的图象关于原点对称. 拓展 1: 图象关于点 对称; 拓展 2: 图象关于点 对称; 拓展 图象关于点 对称. 3. 常见的奇函数、偶函数 (1)常见的奇函数: , 等. (2) 常见的偶函数: 等. 4. 奇偶性的运算 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 5. 两个函数图象的对称性 ( 1 )函数 与 的图象关于直线 对称; (2)函数 与 的图象关于直线 对称; ( 3 )函数 与 的图象关于点 对称; (4)函数 与 的图象关于点 对称. 6. 周期性 ① 若 ,则 ；② 若 ,则 ; ③ 若 ,则 ；④ 若 , 则 ; ⑤ 若 ,则 ; ⑥ 若 ,则 ; ⑦ 若 ,则 . 7. 对称性与周期性的关系 (1)若 、 是 两条相邻的对称轴,则 的最小正周期是 ； (2) 若 是 两个相邻的对称中心,则 的最小正周期是 ； (3) 若 是 相邻的对称轴和对称中心,则 的最小正周期是 . 8. 导函数与对称性 (1)奇函数的导函数是偶函数；偶函数的导函数是奇函数. (2) 推广: 若 的图象关于点 对称,则其导函数 的图象关于直线 对称; 若 的图象关于直线 对称,则其导函数 的图象关于点 对称. 典型例题 典例 1 奇偶性的判断与证明 (2024 新高考 II 卷 6 题,单选题) 设函数 ,当 时,曲线 与 恰有一个交点,则常数 ( ) A. -1 B. C. 1 D. 2 【解析】方程 ,即 在区间 内恰有一个根,则函数 在区间 内恰有一个零点. 显然 是偶函数,所以它的唯一零点必为 ,所以 0,所以 . 故选： D. 【点评】奇函数定义域中只要包括 0,就一定有 . 奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同, 偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反. 因为偶函数的图象关于 轴对称,所以如果它有唯一的零点,则零点必为 . 对点练习 1 (多选题) 定义在 上的函数 的导函数分别为 ,若 , 且 ,则下列说法中一定正确的是 ( ) A. 为偶函数 B. 为奇函数 C. 是周期函数 D. 典例 2 已知奇偶性求参数、求表达式、求值 (2022 全国乙卷) 若 是奇函数,则 _____, _____. 【解析】若 ,则 的定义域为 ,不关于原点对称,不是奇函数,所以 . 定义域需满足 ,且 ,即 ,且 , 所以函数 为奇函数,所以定义域关于原点对称,所以 ,解得 , 所以 ,定义域为 ,且 , 由 ,得 ,所以 . 【点评】解决函数问题首先考虑定义域, 本题就是根据 是奇函数,从定义域入手求出参数 的值,再根据奇函数的性质求出参数 的值. 对点练习 2 (2019 新课标全国II卷理科 14 题) 已知 是奇函数,且当 时, . 若 ,则 _____. 典例 3 利用单调性与奇偶性求解函数不等式 (单选题) 已知函数 ,若 2) 恒成立,则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【解析】 令 ,则 是奇函数. 由 ,可得 , 又因为 是 上的减函数, 所以 ,解得 ,即实数 的取值范围是 . 故选 A. 【点评】本题的突破口就是 为奇函数, 像这种不太容易观察出来的奇函数, 平时还是要多积累. 对点练习 3 (2023 秋浙江杭州高一) 已知函数 是定义在 上的奇函数,若 ,且 ,都有 成立,则不等式 的解集为_____. 典例 4 函数对称性与周期性形影不离 (单选题) 已知函数 的图象关于直线 对称, 对任意实数 ,都有 恒成立,且当 时, ,则 ( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【解析】因为函数 的图象关于直线 对称, 所以函数 的图象关于直线 对称,又因为对任意实数 ,都有 恒成立,所以函数 的图象关于直线 对称,所以 的周期为 2 . 所以 . 故选： B. 【点评】 1. 若一个函数有两条对称轴,或两个对称中心, 或一条对称轴、一个对称中心,则此函数必为周期函数. 2. 为奇函数 对称中心为 为偶函数 对称轴为直线 . 3. (1)若两个函数图象均关于直线 对称,且两函数图象有 个交点,则 这 个交点的横坐标之和为 ; (2)若两个函数图象均关于点 成中心对称,且两函数图象有 个交点,则这 个交点的横坐标之和为 ,纵坐标之和为 . 对点练习 4 (单选题) 已知函数 为 上的奇函数,且图象关于点 对称,当 时, ,则函数 在区间 上的 ( ) A. 最小值为 B. 最小值为 C. 最大值为 D. 最大值为 典例 5 函数的对称性拓展 (单选题) 若 满足 满足 5,则 ( ) A. B. 3 C. D. 4 【解析】法 1: 由题意可知 , ,令 , 代入上式得 , 即 . ① 又因为 ,② 是 上的增函数,所以由①式与②式可得 ,所以 . 故选 C. 法 , 记 , 因为 与 互为反函数,所以 的图象关于 对称, 的图象与 垂直, 如图. 由题意可知 分别是 与 的交点 的横坐标. 由图可知 、 关于点 对称,所以 . 故选 C. 【点评】(1)若函数 有反函数 ,则 与 的图象关于直线 对称. 特别地, 与 互为反函数. (2) 若方程 的根为 ,方程 的根为 ,那么 . 对点练习 5 (单选题) 已知 满足 ,则 ( ) A. B. C. D. e 典例 6 类周期与倍增函数 (2019 新课标全国 II 卷理科 12 题,单选题) 设函数 的定义域为 ,满足 ,且当 时, . 若对任意 ,都有 ,则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【解析】因为 ,所以 , 因为当 时, , 所以当 时, ; 当 时, ,如图. 所以,当 时,由 ,解得 或 , 若对任意 ,都有 ,则 的取值范围是 . 故选 B. 【点评】1. 若 满足 或 ,则 图象上的点横坐标每增加 个单位,其函数值扩大到原来的 倍,我们称此函数为周期为 的类周期函数,其图象如图 1 所示. 图 1 图 2 2. 若函数 满足 或 , 则 图象上的点横坐标每扩大为原来的 倍,其函数值扩大为原来的 倍,我们称此函数为倍增函数,其图象如图 2 所示. 对点练习 6 (2024 上海二模) 已知函数 则函数 在区间 上的零点个数为_____. 典例 7 奇函数的中值模型 若函数 在区间 内的最大值为 ,最小值为 ,其中 ,则 _____. 【解析】由题意可知 设 的定义域为 , 所以 所以 为奇函数,所以 , 所以 . 【点评】奇函数的最大值 + 最小值 . 对点练习 7 (2023 春四川内江某校高一期中) 关于 的函数 的最大值为 ,最小值为 ,且 ,则实数 的值为_____. 课后练习 A 组 1. 函数 的图象与函数 , 的图象所有交点的横坐标之和等于 2020,则满足条件的所有整数 的值为_____. 2. 若函数 的图象关于直线 对称,则 的最小值是_____. B 组 1. (单选题) 设函数 的定义域为 为奇函数, 为偶函数,当 时, . 若 ,则 ( ) A. B. C. D. 2. (单选题) 定义在 上的偶函数 满足 ,当 时, ,设函数 ( 为自然对数的底数),则 与 的图象所有交点的横坐标之和为 ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 微专题 3 函数的对称性、周期性参考答案 典型例题 对点练习 1 BCD (综合问题) 对于 A: 由 可知 为奇函数, 若 为偶函数,则 恒成立,与条件不符,故 A 错误; 对于 B: 由 ,得 ,又 ,故 ,所以 , 又 定义域为 ,故 为奇函数,故 正确; 对于 (常数) 4) , 所以函数 是周期为 4 的周期函数,函数 是周期为 4 的周期函数, 故 C 正确; 对于 D: 由 ,令 ,得 ,即 ; 令 ,则 ,即 , 由 得 ,且 , 则 ,即 关于点 对称,从而 关于 对称, 又 为奇函数,即 的图象关于点 中心对称, 所以 关于 对称,所以 ,所以 ,又因为 周期为 4,所以 , 故 正确. 综上,选 BCD. 对点练习 (已知奇偶性求参数) 是奇函数, , , 又 当 时, , . 对点练习 (利用单调性与奇偶性求解函数不等式) 令 ,因为函数 是定义在 上的奇函数, 所以 为定义在 上偶函数. 由 ,且 , 都有 ,可知 在 上为减函数,所以 在 上为增函数. 又由 ,可得 ,所以 ,即 , 解得 或 . 故答案为: . 对点练习 4： B 因为 图象关于点 对称,所以 的周期为 4. 由 得 . 又当 时, ,所以 的大致图象如图. 所以区间 相当于区间 ,所以最小值为 ,故 A 错 B 对,函数无最大值, C、D 都错,故选 B. 对点练习 ,设 , 则 . ① ,设 ,则 ② 在同一坐标系中画出函数 , 的图象, 记 交于点 , 交于点 ,因为 互为反函数,所以点 关于直线 对称,且 的图象也关于直线 对称,所以 ,所以 ,故选 A. 对点练习 6： 11 个 (类周期与倍增函数)方程 ,可化为 ,令 . 在同一坐标系下画出函数 的图象, 如图. 由图可知, 在第一个“周期” 的中点 处取得最大值 ,并且 的图象恰好经过每一个“周期”的最高点 ,即每个“周期”内两函数恰有一个交点. 又因为 ,所以共有 11 个交点,即函数 在区间 上有 11 个零点. 故答案为 11 . 对点练习 7 6 (奇函数的中值模型) 因为 注意到 是奇函数,其最大值与最小值之和为 0,所以 . 故答案为:6. 课后练习 A 组 1.1006 或 1007 (奇函数的对称性) 因为 ,所以 , 的图象关于点 中心对称. 显然 的图象也关于点 中心对称. 因为关于点 对称的任意两点的横坐标之和为 2,且题中两函数所有交点的横坐标之和为 2020,所以两函数共有 2020个(1010 对)交点. 所以两函数图象在 上恰有 1010 个交点 ,如图所示. 则 . 由图可知 , ,所以整数 满足 011,所以 或 . 2. 因为 ,所以 . 又函数 的图象关于直线 对称,所以函数 与 对应的两个零点为 ,所以方程 的两根为 ,由韦达定理得 ,故 . 又 ,所以 . 所以 当且仅当 时取等号. B 组 1. D (对称性与周期性的关系) 因为 为奇函数,所以 关于点 中心对称; 又因为 为偶函数,所以 关于直线 对称. 所以 的周期是 4 . 为奇函数 , 为偶函数 , 由 得 . 再由 . 所以,当 时, . 所以 ,故选 D. 【点评】 为奇函数 对称中心为 为偶函数 对称轴为 . 2. D (对称性与周期性的关系) 因为 满足 ,所以 的图象关于直线 对称. 又因为 是 上的偶函数, 所以 的图象关于直线 对称,所以 的周期为 4 . 又显然 的图象关于直线 对称. 当 时, ,作出 和 的图象如图所示. 由图知 和 的图象在区间 内有四个交点,设交点横坐标分别为 ,则 ,所以 ,即 和 的图象所有交点的横坐标之和为 8 ,故选 D. 【点评】1. 若两个函数均关于直线 对称,且两函数图象有 个交点,则这 个交点的横坐标之和为 ; 2. 若两个函数均关于点 成中心对称,且两函数图象有 个交点,则 这 个交点的横坐标之和为 ,纵坐标之和为 . 学科网（北京）股份有限公司 $$