第一篇 专题三 计算题培优3 带电粒子在交变场和立体空间中的运动-【步步高·大二轮专题复习】2025年高考物理复习讲义课件（广东专用）（课件PPT+word教案）

　 带电粒子在交变场和立体空间中的运动　 目标要求　1.掌握带电粒子在交变电、磁场中运动问题的分析方法，熟悉带电粒子运动的常见模型。2.会分析带电粒子在立体空间中的组合场、叠加场的运动问题，通过受力分析、运动分析，转换视图角度，充分利用分解的思想降维处理相关问题。 一、带电粒子在交变场中的运动 此类问题是场在时间上的组合，电场或磁场往往具有周期性，粒子的运动也往往具有周期性。这种情况下要仔细分析带电粒子的受力情况和运动过程，弄清楚带电粒子在每一时间段内在电场、磁场中各处于什么状态，做什么运动，画出一个周期内的运动轨迹，确定带电粒子的运动过程，选择合适的规律进行解题。 例1　(2024·广东卷·15)如图甲所示，两块平行正对的金属板水平放置，板间加上如图乙所示幅值为U0、周期为t0的交变电压。金属板左侧存在一水平向右的恒定匀强电场，右侧分布着垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一带电粒子在t=0时刻从左侧电场某处由静止释放，在t=t0时刻从下板左端边缘位置水平向右进入金属板间的电场内，在t=2t0时刻第一次离开金属板间的电场、水平向右进入磁场，并在t=3t0时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场。已知金属板的板长是板间距离的倍，粒子质量为m。忽略粒子所受的重力和场的边缘效应。 (1)判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q； (2)求金属板的板间距离D和带电粒子在t=t0时刻的速度大小v； (3)求从t=0时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中，电场力对粒子做的功W。 答案　(1)正电　　(2)　π　(3) 解析　(1)根据带电粒子在右侧磁场中的运动轨迹结合左手定则可知，粒子带正电； 粒子在磁场中运动的周期为T=2t0① 根据T=② 则粒子所带的电荷量q=③ (2)若金属板的板间距离为D，则板长为，粒子在板间运动时=vt0④ 出金属板间电场时竖直速度为零， 则竖直方向y=2××(0.5t0)2⑤ 在磁场中时qvB=m⑥ 其中y=2r=⑦ 联立解得v=π⑧ D=⑨ (3)带电粒子在电场和磁场中的运动轨迹如图，由③④⑦联立可得金属板的板间距离D=3r 则粒子在3t0时刻再次进入中间的偏转电场，在4t0时刻进入左侧的电场做减速运动，速度为零后反向加速，在6t0时刻再次进入中间的偏转电场，6.5t0时刻碰到上金属板，因粒子在偏转电场中运动时，在时间t0内电场力做功为零，在左侧电场中运动时，往返一次电场力做功也为零，可知整个过程中只有最初t0在左侧电场时电场力做功和最后0.5t0时间内电场力做功， 则W=mv2+q·=+=。 二、带电粒子在立体空间中的运动 带电粒子在立体空间中的运动问题，往往通过降维思想进行简化，常见示例及解题策略如下表： 运动类型 解题策略 在三维坐标系中运动，每个轴方向都是常见运动模型 将粒子的运动分解为三个方向的运动 一维加一面，如旋进运动 旋进运动将粒子的运动分解为一个轴方向的匀速直线运动或匀变速直线运动和垂直该轴所在面内的圆周运动 运动所在平面切换，粒子进入下一区域偏转后曲线不在原来的平面内 把粒子运动所在的面隔离出来，转换视图角度，把立体图转化为平面图，分析粒子在每个面的运动 例2　如图所示，在O-xyz三维坐标系中，y>0空间一侧有沿y轴负方向的匀强电场，y<0空间一侧有沿y轴负方向的匀强磁场。一带正电粒子以速度v0从x轴上的A点(-d，0，0)处在xOy平面内沿与x轴正方向成37°角射入电场中，已知粒子质量为m，电荷量为q，粒子恰好经过O点，磁感应强度大小为B=，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，粒子的重力忽略不计，求： (1)匀强电场的电场强度E； (2)粒子射入电场开始计时，第n次经过y轴的时刻。 答案　(1)　(2)(n=1，2，3…) 解析　(1)粒子在电场中做类斜抛运动，则有 d=v0cos 37°·t1 沿电场方向有-v0sin 37°=v0sin 37°-at1 又qE=ma 解得E=，t1=。 (2)粒子进入磁场后，在垂直y轴的平面做匀速圆周运动，在y轴上沿y轴负方向做匀速直线运动，则有 qBv0cos 37°=m 又T== 则粒子射入电场开始计时，第n次经过y轴的时刻 t2=t1+(n-1)T(n=1，2，3…) 解得t2=(n=1，2，3…) 例3　(2024·广东茂名市二模)如图甲是医用肿瘤化疗装置，其原理如图乙所示，利用在O点沿y轴正方向射出的高能质子束对肿瘤病灶精准打击从而杀死癌细胞。实际中，质子束的运动方向并不是严格沿y轴而是与y轴有一个很小的偏角，呈发散状。为此加一个方向沿y轴正方向，磁感应强度大小为B的匀强磁场，使得质子参与两种运动，沿y轴方向的直线运动和垂直y轴的平面内的圆周运动。为研究方便，用垂直y轴足够大的显示屏表示病人，癌细胞位于屏上，从O点射出的质子速度为v，质量为m，电荷量为q，所有质子与y轴正方向偏差角均为θ，不考虑质子重力和空气阻力。 (1)y轴方向的直线运动速度大小是否变化，请简述理由； (2)当显示屏离O点距离为多大时，所有的质子会重新会聚于一点？ (3)移动显示屏，屏上出现一亮环，当屏到O点的距离为L=时，亮环半径多大？在移动显示屏过程中，最大亮环的面积是多少？ 答案　(1)见解析　(2)(n=1，2，3…)　(3)　 解析　(1)速度大小不变，y轴方向与磁场平行，y轴方向不受磁场力。 (2)y轴方向L=vcos θ·t 质子做圆周运动，有qvsin θ·B= 又T= 解得T= 当t=nT(n=1，2，3…)时，所有质子会重新会聚于一点，得 L=(n=1，2，3…) (3)当L=时，可得t1= 又r= 如图α=，r'==r 解得r'= 当α=π，r'=2r，圆环面积最大，易知最大面积为 S=πr'2=。 计算题培优练5　带电粒子在交变场和立体空间中的运动 ［分值：40分］ 1.(10分)(2024·广东广州市一模)如图，在边长为L的正方体区域的右侧面，以中心O为原点建立直角坐标系xOy，x轴平行于正方体底面。该正方体区域内加有方向均沿x轴正方向、电场强度大小为E的匀强电场和磁感应强度大小为B的匀强磁场，若电荷量为q、质量为m的正离子以某一速度正对O点并垂直右侧面射入该区域，则正离子在电磁场作用下发生偏转。 (1)(2分)若正离子从右侧面坐标为(x0，y0)的P点射出，求正离子通过该区域过程的动能增量； (2)(8分)若撤去电场只保留磁场，试判断入射速度v=的正离子能否从右侧面射出。若能，求出射点坐标；若不能，请说明理由。 答案　(1)Eqx0　(2)能　(0，L) 解析　(1)由题可知，整个过程中电场力做功，洛伦兹力不做功，故ΔEk=Eqx0 (2)正离子在磁场中做匀速圆周运动，故Bqv=m 解得r==L 假设正离子能从右侧面射出，轨迹如图所示 +L2=r2 解得y1=L 因y1<，故假设成立 出射点坐标为(0，L)。 2.(14分)(2024·湖南卷·14)如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，左右端面圆心O'、O处各开有一小孔。以O为坐标原点，取O'O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x≤0区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；筒外x≥0区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向。一电子枪在O'处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力。 (1)(6分)若所有电子均能经过O进入电场，求磁感应强度B的最小值； (2)(4分)取(1)问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ，求tan θ的绝对值； (3)(4分)取(1)问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。 答案　(1)　(2)　(3) 解析　(1)电子在匀强磁场中运动时，将其分解为沿x轴的匀速直线运动和在yOz平面内的匀速圆周运动，设电子入射时沿y轴的分速度大小为vy，由电子在x轴方向做匀速直线运动得L=v0t 在yOz平面内，设电子做匀速圆周运动的半径为R，周期为T， 由牛顿第二定律知Bevy=m 可得R= T== 若所有电子均能经过O进入电场，则有 t=nT(n=1，2，3，…) 联立得B= 当n=1时，B有最小值，可得 Bmin= (2)将电子的速度分解，有tan θ= θ最大时，tan θ有最大值，即vy最大， 此时Rmax==r， 联立可得vym=，tan θ= (3)当vy最大时，电子在电场中运动时沿y轴正方向有最大位移ym， 根据匀变速直线运动规律有 ym= 由牛顿第二定律知a= 联立得ym= 3.(16分)(2022·河北卷·14改编)两块面积和间距均足够大的金属板水平放置，如图甲所示，金属板与可调电源相连形成电场，方向沿y轴正方向。在两板之间施加磁场，方向垂直xOy平面向外。电场强度和磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示。板间O点放置一粒子源，可连续释放质量为m、电荷量为q(q>0)、初速度为零的粒子，不计重力及粒子间的相互作用，图中物理量均为已知量。求： (1)(8分)t=0时刻释放的粒子，在t=时刻的位置坐标； (2)(8分)在0~时间内，静电力对t=0时刻释放的粒子所做的功。 答案　(1)(，)　(2) 解析　(1)在0~时间内，电场强度为E0，带电粒子在电场中加速运动，根据动量定理可知 qE0·=mv1 解得粒子在时刻的速度大小为v1= 方向竖直向上，粒子竖直向上运动的距离 y1=v1·= 在~时间内，粒子仅受洛伦兹力，做匀速圆周运动， 根据粒子在磁场运动的周期T=，可知粒子偏转180°，速度反向， 根据qvB=m得r=，可知粒子水平向右运动的距离为x2=2r2=2= 粒子运动轨迹如图， 所以在t=时刻粒子的位置坐标为(x2，y1)， 即(，)； (2)在~时间内，电场强度为2E0，粒子受到的静电力竖直向上，在竖直方向由动量定理得q·2E0·=mv2-(-mv1) 解得时刻粒子的速度v2=，方向竖直向上， 粒子在竖直方向上运动的位移为 y3=·=0 在~时间内，粒子在水平方向运动的距离为x4=2r4=2= 此时粒子速度方向向下，大小为v2，在~时间内，电场强度为3E0，竖直方向 q·3E0·=mv3-(-mv2) 解得粒子在时刻的速度v3= 粒子在竖直方向运动的距离 y5=·= 粒子运动的轨迹如图， 在0~时间内，静电力对粒子的做功大小为 W=qE0·y1+q·2E0·y3+q·3E0·y5=，静电力做正功。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 电场与磁场 专题三 计算题培优3　带电粒子在交变场和立体空间中的运动 1.掌握带电粒子在交变电、磁场中运动问题的分析方法，熟悉带电粒子运动的常见模型。 2.会分析带电粒子在立体空间中的组合场、叠加场的运动问题，通过受力分析、运动分析，转换视图角度，充分利用分解的思想降维处理相关问题。 目标要求 内容索引 二、带电粒子在立体空间中的运动 一、带电粒子在交变场中的运动 计算题培优练5　带电粒子在交变场和立体空间中的运动 一、带电粒子在交变场中的运动 此类问题是场在时间上的组合，电场或磁场往往具有周期性，粒子的运动也往往具有周期性。这种情况下要仔细分析带电粒子的受力情况和运动过程，弄清楚带电粒子在每一时间段内在电场、磁场中各处于什么状态，做什么运动，画出一个周期内的运动轨迹，确定带电粒子的运动过程，选择合适的规律进行解题。 　 (2024·广东卷·15)如图甲所示，两块平行正对的金属板水平放置，板间加上如图乙所示幅值为U0、周期为t0的交变电压。金属板左侧存在一水平向右的恒定匀强电场，右侧分布着垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一 例1 带电粒子在t=0时刻从左侧电场某处由静止释放，在t=t0时刻从下板左端边缘位置水平向右进入金属板间的电场内，在t=2t0时刻第一次离开金属板间的电场、水平向右进入磁场，并在t=3t0时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场。已知金属板的板长是板间距离的倍，粒子质量为m。忽略粒子所受的重力和场的边缘效应。 (1)判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q； 答案　正电　 根据带电粒子在右侧磁场中的运动轨迹结合左手定则可知，粒子带正电； 粒子在磁场中运动的周期为T=2t0 ① 根据T= ② 则粒子所带的电荷量q= ③ (2)求金属板的板间距离D和带电粒子在t=t0时刻的速度大小v； 答案　　π 若金属板的板间距离为D，则板长为=vt0 ④ 出金属板间电场时竖直速度为零， 则竖直方向y=2××(0.5t0)2 ⑤ 在磁场中时qvB=m ⑥ 其中y=2r= ⑦ 联立解得v=π ⑧ D= ⑨ (3)求从t=0时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中，电场力对粒子做的功W。 答案　 带电粒子在电场和磁场中的运动轨迹如图， 由③④⑦联立可得金属板的板间距离D=3r 则粒子在3t0时刻再次进入中间的偏转电场， 在4t0时刻进入左侧的电场做减速运动，速度为零后反向加速，在6t0时刻再次进入中间的偏转电场，6.5t0时刻碰到上金属板，因粒子在偏转电场中运动时，在时间t0内电场力做功为零，在左侧电场中运动时，往返一次电场力做功也为零，可知整个过程中只有最初t0在左侧电场时电场力做功和最后0.5t0时间内电场力做功， 则W=mv2+q·=+=。 二、带电粒子在立体空间中的运动 12 带电粒子在立体空间中的运动问题，往往通过降维思想进行简化，常见示例及解题策略如下表： 运动类型 解题策略 在三维坐标系中运动，每个轴方向都是常见运动模型 将粒子的运动分解为三个方向的运动 一维加一面，如旋进运动 旋进运动将粒子的运动分解为一个轴方向的匀速直线运动或匀变速直线运动和垂直该轴所在面内的圆周运动 运动所在平面切换，粒子进入下一区域偏转后曲线不在原来的平面内 把粒子运动所在的面隔离出来，转换视图角度，把立体图转化为平面图，分析粒子在每个面的运动 　如图所示，在O-xyz三维坐标系中，y>0空间一侧有沿y轴负方向的匀强电场，y<0空间一侧有沿y轴负方向的匀强磁场。一带正电粒子以速度v0从x轴上的A点(-d，0，0)处在xOy平面内沿与x轴正方向成37°角射入电场中，已知粒子质量为m，电荷量为q，粒子恰好经过O点，磁感应强度大小为B=，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，粒子的重力忽略不计，求： (1)匀强电场的电场强度E； 例2 答案　 粒子在电场中做类斜抛运动，则有 d=v0cos 37°·t1 沿电场方向有-v0sin 37°=v0sin 37°-at1 又qE=ma 解得E=，t1=。 (2)粒子射入电场开始计时，第n次经过y轴的时刻。 答案　 粒子进入磁场后，在垂直y轴的平面做匀速圆周运动，在y轴上沿y轴负方向做匀速直线运动，则有 qBv0cos 37°=m 又T== 则粒子射入电场开始计时，第n次经过y轴的时刻 t2=t1+(n-1)T(n=1，2，3…) 解得t2=(n=1，2，3…) 　(2024·广东茂名市二模)如图甲是医用肿瘤化疗装置，其原理如图乙所示，利用在O点沿y轴正方向射出的高能质子束对肿瘤病灶精准打击从而杀死癌细胞。实际中，质子束的运动方向并不是严格沿y轴而是与y轴有一个很小的偏角，呈发散状。为此加一个方向沿y轴正方向，磁感应强度大小为B的匀强磁场，使得质子参与两种运动，沿y轴方向的直线运动和垂直y轴的平面内的圆周运动。为研究方便，用垂直y轴足够大的显示屏 例3 表示病人，癌细胞位于屏上，从O点射出的质子速度为v，质量为m，电荷量为q，所有质子与y轴正方向偏差角均为θ，不考虑质子重力和空气阻力。 (1)y轴方向的直线运动速度大小是否变化，请简述理由； 答案　见解析 速度大小不变，y轴方向与磁场平行，y轴方向不受磁场力。 (2)当显示屏离O点距离为多大时，所有的质子会重新会聚于一点？ 答案　(n=1，2，3…)　 y轴方向L=vcos θ·t 质子做圆周运动，有qvsin θ·B= 又T= 解得T= 当t=nT(n=1，2，3…)时，所有质子会重新会聚于一点，得 L=(n=1，2，3…) (3)移动显示屏，屏上出现一亮环，当屏到O点的距离为L=时，亮环半径多大？在移动显示屏过程中，最大亮环的面积是多少？ 答案　　 当L=时，可得t1= 又r= 如图α=，r'==r 解得r'= 当α=π，r'=2r，圆环面积最大，易知最大面积为 S=πr'2=。 计算题培优练5　 带电粒子在交变场和立体空间中的运动 对一对 1 2 答案 题号 1 2 答案 (1)Eqx0　(2)能　(0，L) (1)　(2)　(3) 题号 3 答案 (1)(，)　(2) 3 1 2 答案 3 1.(2024·广东广州市一模)如图，在边长为L的正方体区域的右侧面，以中心O为原点建立直角坐标系xOy，x轴平行于正方体底面。该正方体区域内加有方向均沿x轴正方向、电场强度大小为E的匀强电场和磁感应强度大小为B的匀强磁场，若电荷量为q、质量为m的正离子以某一速度正对O点并垂直右侧面射入该区域，则正离子在电磁场作用下发生偏转。 (1)若正离子从右侧面坐标为(x0，y0)的P点射出，求正离子通过该区域过程的动能增量； 答案　Eqx0　 由题可知，整个过程中电场力做功，洛伦兹力不做功，故ΔEk=Eqx0 1 2 答案 3 (2)若撤去电场只保留磁场，试判断入射速度v=的正离子能否从右侧面射出。若能，求出射点坐标；若不能，请说明理由。 答案　能　(0，L) 1 2 正离子在磁场中做匀速圆周运动，故Bqv=m 解得r==L 假设正离子能从右侧面射出，轨迹如图所示 +L2=r2 解得y1=L 因y1<，故假设成立 出射点坐标为(0，L)。 答案 3 2.(2024·湖南卷·14)如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，左右端面圆心O'、O处各开有一小孔。以O为坐标原点，取O'O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x≤0区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；筒外x≥0区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向。一电子枪在O'处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质 1 2 答案 3 量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力。 (1)若所有电子均能经过O进入电场，求磁感应强度B的最小值； 1 2 答案 3 答案　　 1 2 电子在匀强磁场中运动时，将其分解为沿x轴的匀速直线运动和在yOz平面内的匀速圆周运动，设电子入射时沿y轴的分速度大小为vy，由电子在x轴方向做匀速直线运动得L=v0t 在yOz平面内，设电子做匀速圆周运动的半径为R，周期为T， 由牛顿第二定律知Bevy=m 可得R= T== 答案 3 1 2 若所有电子均能经过O进入电场，则有 t=nT(n=1，2，3，…) 联立得B= 当n=1时，B有最小值，可得 Bmin= 答案 3 (2)取(1)问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ，求tan θ的绝对值； 1 2 答案 3 答案　 1 2 答案 3 将电子的速度分解，有tan θ= θ最大时，tan θ有最大值，即vy最大， 此时Rmax==r， 联立可得vym=，tan θ= (3)取(1)问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。 1 2 答案 3 答案　 1 2 答案 3 当vy最大时，电子在电场中运动时沿y轴正方向有最大位移ym， 根据匀变速直线运动规律有 ym= 由牛顿第二定律知a= 联立得ym= 1 2 答案 3 3.(2022·河北卷·14改编)两块面积和间距均足够大的金属板水平放置，如图甲所示，金属板与可调电源相连形成电场，方向沿y轴正方向。在两板之间施加磁场，方向垂直xOy平面向外。电场强度和磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示。板间O点放置一粒子源，可连续释放质量为m、电荷量为q(q>0)、初速度为零的粒子，不计重力及粒子间的相互作用，图中物理量均为已知量。求： (1)t=0时刻释放的粒子，在t=时刻的 位置坐标； 答案　 (，) 1 2 答案 3 在0~时间内，电场强度为E0，带电粒子在电场中加速运动，根据动 量定理可知 qE0·=mv1 解得粒子在时刻的速度大小为v1= 方向竖直向上，粒子竖直向上运动的距离 y1=v1·= 在~时间内，粒子仅受洛伦兹力，做匀速圆周运动， 1 2 答案 3 根据粒子在磁场运动的周期T=，可知粒子偏转180°，速度反向， 根据qvB=m得r=，可知粒子水平向右运动的距离为x2=2r2=2 = 粒子运动轨迹如图， 所以在t=时刻粒子的位置坐标为(x2，y1)， 即()； 1 2 答案 3 (2)在0~时间内，静电力对t=0时刻释放的粒子所做的功。 答案　 1 2 答案 3 在~时间内，电场强度为2E0，粒子受到的静电力竖直向上，在竖直方向由动量定理得q·2E0·=mv2-(-mv1) 解得时刻粒子的速度v2=，方向竖直向上， 粒子在竖直方向上运动的位移为 y3=·=0 在~时间内，粒子在水平方向运动的距离为x4=2r4=2= 1 2 答案 3 此时粒子速度方向向下，大小为v2，在~时间内，电场强度为3E0，竖直方向 q·3E0·=mv3-(-mv2) 解得粒子在时刻的速度v3= 粒子在竖直方向运动的距离 y5=·= 1 2 答案 3 粒子运动的轨迹如图， 在0~时间内，静电力对粒子的做功大小为 W=qE0·y1+q·2E0·y3+q·3E0·y5=，静电力做正功。 本课结束 THANKS $$