第一篇 专题一 第5讲 机械振动和机械波-【步步高·大二轮专题复习】2025年高考物理复习讲义课件（广东专用）（课件PPT+word教案）

第5讲　机械振动和机械波 目标要求　1.熟练掌握简谐运动各物理量的特点和规律、机械波的传播规律和特点。2.能根据振动和波动图像分析质点的振动和波动特点。 考点一　机械振动 1.简谐运动的规律 规律 x=Asin(ωt+φ) 图像 反映同一质点在各个时刻的位移 受力 特征 回复力F=-kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反 运动 特征 靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小 能量 特征 振幅越大，能量越大。在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒 周期 性特征 质点的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为 对称 性特征 关于平衡位置O对称的两点，加速度的大小、速度的大小、相对平衡位置的位移大小相等；动能、势能相等 2.弹簧振子 (1)弹簧振子的周期与振幅、与水平方向的夹角无关，仅与弹簧的劲度系数k和小球的质量m有关。 (2)公式：T=2π。 3.单摆 周期 T=2π g0的理解 重力加速度或等效重力加速度： 超重时g0=g+a 失重时g0=g-a 完全失重时g0=0 受力特征 回复力：F=mgsin θ=-x=-kx 最高点：Fn=m=0，T=mgcos θ 最低点：Fn=m最大，T=mg+m 例1　(多选)如图所示为水平面内振动的弹簧振子，O是平衡位置，A是最大位移处，不计小球与轴的摩擦，振幅为A，振动周期为T，则下列说法正确的是(　　) A.若B是OA的中点，则从O到B的时间等于从B到A的时间的一半 B.从小球运动到O点开始计时，t=时小球距O点的距离为A C.从O到A的过程中加速度不断减小 D.从O到A的过程中速度与位移的方向相同 答案　ABD 解析　若B是OA的中点，则从O到B的方程为=Asin ωt=Asin t，得t=，解得t=，B到A的时间为t'=-=，则从O到B的时间是从B到A时间的一半，故A正确；把t=代入方程x=Asin ωt=Asin t，解得x=A，故B正确；O到A的过程中，回复力增大，则加速度增大，故C错误；从O到A的过程中，速度和位移方向均向右，故速度和位移的方向相同，故D正确。 变式1　(多选)(2024·广东深圳市一模)如图所示，设想在地球表面的P、Q两地之间开凿一个直通隧道，在隧道里铺设直管道，将地球视为均质球体，忽略一切摩擦阻力，不考虑地球自转，在P点将一物块由静止释放，管道内的物块会在PQ之间做简谐运动，运动周期为T，图中O点为PQ的中点，B点和B'点分别为OP和OQ的中点，下列说法正确的是(　　) A.物块由P到O的加速度增大 B.物块经过B点和B'点时速度大小相等 C.物块由P到O的运动时间为 D.物块在P、B两处回复力大小之比为2∶1 答案　BD 解析　根据题意，管道内的物块会在PQ之间做简谐运动，而在PQ的中点处物块所受万有引力竖直向下指向地心，水平方向合力为零，则可知PQ的中点O即为简谐运动的平衡位置，由此可知，物块由P到O的加速度减小，故A错误；根据简谐运动的对称性可知，物块经过B点和B'点时速度大小相等，故B正确；根据题意，可知P点为物块做简谐运动的最大位移处，而从最大位移处到平衡位置，所用时间为，故C错误；由于物块做简谐运动，而xOP=2xOB，则根据简谐运动回复力与位移之间的关系F=-kx，可知物块在P、B两处回复力大小之比为2∶1，故D正确。 例2　(2024·甘肃卷·5)如图为某单摆的振动图像，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是 (　　) A.摆长为1.6 m，起始时刻速度最大 B.摆长为2.5 m，起始时刻速度为零 C.摆长为1.6 m，A、C点的速度相同 D.摆长为2.5 m，A、B点的速度相同 答案　C 解析　由单摆的振动图像可知振动周期为T=0.8π s，由单摆的周期公式T=2π得摆长为 l==1.6 m，B、D错误； 起始时刻位于正向最大位移处，速度为零，且A、C点的速度相同，A错误，C正确。 变式2　(2024·浙江6月选考·9)如图所示，不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1 kg的小铁球，两端A、B悬挂在倾角为30°的固定斜杆上，间距为1.5 m。小球平衡时，A端细线与杆垂直；当小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时，等效于悬挂点位于小球重垂线与AB交点的单摆，重力加速度g=10 m/s2，则 (　　) A.摆角变小时，周期变大 B.小球摆动周期约为2 s C.小球平衡时，A端拉力大小为 N D.小球平衡时，A端拉力小于B端拉力 答案　B 解析　根据单摆的周期公式T=2π可知周期与摆角无关，故A错误； 同一根光滑细线，A端拉力大小等于B端拉力大小，平衡时对小球受力分析如图可得2FAcos 30°=mg 解得FA=FB== N 故C、D错误； 根据几何知识可知摆长为L==1 m，故周期为T=2π≈2 s，故B正确。 单摆模型的拓展 支撑面 “单摆” 偏角很小时等效为单摆 复合场中 的单摆 g0=g±　　　　　　g0=g 斜面上 的单摆 g0=gsin θ　　　　　g0=gsin θ 双线摆 等效摆长 等效摆长 l=l1sin θ l=l1sin θ+l3 小球在垂直纸面方向摆动 考点二　机械波 形成条件 (1)波源；(2)传播介质，如空气、水等 传播特点 (1)机械波传播的只是振动的形式和能量，质点只在各自的平衡位置附近做简谐运动，并不随波迁移 (2)介质中各质点振动周期和频率都与波源的振动周期和频率相同 (3)一个周期内，质点完成一次全振动，通过的路程为4A，位移为零 (4)一个周期内，波向前传播一个波长 波的图像 (1)坐标轴：横轴表示各质点的平衡位置，纵轴表示该时刻各质点的位移 (2)意义：表示在波的传播方向上，某时刻各质点离开平衡位置的位移 波长、波速和 频率(周期) 的关系 (1)v=λf；(2)v= 波的叠加 (1)两个振动情况相同的波源形成的波，在空间某点振动加强的条件为Δx=nλ(n=0，1，2，…)，振动减弱的条件为Δx=(2n+1)(n=0，1，2，…) (2)振动加强点的位移随时间而改变，振幅为两波振幅的和A1+A2 波的多解问题 由于波的周期性、波传播方向的双向性，波的传播易出现多解问题 波的特性 波的干涉 波的衍射 例3　(2024·广东湛江市一模)湛江濒临南海，拥有众多优良海水浴场。在金沙湾海滨浴场，某同学测得一波源位于O处的海水水波(视为简谐横波)，某时刻沿x轴正方向传播到20 cm处，此时x轴上10 cm处的质点已振动0.2 s，质点P离O处60 cm，如图所示，取该时刻为t=0。下列说法正确的是(　　) A.质点P开始振动时的速度方向沿y轴正方向 B.该波的传播速度为1 m/s C.经过0.9 s，质点P第一次到达波谷 D.在0~0.1 s时间内，x=20 cm处的质点振动的速度逐渐增大 答案　C 解析　波沿x轴正方向传播，可知质点A起振方向沿y轴负方向，各个质点的起振方向均相同，故质点P起振时的速度方向沿y轴负方向，故A错误；根据题图可知波长为20 cm，此时x轴上10 cm处的质点已振动0.2 s，则周期为0.4 s，可知波的传播速度为v== m/s=0.5 m/s，故B错误；根据波形图可知，质点P第一次到达波谷经过的时间t==s=0.9 s，故C正确；在0~0.1 s时间内，x=20 cm处的质点从平衡位置向波谷位置运动，速度逐渐减小，故D错误。 例4　(2024·江西卷·6)如图(a)所示，利用超声波可以检测飞机机翼内部缺陷。在某次检测实验中，入射波为连续的正弦信号，探头先后探测到机翼表面和缺陷表面的反射信号，分别如图(b)、(c)所示。已知超声波在机翼材料中的波速为6 300 m/s。关于这两个反射信号在探头处的叠加效果和缺陷深度d，下列选项正确的是 (　　) A.振动减弱；d=4.725 mm B.振动加强；d=4.725 mm C.振动减弱；d=9.45 mm D.振动加强；d=9.45 mm 答案　A 解析　根据反射信号图像可知，超声波的传播周期为T=2×10-7 s，又波速v=6 300 m/s，则超声波在机翼材料中的波长λ=vT=1.26×10-3 m，结合题图可知，两个反射信号传播到探头处的时间差为Δt=1.5×10-6 s，故两个反射信号的路程差2d=vΔt=9.45×10-3 m=λ，解得d=4.725 mm，则两个反射信号在探头处振动减弱，故A正确。 例5　(多选)某健身者挥舞健身绳锻炼臂力，挥舞后形成一列沿x轴传播的简谐横波，如图所示，实线为t1=0时的波形图，虚线为t2=2 s时的波形图。已知波的周期T>1 s，下列说法正确的是(　　) A.这列波的波速可能为 m/s B.这列波的波速可能为 m/s C.这列波10 s内传播的距离可能为35 m D.这列波10 s内传播的距离可能为45 m 答案　AC 解析　若这列波沿x轴负方向传播，则Δt=+nT=2 s(n=0，1，2，3…)，可得T= s(n=0，1，2，3…)，因为波的周期T>1 s，所以这列波的周期可能为8 s、1.6 s。因为这列波的波长为λ=4 m，这列波的波速为v== m/s(n=0，1)，所以这列波的波速可能为 m/s、 m/s。根据Δx=v·Δt，这列波10 s内传播的距离可能为5 m、25 m。若这列波沿x轴正方向传播，则Δt=+nT=2 s(n=0，1，2，3…)，可得T= s(n=0，1，2，3…)，因为波的周期T>1 s，所以这列波的周期可能为 s、 s。因为这列波的波长为λ=4 m，这列波的波速为v== m/s(n=0，1)，所以这列波的波速可能为 m/s、 m/s。根据Δx=v·Δt，这列波10 s内传播的距离可能为15 m、35 m。故选A、C。 考点三　振动图像和波的图像的综合应用 巧解振动图像与波的图像综合问题的基本方法 例6　一列沿着x轴正方向传播的横波，在t=0时刻的波形如图甲所示，图甲中某质点的振动图像如图乙所示。下列说法正确的是(　　) A.该波的波速为4 m/s B.图乙表示质点S的振动图像 C.质点R在t=6 s时的位移最大 D.质点Q经过1 s沿x轴正方向移动2 m 答案　C 解析　由题图甲可得，波长为λ=8 m，由题图乙可得，周期为T=4 s，则波速为v==2 m/s，故A错误；根据波沿x轴正方向传播，由题图甲可得，在t=0时，质点S在平衡位置，向下振动，因此题图乙与质点S的振动不符，故B错误；由于t=6 s=T，因此质点R经过6 s后处于波峰位置，此时位移最大，故C正确；质点不随波的传播而移动，因此质点在y方向上振动，横坐标不变，故D错误。 拓展　x=28 m处的质点，经多长时间第一次到达波峰？ 答案　13 s 解析　Δt== s=13 s。 例7　(2023·湖北卷·7)一列简谐横波沿x轴正向传播，波长为100 cm，振幅为8 cm。介质中有a和b两个质点，其平衡位置分别位于x=- cm和x=120 cm处。某时刻b质点的位移为y=4 cm，且向y轴正方向运动。从该时刻开始计时，a质点的振动图像为(　　) 答案　A 解析　a、b之间的距离为Δx=(+120) cm=λ，此时b点的位移为4 cm且向y轴正方向运动，令此时b点的相位为φ，则有4 cm=8sin φ (cm)，解得φ=或φ=(舍去，向下振动)，由a、b之间的距离关系可知φa-φ=·2π=π，则φa=π，可知a点此时的位移为y=8sin φa (cm)=4 cm，且向下振动，故选A。 专题强化练 ［分值：60分］ 1~6题每题4分，7题8分，8、9题每题5分，10题12分，11题6分，共60分 ［保分基础练］ 1.(多选)(2024·广东佛山市二模)某型号降噪耳机工作原理如图所示，降噪过程包括如下几个环节：首先，由微型麦克风采集环境中的中、低频噪声；接下来，将噪声信号传至降噪电路；在降噪电路处理完成后，通过扬声器向外发出声波来抵消噪声；最后，我们耳朵就会感觉到噪声减弱甚至消失。对该降噪耳机相关说法正确的是(　　) A.耳机降噪利用了声波的多普勒效应 B.抵消声波的频率与噪声的频率应该相等 C.抵消声波与噪声的相位差为零 D.抵消声波和环境噪声在空气中传播的速度相等 答案　BD 解析　耳机降噪利用了声波的干涉原理，故A错误；频率相同的波才能发生干涉，即声波的叠加，相位相反时则可以相互抵消，故B正确，C错误；声波是靠介质传播，同一介质中传播速度相等，故D正确。 2.(2024·广东佛山市顺德区一模)如图为钓鱼时鱼漂静浮于水面的示意图。某次鱼咬钩时将鱼漂往下拉一小段距离后松口，鱼漂做上下振动，一定时间内鱼漂在竖直方向近似做简谐运动，取竖直向上为正方向，鱼松口时为计时起点，用t、x、a分别表示鱼漂运动的时间、位移和加速度，关于鱼漂此振动过程中的相关图像可能正确的是(　　) 答案　B 解析　鱼漂静止在水面上的位置是平衡位置，取竖直向上为正方向，鱼将鱼漂往下拉了一小段距离后松口，则开始振动的位移为负，之后位移减小一直到0，即回到平衡位置，之后位移为正，可得位移随时间变化关系为x=-Acos ωt，根据F回=-kx=ma，可得a=-x=Acos ωt，可知a与x成正比关系，a与t成余弦函数关系，B正确。 3.(2024·广东佛山市二模)将重物静止悬挂在轻质弹簧下端，往左右方向轻微扰动重物，将会形成一个单摆；往上下方向轻微扰动重物，将会形成一个弹簧振子。若此单摆及弹簧振子的周期满足2∶1时，无论给予哪种扰动，该装置都会周期性地在单摆和弹簧振子状态间切换，这种现象称为“内共振”。已知弹簧振子的周期T=2π(m为重物质量，k为弹簧劲度系数)，单摆摆长为L，重力加速度大小为g，若要产生“内共振”现象，则该弹簧劲度系数应该满足(　　) A.k= B.k= C.k= D.k= 答案　B 解析　单摆振动周期为T'=2π，弹簧振子周期为T=2π，又因为“内共振”满足=，联立可得k=，故选B。 4.(2024·广东卷·3)一列简谐横波沿x轴正方向传播。波速为1 m/s，t=0时的波形如图所示。t=1 s时，x=1.5 m处的质点相对平衡位置的位移为 (　　) A.0 B.0.1 m C.-0.1 m D.0.2 m 答案　B 解析　由题图可知该简谐横波的波长为λ=2 m，所以周期为T===2 s 当t=1 s时，x=1.5 m处的质点运动半个周期到达波峰处，相对平衡位置的位移为0.1 m。 故选B。 5.(2024·河北卷·6)如图，一电动机带动轻杆在竖直框架平面内匀速转动，轻杆一端固定在电动机的转轴上，另一端悬挂一紫外光笔，转动时紫外光始终竖直投射至水平铺开的感光纸上，沿垂直于框架的方向匀速拖动感光纸，感光纸上就画出了描述光点振动的x-t图像。已知轻杆在竖直面内长0.1 m，电动机转速为12 r/min，该振动的圆频率和光点在12.5 s内通过的路程分别为 (　　) A.0.2 rad/s，1.0 m B.0.2 rad/s，1.25 m C.1.26 rad/s，1.0 m D.1.26 rad/s，1.25 m 答案　C 解析　紫外光在纸上的投影做的是简谐运动，电动机的转速为n=12 r/min=0.2 r/s， 该振动的圆频率ω=2πn=0.4π rad/s≈1.26 rad/s， 周期为T==5 s；简谐运动的振幅即为轻杆的长度A=0.1 m，t=12.5 s=2.5T，则光点在12.5 s内通过的路程为s=2.5×4A=1.0 m，故选C。 6.(多选)(2024·广东梅州市一模)某同学漂浮在海面上，水面波正平稳地以1.8 m/s的速率向着海滩传播。该同学发现从第1个波峰到第10个波峰通过身体的时间间隔为15 s。下列说法中正确的是(　　) A.水面波是一种机械波 B.该水面波的频率为0.6 Hz C.该水面波的波长为3 m D.该同学将被水面波推向岸边 答案　ABC 解析　水面波是一种机械波，故A正确；该水面波的周期为T== s= s，该水面波的频率为f==0.6 s，故B正确；该水面波的波长为λ=vT=1.8× m=3 m，故C正确；该同学在平衡位置附近上下振动，不会随波迁移，故D错误。 7.(8分)(2024·广东湛江市二模)水袖是中国古典舞中用于情感表达的常用技巧，舞者的手有规律地振动传导至袖子上，给人营造出一种“行云流水”般的美感，这一过程其实就是机械波的传播。现有一列沿x轴方向传播的简谐横波，t=0时刻的波动图像如图甲所示，其中参与波动的质点P的振动图像如图乙所示，求： (1)(4分)该波的传播方向和速度大小； (2)(4分)质点P在t=0开始计时后10 s内经过的路程。 答案　(1)沿x轴负方向传播　2 m/s　(2)25 cm 解析　(1)由题中波形图和振动图像可知t=0时质点P在平衡位置沿y轴正方向振动，根据“同侧法”可知波沿x轴负方向传播。由题图甲可知，该波的波长λ=8 m；由题图乙可知，该波的周期T=4 s 可得波速大小v==2 m/s (2)因时间t=10 s=2.5T，质点P在0~10 s内总路程为s=2.5×4×2.5 cm=25 cm。 ［争分提能练］ 8.(多选)(2023·重庆卷·9)一列简谐横波在介质中沿x轴传播，波速为2 m/s，t=0时的波形图如图所示，P为该介质中的一质点。则(　　) A.该波的波长为14 m B.该波的周期为8 s C.t=0时质点P的加速度方向沿y轴负方向 D.0~2 s内质点P运动的路程有可能小于0.1 m 答案　BD 解析　由题图可知λ=12 m，解得λ=16 m，A错误；由v=，得T== s=8 s，B正确；简谐运动的加速度总指向平衡位置，P点位于y轴负半轴，加速度方向沿y轴正方向，C错误；P点位于y轴的负半轴，经过2 s=，若波向x轴负方向传播，P沿远离平衡位置方向振动，在0~2 s内质点P运动的路程有可能小于0.1 m，D正确。 9.(2023·湖南卷·3)如图(a)，在均匀介质中有A、B、C和D四点，其中A、B、C三点位于同一直线上，AC=BC=4 m，DC=3 m，DC垂直AB。t=0时，位于A、B、C处的三个完全相同的横波波源同时开始振动，振动图像均如图(b)所示，振动方向与平面ABD垂直，已知波长为4 m。下列说法正确的是(　　) A.这三列波的波速均为2 m/s B.t=2 s时，D处的质点开始振动 C.t=4.5 s时，D处的质点向y轴负方向运动 D.t=6 s时，D处的质点与平衡位置的距离是6 cm 答案　C 解析　由图(b)的振动图像可知，振动的周期为4 s，故三列波的波速为v==1 m/s，A错误；由图(a)可知，与D处距离最近的波源是波源C，距离为3 m，故开始振动后波源C处的横波传播到D处所需的时间为tC==3 s，故t=2 s时，D处的质点还未开始振动，B错误；由几何关系可知AD=BD=5 m，波源A、B产生的横波传播到D处所需的时间为tAB==5 s，故t=4.5 s时，仅波源C处的横波传播到D处，此时D处的质点振动时间为t1=t-tC=1.5 s，由振动图像可知此时D处的质点向y轴负方向运动，C正确；t=6 s时，波源C处的横波传播到D处后振动时间为t2=t-tC=3 s，由振动图像可知此时D处为波源C处传播横波的波谷；t=6 s时，波源A、B处的横波传播到D处后振动时间为t3=t-tAB=1 s，由振动图像可知此时D处为波源A、B处传播横波的波峰。根据波的叠加原理可知此时D处质点的位移为y=2A-A=2 cm，故t=6 s时，D处的质点与平衡位置的距离是2 cm，D错误。 10.(12分)(2023·全国甲卷·34(2))分别沿x轴正向和负向传播的两列简谐横波P、Q的振动方向相同振幅均为5 cm，波长均为8 m，波速均为4 m/s。t=0时刻，P波刚好传播到坐标原点处，该处的质点将自平衡位置向下振动；Q波刚好传到x=10 m处，该处的质点将自平衡位置向上振动。经过一段时间后，两列波相遇。 (1)(6分)在给出的坐标图上分别画出P、Q两列波在t=2.5 s时刻的波形图(P波用虚线，Q波用实线)； (2)(6分)求出图示范围内的介质中，因两列波干涉而振动振幅最大和振幅最小的平衡位置。 答案　(1)见解析图　(2)见解析 解析　(1)根据Δx=vt得 Δx=4×2.5 m=10 m 可知t=2.5 s时P波刚好传播到x=10 m处，Q波刚好传播到x=0处， 根据上下坡法及两波的波长λ=8 m可得波形图如图所示 (2)根据题意可知，P、Q两波振动频率相同，振动方向相反，两波叠加时，振动加强点的条件为到两波源的距离差Δx=(n=0，1，2…) 解得在图示范围内，振幅最大的平衡位置有 x=3 m、x=7 m 振动减弱的条件为Δx=nλ(n=0，1，2…) 解得在图示范围内，振幅最小的平衡位置有 x=1 m、x=5 m、x=9 m。 ［尖子生选练］ 11.(多选)有一列沿x轴传播的简谐横波，从某时刻开始，介质中位置在x=0处的质点a和在x=6 m处的质点b的振动图像分别如图甲、乙所示。则下列说法正确的是(　　) A.质点a的振动方程为y=4sin (t+) cm B.质点a处在波谷时，质点b一定处在平衡位置且向y轴正方向振动 C.若波沿x轴正方向传播，这列波的最大传播速度为3 m/s D.若波沿x轴负方向传播，这列波的最大波长为24 m 答案　BD 解析　根据题图甲可得质点a的振幅、周期、初相位分别为Aa=4 cm，T=8 s，φ0=-， 根据振动方程y=Asin (ωt+φ0)，可得质点a的振动方程为y=4sin (t-) cm，故A错误；根据质点a、b的振动图像可知，在题述时刻，质点a在波谷，质点b在平衡位置，且两质点在该时刻后均向上振动，由波的周期性可知，B正确；根据“同侧法”可知，若该波沿x轴负方向传播，则两质点之间的距离应满足+nλ=6 m(n=0，1，2，3…)， 解得λ=(n=0，1，2，3…)，当n=0时，该波波长有最大值λm=24 m， 若该波沿x轴正方向传播，则两质点之间的距离应满足+nλ=6 m(n=0，1，2，3…) 解得λ=(n=0，1，2，3…)，根据波速与波长之间的关系v=，可得该波的波速的可能值为v= m/s(n=0，1，2，3…)，当n=0时，速度有最大值vm=1 m/s，D正确，C错误。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 力与运动 专题一 第5讲　机械振动和机械波 1.熟练掌握简谐运动各物理量的特点和规律、机械波的传播规律和特点。 2.能根据振动和波动图像分析质点的振动和波动特点。 目标要求 内容索引 专题强化练 考点二　机械波 考点一　机械振动 考点三　振动图像和波的图像的综合应用 3 机械振动 考点一 1.简谐运动的规律 规律 x=Asin(ωt+φ) 图像 反映同一质点在各个时刻的位移   受力特征 回复力F=-kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反 运动特征 靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小 能量 特征 振幅越大，能量越大。在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒 周期 性特征 质点的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为 对称 性特征 关于平衡位置O对称的两点，加速度的大小、速度的大小、相对平衡位置的位移大小相等；动能、势能相等 2.弹簧振子 (1)弹簧振子的周期与振幅、与水平方向的夹角无关，仅与弹簧的劲度系数k和小球的质量m有关。 (2)公式：T=2π。 3.单摆 周期 T=2π g0的理解 重力加速度或等效重力加速度： 超重时g0=g+a 失重时g0=g-a 完全失重时g0=0 受力特征 回复力：F=mgsin θ=-x=-kx 最高点：Fn=m=0，T=mgcos θ 最低点：Fn=m最大，T=mg+m 　 (多选)如图所示为水平面内振动的弹簧振子，O是平衡位置，A是最大位移处，不计小球与轴的摩擦，振幅为A，振动周期为T，则下列说法正确的是 A.若B是OA的中点，则从O到B的时间等于从B到 　A的时间的一半 B.从小球运动到O点开始计时，t=时小球距O点的距离为A C.从O到A的过程中加速度不断减小 D.从O到A的过程中速度与位移的方向相同 例1 √ √ √ 若B是OA的中点，则从O到B的方程为=Asin ωt=Asin t，得t=，解得t=，B到A的时间为t'=-=，则从O 到B的时间是从B到A时间的一半，故A正确； 把t=代入方程x=Asin ωt=Asin t，解得x=A，故B正确； O到A的过程中，回复力增大，则加速度增大，故C错误； 从O到A的过程中，速度和位移方向均向右，故速度和位移的方向相同，故D正确。 (多选)(2024·广东深圳市一模)如图所示，设想在地球表面的P、Q两地之间开凿一个直通隧道，在隧道里铺设直管道，将地球视为均质球体，忽略一切摩擦阻力，不考虑地球自转，在P点将一物块由静止释放，管道内的物块会在PQ之间做简谐运动，运动周期为T，图中O点为PQ的中点，B点和B'点分别为OP和OQ的中点，下列说法正确的是 A.物块由P到O的加速度增大 B.物块经过B点和B'点时速度大小相等 C.物块由P到O的运动时间为 D.物块在P、B两处回复力大小之比为2∶1 √ 变式1 √ 根据简谐运动的对称性可知，物块经过B点和B'点时速度大小相等，故B正确； 根据题意，可知P点为物块做简谐运动的最大位移处，而从最大位移处到平衡位置，所用时间为，故C错误； 根据题意，管道内的物块会在PQ之间做简谐运动，而在PQ的中点处物块所受万有引力竖直向下指向地心，水平方向合力为零，则可知PQ的中点O即为简谐运动的平衡位置，由此可知，物块由P到O的加速度减小，故A错误； 由于物块做简谐运动，而xOP=2xOB，则根据简谐运动回复力与位移之间的关系F=-kx，可知物块在P、B两处回复力大小之比为2∶1，故D正确。 　 (2024·甘肃卷·5)如图为某单摆的振动图像，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是 A.摆长为1.6 m，起始时刻速度最大 B.摆长为2.5 m，起始时刻速度为零 C.摆长为1.6 m，A、C点的速度相同 D.摆长为2.5 m，A、B点的速度相同 √ 例2 由单摆的振动图像可知振动周期为T=0.8π s，由单摆的周期公式T=2π得摆长为 l==1.6 m，B、D错误； 起始时刻位于正向最大位移处，速度为零，且A、C点的速度相同，A错误，C正确。 (2024·浙江6月选考·9)如图所示，不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1 kg的小铁球，两端A、B悬挂在倾角为30°的固定斜杆上，间距为1.5 m。小球平衡时，A端细线与杆垂直；当小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时，等效于悬挂点位于小球重垂线与AB交点的单摆，重力加速度g=10 m/s2，则 A.摆角变小时，周期变大 B.小球摆动周期约为2 s C.小球平衡时，A端拉力大小为 N D.小球平衡时，A端拉力小于B端拉力 √ 变式2 根据单摆的周期公式T=2π可知周期与摆角无关，故A错误； 同一根光滑细线，A端拉力大小等于B端拉力大小，平衡时对小球受力分析如图可得2FAcos 30°=mg 解得FA=FB== N 故C、D错误； 根据几何知识可知摆长为L==1 m，故周期为T=2π≈2 s，故B正确。 支撑面 “单摆”   偏角很小时等效为单摆 复合场中 的单摆 g0=g±　　　g0=g 多题归一 单摆模型的拓展 斜面上 的单摆   g0=gsin θ　　g0=gsin θ 双线摆   等效摆长 等效摆长 　l=l1sin θ　　　l=l1sin θ+l3 小球在垂直纸面方向摆动 机械波 考点二 形成条件 (1)波源；(2)传播介质，如空气、水等 传播特点 (1)机械波传播的只是振动的形式和能量，质点只在各自的平衡位置附近做简谐运动，并不随波迁移 (2)介质中各质点振动周期和频率都与波源的振动周期和频率相同 (3)一个周期内，质点完成一次全振动，通过的路程为4A，位移为零 (4)一个周期内，波向前传播一个波长 波的图像 波长、波速和频率 (周期)的关系 (1)v=λf；(2)v= (1)坐标轴：横轴表示各质点的平衡位置，纵轴表示该时刻各质点的位移  (2)意义：表示在波的传播方向上，某时刻各质点离开平衡位置的位移 波的叠加 (1)两个振动情况相同的波源形成的波，在空间某点振动加强的条件为Δx=nλ(n=0，1，2，…)，振动减弱的条件为Δx=(2n+1)(n=0，1，2，…) (2)振动加强点的位移随时间而改变，振幅为两波振幅的和A1+A2 波的多解问题 由于波的周期性、波传播方向的双向性，波的传播易出现多解问题 波的特性 波的干涉 波的衍射 　 (2024·广东湛江市一模)湛江濒临南海，拥有众多优良海水浴场。在金沙湾海滨浴场，某同学测得一波源位于O处的海水水波(视为简谐横波)，某时刻沿x轴正方向传播到20 cm处，此时x轴上10 cm处的质点已振动0.2 s，质点P离O处60 cm，如图所示，取该时刻为t=0。下列说法正确的是 A.质点P开始振动时的速度方向沿y轴正方向 B.该波的传播速度为1 m/s C.经过0.9 s，质点P第一次到达波谷 D.在0~0.1 s时间内，x=20 cm处的质点振动的速度逐渐增大 例3 √ 波沿x轴正方向传播，可知质点A起振方 向沿y轴负方向，各个质点的起振方向均 相同，故质点P起振时的速度方向沿y轴负方向，故A错误； 根据题图可知波长为20 cm，此时x轴上10 cm处的质点已振动0.2 s，则周期为0.4 s，可知波的传播速度为v== m/s=0.5 m/s，故B错误； 根据波形图可知，质点P第一次到达波谷经过的时间t==s =0.9 s，故C正确； 在0~0.1 s时间内，x=20 cm处的质点从平衡位置向波谷位置运动，速度逐渐减小，故D错误。 　 (2024·江西卷·6)如图(a)所示，利用超声波可以检测飞机机翼内部缺陷。在某次检测实验中，入射波为连续的正弦信号，探头先后探测到机翼表面和缺陷表面的反射信号，分别如图(b)、(c)所示。已知超声波在机翼材料中的波速为6 300 m/s。关于这两个反射信号在探头处的叠加效果和缺陷深度d，下列选项正确的是 A.振动减弱；d=4.725 mm B.振动加强；d=4.725 mm C.振动减弱；d=9.45 mm D.振动加强；d=9.45 mm 例4 √ 根据反射信号图像可知，超声波的传播周期为T=2×10-7 s，又波速v= 6 300 m/s，则超声波在机翼材料中的波长λ=vT=1.26×10-3 m，结合题图可知，两个反射信号传播到探头处的时间差为Δt=1.5×10-6 s，故两个反射信号的路程差2d=vΔt=9.45×10-3 m=λ，解得d=4.725 mm，则两个反射信号在探头处振动减弱，故A正确。 　 (多选)某健身者挥舞健身绳锻炼臂力，挥舞后形成一列沿x轴传播的简谐横波，如图所示，实线为t1=0时的波形图，虚线为t2=2 s时的波形图。已知波的周期T>1 s，下列说法正确的是 A.这列波的波速可能为 m/s B.这列波的波速可能为 m/s C.这列波10 s内传播的距离可能为35 m D.这列波10 s内传播的距离可能为45 m 例5 √ √ 若这列波沿x轴负方向传播，则Δt=+nT= 2 s(n=0，1，2，3…)，可得T= s(n=0， 1，2，3…)，因为波的周期T>1 s，所以这 列波的周期可能为8 s、1.6 s。因为这列波的波长为λ=4 m，这列波的波速为v== m/s(n=0，1)，所以这列波的波速可能为 m/s、 m/s。根据Δx=v·Δt，这列波10 s内传播的距离可能为5 m、25 m。 若这列波沿x轴正方向传播，则Δt=+nT= 2 s(n=0，1，2，3…)，可得T= s(n=0， 1，2，3…)，因为波的周期T>1 s，所以这 列波的周期可能为 s、 s。因为这列波的波长为λ=4 m，这列波的波速为v== m/s(n=0，1)，所以这列波的波速可能为 m/s、 m/s。根据Δx=v·Δt，这列波10 s内传播的距离可能为15 m、35 m。故选A、C。 振动图像和波的图像的综合应用 考点三 巧解振动图像与波的图像综合问题的基本方法 　一列沿着x轴正方向传播的横波，在t=0时刻的波形如图甲所示，图甲中某质点的振动图像如图乙所示。下列说法正确的是 A.该波的波速为4 m/s B.图乙表示质点S的振动图像 C.质点R在t=6 s时的位移最大 D.质点Q经过1 s沿x轴正方向移动2 m 例6 √ 由题图甲可得，波长为λ=8 m，由题图乙可得，周期为T=4 s，则波速为v==2 m/s，故A错误； 根据波沿x轴正方向传播，由题图甲可得，在t=0时，质点S在平衡位置，向下振动，因此题图乙与质点S的振动不符，故B错误； 由于t=6 s=T，因此质点R经过6 s后处于波峰位置，此时位移最大，故C正确； 质点不随波的传播而移动，因此质点在y方向上振动，横坐标不变，故D错误。 【拓展】　x=28 m处的质点，经多长时间第一次到达波峰？ 答案　13 s Δt== s=13 s。 　(2023·湖北卷·7)一列简谐横波沿x轴正向传播，波长为100 cm，振幅为8 cm。介质中有a和b两个质点，其平衡位置分别位于x=- cm和x=120 cm处。某时刻b质点的位移为y=4 cm，且向y轴正方向运动。从该时刻开始计时，a质点的振动图像为 例7 √ a、b之间的距离为Δx=(+120) cm=λ，此时b 点的位移为4 cm且向y轴正方向运动，令此时b 点的相位为φ，则有4 cm=8sin φ (cm)，解得 φ=或φ=(舍去，向下振动)，由a、b之间的距离关系可知φa-φ=·2π =π，则φa=π，可知a点此时的位移为y=8sin φa (cm)=4 cm，且向下振动，故选A。 专题强化练 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 BD B B B C ABC (1)沿x轴负方向传播　2 m/s　(2)25 cm 题号 8 9 10 11 答案 BD C (1)见解析图　(2)见解析 BD 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 1.(多选)(2024·广东佛山市二模)某型号降噪耳机工作原理如图所示，降噪过程包括如下几个环节：首先，由微型麦克风采集环境中的中、低频噪声；接下来，将噪声信号传至降噪电路；在降噪电路处理完成后，通过扬声器向外发出声波来抵消噪声；最后，我们耳朵就会感觉到噪声减弱甚至消失。对该降噪耳机相关说法正确的是 A.耳机降噪利用了声波的多普勒效应 B.抵消声波的频率与噪声的频率应该相等 C.抵消声波与噪声的相位差为零 D.抵消声波和环境噪声在空气中传播的速度相等 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 保分基础练 答案 √ 耳机降噪利用了声波的干涉原理，故A错误； 频率相同的波才能发生干涉，即声波的叠加，相位相反时则可以相互抵消，故B正确，C错误； 声波是靠介质传播，同一介质中传播速度相等，故D正确。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 2.(2024·广东佛山市顺德区一模)如图为钓鱼时鱼漂静浮于水 面的示意图。某次鱼咬钩时将鱼漂往下拉一小段距离后松口， 鱼漂做上下振动，一定时间内鱼漂在竖直方向近似做简谐运 动，取竖直向上为正方向，鱼松口时为计时起点，用t、x、a 分别表示鱼漂运动的时间、位移和加速度，关于鱼漂此振动过程中的相关图像可能正确的是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 鱼漂静止在水面上的位置是平衡位置，取竖直向上为正方向，鱼将鱼漂往下拉了一小段距离后松口，则开始振动的位移为负，之后位移减小一直到0，即回到平衡位置，之后位移为正，可得位移随时间变化关系为x=-Acos ωt，根据F回=-kx=ma，可得a=-x=Acos ωt，可知a与x成正比关系，a与t成余弦函数关系，B正确。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 3.(2024·广东佛山市二模)将重物静止悬挂在轻质弹簧下端，往左右方向轻微扰动重物，将会形成一个单摆；往上下方向轻微扰动重物，将会形成一个弹簧振子。若此单摆及弹簧振子的周期满足2∶1时，无论给予哪种扰动，该装置都会周期性地在单摆和弹簧振子状态间切换，这种现象称为“内共振”。已 知弹簧振子的周期T=2π(m为重物质量，k为弹簧劲度系数)，单摆摆长为L， 重力加速度大小为g，若要产生“内共振”现象，则该 弹簧劲度系数应该满足 A.k= B.k= C.k= D.k= √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 单摆振动周期为T'=2π，弹簧振子周期为T=2π，又因为“内共振”满足=，联立可得k=，故选B。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 4.(2024·广东卷·3)一列简谐横波沿x轴正方向传播。波速为1 m/s，t=0时的波形如图所示。t=1 s时，x=1.5 m处的质点相对平衡位置的位移为 A.0 B.0.1 m C.-0.1 m D.0.2 m √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 由题图可知该简谐横波的波长为λ=2 m，所以周期 为T===2 s 当t=1 s时，x=1.5 m处的质点运动半个周期到达波峰处，相对平衡位置的位移为0.1 m。 故选B。 5.(2024·河北卷·6)如图，一电动机带动轻杆在竖直框架平面内匀速转动，轻杆一端固定在电动机的转轴上，另一端悬挂一紫外光笔，转动时紫外光始终竖直投射至水平铺开的感光纸上，沿垂直于框架的方向匀速拖动感光纸，感光纸上就画出了描述光点振动的x-t图像。已知轻杆在竖直面内长0.1 m，电动机转速为12 r/min，该振动的圆 频率和光点在12.5 s内通过的路程分别为 A.0.2 rad/s，1.0 m B.0.2 rad/s，1.25 m C.1.26 rad/s，1.0 m D.1.26 rad/s，1.25 m √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 紫外光在纸上的投影做的是简谐运动，电动机的转速为n=12 r/min=0.2 r/s， 该振动的圆频率ω=2πn=0.4π rad/s≈1.26 rad/s， 周期为T==5 s；简谐运动的振幅即为轻杆的 长度A=0.1 m，t=12.5 s=2.5T，则光点在12.5 s内通过的路程为s=2.5×4A=1.0 m，故选C。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 6.(多选)(2024·广东梅州市一模)某同学漂浮在海面上，水面波正平稳地以1.8 m/s的速率向着海滩传播。该同学发现从第1个波峰到第10个波峰通过身体的时间间隔为15 s。下列说法中正确的是 A.水面波是一种机械波 B.该水面波的频率为0.6 Hz C.该水面波的波长为3 m D.该同学将被水面波推向岸边 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 水面波是一种机械波，故A正确； 该水面波的周期为T== s= s，该水面波的频率为f==0.6 s，故B正确； 该水面波的波长为λ=vT=1.8× m=3 m，故C正确； 该同学在平衡位置附近上下振动，不会随波迁移，故D错误。 答案 7.(2024·广东湛江市二模)水袖是中国古典舞中用于情感表达的常用技巧，舞者的手有规律地振动传导至袖子上，给人营造出一种“行云流水”般的美感，这一过程其实就是机械波的传播。现有一列沿x轴方向传播的简谐横波，t=0时刻的波动图像如图甲所示，其中参与波动的质点P的振动图像如图乙所示，求： (1)该波的传播方向和速度大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 答案　沿x轴负方向传播　2 m/s 由题中波形图和振动图像可知t=0时质点P在平衡位置沿y轴正方向振动，根据“同侧法”可知波沿x轴负方向传播。由题图甲可知，该波的波长λ=8 m；由题图乙可知，该波的周期T=4 s 可得波速大小v==2 m/s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 (2)质点P在t=0开始计时后10 s内经过的路程。 答案　25 cm 因时间t=10 s=2.5T，质点P在0~10 s内总路程为s=2.5×4×2.5 cm= 25 cm。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 8.(多选)(2023·重庆卷·9)一列简谐横波在介质中沿x轴传播，波速为2 m/s，t=0时的波形图如图所示，P为该介质中的一质点。则 A.该波的波长为14 m B.该波的周期为8 s C.t=0时质点P的加速度方向沿y轴负方向 D.0~2 s内质点P运动的路程有可能小于0.1 m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 √ 争分提能练 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 由题图可知λ=12 m，解得λ=16 m，A错误； 由v=，得T== s=8 s，B正确； 简谐运动的加速度总指向平衡位置，P点位于y轴负半轴，加速度方向沿y轴正方向，C错误； P点位于y轴的负半轴，经过2 s=，若波向x轴负方向传播，P沿远离平衡位置方向振动，在0~2 s内质点P运动的路程有可能小于0.1 m，D正确。 答案 9.(2023·湖南卷·3)如图(a)，在均匀介质中有A、B、C和D四点，其中A、B、C三点位于同一直线上，AC=BC=4 m，DC=3 m，DC垂直AB。t=0时，位于A、B、C处的三个完全相同的横波波源同时开始振动，振动图像均如图(b)所示，振动方向与平面ABD垂直，已知波长为4 m。下列说法正确的是 A.这三列波的波速均为2 m/s B.t=2 s时，D处的质点开始振动 C.t=4.5 s时，D处的质点向y轴负方向运动 D.t=6 s时，D处的质点与平衡位置的距离是6 cm √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 由图(b)的振动图像可知，振动的周期为4 s，故三列波的波速为v== 1 m/s，A错误； 由图(a)可知，与D处距离最近的波源是波源C，距离为3 m，故开始振动后波源C处的横波传播到D处所需的时间为tC==3 s，故t=2 s时，D处的质点还未开始振动，B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 由几何关系可知AD=BD=5 m，波源A、B产生的横波传播到D处所需的时间为tAB==5 s，故t=4.5 s时，仅 波源C处的横波传播到D处，此时D处的质点振动时间为t1=t-tC=1.5 s，由振动图像可知此时D处的质点向y轴负方向运动，C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 t=6 s时，波源C处的横波传播到D处后振动时间为t2=t-tC=3 s，由振动图像可知此时D处为波源C处传播 横波的波谷；t=6 s时，波源A、B处的横波传播到D处后振动时间为t3=t-tAB=1 s，由振动图像可知此时D处为波源A、B处传播横波的波峰。根据波的叠加原理可知此时D处质点的位移为y=2A-A=2 cm，故t=6 s时，D处的质点与平衡位置的距离是2 cm，D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 10.(2023·全国甲卷·34(2))分别沿x轴正向和负向传播的两列简谐横波P、Q的振动方向相同振幅均为5 cm，波长均为8 m，波速均为4 m/s。t=0时刻，P波刚好传播到坐标原点处，该处的质点将自平衡位置向下振动；Q波刚好传到x=10 m处，该处的质点将自平衡位置向上振动。经过一段时间后，两列波相遇。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 (1)在给出的坐标图上分别画出P、Q两列波在t=2.5 s时刻的波形图(P波用虚线，Q波用实线)； 答案　见解析图　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 根据Δx=vt得 Δx=4×2.5 m=10 m 可知t=2.5 s时P波刚好传播到x=10 m处，Q波刚好传播到x=0处， 根据上下坡法及两波的波长λ=8 m可得波形图如图所示 (2)求出图示范围内的介质中，因两列波干涉而振动振幅最大和振幅最小的平衡位置。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 答案　见解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 根据题意可知，P、Q两波振动频率相同，振动方向相反，两波叠加时，振动加强点的条件为到两波源的距离差Δx=(n=0，1，2…) 解得在图示范围内，振幅最大的平衡位置有 x=3 m、x=7 m 振动减弱的条件为Δx=nλ(n=0，1，2…) 解得在图示范围内，振幅最小的平衡位置有 x=1 m、x=5 m、x=9 m。 11.(多选)有一列沿x轴传播的简谐横波，从某时刻开始，介质中位置在x=0处的质点a和在x=6 m处的质点b的振动图像分别如图甲、乙所示。则下列说法正确的是 A.质点a的振动方程为y=4sin (t+) cm B.质点a处在波谷时，质点b一定处在平 　衡位置且向y轴正方向振动 C.若波沿x轴正方向传播，这列波的最大传播速度为3 m/s D.若波沿x轴负方向传播，这列波的最大波长为24 m √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 尖子生选练 答案 √ 根据题图甲可得质点a的振幅、周期、初相位分别为Aa=4 cm，T=8 s，φ0=-， 根据振动方程y=Asin (ωt+φ0)，可得质点a的振动方程为y=4sin (t-) cm，故A错误； 根据质点a、b的振动图像可知，在题述时刻，质点a在波谷，质点b在平衡位置，且两质点在该时刻后均向上振动，由波的周期性可知，B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 根据“同侧法”可知，若该波沿x轴负方向传播，则两质点之间的距离应满足+nλ=6 m(n=0，1，2，3…)， 解得λ=(n=0，1，2，3…)，当n=0时，该波波长有最大值λm=24 m， 若该波沿x轴正方向传播，则两质点之间的距离应满足+nλ=6 m(n=0，1，2，3…) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 解得λ=(n=0，1，2，3…)，根据波速与波长之间的关系v=，可得该波的波速的可能值为v= m/s(n=0， 1，2，3…)，当n=0时，速度有最大值vm=1 m/s，D正确，C错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 本课结束 THANKS $$